En el presente trabajo se introduce el concepto de curva algebraica afín y se presenta el proceso de compactificación como curvas algebraicas proyectivas. El objetivo de la tesis es presentar una demostración geométrica de la fórmula “grado género” de una curva lisa. Este teorema relaciona el género topológico de una curva con su grado algebraico. / Tesis

Das zuverlässige und schonende Greifen ist ein Hauptanliegen bei der Entwicklung von neuartigen Greifvorrichtungen. Je größer die Kontaktfläche zwischen dem Greifer und dem Greifobjekt ist, desto schonender und zuverlässiger ist der Greifvorgang. Um dieses Ziel zu erreichen wurden in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Untersuchungen zu adaptiven passiven Greifern durchgeführt. Ein neuer Forschungszweig im Bereich selbstadaptiver Greifer sind Greifer mit nachgiebigen blattfederartigen Greifelementen (Greiferfinger) Die Funktionsweise basiert auf dem elastischen Ausknicken der Greifelemente infolge einer translatorische Antriebsbewegung Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Verbesserung des Greifvorgangs, indem die Kontaktlänge zwischen den blattfederartigen Greiferfingern und dem zu greifenden Objekt deutlich erhöht wird. Um diese Aufgabenstellung zu lösen, muss eine geeignete Greifergeometrie für ein gegebenes Greifobjekt berechnet werden. Die gezielte Berechnung der erfoderlichen Greifergeometrie für ein bekanntes Greifobjekt ist nicht möglich. Daher wurde als Lösungsansatz die umkehrte Richtung gewählt. Für eine definierte Greifgeometrie wird die Gestalt des dazu passenden “idealen” Greifobjektes ermittelt und anschließend mit der Gestalt zu greifenden Objektes verglichen. Bei Gestaltabweichungen wird die Greifergeometrie iterative verändert, bis seine geeignete Greifergeometrie gefunden wurde. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird zunächst die Ermittlung des “idealen” Greifobjektes behandelt. Es wurde ein Algorithmus entwickelt, der für eine vorgegebene Greifergeometrie die Gestalt eines runden bzw. elliptischen Objektes ermittelt. Der Algorithmus verwendet als Eingabedaten die Biegelinien der elastisch ausgeknickten Greiffinger unter Berücksichtigung unterschiedlicher Randbedingungen. Als Ausgabedaten liefert der Algorithmus die Gestalt des passenden Greifobjektes zurück. Für quadratische bzw. rechteckige sowie für dreieckige Objekte wurden unterschiedliche Greifgeometrien untersucht. Außerdem wird für quadratische und rechteckige Objekte das Lösungskonzept für die Entwicklung eines weiteren Algorithmus beschrieben. In Kapitel 1 wird eine Klassifizierung von Greifern basierend auf der Anpassungsfähigkeit vorgestellt. In Kapitel 2 werden Lösungskonzepte, Modelle und Theorien vorgestellt. In Kapitel 3 werden Ablaufdiagramme der Algorithmen dargestellt. In Kapitel 4 wird die Entwicklung des Algorithmus für elliptische Objekte und deren Betriebsmodi beschrieben. In Kapitel 5 werden Greifgeometrien für quadratische bzw. Rechteckige sowie für dreieckige Objekte analysiert und die Ideen eines Algorithmus für quadratisch bzw. rechteckige Objekte beschrieben. In Kapitel 6 wird ein kurzer Überblick über die zukünftige Arbeiten. / Reliable and gentle gripping is a major concern in the development of new gripping devices. The larger contact surface between the gripper and the gripping object, the gentler and more reliable the gripping process. In order to achieve this goal, further investigations on adaptive passive grippers have been carried out in the recent decades. A new branch of research in the field of self-adaptive grippers are compliant leaf-spring-like gripping elements (gripper fingers). Its mode of operation is based on the elastic buckling of the gripping elements as a result of a translatory drive movement. The present work focuses on improving the gripping process by increasing significantly the contact length between the compliant leaf-spring-like gripper fingers and the object to be gripped. In order to solve this task, a suitable gripper geometry for a given gripping object should be calculated The specific calculation of the required gripper geometry for a known gripping object is not possible; therefore, this work aims in the opposite direction. For a defined gripping geometry, the shape of the matching “ideal” gripping object is determined and then compared with the desired object to be gripped. In case of a deviation in the size, the gripper geometry is iteratively changed until its suitable gripper geometry has been found. In the present work, the determination of the “ideal” gripping object is the first task to deal with. An algorithm has been developed to determine the shape of a round-elliptical object for a given gripper geometry. The algorithm uses as data input the bend lines of the compliant twogripper finger under different boundary conditions. As data output, the algorithm returns the shape of the matching gripping object. For square-rectangular and triangular objects, different gripping geometries have been investigated. Furthermore, for square-rectangular objects, solution concepts for the development of an algorithm is described. In chapter 1, a classification based on adaptability is presented. In chapter 2, solution concepts, models and theories involved are introduced. In chapter 3, process flow diagrams of the algorithms are presented. In chapter 4, the development of the algorithm for elliptical objects and its operation modes are described. In chapter 5, gripping geometries for square-rectangular and triangular objects are analysed and the ideas of an algorithm for square-rectangular objects are described. In chapter 6, a brief overview of the futur work is commented. / Tesis

En la época que estamos viviendo, el manejo de la información toma una presencia muy importante en la toma de decisiones. La teoría de códigos surge en el mejoramiento de la transmisión de datos, desde las primeras computadoras hasta las súper computadoras que tenemos hoy en día; no pasó mucho tiempo para que se establecieran las bases teóricas que sustentaran el desarrollo vertiginoso que se ha dado hasta hoy. Empezando como simples subconjuntos, los códigos cobraron fuerza al ser vistos como subespacios vectoriales de dimensión finita. Lógicamente, al estar íntimamente ligadas el ´algebra con la geometría; no es de extrañarse el surgimiento, con la ayuda de la teoría de cuerpo de funciones algebraicas, de los códigos algebro-geométricos o mejor conocidos como códigos de Goppa. La teoría de códigos es una gran área de investigación, que con ayuda de la tecnología se complementan en busca de mejoras. En este trabajo de tesis, estudiaremos los códigos algebro-geométricos para la codificación y la aplicación de las bases de Gröbner para la decodificación de los mismos. / At the time that we are living, information management takes a very important presence in decision making. Code theory arises in the improvement of the transmission of data, from the first computers to the super computers we have today; it didn’t take long for me to know establish the theoretical bases that would sustain the vertiginous development that has given until today. Starting as simple subsets, the codes gained momentum when viewed as finitedimensional vector subspaces. Logically, being intimately linked algebra with geometry; no wonder the emergence, with the help of the field theory of algebraic functions, of the algebro-geometric codes or better known as Goppa codes. The theory of codes is a large area of research, which with the help of tecnology, they complement each other in search of improvements. In this thesis work, we’ll study the alegbro-geometric codes for the coding and the application of bases Gr¨obner for the decoding of them. / Tesis

La presente investigación emerge luego de identificar las dificultades que presentan los alumnos al estudiar la derivada y el énfasis que pone la enseñanza de este objeto matemático en desarrollos formales y algorítmicos, dejando de lado las ideas geométricas. Por ello, nos interesa comprender y estudiar el trabajo matemático personal de los estudiantes de Ingeniería cuando resuelven tareas sobre la interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real. Para alcanzar este propósito, utilizamos, como fundamento teórico, la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y, como metodología de investigación, aspectos de la Ingeniería Didáctica. La parte experimental de la investigación se realiza con 15 estudiantes de primer año de la carrera profesional de Ingeniería de Sistemas de la Universidad Nacional de Moquegua (UNAM), a quienes se les aplicó las tareas propuestas. Para ello, se elabora dos tareas: la tarea exploratoria y la tarea I, diseñadas con la finalidad de identificar las génesis que se activan en el estudiante, así como analizar qué planos logran activar al enfrentarse a las tareas propuestas. Así también, con los recursos del ETM, identificar en qué paradigmas del dominio del Análisis enmarca su trabajo matemático. En base a las acciones de los estudiantes, concluimos que los alumnos evidencian la activación del Plano Semiótico- Instrumental y el Plano Instrumental-Discurso al resolver tareas sobre la interpretación geométrica de la derivada. / This research emerges after identifying the difficulties that students have when studying the derivative and the emphasis placed on teaching this mathematical object in formal and algorithmic developments, leaving aside geometric ideas. Therefore, we are interested in understanding, studying the personal mathematical work of engineering students when they solve tasks about the geometric interpretation of the derivative of a real function of real variable. To achieve this purpose, we use the Theory of the Mathematical Workspace (MWS) as a theoretical basis and as a research methodology aspect of Didactic Engineering. The experimental part of the research is carried out with fifteen students of the Systems Engineering professional career of the National University of Moquegua to whom the proposed tasks were applied. For this, two tasks are elaborated: exploratory task and task I, designed with the purpose of identifying the genesis that is activated in the student, as well as analyzing what plans they manage to activate when facing the proposed tasks. Similarly, with the resources of the MWS identify in which paradigms of the Analysis domain they frame their mathematical work. Based on the actions of the students, we conclude that the students demonstrate the activation of the Semiotic-Instrumental plane and the Instrumental-Discursive plane when solving tasks on the geometric interpretation of the derivative.

La investigación parte de las dificultades y problemas detectados en el aprendizaje del Dibujo Técnico en los alumnos de bachillerato dentro del aula. Desde este punto de partida nos planteamos, intentar mejorar la calidad de la enseñanza, ayudando a los alumnos a desarrollar la capacidad espacial y el razonamiento abstracto con un aprendizaje no memorístico aportando una nueva metodología educativa, basada en el empleo de programas informáticos (procesadores matemáticos) como Cabri 2D-3D, unido a la optimización de los recursos existentes en la mayoría de los centros, se crea un nuevo espacio educativo; el alumno ya no sólo aprende en clase sino que dado su mayor nivel de compromiso en el proceso de aprendizaje: trabaja, dibuja, pregunta fuera del aula, se rompe espacio temporal tradicional, optimiza así su tiempo y obtiene mejores resultados con el esfuerzo realizado. Este mayor compromiso del alumno en su aprendizaje hace que el profesor sea un inductor o conductor de todo el proceso, no sólo dentro del aula, no debemos olvidar que la figura del profesor no se elimina en ningún caso, y que se puede trabajar desde cualquier otro lugar, desde la WEB de clase. Tras un largo proceso de reflexión y búsqueda de trabajos realizados anteriormente, analizando las aportaciones y propuestas de los diferentes autores, realizando prácticas con los alumnos, unido al seguimiento de cursos para profesores y sobre todo la valoración de las ventajas e inconvenientes del método propuesto realizado por los diferentes indicadores utilizados, podemos afirmar que tras la experiencia y los resultados obtenidos queda demostrado que: - Los alumnos con ejercicios adecuados, desarrollan sus capacidades espaciales con un aprendizaje progresivo, interactivo, no memorístico y creativo. Los alumnos con mayores dificultades de aprendizaje, en general mejoran sus resultados. Los alumnos pueden llevar diferentes ritmos de trabajo y/o aprendizaje. Aumenta en general el interés de los alumnos por el Dibujo Técnico. Aumenta el interés en aquellos alumnos que con la enseñanza tradicional estaban desmotivados y/o en riesgo de abandonar la materia. Mejoran en la exactitud del trazado y reducen el tiempo de trabajo aprovechando las ventajas de las nuevas tecnologías. Disponer de estas nuevas herramientas y aplicaciones para el aula es tarea de 'todos' y llegar a la integración real de las TIC dentro de las programaciones didácticas del Dibujo Técnico, es el objeto de esta investigación. / Torres Buitrago, RJ. (2010). Aplicación de la metodología interactiva del dibujo técnico en la enseñanza secundaria con el programa CABRI 2D-3D [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/7028

Accident rate is one of the main problems facing society. In Spain, 80% of accidents occur in two-lane two ways roads. Throughout the year 2015, the number of crashes with victims on these roads amounted to 23729, of which 971 were dead. The most used criteria to analyze the behavior of the drivers are based on the study of the operating speed profile, considered as the 85th percentile of the speed distribution of light vehicle driving under free flow. This speed is easy to determine when the road is already built, however, during the planning phase and the design phase, it will be necessary to estimate it. That is why in this study, different operating speeds models are calibrated to estimate the behavior of drivers of light vehicles on the Spanish two-lane highways in the different elements of the road. In order to analyze drivers behavior, both the velocity data and the geometric characteristics of the elements of the road are necessary. Speed data used in this study are, on the one hand, continuous speed collected during the year 2008, framed in the research project " REVEL-Una metodología para la REVisión de los límites de VELocidad " (PT-2006-031 -25IAPP) and, on the other hand, spot speed data collected in 2016 at the midpoint of some curves whose radii have been selected to complete the available data to have a wide sample of speeds developed in the curves of the Spanish two-lane two ways roads. Geometric characteristics of the elements of the layout have been obtained using a new methodology, more precise than those developed up to date. The delineation of the center line has been identified from orthophotos and elevation points from LIDAR both provided by the Plan Nacional de Ortofotografía Aérea (PNOA). In this study, in addition to the geometric variables of the plot, the operational variables of the adjacent elements have been considered in order to determine if there is a relationship between the velocities developed in the curves and those reached in the tangents. Therefore, the models proposed in this doctoral thesis will be of great use in the study of drivers behavior in the road planning phase, since it will be possible to estimate the speeds of the drivers before it is built, but also in the phase of exploitation of the road from the geometry and operational variables, thus improving road safety. / La siniestralidad en carretera es uno de los principales problemas a los que se enfrenta la sociedad. En España, el 80% de los accidentes de tráfico se producen en carreteras convencionales. A lo largo del año 2015, el número de accidentes con víctimas en estas carreteras ascendió a 23729, de los cuales resultaron 971 fallecidos. Los criterios más utilizados para analizar el comportamiento de los conductores están basados en el estudio del perfil de velocidad de operación, considerada como el percentil 85 de la distribución de velocidades de vehículos ligeros circulando en flujo libre. Esta velocidad es sencilla de determinar cuando la carretera ya está construida; sin embargo, durante la fase de planeamiento y diseño será necesario estimarla. Es por ello que en este estudio se calibran diferentes modelos de velocidades de operación que estimen el comportamiento de los conductores de vehículos ligeros en las carreteras convencionales españolas en los distintos elementos que conforman el trazado. Para analizar cómo se comportan los conductores son necesarios tanto los datos de velocidades como las características geométricas de los elementos del trazado en los que se desarrollan. Los datos de velocidades empleados en este estudio son, por un lado, datos continuos de velocidades recogidos a lo largo del año 2008, enmarcados en el proyecto de investigación "REVEL-Una metodología para la REvisión de los límites de VELocidad" (PT-2006-031-25IAPP); y, por otro, datos de velocidades puntuales recogidos en el año 2016 en el punto medio de ciertas curvas cuyos radios han sido seleccionados para completar los datos disponibles y así tener una muestra lo más amplia posible de las velocidades desarrolladas en las curvas de las carreteras convencionales españolas. Las características geométricas de los elementos del trazado se han obtenido empleando una nueva metodología, más precisa que las desarrolladas hasta la fecha. La restitución de la geometría en planta se ha realizado a partir de la ortofoto del lugar, mientras que para la restitución en alzado se han empleado las nubes de puntos que contienen la información altimétrica; ambas proporcionadas por el Plan Nacional de Ortofotografía Aérea (PNOA). En este estudio, además de las variables geométricas del trazado, se han considerado las variables operacionales de los elementos adyacentes, de tal modo que se determine si hay relación entre las velocidades desarrolladas en las curvas y las alcanzadas en las rectas. Por tanto, los modelos planteados en este trabajo doctoral serán de gran utilidad en el estudio del comportamiento de los conductores tanto en las carreteras en fase de planeamiento, ya que será posible estimar las velocidades de los conductores antes incluso de que se haya construido la vía a partir de la geometría del trazado, como en la fase de explotación de la misma a partir de la geometría y de variables operacionales, mejorando así la seguridad vial. / La sinistralitat és un dels principals problemes als que s'enfronta la societat. A Espanya, el 80% dels accidents es produeixen en carreteres convencionals. Al llarg de l'any 2015, el nombre d'accidents amb víctimes en aquestes carreteres va ascendir a 23729, dels quals 971 van resultar mortals. Els criteris més utilitzats per analitzar el comportament dels conductors estan basats en l'estudi del perfil de velocitat d'operació, considerada com el percentil 85 de la distribució de velocitats de vehicles lleugers circulant en flux lliure. Aquesta velocitat és senzilla de determinar quan la carretera ja està construïda, però, durant la fase de planejament i disseny caldrà estimar-la. És per això que en aquest estudi es calibren diferents models de velocitats d'operació que estimen el comportament dels conductors de vehicles lleugers en les carreteres convencionals espanyoles en els distints elements que conformen el traçat. Per analitzar com es comporten els conductors són necessàries tant les dades de velocitats com les característiques geomètriques dels elements del traçat en els que es desenvolupen. Les dades de velocitats emprades en aquest estudi són, per una banda, dades contínues de velocitats recollides al llarg de l'any 2008 emmarcades en el projecte d'investigació "REVEL-Una metodología para la REVisión de los límites de VELocidad" (PT-2006-031-25IAPP), i per altra banda dades de velocitats puntuals recollides a l'any 2016 en el punt mitjà de certes corbes el radi de les quals han segut seleccionats per completar les dades disponibles i així obtenir una mostra el més ampla possible de les velocitats desenvolupades en les corbes de les carreteres convencionals espanyoles. Les característiques geomètriques dels elements del traçat s'han obtingut emprant una nova metodologia, més precisa que les desenvolupades fins la data. La restitució de la geometria en planta s'ha realitzat a partir de l'ortofoto del lloc, mentre que per a la restitució en alçat s'han emprat els núvols de punts que contenen la informació altimètrica; ambdues proporcionades pel Pla Nacional d'Ortografia Aèria (PNOA). En aquest estudi, a més de les variables geomètriques del traçat s'han considerat les variables operacionals del elements adjacents de manera que es determina si hi ha relació entre les velocitats desenvolupades en les corbes i les assolides en les rectes. Per tant, els models plantejats en aquest treball doctoral seran de gran utilitat en l'estudi del comportament dels conductors, tant en les carreteres en fase de planejament, ja que serà possible estimar les velocitats dels conductors abans inclús de que s'haja construït la via a partir de la geometria del traçat, com en la fase d'explotació de la mateixa, a partir de la geometria i de variables operacionals, millorant així la seguretat vial. / García Jiménez, ME. (2017). DESARROLLO DE MODELOS DE VELOCIDAD DE OPERACIÓN DE VEHÍCULOS LIGEROS EN CARRETERAS CONVENCIONALES, CONSIDERANDO SUS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS Y OPERACIONALES [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/86165

El presente trabajo tiene como objetivo analizar cómo los estudiantes de Humanidades realizan transformaciones entre los registros gráfico y algebraico de la función por tramos, en una secuencia mediada por el GeoGebra en una universidad privada en Lima, Perú. Para dicho trabajo, hemos revisado antecedentes de investigación, los cuales tienen relación con nuestro estudio abordando dos aspectos importantes: el objeto matemático la función por tramos y la mediación a través de un Software en el desarrollo de actividades que involucren la función por tramos. Todo lo mencionado ha ayudado a elaborar nuestras actividades, teniendo presente la importancia del Software en el desarrollo de las mismas como una herramienta de apoyo en la construcción de las actividades, en nuestro caso, el GeoGebra. Además, se justifica el desarrollo de nuestro trabajo de investigación en aspectos académicos, personales y profesionales para mostrar la importancia de la realización de la tesis de investigación. Se ha empleado, como marco teórico, aspectos de la Teoría de Registros de Representación Semiótica (TRRS) porque nos brindará las herramientas necesarias para nuestro trabajo en el aspecto de analizar las conversiones y tratamientos que se pueden dar entre distintos registros de representación. La metodología empleada en nuestro trabajo, dado a su corte cualitativo, se basa en describir lo realizado por nuestros sujetos de investigación y de esta forma alcanzar nuestro objetivo. Para la parte experimental, se ha seleccionado a dos estudiantes que han participado en las dos actividades, donde una de ellas es mediada por el GeoGebra. Finalmente, creemos que el Software GeoGebra, juega un rol importante al mostrar la formación de la representación gráfica a través de la simulación de la situación planteada y de esta forma se diferencia de las actividades tradicionales, cuyas representaciones gráficas son estáticas, y el marco teórico de la TRRS nos permite poder explicar cómo se realiza la conversión y tratamiento en las representaciones de un registro a otro.

Let K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair ) defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture. / Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica zero. La Conjetura del Jacobiano en dimensión dos postulada por Keller en [8] dice que cualquier par de polinomios P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (un par Jacobiano) define un automofismo de L via x-> P and y -> Q. Resulta que los polígonos de Newton de tal par de polinomios están relacionados íntimamente, y al analizarlos, mucha información puede ser obtenida sobre condiciones que un par Jacobiano debe satisfacer. Específicamente, si existe un par Jacobiano que no define un automorfismo (un contraejemplo) entonces sus polígonos de Newton deben satisfacer condiciones geométricas bastante restrictivas. Basado en gran parte en el trabajo en [1], presentamos un algoritmo para dar una descripción geométrica precisa de posibles contraejemplos. Esto significa que, asumiendo que (P;Q) es un contraejemplo a la Conjetura del Jacobiano con gcd(deg(P); deg(Q)) = k, podemos generar las posibles formas del Polígono de Newton de P y Q y cómo se transforman bajo ciertos automorfismos lineales. Al analizar los posibles contraejemplos minimales, esbozamos un camino para incrementar la cota inferior de max(deg(P); deg(Q)) a 125 para un posible contraejemplo minimal a la Conjetura del Jacobiano. / Tesis

En el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa. / In this thesis work we will study some geometric aspects of the convex envelope of a trajectory of planar Brownian motion in a certain time interval. More precisely, we will study the perimeter, area, and diameter of said convex envelope. In the rst chapter, we will review the planar Brownian motion and some of its properties such as the re ection principle, Lévy's triple law and the arcsine law that will serve as a theoretical basis to justify the bounds established by James McRedmond and Chang. Xu to estimate the expected diameter of said convex envelope. In the second chapter, the main properties of convex bodies and the convex envelope of a curve will be studied, where the properties that will allow us to justify more clearly Cauchy's formula for the perimeter and area of a convex body will be developed. In the third chapter, the Cauchy formula will be used as the main theorem to justify what was found explicitly for both the expected perimeter and the expected area of the convex envelope of the path of a planar Brownian motion up to the instant t = 1. By Finally, in the fourth chapter, the Lévy triple will be used as the main theorem for the development of the estimation of the diameter of said convex envelope. / Tesis

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis