Le sujet principal de cette thèse est d'interpréter le tenseur d'impulsion-énergie dans le cadre des feuilletages. On s'intéresse dans un premier temps à la géométrie spinorielle transverse, i.e. celle du fibré normal. On définit l'opérateur de Dirac basique sur un feuilletage riemannian et on établit une formule de type Schrodinger-Lichnerowicz. On donne ainsi des inégalités de type Friedrich et de type Kirchberg dans le cas d'un feuilletage kahlérien et une estimation dans le cas d'un feuilletage kahler-quaternionien. Le cas des flots riemanniens va permettre de mieux comprendre le tenseur d'impulsion-énergie dans le cadre des feuilletages. Il apparait comme un tenseur naturel antisymétrique permettant de le voir comme le tenseur d'O'Neill du flot. Finalement, on caractérise le cas de dimension 3 par une solution de l'équation de Dirac.

Dans ce travail de thèse, nous développons une notion de mesure de Gibbs pour le flot géodésique tangent aux feuilles d'un fibré feuilleté au dessus d'une base négativement courbée. Nous développons également une notion de mesure F-harmonique et prouvons qu'il existe une correspondance bijective entre les deux. Lorsque la fibre est une droite projective complexe, que l'holonomie est projective, et qu'il n'y a pas de mesure transverse invariante, nous prouvons l'unicité de ces mesures, et ce pour tout potentiel Hölder sur la base. Dans ce cas, nous prouvons également que la mesure F-harmonique se réalise comme limite pondérée de grandes boules tangentes aux feuilles, et que leurs mesures conditionnelles dans les fibres sont des limites de moyennes pondérées sur les orbites du groupe d'holonomie.

Dans cette thèse, j'ai tenté d'obtenir des informations sur la dynamique des feuilletages transversalement holomorphes par une approche probabiliste: le mouvement brownien. J'obtiens principalement deux résultats: le premier dit que, dans un feuilletage transversalement holomorphe minimalisable de codimension un complexe, presque tout point du bord (topologique) d'une composante connexe F de l'ensemble de Fatou est un point d'accumulation de toutes les feuilles de F. Le second résultat concerne les feuilletages de Riccati du plan projectif complexe: tout germe d'holonomie d'un tel feuilletage entre deux droites projectives complexes se prolonge le long de presque toute trajectoire brownienne.

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel.

On démontre que les difféomorphismes partiellement hyperboliques admettant un feuilletage central invariant compact sont dynamiquement cohérent et en plus ils ont la propriété de pistage. En supposant une direction instable uni-dimensionnelle et orientée on peut prouver que le difféomorphisme projette en un automorphisme hyperbolique de tore dans l'espace des feuilles centrales.

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel. / We introduce the concept of a stationary random manifold with the objective of treating in a unified way results about manifolds with transitive isometry group, manifolds with a compact quotient, and generic leaves of compact foliations. We prove inequalities relating linear drift and entropy of Brownian motion with the volume growth of such manifolds, generalizing previous work by Avez, Kaimanovich, and Ledrappier among others. In the second part we prove that the leaf function of a compact foliation is semicontinuous, obtaining as corollaries Reeb's local stability theorem, part of Epstein's the local structure theorem for foliations by compact leaves, and a continuity theorem of Álvarez and Candel.

Dans cette thèse, on étudie les C2-feuilletages de codimension 1, dans les 3-variétés compactes connexes et orientables. Il est bien connu que l’on peut construire explicitement sur de telles variétés un feuilletage qui possède des composantes de Reeb. Vient alors le problème crucial d’existence des feuilletages tendus (toujours ouvert).Rappelons qu’un feuilletage tendu n’admet pas de composante de Reeb, mais que la réciproque est fausse.La première partie de ce travail, consiste à comprendre la différence entre un feuilletage non-tendu sans composante de Reeb et un feuilletage tendu. On verra que l’orientation transverse des feuilles toriques joue un rôle crucial, en donnant une condition nécessaire et suffisante sur cette orientation transverse pour qu’un feuilletage soit tendu. Pour cela on étudiera de près les procédés géométriques de tourbillonement et de spiralement, et on montrera qu’ils apparaissent toujours au voisinage d’une feuille torique.La seconde partie de ce travail se concentre sur le problème d’existence de feuilletages tendu. Rappelons que depuis les travaux de D. Gabai [1983], on sait que si une 3-variété admet une homologie non-triviale, alors elle admet un feuilletage tendu. Mais le problème d’existence est toujours ouvert parmi les sphères d’homologies, et on s’intéresse ici à celles qui sont fibrées de Seifert. On montre que toutes les sphères d’homologie entière fibrées de Seifert sauf S3 et la sphère d’homologie de Poincaré admettent un feuilletage tendu. Par contre, parmi les sphères d’homologie rationnelle non-entière, fibrées de Seifert, il existe une infinité de telles variétés qui admettent un feuilletage tendu, et une infinité qui n’en admettent pas. / In this thesis, we study codimension 1, C2-foliations, in compact, connected and orientable 3-manifolds. It is well known that we can explicitly construct on such manifolds a foliation admitting Reeb components. Then comes the crucial problem of existence of taut foliation (still opened).Recall that a taut foliation does not admit a Reeb component, but the converse is false. The first step of this work focuses on the difference between a non-taut and Reebless foliation, and a taut foliation. We will understand that the transverse orientation of the torus leaves plays a key-role, by giving a necessary and sufficient condition on the transverse orientation, for a foliation to be taut. For this, we will study the geometric processes of turbulization and spiraling with generalizations, and we see that they always appear in a neighborhood of a torus leaf.The second step of this work is concentrated on the problem of existence of taut foliations. Recall that since the work of D. Gabai [1983], we know that if a 3-manifold has non-trivial homology, then it admits a taut foliation. This problem is still opened among homology spheres and we focus here on Seifert fibered ones. We show that all Seifert fibered integral homology spheres (but S3 and Poincar ́e homology sphere) admit a taut foliation. Nevertheless, among Seifert fibered rational (and non-integral) homology spheres, there exist infinitely many which admit a taut foliation and infinitely many which do not admit one.

On dit qu'une variété est feuilletée lorsqu'il existe une partition de celle-ci en sous-variétés immergées. La théorie des feuilletages a des applications très profondes dans divers champs des Mathématiques et de la Physique, et il semble d'autant plus intéressant de pouvoir analyser le feuilletage à partir de ce qui semble être une donnée plus fondamentale : sa distribution de champs de vecteurs associée. C'est ainsi que nous avons observé que si le feuilletage est résolu par un fibré gradué, on peut relever le crochet de Lie des champs de vecteurs en une structure de Lie infini-algébroide sur ce fibré. D'autre part, cette structure est universelle dans le sens où toute autre résolution du feuilletage sera isomorphe à celle-ci dans un sens L_infini, mais seulement à homotopie près. Lorsqu'on se limite à l'étude au dessus d'un point, on observe que la cohomologie associée à la résolution devient potentiellement non triviale. La structure de Lie infini-algébroide universelle se réduit alors à une algèbre de Lie graduée sur cette cohomologie. Cette structure algébrique peut être transportée (non canoniquement) tout le long de la feuille, transformant la cohomologie au dessus d'une feuille en algébroide de Lie gradué. Cela nous permet de retrouver des résultats déjà connus par ailleurs et de déduire des avancées prometteuses / A smooth manifold is said to be foliated when it is partitioned into immersed submanifolds. Foliation Theory has profound applications in various fields of Mathematics and Physics, and it seems much more interesting to analyze the foliation from what seems to be a more fundamental point of view: its associated distribution of vector fields. Thus we have noticed that if the foliation is resolved by a graded fiber bundle, one can lift the Lie bracket of vector fields into a Lie infinity-algebroid structure on this fiber bundle. Moreover, this structure is universal in the sense that any other resolution of the foliation is isomorphic to it in the L_infinity setup, but only up to homotopy. When one restricts the analysis over a point, we observe that the cohomology associated to the resolution may become non trivial. The universal Lie infinity-algebroid structure hence reduces to a graded Lie algebra structure on this cohomology. This algebraic structure can be carried (non canonically) along the leaf, providing the cohomology over a leaf with a graded Lie algebroid structure. This enables us to retrieve former well-known results, as well as promising advances

Une definition de B. Malgrange etend aux feuilletages singuliers d'une variete analytique complexe la notion<br />de groupe de Galois classiquement definie pour les equations differentielles lineaires. Pour cela il definit la notion de D-groupoıde de Lie, version singuliere des “groupes infinis de transformations” decrits par des equations aux derivees partielles, etudies par S. Lie et E. Cartan. Un systeme dynamique donne par des transformations (resp. transformations infinitesimales) n'est pas en general un D-groupoıde de Lie. On definit sa D-enveloppe comme le plus petit D-groupoıde de Lie contenant ces transformations (resp. transformations infinit´esimales). Dans le cas d'un feuilletage, sa D-enveloppe est appelee groupoıde de Galois du feuilletage et generalise la notion de groupe de Galois.<br /><br /> L'objet de ce travail est d'etudier les systemes dynamiques ayant une D-enveloppe de rang (transverse)<br />fini et de les interpreter en terme “d'integrabilite”. Il se decompose en trois parties. <br /> Dans la premiere, nous etudions la notion de D-groupoıde de Lie au-dessus d'un disque de C. Nous donnons la liste de ces objets qui est une version singuliere de la liste des geometries de la droite donnee par S. Lie. Nous determinons ensuite les germes de diffeomorphismes ayant une petite D-enveloppe. Le comportement tres particulier de ces diffeomorphismes nous permet de prouver un theoreme de classification analytique des D-groupoıdes de Lie au-dessus d'un disque, analogue la version de J. Martinet et J.P. Ramis de la classification analytique des diffeomorphismes et d'illustrer certains calculs de J.Ecalle. Comme application de ces resultats nous montrons que les seules applications rationnelles de P1 ayant une petite D-enveloppe sont les monomes, les polynomes de<br />Tchebitchev et les exemples de Lattes. <br /> Dans une deuxieme partie, nous interpretons le groupoıde de Galois d'un feuilletage holomorphe singulier de codimension un sur un polydisque comme conditions d'integrabilites. Nous commencons par montrer l'equivalence entre la finitude du rang transverse du groupoıde de Galois et l'existence d'une suite de Godbillon-Vey de longueur inferieure a trois. Ces affirmations sont encore equivalentes a l'existence d'une integrale premiere d'un type de transcendance particulier appele Darboux, Liouville ou Riccati suivant les cas. Ces feuilletages sont ceux admettant une integrale premiere dans une extension fortement normale du corps des fonctions meromorphes au sens de E.R. Kolchin. En utilisant cette interpretation du groupoıde de Galois en terme d'integrales premieres, nous donnons les groupoıdes de Galois pour quelques feuilletages classiques : feuilletages a singularites reduites, lineaires et Hamiltoniens completement integrables.<br /> Dans une troisieme partie, nous expliquons comment l'interpretation du groupoıde de Galois d'un feuilletage<br />en terme d'integrales premiere s´etend au feuilletages de codimension quelconque. Nous utilisons de maniere<br />essentielle l'existence de structure geometriques invariantes sous l'action d'un D-groupoıde de Lie transitif. Dans le cas d'un groupoıde de Galois transitif de rang transverse fini, nous montrons, sous une hypothese<br />d'algebricite, l'existence d'un systeme complet d'integrales premieres dans une extension fortement normale.

L'étude des courbes entières dans les variétés complexes a déjà une longue histoire que l'on peut faire remonter au petit théorème de Picard. Les variétés complexes hyperboliques sont actuellement très étudiées notamment par les liens fascinants que l'hyperbolicité a avec la géométrie arithmétique. A la suite de Lang et Vojta, on dispose de conjectures sur les liens entre hyperbolicité analytique et arithmétique e.g. la densité des courbes entières et celle des points rationnels.On décrit dans ce texte de synthèse différentes approches possibles du problème de l'hyperbolicité: équations différentielles algébriques, structures orbifoldes et courants d'Ahlfors.