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A lo largo de esta tesis estudiamos la geometría global de las superficies espaciales, y maximales en particular, en espacios producto lorentzianos. En primer lugar generalizamos el teorema de Calabi-Bernstein al caso de superficies maximales en un producto lorentziano. También estudiamos algunos problemas locales, que a posteriori tendrán importantes repercusiones globales. Los producto lorentzianos forman parte de la familia de los espacios de Robertson-Walker generalizados, al igual que los espacios tipo steady state. Las superficies equivalentes a las superficies maximales en un espacio tipo steady state son las superficies espaciales con H=1. En este contexto damos un resultado de unicidad para superficies espaciales completas con curvatura media constante acotadas del infinito en un espacio tipo steady state. Por último consideramos superficies espaciales con curvatura de Gauss constante en espacios producto, tanto lorentzianos como riemannianos. En este caso obtenemos algunos resultados de tipo Calabi-Bernstein cuando M es la esfera S2. / Along this PhD thesis we study the global geometry of spacelike surfaces, and in particular maximal surfaces, in Lorentzian product spaces. Firstly, we generalize the Calabi-Bernstien theorem when considering maximal surfaces in a Lorentzian product. We also study some local problems, which a posteriori will have important global consequences. The Lorentzian products are part of the family of the generalized Robertson-Walker spaces. Also the steady state type spaces form a subfamily of such spaces. The equivalent surfaces to the maximal ones in a steady state type space are the spacelike surfaces with H=1. In this context, we give a uniqueness result for complete spacelike surfaces with constant mean curvature bounded from the infinity of a steady state type space. Finally, we consider spacelike surfaces with constant Gaussian curvature in Riemannian and Lorentzian product spaces. In this case, we obtain some Calabi-Bernstein type results when M is the sphere S2

El objetivo principal de este trabajo es presentar la evolución del principio del máximo y algunas aplicaciones de él a problemas geométricos. En este sentido, estudiamos el comportamiento de la curvatura escalar S de hipersuperficies de curvatura media constante inmersas en espacios forma, bajo hipótesis de no-compacidad como: la completitud y la completitud estocástica, obteniendo una estimación óptima para el ínfimo de S. Además, estudiamos estas hipersuperficies con las condiciones de dos curvaturas principales y que verifiquen el principio del máximo de Omori-Yau, derivando una estimación óptima para el supremo de S. Por último, damos un principio débil del máximo del operador diferencial L, introducido por Cheng y Yau [19] para el estudio de hipersuperficies completas de curvatura escalar constante, y presentamos una aplicación donde se estima el ínfimo de la curvatura media de estas hipersuperficies. Los resultados de este trabajo están recogidos en los artículos [5], [6] y [7]. / The goal of this work is to show the evolution of the maximum principle and several applications of this to geometric problems. In this sense, we study the behavior of the scalar curvature S of hypersurfaces immersed with constant mean curvature into a Riemannian space form, under non-compactness’s hypotheses as: the completeness and the stochastic completeness, obtaining a sharp estimate for the infimum of S. Moreover, we study these hypersurfaces with the conditions of two principal curvatures and satisfying the Omori-Yau maximum principle, deriving a sharp estimate for the supremum of S. Finally, we establish a weak maximum principle of differential operator L, introduced by Cheng and Yau [19] for study of complete hypersurfaces with constant scalar curvature , and give an application where we estimate the infimum of the mean curvature of these hypersurfaces . The results of this work are collected in the papers [5], [6] and [7].

Este es un objeto de aprendizaje que permite: a) Gráficar una cónica a partir de su ecuación y viceversa y b) Determinar los puntos de intersección de una cónica y una recta.

La conjetura de Fermat fue uno de los acertijos matemáticos más misteriosos hasta 1995. El problema fue formulado en 1637 por Pierre de Fermat. Él afirmó saber cómo resolverlo, sin embargo, no podía mostrar la prueba debido a que el espacio en el margen de su copia de Arithmetica de Diofanto era insuficiente. Desde entonces mucho misticismo rodeó a la conjetura. Mientras tanto, independientemente, nuevas ramas de las matemáticas se desarrollaban. La geometría algebraica y el análisis complejo permitieron a Andrew Wiles resolver finalmente la conjetura. La solución involucra, entre otras herramientas, el uso de curvas elípticas. Esto es suficiente motivo para estudiarlas. En líneas generales las curvas elípticas son polinomios cúbicos no singulares en dos variables con un punto especial de coordenadas racionales en los que podemos establecer una estructura de grupo. Para manipular las operaciones cómodamente transformamos la ecuación de la curva elíptica en una más apropiada con menos términos. Para lograr esto exploramos los aspectos fundamentales de los espacios proyectivos que facilitarían la transición. Como ya es conocido, existen casos en las matemáticas en los que hay un intercambio entre simpleza y elegancia. Uno debe profundizar un poco para alcanzar la estética. Nuestro objetivo es probar la propiedad de asociatividad del grupo en las curvas elípticas por medio del grupo de Picard de una variedad algebraica asociada. Esto provee una prueba alternativa de dicha propiedad y reemplaza los cálculos engorrosos de la prueba directa que usa solo la definición de la operación del grupo. Para lograr esto desarrollamos la teoría de divisores. Esto nos conduce al estudio de funciones racionales sobre las curvas y de este modo nos enfrentamos a uno de los resultados más importantes de la geometría algebraica: el teorema de Riemann-Roch. Basados en esto probamos que las curvas elípticas sobre los cuerpos de característica cero tienen genero uno. Finalmente definimos el grupo de Picard. Este grupo mide el grado de cuánto del conjunto de divisores no tiene origen en las funciones racionales. Luego establecemos un homomorfismo entre este grupo y la curva elíptica: esta es en una manera elaborada de afirmar que la asociatividad de una estructura se preserva en la otra. / The Fermat conjecture was one of the most mysterious puzzles of mathematics until 1995. The problem was formulated in 1637 by Pierre de Fermat. He claimed that he knew how to solve it, but was however unable to exhibit the proof because of the lack of space on the margin of his copy of Diophantus's Arithmetica. Since then a lot of mysticism surrounded the conjecture. Meanwhile, independently, new branches of mathematics were developed. Algebraic geometry and complex analysis allowed Andrew Wiles to finally solve the conjecture. The solution involves, among other tools, the use of elliptic curves. That is enough reason for their study. Roughly speaking elliptic curves are non-singular cubic polynomials in two variables with a special point of rational coordinates where a group structure can be set. In order to handle computations comfortably we transform the equation of the elliptic curve into an appropriate one with fewer terms. To achieve this goal we explore fundamental aspects of projective spaces which facilitate the transition. As it is known, in some cases there is a trade-o_ in mathematics between simplicity and elegance. One must dig a little deep to reach aesthetics. We aim to prove the associativity law of the group on elliptic curves by means of the Picard group of an associated algebraic variety. This provides an alternative proof of the property and replaces the usual burdensome computations of the straight proof by definition of the group operation. In order to achieve this, we develop the theory of divisors. This leads us to the study of rational functions on curves, and thus face one of the crucial results of algebraic geometry: the Riemann-Roch theorem. Based on this we prove that elliptic curves over fields of characteristic zero have genus one. Finally we define the Picard group. This group measures the extent of how much of the set of divisors fails to have its origin on rational functions. Then we establish a homomorphism between this group and the elliptic curve: this yields a fancy way of saying that associativy of one structure is preserved in the other. / Tesis

El estudio parte de la discusión de De anima, III, 11, 434a7-10: a diferencia de las interpretaciones más difundidas del pasaje, que dependen considerablemente del comentario de Filopón, aquí se busca reconstruir la actividad de medición, planteada en relación de analogía con la imaginación deliberativa”, a la luz de procedimientos de descomposición y recomposición de figuras geométricas, muy difundidos en los siglos V-IV a.C., de los cuales se presentan también ilustraciones numismáticas. En la misma línea se puede situar tanto la referencia de Ética Nicomáquea, III, 5, 1112b20-21 al análisis” de las figuras, como el de Ética Nicomáquea, VI, 9, 1142a23-29 al triángulo como extremo”. A este modelo metrético-espacial de la phantasia bouleutikē se añade uno de tipo logístico-temporal, que es mencionado en De anima, III, 7, 431b7-8 y en De memoria, 2, 453a15-16, con una interesante confirmación en Tucídides, I, 138, 3, donde Temístocles es comparado con un habilísimo gnōmōn”. En ambos casos, los modelos matemáticos en los que se inspira el hombre que imagina mientras trata de comprender qué es obrar bien, aquí y ahora, no son productos refinados de ciencia teórica, sino que pertenecen a aquellas matemáticas de los mercaderes”, que Platón desaconsejaba practicar para alcanzar la visión del verdadero bien La reseña no presenta resumen.

Clasificamos las superficies mínimas del grupo de Heisenberg, H₃, que son invariantes con respecto a un subgrupo unidimensional de isometrías de (H₃, g), haciendo uso de las técnicas de los grupos de transformaciones.

Describe el problema isoperimétrico en el espacio euclideano n-dimensional. Aborda los orígenes del problema isoperimétrico y los conceptos y resultados del espacio Rn, la función Gamma, las funciones Lipschitz, la medida de Hausdorff, la fórmula de la co-área y conceptos de geometría diferencial. Presenta dos pruebas de la desigualdad isoperimétrica en el plano, una utilizando elementos de geometría diferencial y otra utilizando las series de Fourier, caracterizando la igualdad cuando el dominio Ω es un disco. Presenta el Teorema 4.2.1, la desigualdad isoperimétrica en Rn: x. Sea Ω un dominio acotado en Rn , con frontera ∂Ω de clase C 1. Entonces |∂Ω| |Ω| / 1−1/n ≥ |S n−1 | / |Bn| 1−1/n , 1 donde: B n = {x ∈ R n ; ||x||< 1} denota la bola unitaria n-dimensional de R n , S n−1 = ∂B n es la esfera unitaria determinada por B n y, finalmente |B n | y |S n−1 | denotan la n-medida de Lebesgue y (n − 1)-medida de Lebesgue correspondiente. La prueba está basada en el teorema de Federer-Fleming, el cual permite reescribir la desigualdad isoperimétrica como una desigualdad en el espacio de funciones C∞ c (Rn). Posteriormente, asumiendo algunas condiciones sobre el dominio Ω, probaremos que la igualdad es alcanzada si y solamente si Ω es una bola n-dimensional en Rn. Presenta algunas aplicaciones de la desigualdad isoperimétrica. Refiere cómo esta desigualdad se amplifica hacia espacios más generales y se enuncian algunos resultados que pueden servir como tema para trabajos futuros. / Tesis

Tesis de Doctorado para optar al grado de Doctor en Ciencias con mención en Física. / Los aisladores topológicos a grandes rasgos son aisladores en el bulto y presentan estados de borde metálicos que están protegidos por alguna simetría del sistema, mediciones ARPES han logrado detectar estos estados, mientras que en experimentos de transporte, estos estados son empañados por una contribución debido a los defectos e impurezas del bulto. El objetivo de esta tesis es proponer un modelo teórico, que sea capaz de entregar una mayor robustez a los estados de superficies de los aisladores topológicos. Para este fin, usaremos una geometría de heteroestructuras o super-redes, ya que dada la gran experiencia experimental en el crecimiento de este tipo de sistema, su realización experimental es factible. Debido el vertiginoso avance del área de los aisladores topológicos, comenzaremos con una breve reseña histórica de el surgimiento de este tipo de materiales (capítulo 1), para luego explicar la física subyacente de los aisladores topológicos en uno de los modelos de aislador topológico mas sencillos, el modelo SSH (capítulo 2) y un modelo mas interesante, el modelo BHZ (capítulo 4), este último fue comprobado experimentalmente. Luego, pasaremos a implementar la estrategia de super-redes para generar nuevos estados de borde topológicamente protegidos, que tienen como base el modelo SSH (capítulo 3) y el modelo BHZ (capítulo 5). En esta tesis, mediante el método tight-binding y los modelos sencillos anteriormente mencionados, logramos diseñar exitosamente nuevos estados de borde topológicos, los que son mucho más resistentes al desorden atómico que sus estructuras base (SSH o BHZ), incluso cuando este desorden destruye la simetría que permite la existencia del orden topológico.

Desde que ingresa al colegio, todo estudiante debe llevar cursos de matemáticas durante, al menos, 12 años de su vida. Luego, necesita perfeccionar las habilidades obtenidas durante esos años para ingresar a la universidad; sea que desee estudiar una carrera del área de las ciencias naturales y exactas o no. Incluso, en la mayoría de los empleos se requiere que los recién egresados tengan conocimientos básicos de Matemáticas. Por esto, es importante ayudar al estudiante a desarrollar estas habilidades con miras a un buen desempeño durante su carrera universitaria y, posteriormente, en su vida profesional. Fundamentos de Matemática. Introducción al nivel universitario, es un libro que busca apoyar a los escolares del último año de secundaria, a los postulantes a la universidad y a los alumnos universitarios del primer ciclo para que encuentren el valor de las matemáticas en su propia realidad y profesión. Así, cada capítulo, ofrece una introducción clara, sencilla y general de la teoría matemática correspondiente, utilizando ejercicios y problemas aplicados y contextualizado según las diferentes carreras profesionales. Esta obra está dividida en tres unidades: Fundamentos de Aritmética, Fundamentos del Álgebra, y Fundamentos de Geometría y Trigonometría. Para desarrollar cada una, el autor ha recurrido a textos introductorios, ejemplos, ejercicios y problemas aplicativos. Asimismo, sugiere páginas web para que acuciosos lectores, ávidos de aprendizaje, continúen con su formación de manera autónoma.