Cette thèse comporte trois chapitres indépendants portant sur l’itération des applicationsrationnelles sur des variétés projectives et plus spécifiquement sur l’étude du comportement dela suite des degrés des itérés de telles applications.Dans le premier chapitre, nous donnons une construction des invariants fondamentaux quesont les degrés dynamiques dans un cadre très général, et ce sans hypothèse ni sur la caractéristique ni sur les singularités de l’espace ambiant. Cette construction repose sur des propriétésde positivité des cycles algébriques, et propose une alternative aux approches analytiques deDinh et Sibony ou algébriques de Truong.Le second chapitre est issu d’un article écrit en commun avec Jian Xiao. Notre contributionporte sur des objets centraux en géométrie convexe appelés valuations. Nous transférons à l’espace des valuations des notions de positivité des cycles algébriques récemment introduites parLehmann et Xiao, ce qui nous permet d’étendre l’opération de convolution originellement définie par Bernig et Fu à une sous-classe de valuations suffisamment positives.Le troisième chapitre constitue le coeur de la thèse, et porte sur des estimations des degrésdynamiques des automorphismes dit modérés de la quadrique affine de dimension 3. Nos arguments sont de nature variée, et s’appuient sur l’action du groupe modéré sur un complexe carréCAT(0) et Gromov hyperbolique récemment introduite par Bisi, Furter et Lamy.Nous avons finalement collecté dans un dernier et court chapitre quelques pistes de recherchedirectement inspirées des travaux présentés ici. / This thesis is divided into three independent chapters on the iterates of rational maps on projective varieties and more specifically on the study of the growth of the degree sequences of the iterates of such maps. In the first chapter, we give a construction of the fundamental invariants called dynamical degrees. Our method holds in a very general setting, without any conditions on the characteristic of the field or on the singularities of the ambient space.This construction is based on the study of positivity properties of algebraic cycles and gives an alternative approach to the analytical technics of Dinh and Sibony or to the algebraic arguments of Truong.The second chapter is taken from an article written in joint work with Jian Xiao. Our paper focuses on central objects in convex geometry called valuations. We transfer some positivity notions of algebraic cycles recently introduced by Lehmann and Xiao, this allows us to extend the convolution operation defined by Bernig and Fu to a subspace of sufficiently positive valuations.The third chapter is the core of this thesis and focuses on the dynamical degrees of the so-called tame automorphisms of an affine quadric threefold. Our arguments are of various nature and rely on the action of the tame group on a CAT(0), Gromov hyperbolic square complex recently introduced by Bisi, Furter and Lamy. Finally, we have collected in the last chapter a few perpectives directly inspired by this work.

Titre de l'écran-titre (visionné le 20 novembre 2023) / Dans des conditions de faible contrainte, l'absence de confinement peut causer des chutes de blocs, un type d'instabilité critique des excavations souterraines. Il est essentiel de considérer à la fois le réseau de fractures du massif rocheux et la géométrie de l'ouverture dans les analyses de stabilité. Toutefois, les outils actuels d'analyse de stabilité des instabilités structurales se limitent à des représentations simplifiées de la géométrie des excavations et ne prennent pas en compte les caractéristiques géométriques détaillées ni la distribution spatiale des discontinuités. De ce fait, ces outils ne sont donc pas intégrés aux processus de conception des excavations minières. Ce mémoire développe une approche numérique améliorée pour l'évaluation des aléas de chutes de blocs tétraédriques formés à la surface des ouvertures minières souterraines. Elle considère la complexité du régime structural en implémentant la modélisation de fractures, mieux connu sous le nom de Discrete Fracture Network (DFN). L'approche développée utilise comme intrant une surface triangulée détaillée de l'excavation souterraine avec des dimensions et inclinaisons variables. Elle permet d'intégrer les résultats de l'analyse aux outils de conception assisté par ordinateur (CAO) minière utilisés dans l'industrie. Une analyse détaillée a montré que la simplification excessive de la géométrie de l'excavation peut entraîner une évaluation inadéquate de la formation des blocs rocheux. Une analyse plus approfondie a également permis d'identifier des blocs allongés non critiques pour la stabilité et des blocs potentiellement instables partiellement formés due à un pont rocheux intact à l'apex. La méthodologie développée a été appliquée avec succès à un cas d'étude de chute de bloc au toit d'une excavation minière souterraine de géométrie complexe en contexte minier en opération. / Geological discontinuities have a large impact on the rock mass behavior in underground excavations. Under low-stress conditions, structurally controlled wedge failure is one of the most critical types of rock instability. The stability analysis must integrate both the rock mass fracture network and the geometry of the opening. However, current wedge stability analysis tools do not typically examine the detailed geometrical characteristics of the rock discontinuities and are limited to simplified representations of excavation geometry, not allowing analysis of excavation surfaces with complex geometries. Consequently, these analysis tools are not integrated into the excavation design processes in the mining industry. This thesis reports on the development of a comprehensive and more rational numerical approach to assess wedge formation around underground mine openings. The approach considers the structural rock mass complexity using Discrete Fracture Network (DFN) modelling and the detailed 3D underground excavation profile obtained from surveying. The approach allows for integrating the analysis results into the Computer-Aided Design (CAD) mine design tools used in the industry. A detailed investigation of the 3D profile and shape of the excavation indicated that an oversimplification of the excavation geometry in the stability analysis can result in an inadequate assessment of wedge formation. Further analyses have allowed us to identify elongated wedges that may not be critical from a stability perspective and wedges that were not entirely formed in the DFN model but may still be critical for the stability of the excavation. The developed methodology was successfully applied to estimate wedges' formation around an underground mine excavation.

Actuellement, la réduction du bruit des avions aux environs aéroportuaires est devenue un enjeu socio-économique majeur. Très coûteuses en temps de calcul pour les hautes fréquences, les méthodes de calcul exact utilisées sont limitées aux moyennes et basses fréquences. Il est donc primordial de se tourner vers une méthode asymptotique, valable en hautes fréquences. Dans ce contexte, la mise au point d’un outil capable de prédire numériquement le bruit dans les nacelles, depuis sa génération, sa propagation en milieu ambiant, puis son rayonnement en champ lointain est de grande importance. Le développement de cet outil fait l’objet du projet confié au Groupe d’Acoustique de l’Université de Sherbrooke par le motoriste PWC. Il permettrait à ce dernier de faire des études pour optimiser les traitements acoustiques (" liners ") et améliorer le design des nacelles, et en conséquence réduire les coûts lors de la phase de conception. L’objectif de cette maîtrise consiste à simuler la propagation acoustique à l’intérieur d’une structure axisymétrique de longueur quelconque (finie ou infinie) et son rayonnement en champ lointain en utilisant l’approche géométrique. Puis valider par l’étude de différents cas avec d’autres méthodes telles que la méthode statistique SEA, analyse modale, FEM ou BEM. Le code ainsi développé à l’heure actuelle permet de calculer toutes les caractéristiques des rayons convergents à la suite de la propagation des faisceaux en provenance d’une sphère ou d’une demi-sphère maillées ou à partir du maillage des surfaces de la géométrie elle-même. Ensuite, il procède à la reconstruction du champ de pression en un ou plusieurs points de l’espace, aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur de l’environnement de l’étude, et ce en optant pour une sommation cohérente des contributions de tous les rayons convergents. L’implantation du code prend en compte les traitements acoustiques de surfaces. Le code peut être utilisé pour tout autre environnement complexe axisymétrique tel que les nacelles des turboréacteurs.

L'imagerie par résonance magnétique (IRM) est la seule technique non invasive d'imagerie médicale qui permet la reconstruction de l'architecture neuronale du cerveau. Cette approche est fondamentale pour le domaine des neurosciences, qui tente continuellement de développer de nouveaux outils et modèles pour mieux détecter et étudier les maladies mentales et neurodégénératives, les troubles du développement, les tumeurs, les commotions, ainsi que plusieurs autres pathologies du cerveau humain. L'IRM de diffusion (IRMd) combinée à la tractographie rend possible l'extraction de l'information structurelle sur les fibres nerveuses. Ces méthodes permettent de visualiser, d'analyser et d'évaluer l'intégrité de la matière blanche, ceci afin d'identifier la présence d'anomalies le long des axones, causées par la démyélinisation, la mort axonale ou d'autres détériorations. La problématique est que ces méthodes ont une faible résolution comparée à une surface ou une image anatomique IRM. L'IRMd est limitée par son faible rapport signal sur bruit (SNR) et l'effet de volume partiel causé par la discrétisation. Certains modèles géométriques ont récemment été utilisés pour mieux modéliser l'expansion corticale, la topologie des plis corticaux et l'organisation des couches de la matière grise. Toutefois, ces modèles fournissent seulement de l'information sur l'organisation du cortex et non pas sur la matière blanche comme telle, ni sur la structure des neurones. Cette recherche vise à modéliser la structure complexe des fibres de la matière blanche à l'aide d'équations différentielles et de flots géométriques. Ce mémoire présente différents modèles mathématiques (surface et flot) ainsi que leur intégration avec la méthode des différences finies. Nous proposons également d'utiliser un maillage de la surface corticale afin d'améliorer la précision de l'IRMd et de limiter l'effet de volume partiel. Validée qualitativement et quantitativement avec l'aide d'acquisitions hautes résolutions du Human Connectome Project (HCP) et d'un jeu de données de reproductibilité de test-retest, cette méthode permet d'améliorer la tractographie. Les résultats de ces travaux permettront de faire le pont entre l'imagerie de diffusion (IRMd) et les modalités propres à l'imagerie fonctionnelle (EEG, MEG, IRMf et TMS), pour lesquelles la structure des axones situés sous le cortex est essentielle pour bien modéliser et comprendre le fonctionnement cérébral.

Un nouvel point de vue est proposé pour la simulation des plasmas utilisant le modèle cinétique qui couple les équations de Vlasov pour la distribution des particules et les équations de Maxwell pour la contribution des champs électromagnétique. On part du principe que les équations de la Physique sont des objets mathématiques qui mettent en relation des objets géométriques. Afin de conserver les propriètés géométriques des différents objets intervenant dans une équation, on utilise, pour l'étude théorique et numérique, la géométrie différentielle. Il s'avère que toutes les équations de la Physique peuvent s'écrire à l'aide des formes différentielles et que sous ce point de vue celles-ci sont indépendantes du choix des coordonnées. On propose alors une discrétisation des formes différentielles en utilisant les B-splines comme fonctions d'interpolation. Afin d'être cohérent avec la théorie, on proposera également une discrétisation des différentes opérations de la géométrie différentielle agissant sur les formes différentielles. On teste notre schéma tout d'abord sur les équations de Maxwell avec plusieurs conditions aux bords et puisque ce schéma numérique obtenu est indépendant du système de coordonnées, on le teste également lorsque l'on effectue un changement de coordonnées. Enfin, on applique la même méthode sur les équations de Vlasov-Poisson 1D et on propose plusieurs schémas numériques.

The aim of this text is to give an accessible overview to some recent results concerning contact manifolds and their symplectic fillings. In particular, we work out the weakest compatibility conditions between a symplectic manifold and a contact structure on its boundary to still be able to obtain a sensible theory (Chapter II), furthermore we prove two results (Theorem A and B in Section I.4) that show how certain submanifolds inside a contact manifold obstruct the existence of a symplectic filling or influence its topology. We conclude by giving several constructions of contact manifolds that for different reasons do not admit a symplectic filling.

Ce travail cherche a comprendre comment l'ajout d'une géométrie non euclidienne dans un problème de Schrödinger non linéaire influe sur l'existence et l'unicité des solutions explosives de masse critique. On s'inspire pour beaucoup des travaux de Merle et Raphaël sur la méthode de modulation des paramètres d'invariance géométrique pour une EDP qui possède de bonnes lois de conservations. On s'appuie ici plus particulièrement sur un article de Raphaël et Szeftel qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution de masse critique en dimension 2 pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec potentiel d'inhomogénéité devant la non-linéarité, et qui explose par ailleurs au maximum de l'inhomogénéité. Dans un premier temps, il s'agit de reprendre la méthode dans son ensemble afin de l'adapter à des cas où le Laplacien n'est plus plat, et est remplacé par un opérateur de type Laplace-Beltrami ou Laplacien généralisé. Ayant mis en avant le rôle de la courbure au point d'explosion, en termes de conditions sur les dérivées de termes métriques, on reprend dans un deuxième temps l'étude dans le cas plus général d'une variété riemannienne. Grâce à un ansatz sur la solution qui intègre maintenant la transformation induite par la métrique, on est capable d'énoncer un résultat d'existence et d'unicité en termes de conditions géométriques sur la variété elle même. Par soucis de simplicité, on se limite néanmoins au rôle local de la métrique, en la supposant globalement définie dans une certaine carte, et asymptotiquement équivalente a la métrique euclidienne.

La tomographie par émission de positrons est une technique d'imagerie nucléaire utilisant des noyaux radioactifs. Elle est utilisée dans le domaine clinique et préclinique. Cette dernière nécessite l'utilisation de petits animaux, comme la souris. Comme en imagerie clinique, l'objectif est d'obtenir le meilleur signal avec la meilleure précision spatiale possible. Cependant, un rapport d'échelle homme-souris suggère une résolution inférieure à 1 mm3. Un imageur conventionnel est constitué de modules de détection entourant le patient, orientés radialement. Cette approche lie efficacité et résolution spatiale. Ce travail concerne l'étude de la géométrie axiale. Les éléments de détection sont ici orientés parallèlement à l'objet. Ceci limite la corrélation entre efficacité de détection et résolution spatiale, et ainsi permet d'obtenir une haute résolution et haute sensibilité. La simulation de prototypes a permis d'envisager une résolution spatiale moyenne inférieure au millimètre et une efficacité de 15 ou 40% selon l'extension axiale. Ces résultats permettent de présager de bonnes perspectives en imageries préclinique et clinique.

Le mouvement Nouvelle tendance (NT) est un groupe international d’artistes formé pendantles années soixante (1961 - 1973) autour d’un programme d’expositions de la Galerie d’ArtContemporain (Galerija suvremene umjetnosti) de Zagreb. Au cours de son existence, lemouvement NT a rassemblé presque deux cents artistes et plusieurs groupes tels que GRAV,T, N, Zero, Equipo 57, Dvizhenije, MID etc. La première étape de ce mouvement jusqu’en 1968est caractérisée par l’abstraction géometrique et l’art lumino-cinétique tandis que dans laseconde partie (1968 -1973), Nouvelle tendance ouvre le chapitre de l’art numérique. / New Tendancy movement (NT) is an international group of artists united in the sixties(1961 - 1973) around the exhibition programme at the Gallery of Contemporary Art (Galerijasuvremene umjetnosti) in Zagreb. During its existence, the movement gathered around twohundred artists and differents groups such as GRAV, T, N, Zero, Equipo 57, Dvizhenije, MID etc.The first phase of the movement that lasted until 1968 was characterized by the geometricabstraction and lumino-kinetic art. During the second phase, New Tendancy opened thechapter of numerical arts.

Cette thèse présente une étude sur les rotations dans les espaces discrets en 2 dimensions et en 3 dimensions. Dans le cadre de l'informatique, l'utilisation des nombres flottants n'est pas recommandée du fait des erreurs de calculs que cela implique. Nous avons donc fait le choix de nous concentrer sur les espaces discrets. Dans le domaine de la vision par ordinateur, la rotation est une transformation requise pour de nombreuses applications. L'utilisation de la rotation continue discrétisée donne des résultats de mauvaise qualité. Pour cette raison, il est nécessaire de développer de nouvelles méthodes de rotation adaptées aux espaces discrets. Nous nous sommes principalement intéressés aux angles charnières qui représentent la discontinuité de la rotation dans les espaces discrets. Dans ces espaces, deux rotations d'une image avec deux angles très proches peuvent donner le même résultat, ce qui est capturé par les angles charnières. L'utilisation de ces angles permet de décrire une rotation qui donne les mêmes résultats que la rotation continue discrétisée tout en n'utilisant que des nombres entiers. Ils permettent aussi de définir une rotation incrémentale qui décrit toutes les rotations possibles d'une image digitale donnée. Les angles charnières peuvent être étendus dans les espaces discrets en trois dimensions. Pour cela, on définit les multi-grilles qui sont des plans de rotations contenant trois ensembles de droites parallèles. Elles représentent les discontinuités de la rotation en 3D. Les multi-grilles permettent d'obtenir les mêmes résultats en 3D que ceux obtenus en 2D / This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations. This thesis presents a study on rotation in 2 dimensional and 3 dimensional discrete spaces. In computer science, using floating numbers is problematic due to computation errors. Thus we chose during this thesis to work only in discrete space. In the field of computer vision, the rotation is a transformation required for many applications. Using discretized Euclidean rotation gives bad results. Then, it is necessary to develop new rotation methods adapted to the discrete spaces. We mainly studied the hinge angles that represent the discontinuity of the rotation in the discrete space. Indeed, it is possible to perform two rotations of the same digital image with two angles that are slightly different and obtain the same result. This is captured by hinge angles. Using these angles allow us to describe a discrete rotation that gives the same results than the discretized Euclidean rotation without using floating numbers. They also allow describing an incremental rotation that performs all possible rotations of a given digital image. Using hinge angles can also be extended to the rotations in 3 dimensional discrete spaces. The extension requires the multi-grids that are rotation planes containing three sets of parallel lines. These parallel lines represent the discontinuities of the rotation in 3D discrete space. Thus they are useful to describe the hinge angles in rotation planes. Multi-grids allow obtaining the same results in 3D discrete rotations than the results obtained in 2D discrete rotations