Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2016. / Submitted by Camila Duarte (camiladias@bce.unb.br) on 2016-07-22T13:22:50Z No. of bitstreams: 1 2016_AlessandraKreutz.pdf: 720531 bytes, checksum: 6a58092709c1d7a73c9a9a454ed0d88c (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2017-02-21T13:34:53Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_AlessandraKreutz.pdf: 720531 bytes, checksum: 6a58092709c1d7a73c9a9a454ed0d88c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-21T13:34:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_AlessandraKreutz.pdf: 720531 bytes, checksum: 6a58092709c1d7a73c9a9a454ed0d88c (MD5) / Esta dissertação trata das formas lineares em logaritmos p-ádicos. Além de apresentar alguns dos resultados dados por Bugeaud, Laurent e Yu sobre as formas lineares em logaritmos p-ádicos, o trabalho visa aplicar esses resultados na resolução de algumas equações Diofantinas estudadas por Luca, Marques e Grossman. / This work treats of linear form in p-adic logarithms. We shall present some results due to Bugeaud, Laurent and Yu about linear form in p-adic logarithms, moreover we shall apply these results for solving some Diophantine equations studied by Luca, Marques and Grossman.

NASCIMENTO, Natália Medeiros do. Equações diofantinas e o método das secantes e tangentes de Fermat. 2014. 45 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-08-28T19:14:10Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-08-29T16:18:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-29T16:18:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_nmnascimento.pdf: 519563 bytes, checksum: c112efa25b4d5ca74054cdfb0a870303 (MD5) Previous issue date: 2014 / Over the past decades, the transmission of mathematical knowledge in basic education has undergone several changes. The “Teaching Traditional” math was based on memorizing formulas, so there mechanization in problem solving where the student was seen as a liability to be process. The new vision of education that seeks to signify exposed to room content, motivated the choice of this theme, as diophantine equations involving situations problems can be easily noticed in our daily lives. The objective of this work is an opportunity for a realization of an advisory reading for the teacher of basic education, and assert that these equations can be applied in basic education as a tool that encourages the logical thinking, reasoning, understanding and mathematical interpretation. The formulation of this material which is divided into five chapters was through literature review through descriptive research. The introduction comprises the first chapter. The second chapter deals with the Legacy of Diophantus: life and works, emphasizing his work entitled “Arithmetica” which contributed significantly to the development of number theory. The third chapter deals with linear Diophantine equations in n variables. The fourth chapter discusses the Pythagorean tender, Fermat’s of secants and Tangents method, in finding rational solutions to equations with rational coefficients, of the form ax2 + by2 = c and a particular case Fermat’s Last Theorem. The fifth chapter is composed of problems on linear diophantine equations. / Ao longo das últimas décadas, a transmissão do conhecimento matemático na Educação Básica sofreu diversas mudanças. “O Ensino Tradicional” da matemática era baseado na memorização de fórmulas, havendo assim uma mecanização no processo de resolução de problemas, onde o discente era visto como um ser passivo. A nova visão de ensino, que busca significar o que conteúdo exposto em sala, motivou a escolha desse tema, visto que situações problemas envolvendo equações diofantinas podem ser facilmente percebidas em nosso cotidiano. O objetivo deste trabalho é oportunizar a realização de uma leitura consultiva para o professor do Ensino Básico, e asseverar que essas equações podem ser aplicadas na Educação Básica como uma ferramenta que instiga o pensamento lógico, o raciocínio, a compreensão e a interpretação matemática. A formulação desse material que está dividido em cinco capítulos se deu através de levantamento bibliográfico por meio de pesquisas descritivas. A introdução compõe o primeiro capítulo. O segundo capítulo versa sobre o Legado de Diofanto: vida e obras, ressaltando sua obra titulada “Arithmetica” que contribuiu significativamente para o desenvolvimento da teoria dos números. O terceiro capítulo trata das equações diofantinas lineares de n variáveis. O quarto capítulo aborda as ternas itagóricas, o Método das Secantes e Tangentes de Fermat na busca de soluções racionais para quações, com coeficientes racionais, da forma ax2+by2 = c, e um caso particular do Último Teorema de Fermat. O quinto capítulo é composto de problemas sobre equações diofantinas lineares.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Gabriela Lima (gabrieladaduch@gmail.com) on 2017-12-04T18:18:20Z No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-01-25T15:39:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-25T15:39:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). / Os números de Fibonacci possui várias generalizações, entre elas temos a sequência (Fn (k))n que é chamada de sequência de Fibonacci k-generalizada. Observando a identidade F2 n+F2 n+1=F2n+1, Chaves e Marques, em 2014, provaram que a equação Diofantina (Fn (k))2+ (F(k) n+1)2= Fm (k) não possui soluções em inteiros positivos n, m e k, com n > 1 e k ≥ 3. Nesse trabalho, mostramos que a equação Diofantina (Fn (k))2 +(F(k) n+1)2 = Fm (l), não possui solução para 2≤ k < l e n > k + 1. Outra generalização da sequência de Fibonacci s˜ao os coeficientes fibonomiais. Em 2015, Marques e Trojovský provaram que uma condição mais fraca. se p ≡ ± 1 (mod 5), então p † [pa+1 pa] , para todo a ≥ 1.Nesse trabalho, encontramos as classe de resíduos de módulo p, p2, p3 e p4, quando p ≡ ± 1 (mod 5) e sobre uma condição mais fraca. Em particular, provamos que se p é um número primo tal que p ≡ ± 1 (mod 5), então [pa+1 pa] ≡ 1 (mod p). / Regarding the identity F2 n+F2 n+1=F2n+1, Chaves and Marques, in 2014, proved that (Fn (k))2+ (F(k) n+1)2= Fm (k) does not have solution for integers n, m e k, with n > 1 and k ≥ 3. In this work, we show that (Fn (k))2 +(F(k) n+1)2 = Fm (l) does not have solutions for 2≤ k < l and n > k + 1. Another generalization of the Fibonacci sequence are the Fibonomial coe#cients. In 2015, Marques and Trojovský proved that if p ≡ ± 1 (mod 5), then p † [pa+1 pa] for all a ≥ 1. In this work, we also find the residue class of [pa+1 pa] modulo p, p2, p3 e p4, when p ≡ ± 1 (mod 5) under some weak hypothesis. In particular, we proved that if p is a prime number such that p ≡ ± 1 (mod 5), then [pa+1 pa] ≡ 1 (mod p).

FREITAS, Carlos Wagner Almeida. Equações diofantinas. 2015. 201 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2015-07-07T13:47:58Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_cwafreitas.pdf: 2277656 bytes, checksum: 3af27a1d293cade13ea2c647cdf656f3 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-07-07T13:48:30Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_cwafreitas.pdf: 2277656 bytes, checksum: 3af27a1d293cade13ea2c647cdf656f3 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-07-07T13:48:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_cwafreitas.pdf: 2277656 bytes, checksum: 3af27a1d293cade13ea2c647cdf656f3 (MD5) Previous issue date: 2015 / The current work has as objective main to structuralize students, professors and loving of the mathematics for the best understanding, interpretation and resolution of problems that come to be solved using the Diofantinas Equations. For this, they had been used techniques as the use of inequalities and the parametric method that are contents studied for the professors of Basic and Average Education. Also the presentation of some examples, all decided, that they will serve as object of study for professors, college’s student was used for this, pertaining to school and loving students of the mathematics. In the first chapter we will approach the facts historical of great mathematicians who had contributed with the development of the Diofantinas Equations. No longer according to chapter, we go to better know the essence of the Elementary Theory of the Numbers, presenting, demonstrating and exemplifying the mathematical tools that will be used in the resolution of the Diofantinas Equations. Finally, in the third chapter, we will introduce the Diofantinas Equations and the methods of determination of solutions of the same one, applying them in situation-problem of the daily one. The conclusion of this work emphasizes the importance of the algebraic and geometric understanding of the Diofantinas Equations, and that the contact with problems of this area contributes so that the reader develops in creative way, its cognitive abilities. It is important to stand out that the introduction to the resolution of problems of this nature does not need superior knowledge, being able to be boarded in Basic and Average education. / O atual trabalho tem como objetivo principal estruturar estudantes, professores e amantes da matemática para a melhor compreensão, interpretação e resolução de problemas que venham a ser solucionados usando-se as Equações Diofantinas. Para isso, foram usadas técnicas como o uso de inequações e o método paramétrico que são conteúdos estudados pelos professores do Ensino Fundamental e Médio. Também foi utilizada para isso a apresentação de vários exemplos, todos resolvidos, que servirão como objeto de estudo para professores, universitários, estudantes escolares e amantes da matemática. No primeiro capítulo abordaremos os fatos históricos de grandes matemáticos que contribuíram com o desenvolvimento das Equações Diofantinas. Já no segundo capítulo, vamos conhecer melhor a essência da Teoria Elementar dos Números, apresentando, demonstrando e exemplificando as ferramentas matemáticas que serão utilizadas na resolução das Equações Diofantinas. Por fim, no terceiro capítulo, introduziremos as Equações Diofantinas e os métodos de determinação de soluções das mesmas, aplicando-as em situações-problema do cotidiano. A conclusão desse trabalho enfatiza a importância da compreensão algébrica e geométrica das Equações Diofantinas, e que o contato com problemas desta área contribua para que o leitor desenvolva de modo criativo, suas habilidades cognitivas. É importante ressaltar que a introdução à resolução de problemas dessa natureza não necessita dede conhecimentos superiores, podendo ser abordado no Ensino Fundamental e Médio.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2016. / Submitted by Camila Duarte (camiladias@bce.unb.br) on 2016-07-18T17:45:52Z No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-19T19:50:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_ViniciusFacoVenturaVieira.pdf: 462806 bytes, checksum: 2c60302fed84e4f84a0309ec9be8e3fb (MD5) / A famosa e amplamente estudada sequência de Fibonacci é determinada pela recorrênciaFn= Fn-1 + Fn-2, onde F0 = 0 e F1 = 1. Podemos estender essa sequência para sequências recorrentes de ordem maior. Logo, para k ≥ 2 e n ≥ −(k − 2), sejaF(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, onde F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 e F(k)1 = 1. Vamos estudar algumas equações Diofantinasenvolvendo tais sequências. Num primeiro momento, lembramos que um número perfeito é um natural que é soma de seus divisores próprios. Então, vamos aplicar formas lineares em logaritmo para achar números perfeitos pares em sequências de Fibonacci generalizadas. Em outras palavras, vamos estudar a equaçãoF(k)n = 2p-1(2p-1). Em outro problema, vamos estudar a valorização 2−ádica de F(k)n quando k = 4, a fim de procurar fatoriais nessa sequência, ou seja, vamos estudar a equaçãoQn = m!. Também, vamos usar técnicas parecidas para resolver um caso particular da equação de Brocard-Ramanujan, n2 = m! + 1, quando o inteiro né um número da sequência mencionada previamente. / The famous and widely studied Fibonacci sequence is determined by there currence Fn= Fn-1 + Fn-2, where F0 = 0 and F1 = 1. We can extend this sequence for higher order recurrences. So, for k ≥ 2 and n ≥ −(k − 2), let F(k)n = F(k)n-1 + ∙∙∙ + F(k)n-k, where F(k)-(k-2) = ∙∙∙ = F(k)-1 = F(k)0 = 0 and F(k)1 = 1.We shall study some Diophantine equations involving such sequences. First, were call that a perfect number is a natural number which equals the sum of all its proper divisors. Then, we shall apply linear forms in logarithms to find even perfect numbers in genereralized Fibonacci sequences. In other words, we shall study the Diophantine equation F(k)n = 2p-1(2p-1).In another problem, we shall study the 2− adic valuation ofF(k)n, when k = 4, in order to find factorials in that sequence, i.e., we shall study the equation Qn= m!. Also, we shall use similar techniques to solve a particular case of the Brocard-Ramanujan equation, n2 = m! + 1, when the integern is a number of the previously mentioned sequence.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2014. / Submitted by Larissa Stefane Vieira Rodrigues (larissarodrigues@bce.unb.br) on 2014-12-09T18:47:41Z No. of bitstreams: 1 2014_RildoRibeiro.pdf: 897496 bytes, checksum: fff64f05d2b072673a9f50403928192f (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2014-12-11T18:19:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_RildoRibeiro.pdf: 897496 bytes, checksum: fff64f05d2b072673a9f50403928192f (MD5) / Made available in DSpace on 2014-12-11T18:19:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_RildoRibeiro.pdf: 897496 bytes, checksum: fff64f05d2b072673a9f50403928192f (MD5) / O presente trabalho tem como objetivo principal instrumentalizar estudantes e professores para a compreensão e a resolução de problemas que possam ser resolvidos usando-se as Equações Diofantinas com duas ou mais incógnitas. Para isso, foram usadas técnicas como os processos de fatoração e o uso de inequações, que são conteúdos estudados pelos professores do Ensino Fundamental e Médio. Utilizou-se, para isso a apresentação de vários problemas resolvidos para servirem de objeto de estudo por professores e alunos. É apresentada, também, uma introdução à Teoria dos Números, para uma melhor compreensão da resolução das Equações Diofantinas Lineares por meio de exemplos lúdicos e didáticos que estimulam o prazer de estudar Matemática. A conclusão desse trabalho enfatiza a importância da interpretação algébrica e geométrica das Equações Diofantinas Lineares. Ressalta ainda, que a introdução à resolução de problemas dessa área não necessita de conhecimentos avançados, podendo, então, ser feito no Ensino Médio, propiciando, assim, ao estudante o desenvolvimento de suas habilidades de raciocínio. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The main object of the present work aims to equip students and teachers for the understanding and the solution of problems that can be solved by using the Diophantine equations with two or more unknowns. Techniques of factoring and using of inequalities were used as contents studied by teachers in elementary and high school. For this study, it was used the presentation of several issues solved to serve as an object of study for teachers and students. It also presents an introduction to the Theory of Numbers, for a better understanding of the resolution of linear Diophantine equations using it for ludic and educational examples that stimulate the pleasant in mathematics studies. The conclusion of this study emphasizes the importance of algebraic and geometric interpretation of linear Diophantine equations. It also highlights that the introduction of solving problems in this area does not need advanced knowledge, which can be done in high school, allowing students to develop their reasoning skills.

Orientador: Carina Alves / Banca: Eliris Cristina Rizziolli / Banca: Cintya Wink de Oliveira Benedito / Resumo: Este trabalho é resultado de uma pesquisa bibliográfica sobre Diofanto e as equações que levam seu nome, as equações diofantinas. Mais especificamente, apresentamos as equações diofantinas lineares e alguns casos particulares das equações diofantinas quadráticas. Ainda, abordamos um estudo sobre alguns tópicos de teoria dos números e frações contínuas, afim de facilitar o entendimento sobre os teoremas e resultados acerca do tema central deste trabalho / Abstract: This work is the result of a bibliographical research about Diophantus and the equations that take his name, the Diophantine equations. More specifically, we present the linear diophantine equations and some particular cases of the quadratic diophantine equations. We have also studied topics about number theory and continuous fractions, in order to facilitate the understanding of theorems and results that are related to the central theme of this work / Mestre

Submitted by ROMARIO SIDRONE DE SOUZA null (romario.sidrone@gmail.com) on 2017-03-22T13:09:53Z No. of bitstreams: 1 Equações Diofantinas Lineares, Quadráticas e Aplicações.pdf: 841142 bytes, checksum: 07c262b2dc6963eba6f51b8c68808746 (MD5) / Rejected by Luiz Galeffi (luizgaleffi@gmail.com), reason: Solicitamos que realize uma nova submissão seguindo a orientação abaixo: O arquivo submetido não contém o certificado de aprovação. O arquivo submetido está sem a ficha catalográfica. A versão submetida por você é considerada a versão final da dissertação/tese, portanto não poderá ocorrer qualquer alteração em seu conteúdo após a aprovação. Corrija esta informação e realize uma nova submissão com o arquivo correto. Agradecemos a compreensão. on 2017-03-22T19:27:07Z (GMT) / Submitted by ROMARIO SIDRONE DE SOUZA null (romario.sidrone@gmail.com) on 2017-03-23T17:44:35Z No. of bitstreams: 1 Equações Diofantinas Lineares, Quadráticas e Aplicações.pdf: 921393 bytes, checksum: d6bb7d5e6be28758897ddf73120e42b2 (MD5) / Approved for entry into archive by Luiz Galeffi (luizgaleffi@gmail.com) on 2017-03-24T17:25:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 souza_rs_me_rcla.pdf: 921393 bytes, checksum: d6bb7d5e6be28758897ddf73120e42b2 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-24T17:25:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 souza_rs_me_rcla.pdf: 921393 bytes, checksum: d6bb7d5e6be28758897ddf73120e42b2 (MD5) Previous issue date: 2017-03-07 / Este trabalho é resultado de uma pesquisa bibliográfica sobre Diofanto e as equações que levam seu nome, as equações diofantinas. Mais especificamente, apresentamos as equações diofantinas lineares e alguns casos particulares das equações diofantinas quadráticas. Ainda, abordamos um estudo sobre alguns tópicos de teoria dos números e frações contínuas, afim de facilitar o entendimento sobre os teoremas e resultados acerca do tema central deste trabalho. / This work is the result of a bibliographical research about Diophantus and the equations that take his name, the Diophantine equations. More specifically, we present the linear diophantine equations and some particular cases of the quadratic diophantine equations. We have also studied topics about number theory and continuous fractions, in order to facilitate the understanding of theorems and results that are related to the central theme of this work.

Submitted by Marcio Filho (marcio.kleber@ufba.br) on 2017-06-09T11:57:56Z No. of bitstreams: 1 Dissertação_Nadjara.pdf: 5718105 bytes, checksum: 6588a56fbc4b4e5104e6ca3735e50094 (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-12T15:22:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação_Nadjara.pdf: 5718105 bytes, checksum: 6588a56fbc4b4e5104e6ca3735e50094 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-12T15:22:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação_Nadjara.pdf: 5718105 bytes, checksum: 6588a56fbc4b4e5104e6ca3735e50094 (MD5) / Este trabalho propõe que a resolução e interpretação geométrica de Equações Diofantinas Lineares podem ser inseridas nos Ensinos Fundamental e Médio como nova ferramenta didática para atrair a atenção do discente, respeitando seus graus de conhecimentos cumulativamente adquiridos, além de fornecer ao leitor elementos para a introdução de Equações Diofantinas Lineares na aplicação da Geometria, adicionando conhecimentos algébricos e aritméticos necessários ao entendimento do assunto. Sua contextualização envolve a situação hipotética de localizar uma aeronave no Espaço Aéreo Brasileiro, quando essa se aproxima para pouso em determinado aeroporto, com a utilização do GPS. E a resolução de Equações Diofantinas Lineares também sugere o desenvolvimento e aplicação de conteúdos que, por ventura, tornam-se enfadonhos e abstratos.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-06-29T13:01:17Z No. of bitstreams: 1 2016_AdrianeMartinsArruda.pdf: 800680 bytes, checksum: 8dd18a59e3ed329f041abe5026fd1cfb (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-07-12T15:11:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_AdrianeMartinsArruda.pdf: 800680 bytes, checksum: 8dd18a59e3ed329f041abe5026fd1cfb (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-12T15:11:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_AdrianeMartinsArruda.pdf: 800680 bytes, checksum: 8dd18a59e3ed329f041abe5026fd1cfb (MD5) / O objetivo deste trabalho é mostrar a aplicação do Lema de Euclides para cálculo do Máximo Divisor Comum no Ensino Fundamental e avaliar a receptividade que os alunos tiveram ao método. Para tanto, estudamos e escrevemos sobre a divisão nos inteiros, divisibilidade e propriedades envolvidas, o Teorema da Divisão Eucliana, o máximo divisor comum, o Lema de Euclides, o Algoritmo de Euclides, o Teorema Fundamental da Aritmética e também sobre as Equações Diofantinas que são uma aplicação interessante do MDC. Aplicamos um minicurso sobre MDC em duas turmas de Ensino Fundamental e escrevemos sobre os resultados obtidos. _______________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The objective of this work is to show the application of Euclid's Lemma to calculate the Greatest Common Divisor in Elementary Education and evaluate the receptivity that the students had the method. We studied and wrote about the division in integers, divisibility and properties involved, the theorem Eucliana Division, the greatest common divisor, Lemma Euclid, the Euclidean algorithm, the Fundamental Theorem of Arithmetic and also on the Diophantine Equations they are an interesting application of the Greatest Common Divisor. We use a short course on Greatest Common Divisor in two elementary school classes and present some results obtained.