Neste trabalho apresentamos três métodos distintos provando que S(n) = +1 X k=−1 (4k + 1)−n é um múltiplo racional de n para todos os inteiros n = 1, 2, 3, . . . O primeiro utiliza a teoria das função analíticas e funções geradoras. No segundo reduzimos o problema, via mudança de variável devida a E. Calabi, ao cálculo do volume de certos politopos em Rn enquanto que no terceiro usamos a teoria dos operadores integrais compactos. Cada um dos métodos tem um interesse intrínsico e está sujeito a generalizações para aplicações em novas situações.

Introduzimos uma aplicação de Gauss para hipersuperfícies de variedades Riemannianas paralelizáveis e definimos uma curvatura associada. Após, provamos um teorema de Gauss-Bonnet. Como exemplo, estudamos cuidadosamente o caso no qual o espaço ambiente é uma esfera Euclidiana menos um ponto e obtemos um teorema de rigidez topológica. Ele é utilizado para dar uma prova alternativa para um teorema de Qiaoling Wang and Changyu Xia, o qual afirma que se uma hipersuperfície orientável imersa na esfera está contida em um hemisfério aberto e tem curvatura de Gauss-Kronecker nãonula então ela é difeomorfa a uma esfera. Depois, obtemos alguns invariantes topol_ogicos para hipersuperfícies de variedades translacionais que dependem da geometria da variedade e do espaço ambiente. Finalmente, encontramos obstruções para a existência de certas folheações de codimensão um. / We introduce a Gauss map for hypersurfaces of paralellisable Riemannian manifolds and de ne an associated curvature. Next, we prove a Gauss- Bonnet theorem. As an example, we carefully study the case where the ambient space is an Euclidean sphere minus a point and obtain a topological rigidity theorem. We use it to provide an alternative proof for a theorem of Qiaoling Wang and Changyu Xia, which asserts that if an orientable immersed hypersurface of the sphere is contained in an open hemisphere and has nowhere zero Gauss-Kronecker curvature, then it is di eomorphic to a sphere. Later, we obtain some topological invariants for hypersurfaces of translational manifolds that depend on the geometry of the manifold and the ambient space. Finally, we nd obstructions to the existence of certain codimension-one foliations.

Baseado no artigo Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), demonstramos uma expressão para a curvatura seccional em Grupos de Lie com métrica invariante a esquerda e um teorema de caracterização dos Grupos de Lie com curvatura zero. / Based on the paper Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), we show a formula for seccional curvature on Lie Groups with left invariant metric and we describe at Lie Groups.

Neste trabalho apresentamos três métodos distintos provando que S(n) = +1 X k=−1 (4k + 1)−n é um múltiplo racional de n para todos os inteiros n = 1, 2, 3, . . . O primeiro utiliza a teoria das função analíticas e funções geradoras. No segundo reduzimos o problema, via mudança de variável devida a E. Calabi, ao cálculo do volume de certos politopos em Rn enquanto que no terceiro usamos a teoria dos operadores integrais compactos. Cada um dos métodos tem um interesse intrínsico e está sujeito a generalizações para aplicações em novas situações.

Baseado no artigo Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), demonstramos uma expressão para a curvatura seccional em Grupos de Lie com métrica invariante a esquerda e um teorema de caracterização dos Grupos de Lie com curvatura zero. / Based on the paper Curvatures of left invariant metrics on Lie Groups, de John Milnor ([0]), we show a formula for seccional curvature on Lie Groups with left invariant metric and we describe at Lie Groups.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Seja M uma variedade Riemanniana, Denotemos por X(M) o conjunto de todos campos vetoriais de classe C1 em M e por D(M) o anel das funções reais definidas em M.

Este trabalho trata de estimativas inferiores para o primeiro autovalor de Dirichlet para dom nios multiplamente conexos contidos em variedades riemannianas. Essas estimativas consideram o supremo da curvatura seccional da variedade e a curvatura do bordo do domínio. Para obter os resultados, usa-se uma estimativa C0 para solucões da equação de Poisson. / Lower bounds for the rst Dirichlet eigenvalue are presented. We consider multiply connected domains in riemannian manifolds. The estimates are obtained using hypothesis on the supremum of the manifold's sectional curvature and on the domain's boundary curvature. C0 estimates for solutions of Poissons equation are used to prove the results.

Este trabalho trata de estimativas inferiores para o primeiro autovalor de Dirichlet para dom nios multiplamente conexos contidos em variedades riemannianas. Essas estimativas consideram o supremo da curvatura seccional da variedade e a curvatura do bordo do domínio. Para obter os resultados, usa-se uma estimativa C0 para solucões da equação de Poisson. / Lower bounds for the rst Dirichlet eigenvalue are presented. We consider multiply connected domains in riemannian manifolds. The estimates are obtained using hypothesis on the supremum of the manifold's sectional curvature and on the domain's boundary curvature. C0 estimates for solutions of Poissons equation are used to prove the results.

Submitted by Reginaldo Soares de Freitas (reginaldo.freitas@ufv.br) on 2016-06-17T09:29:53Z No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 602671 bytes, checksum: 8c12b029de1e7e375e71fb1e97bc9490 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-17T09:29:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 602671 bytes, checksum: 8c12b029de1e7e375e71fb1e97bc9490 (MD5) Previous issue date: 2015-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Nesta dissertação estudamos uma classe de equações elípticas tipo Yamabe em uma variedade Riemanniana compacta, sem bordo, de dimensão n ≥ 3. Tais equaçõoes tem sido alvo de investigações por décadas. Daremos ênfase a H1 -teoria de blow-up estudando sequências de Palais-Smale associadas com a equação crítica, definindo os pontos de blow-up e provando o teorema de decomposição em bolhas. / In this dissertation we study a class of elliptic Yamabe type equations on a compact Riemannian manifold, without boundary, of dimension n ≥ 3. Such equations have been the target of investigation for decades. The main focus will be on H1 -theory for the blow-up studying Palais-Smale sequences associated with the critical equation, defining the blow-up points and proving the theorem of decomposition in bubbles.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseIMG.pdf: 456482 bytes, checksum: a58b8dfb4176a393cdde2eceb2d840e7 (MD5) Previous issue date: 2006-02-20 / Financiadora de Estudos e Projetos / (See full text for download) It is proved that an isometric immersion f: Mn ! Qn+1 c of a compact Riemannian mani-fold of dimension n ¸ 3 into a space form of dimension n + 1 is equivariant with respect to a Lie group homomor¯sm ©: Iso0(Mn) ! Iso(Qn+1 c ), where Iso0(Mn) denotes the identity component of the isometry group Iso(Mn) of Mn. For the case Qn+1 c = Rn+1, it is shown that © takes every closed connected subgroup of Iso(Mn) acting locally polarly on Mn into a group that acts polarly on Rn+1. Moreover, compact Euclidean rotation hypersurfaces of dimension n ¸ 3 are characterized by their underlying warped product structure. Besides, isometric immersions f: Mn ! Qn+1 c of a complete Riemannian manifold Mn under a locally polar action of a closed connected subgroup of Iso(Mn) with umbilical principal orbits are studied. / (Ver texto completo para download) Prova-se que uma imersão isométrica f: Mn ! Qn+1 c de uma variedade Riemanniana compacta de dimensão n ¸ 3 numa forma espacial de dimensão n + 1 ¶e equivariante com relação a um homomor¯smo de grupos de Lie ©: Iso0(Mn) ! Iso(Qn+1 c ) da componente conexa da identidade Iso0(Mn) do grupo de isometrias Iso(Mn) of Mn. Para o caso em que Qn+1 c = Rn+1, obt¶em-se que © leva todo subgrupo fechado e conexo de Iso(Mn) que age de modo localmente polar sobre Mn num subgrupo que age polarmente sobre Rn+1. Mostra-se tamb¶em que as hipersuperf¶³cies de rotação compactas do espa»co Euclideano de dimensão n ¸ 3 são caracterizadas por sua estrutura intr¶³nseca de produto warped. Desenvolve-se ainda um estudo das imersões isom¶etricas f: Mn ! Qn+1 c em uma forma espacial de uma variedade Riemanniana completa sobre a qual age de modo localmente polar e com ¶orbitas principais umb¶³licas um subgrupo fechado e conexo de Iso(Mn) .