Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung von für die Struktur des Nukleons relevanten Observablen, die experimentell durch inklusive und semi-inklusive Streuexperimente bestimmt werden können. Es werden zwei Pilotstudien erörtert, welche die Spin- und Impulsstruktur des Nukleons mithilfe von Gitter-QCD untersuchen. Hierfür wird der Twisted-Mass-Formalismus mit dynamischen Fermionen verwendet, um sicherzustellen, dass die untersuchten Größen einen verbesserten Kontinuumslimes aufweisen. Der erste Teil dieser Arbeit untersucht die Umsetzbarkeit einer Rechnung, die sich mit dem durchschnittlichen Impulsanteil der Gluonen im Nukleon auseinandersetzt. Diese Größe wurde bisher kaum im Rahmen der Gitter-QCD behandelt. In diesem Zusammenhang werden zwei verschiedene Gittermethoden untersucht: das Feynman-Hellman-Theorem, sowie die direkte Berechnung der relevanten Formfaktoren. Mithilfe der zweiten Methode und mehreren Iterationen des Schmierens der Eichlinks ist es möglich, statistisch aussagekräftige Resultate zu erhalten. Die zweite Studie beschäftigt sich mit der direkten Berechnung der vollständigen Impuls- und Spinverteilung von Quarks und Antiquarks im Nukleon. Hierfür wird untersucht, ob eine kürzlich publizierte Methode praktikabel ist, nach der eine räumliche Quasiverteilung zu berechnen und aus dieser die physikalische Verteilung abzuleiten ist. In diesem Zusammenhang wird der Einfluß des Schmierens der Eichlinks und unterschiedlicher Impulsboosts des Nukleons erprobt. Die anschließend berechneten Isovektor-Quarkverteilungen (unpolarisiert und polarisiert) weisen eine gute qualitative Übereinstimmung mit Verteilungen auf, die mithilfe von phänomenologischen Analysen bestimmt wurden. Zentrale Erkenntnis dieser Arbeit ist der Nachweis, dass es auf dem Gitter prinzipiell möglich ist, beide Observablen zu berechnen. Trotzdem muss noch erheblich mehr Arbeit aufgewendet werden, um verlässliche Resultate für diese Größen zu erhalten. / This thesis deals with the theoretical computation of nucleon structure observables as they can be experimentally obtained from inclusive and semi-inclusive scattering experiments. I present two exploratory studies on spin and momentum structure observables of the nucleon in the framework of lattice QCD. Throughout this work, I use the twisted mass formalism with dynamical fermions at maximal twist, which ensures an improved continuum limit scaling for the relevant quantities. In the first part, I investigate the feasibility of a lattice calculation of the gluons’ average momentum fraction in the nucleon, a quantity that is rarely studied in lattice QCD. For this purpose, I study two different methods, namely the Feynman-Hellman theorem and the direct computation of the relevant form factor. Applying the latter method and combining it with several steps of stout gauge link smearing, I obtain a statistically significant results for the gluon content. The second study is concerned with the direct computation of the full momentum and spin distribution of quarks and antiquarks within the nucleon. I investigate the feasibility of a recently published approach proposing the computation of a purely spatial quasi-distribution that can be related to the physical distribution. I test the influence of gauge link smearing and different nucleon momentum boosts on the lattice data. Ultimately, I obtain iso-vector quark distributions for the unpolarized and polarize case that featuring a decent qualitative agreement to quark distributions acquired from phenomenological fits. As a key result of this work, I demonstrate that the demanding calculation of gluon content and the novel approach of computing quark distributions directly within lattice QCD are feasible in principle, although significantly more effort has to be invested into obtaining accurate results with reliable uncertainties.

Wir präsentieren eine Forschungsstudie zur Berechnung des Formfaktors f_+(q^2) für den semileptonischen Zerfall B_s -> K l nu in Gitter-QCD-Simulationen im großen Volumen mit zwei dynamischen Seequark-Flavours mit O(a)-verbesserten Wilson-Fermionen. Wir diskutieren die Berechnung relevanter Zwei- und Dreipunkt-Funktionen und betrachten komplementäre Methoden diese zu kombinieren, um den Formfaktor zu erhalten. Insbesondere stellen wir die Strategie eines kombinierten Fits vor, in den Datenpunkte aller Korrelatoren eingehen und der als Fitparameter Energien, Amplituden und den Formfaktor hat. Das b-Quark wird in HQET behandelt; unsere momentane Analyse konzentriert sich auf den statischen Grenzfall. Indes haben wir den Code für alle nötigen O(1/m_h)-Korrekturen entwickelt und die Messungen dieser durchgeführt; sie werden verwendet werden, sobald ihre Koeffizienten von der ALPHA-Kollaboration bestimmt worden sein werden. Um den Formfaktor auf allen Ensembles bei dem gleichen Wert des Impulsübertrags q^2 bestimmen zu können, führen wir getwistete Randbedingungen für das s- und das b-Quark ein, die ein freies Einstellen der Quarkimpulse und damit von q^2 ermöglichen. Wir führen Messungen auf einer Untermenge von N_f=2 CLS Eichkonfigurationen durch und erhalten den Formfaktor bei drei verschiedenen Gitterabständen und etwa gleicher Pionmasse von ungefähr 330 MeV. Wir benutzen diese, um eine Kontinuumsextrapolation durchzuführen, und beobachten, dass diese relativ flach in a^2 ist. Eine Messung bei einer unterschiedlichen Pionmasse deutet an, dass Quarkmassen-Effekte klein sind. Wir vergleichen unseren Kontinuumswert des Formfaktors mit kürzlich veröffentlichten Ergebnissen anderer Kollaborationen und stellen eine gute Übereinstimmung fest. / We present an exploratory study of the calculation of the form factor f_+(q^2) for the semileptonic decay B_s -> K l nu in large-volume lattice QCD simulations with two dynamical sea quark flavours using O(a) improved Wilson fermions. We discuss the computation of relevant two- and three-point functions and consider complementary methods how these can be combined to obtain the form factor. In particular, we put forward the strategy of a combined fit in which data of all correlators enter and which has as fit parameters energies and amplitudes of the correlators and the form factor. The b quark is treated in HQET; our present analysis focuses on the static limit. Meanwhile, we have developed the code and performed the measurements of all needed O(1/m_h) corrections which will be used as soon as their coefficients will have been computed by the ALPHA collaboration. In order to be able to measure the form factor at the same value of the momentum transfer q^2 on all ensembles, we impose twisted boundary conditions on the s and b quarks that allow for a free tuning of the quark momenta and thus of q^2. We perform measurements on a subset of N_f=2 CLS gauge configurations, obtaining the form factor at three different lattice spacings and roughly the same pion mass of about 330 MeV. Using these, we carry out a continuum extrapolation and observe that it is relatively flat in a^2. A measurement at a different pion mass indicates that quark mass effects are small. We compare our continuum value of the form factor with recently published results of other collaborations and observe a good agreement.

Diese Arbeit befasst sich mit störungstheoretischen Rechnungen zur renormierten Quarkmasse im Schrödinger-Funktional mit nicht verschwindendemHintergrundfeld. Als Grundlage der Rechnungen werden das Schroedinger-Funktional und seinegrundlegenden Eigenschaften erläutert. Auch die O(a)-Verbesserung, die zu einem schnelleren Erreichen des Kontinuumslimes fuehren soll, wird in diesem Zusammenhang dargestellt.Des weiteren wird erklärt, aufwelche Weise das Schrödinger-Funktional dazu dient, das Skalenverhaltenrenormierter Größen ueber einen grossen Energiebereich zuuntersuchen. Das Skalenverhalten sowohl der renormierten Kopplung als auchder renormierten Quarkmassen wird in diesem Schema durch Step-Scaling-Funktionenbeschrieben. Die Definition der renormierten Kopplung wird dargestellt,ebenso die Definition der renormierten Masse, die mit Hilfe derPCAC-Relation ueber den Axialvektorstrom und die Pseudoskalardichte erfolgt. Die Skalenabhängigkeit der renormierten Massewird auf die Skalenabhängigkeit der Renormierungskonstanten derPseudoskalardichte zurueckgefuehrt. Breiten Raum nimmt die Berechnung verschiedenerKorrelationsfunktionen bis zur Ein-Loop-Ordnung in Stoerungstheorie ein. Mit Hilfe der soermittelten Koeffizienten wird die kritische Quarkmasse, bei der die renormierte Masse verschwindet, in Ein-Loop-Naeherung berechnet,ebenso der Ein-Loop-Koeffizent der Renormierungskonstanten der Pseudoskalardichte. Mit Hilfe dieses Koeffizienten wird aus der bekanntenanomalen Dimension in Zwei-Loop-Ordnung im MS-bar-Schemadie anomale Dimension im Schrödinger-Funktional berechnet. Als weitere Anwendung der Störungstheorie werden verschiedene Diskretisierungsfehler bestimmt. Die kritische Quarkmasse in Ein-Loop-Ordnunggeht in den Zwei-Loop-Koeffizienten des Diskretisierungfehlers der Step-Scaling-Funktion der renormierten Kopplung ein, der durchdie Abweichung dieser Funktion von ihrem Kontinuumslimes definiert ist.Verschiedene Diskretisierungsfehler der Strommasse, die durch die PCAC-Relationmit unrenormiertem Axialvektorstrom und Pseudoskalardichte definiert ist, werdenin Ein-Loop-Ordnung berechnet. Ein wichtiger Diskretisierungsfehler derrenormierten Quarkmasse ist die Abweichung ihrer Step-Scaling-Funktion vomKontinuumslimes. Dieser Fehler ist in Ein-Loop-Ordnung bislang nur mitverschwindendem Hintergrundfeld bekannt und wird in dieser Arbeit mitnicht verschwindendem Hintergrundfeld berechnet. / The renormalised quark mass in the Schroedinger functional is studied perturbatively with a non-vanishing background field. The framework in which the calculations are done is the Schroedinger functional. Its definition and basic properties are reviewed and it is shown how to make the theory converge faster towards its continuum limit by O(a) improvement. It is explained how the Schroedinger functional scheme avoids the implications of treating a large energy range on a single lattice in order to determine the scale dependence of renormalised quantities. The description of the scale dependence by the step scaling function is introduced both for the renormalised coupling and the renormalised quark masses. The definition of the renormalised coupling in the Schroedinger functional is reviewed, and the concept of the renormalised mass being defined by the axial current and density via the PCAC-relation is explained. The running of the renormalised mass described by its step scaling function is presented as a consequence of the fact that the renormalisation constant of the axial density is scale dependent. The central part of the thesis is the expansion of several correlation functions up to 1-loop order. The expansion coefficients are used to compute the critical quark mass at which the renormalised mass vanishes, as well as the 1-loop coefficient of the renormalisation constant of the axial density. Using the result for this renormalisation constant, the 2-loop anomalous dimension is obtained by conversion from the MS-bar-scheme. Another important application of perturbation theory carried out in this thesis is the determination of discretisation errors. The critical quark mass at 1-loop order is used to compute the deviation of the coupling's step scaling function from its continuum limit at 2-loop order. Several lattice artefacts of the current quark mass, defined by the PCAC relation with the unrenormalised axial current and density, are computed at 1-loop order. An essential property of the renormalised quark mass being computed in this thesis at 1-loop order is the deviation of its step scaling function from the continuum limit, which was so far only known for the zero background field case.

Viele Phaenomene in der Natur sind eng verknuepft mit dem Niederenergieverhalten der QCD und damit von nicht-perturbative Natur. Viele Groeßen benoetigen auch eine nicht-perturbative Renormierung. Als nicht-perturbative Renormierungsschema schlagen wir das chiral gedrehte Schroedingerfunktional, χSF, in einer Gitterregularisierung vor. Auf dem Baumgraphenniveau wird eine analytische Rechnung im Kontinuum und auf dem Gitter durchgefuehrt. Weitere Untersuchungen werden dann in der Valenzquark-Approximation der Gitter QCD durchgefuehrt. Eines der Hauptziele ist es dabei, die im χSF benoetigten Koeffizienten nicht-perturbativ so einzustellen, dass ein wohl-definierter Kontinuumlimes durchgefuehrt werden kann. Es wird gezeigt, dass solch eine Feineinstellung der Parameter des χSF durchfuehrbar ist und dass physikalische Groeßen nicht sensitiv auf die spezielle Wahl der Bedingung zur Einstellung der Parameter sind. Es wird gezeigt, dass das Skalierungsverhalten physikalischer Groeßen konsistent mit fuehrenden O(a2) Diskretisierungseffekten ist. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Nachweis, dass das χSF mit den hier berechneten Verbesserungskoeffizienten, zu einem korrekten Kontinuumlimes fuehrt. Dazu wurden drei unterschiedliche Werte der Renormierungsskala verwendet und mehrere uns interessierende physikalische Groeßen berechnet. Wir koennen deshalb den Schluss ziehen, dass das χSF ein viel versprechendes Renormierungsschema darstellt, um eine nicht-perturbative Renormierung vorzunehmen und dabei gleichzeitig die automatische O(a)-Verbesserung aufrecht erhalten. Dies eroeffnet den sehr wichtigen Ausblick, dass das χSF in zukuenftigen nicht-perturbativen Berechnungen von Renormierungskonstanten auch ueber die Valenzquark-Approximation hinaus eingesetzt werden kann. / There are many phenomena in nature which are closely linked to the low energy regime of QCD. Theoretically, these can be dealt with only by means of non-perturbative methods. Often, a non-perturbative renormalization of QCD is required. We employ a 4-dimensional lattice as a regulator of QCD. As a non-perturbative renormalization scheme, we propose the chirally rotated Schrödinger functional, χSF. We perform analytical studies at tree-level of perturbation theory, in the continuum and on the lattice. Beyond tree-level, all studies are performed in the quenched approximation of QCD. One of the main targets has been to perform the non-perturbative tuning of the two required coefficients of the χSF scheme, such that a well defined continuum limit can be reached. We demonstrate that the tuning is feasible and physical quantities are insensitive to the tuning condition. There are also a couple of improvement counterterms at the boundaries. However, besides these boundary O(a) effects, the χSF is expected to be compatible with bulk automatic O(a)-improvement. We show that the scaling behavior of physical quantities is consistent with automatic O(a)-improvement. The other most important achievement has been to demonstrate that the χSF, with the here computed tuning coefficients, leads to the correct continuum limit. For this, we have performed universality tests of the continuum limit, at three different values of the renormalization scale and through the computation of several physical quantities of interest. The conclusion of these results is that the χSF is a promising scheme to perform non-perturbative renormalizations while maintaining bulk automatic O(a)-improvement. This opens the most relevant prospect that the χSF can be safely used in future non-perturbative computations of renormalization factors also beyond the quenched approximation.

In dieser Arbeit untersuchen wir das Critical Slowing down der Gitter-QCD Simulationen. Wir führen eine Vorstudie in der quenched Approximation durch, in der wir feststellen, dass unsere Schätzung der exponentiellen Autokorrelation wie $\tauexp(a) \sim a^{-5} $ skaliert, wobei $a$ der Gitterabstand ist. In unquenched Simulationen mit O(a)-verbesserten Wilson-Fermionen finden wir ein ähnliches Skalierungsgesetz. Die Diskussion wird von einem gro\ss{}en Satz an Ensembles sowohl in reiner Eichtheorie als auch in der Theorie mit zwei entarteten Seequarks unterstützt. Wir haben darüber hinaus die Wirkung von langsamen algorithmischen Modi in der Fehleranalyse des Erwartungswertes von typischen Gitter-QCD-Observablen (hadronische Matrixelemente und Massen) untersucht. Im Kontext der Simulationen, die durch langsame Modi betroffen sind, schlagen wir vor und testen eine Methode, um zuverlässige Schätzungen der statistischen Fehler zu bekommen. Diese Methode soll in dem typischen Simulationsbereich der Gitter-QCD helfen, nämlich dann, wenn die gesamte erfasste Statistik O(10)\tauexp ist. Dies ist der typische Fall bei Simulationen in der Nähe des Kontinuumslimes, wo der Rechenaufwand für die Erzeugung von zwei unabhängigen Datenpunkten sehr gro\ss{} sein kann. Schlie\ss{}lich diskutieren wir die Skalenbestimmung in N_f=2-Simulationen mit der Kaon Zerfallskonstante f_K als experimentellem Input. Die Methode wird zusammen mit einer gründlichen Diskussion der angewandten Fehleranalyse erklärt. Eine Beschreibung der öffentlich zugänglichen Software, die für die Fehleranalyse genutzt wurde, ist eingeschlossen. / In this work we investigate the critical slowing down of lattice QCD simulations. We perform a preliminary study in the quenched approximation where we find that our estimate of the exponential auto-correlation time scales as $\tauexp(a)\sim a^{-5}$, where $a$ is the lattice spacing. In unquenched simulations with O(a) improved Wilson fermions we do not obtain a scaling law but find results compatible with the behavior that we find in the pure gauge theory. The discussion is supported by a large set of ensembles both in pure gauge and in the theory with two degenerate sea quarks. We have moreover investigated the effect of slow algorithmic modes in the error analysis of the expectation value of typical lattice QCD observables (hadronic matrix elements and masses). In the context of simulations affected by slow modes we propose and test a method to obtain reliable estimates of statistical errors. The method is supposed to help in the typical algorithmic setup of lattice QCD, namely when the total statistics collected is of O(10)\tauexp. This is the typical case when simulating close to the continuum limit where the computational costs for producing two independent data points can be extremely large. We finally discuss the scale setting in Nf=2 simulations using the Kaon decay constant f_K as physical input. The method is explained together with a thorough discussion of the error analysis employed. A description of the publicly available code used for the error analysis is included.

Um aussagekräftige, mit dem Experiment vergleichbare Resultate aus Berechnungen der Gitter-QCD zu erhalten, ist die Extrapolation zum Kontinuum unabdingbar. Das bewährte Symanzik-Verbesserungsprogramm führt zu einer systematischen Reduzierung der Ordnung von Cutoff-Effekten, die eine bessere Kontrolle über die genannten Fehler sowie größere und damit erschwinglichere Gitterabstände ermöglicht. Auf die Wilson-Fermionenwirkung bezogen bedarf es nur des Hinzufügens des Sheikholeslami-Wohlert-Terms mit dem O(a)-Verbesserungskoeffizienten csw. In der vorliegenden Arbeit wird eine Strategie zur nicht-perturbativen Bestimmung dieses Koeffizienten in der Theorie mit Nf=3+1 massiven Seequarks entwickelt. Diese ist in ein allgemeines, massenabhängiges Renormierungs- und Verbesserungsschema eingebettet, dessen Grundlagen dargelegt werden. Die Auferlegung der Verbesserungsbedingung, bei der die PCAC-Relation im Schrödinger-Funktional Verwendung findet, geschieht entlang einer Linie konstanter Physik, welche dem Charm-Quark näherungsweise seine physikalische Masse zuordnet. Dieser vergleichsweise aufwendige Ansatz hat zum Ziel, große, massenabhängige O(a^2)-Effekte in zukünftigen Simulationen im großen Volumen mit vier dynamischen Quarkspezies zu vermeiden. Die numerischen Resultate dieser Arbeit werden unter Verwendung der tree-level-verbesserten Lüscher-Weisz-Eichwirkung gewonnen. Da die sogenannte Gradient-Flow-Kopplung bei der Definition der Linie konstanter Physik Verwendung findet, wird in einer zusätzlichen Untersuchung die Wechselbeziehung dieser Kopplung mit der Topologischen Ladung beleuchtet, insbesondere im Bezug auf die unter den Namen Critical Slowing Down und Topology Freezing bekannten Phänomene. / In order to obtain sensible results from Lattice QCD that may be compared with experiment, extrapolation to the continuum is crucial. The well-established Symanzik improvement program systematically reduces the order of cutoff effects, allowing for better control of the aforementioned errors, as well as larger and thus more affordable lattice spacings. Applied to the Wilson fermion action, it entails the addition of the Sheikholeslami–Wohlert term with the O(a) improvement coefficient csw. In this work, a strategy is developed for the non-perturbative determination of csw in the theory with Nf=3+1 massive sea quarks. It is embedded in a general, mass-dependent renormalization and improvement scheme, for which we lay the foundations. The improvement condition, formulated by means of the PCAC relation in the Schrödinger Functional, is imposed along a line of constant physics that is designed to be close to the physical mass of the charm quark. The aim of this rather elaborate approach is to avoid large, mass-dependent O(a^2) effects in future large volume simulations with four dynamical quark species. The numerical results are worked out using the tree-level improved Lüscher–Weisz gauge action. Since the gradient flow coupling is employed in the definition of the line of constant physics, its interdependence with the topological charge in regard to critical slowing down and topology freezing is investigated in a supplemental study.

Die im infraroten Impulsbereich der Quantenchromodynamik (QCD) berechneten Gluon- und Ghost-Propagatoren spielen eine große Rolle für das sogenannte Confinement der Quarks und Gluonen. Sie sind Gegenstand intensiver Foschungen dank nicht-perturbativer Methoden basierend auf Dyson-Schwinger- (DS) und funktionalen Renormierungsgruppen-Gleichungen (FRG). Darüber hinaus sollte es deren Verhalten bei endlichen Temperaturen erlauben, den chiralen und Deconfinement-Phasenübergang bzw. das Crossover in der QCD besser aufzuklären. Unser Zugang beruht auf der gitter-diskretisierten QCD (LQCD), die es als ab-initio-Methode gestattet, verschiedenste störungstheoretisch nicht zugängliche QCD-Observablen der hadronischen Welt zu berechnen. Wir untersuchen das Temperaturverhalten der Gluon- und Ghost-Propagatoren in der Landau-Eichung für die reine Gluodynamik und die volle QCD. Für den Gluon-Propagator berechnen wir deren longitudinale (DL) sowie transversale (DT) Komponenten. Ziel ist es, Datensätze in Form von Fit-Formeln zu liefern, welche als Input für die DS- (oder FRG-) Gleichungen verwendet werden können. Wir beschäftigen uns mit der vollen (Nf=2) LQCD unter Verwendung der sogenannten twisted mass Fermiondiskretisierung. Von der tmfT-Kollaboration wurden uns dafür Eichfeldkonfigurationen für Temperaturen im Crossover-Bereich sowie jeweils für drei fixierte Pion-Massenwerte im Intervall [300, 500] MeV bereitgestellt. Schließlich berechnen wir innerhalb der reinen SU(3) Eichtheorie (bei T=0) den Landau Gluon-Propagator unter Verwendung verschiedener Eichfixierungskriterien. Unser Ziel ist es, den Einfluss von Eich-Kopien mit minimalen (nicht-trivialen) Eigenwerten des Faddeev-Popov-Operators zu verstehen. Eine solche Studie soll klären, wie Gribov-Kopien das Verhalten der Gluon- und Ghost-Propagatoren im infraroten Bereich prinzipiell beeinflussen. / Gluon and ghost propagators in quantum chromodynamics (QCD) computed in the infrared momentum region play an important role to understand quark and gluon confinement. They are the subject of intensive research thanks to non-perturbative methods based on Dyson-Schwinger (DS) and functional renormalization group (FRG) equations. Moreover, their temperature behavior might also help to explore the chiral and deconfinement phase transition or crossover within QCD at non-zero temperature. Our prime tool is the lattice discretized QCD (LQCD) providing a unique ab-initio non-perturbative approach to deal with the computation of various observables of the hadronic world. We investigate the temperature dependence of Landau gauge gluon and ghost propagators in pure gluodynamics and in full QCD. Regarding the gluon propagator, we compute its longitudinal DL as well its transversal DT components. The aim is to provide a data set in terms of fitting formulae which can be used as input for DS (or FRG) equations. We deal with full (Nf=2) LQCD with the twisted mass fermion discretization. We employ gauge field configurations provided by the tmfT collaboration for temperatures in the crossover region and for three fixed pion mass values in the range [300,500] MeV. Finally, within SU(3) pure gauge theory (at T=0) we compute the Landau gauge gluon propagator according to different gauge fixing criteria. Our goal is to understand the influence of gauge copies with minimal (non-trivial) eigenvalues of the Faddeev-Popov operator.

In dieser Arbeit praesentieren wir Resultate der topologischen Suszeptibilitaet “chi” und untersuchen die Faktorisierung der reinen SU(N) Yang-Mills Eichtheorie im 't Hooft'schen Grenzwert grosser N. Ein entscheidender Teil der Berechnung von chi in der Gittereichtheorie ist die Abschaetzung des topologischen Ladungsdichtekorrelators, die durch ein schlechtes Signal-Rausch- Verhaeltnis beeintraechtigt ist. Um dieses Problem abzuschwaechen, fuehren wir einen neuen, auf einem mehrstufigen Vorgehen beruhenden Algorithmus ein, um die Korrelationsfunktion von Observablen zu berechnen, die mit dem Yang-Mills Gradientenfluss geglaettet wurden. Angewandt auf unsere Observablen, erhalten wir Ergebnisse, deren Fehlerskalierung besser ist, als die von herkoemmlichen Monte-Carlo Simulationen. Wir bestimmen die topologische Suszeptibilitaet in der reinen Yang-Mills Eichtheorie fuer Eichgruppen mit N = 4,5,6 und drei verschiedenen Gitterabstaenden. Um das Einfrieren der Topologie zu umgehen, wenden wir offene Randbedingungen an. Zusaetzlich wenden wir die korrekte Definition der topologischen Ladungsdichte durch den Gradientenfluss an. Unser Endresultat im des Grenzfalls von grossen N repraesentiert eine neue Qualitaet in der Verifikation der Witten-Veneziano Formel. Schliesslich benutzen wir die Gitterformulierung, um die Erwartungswertfaktorisierung des Produkts eichinvarianter Operatoren im Grenzwert grosser N zu verifizieren. Wir arbeiten mit durch den Yang-Mills Grandientenfluss geglaetteten Wilsonschleifen und Simulationen bis zur Eichgruppe SU(8). Die Extrapolationen zu grossen N sind in Ueberstimmung mit der Faktorisierung sowohl fuer endlichen Gitterabstand als auch in Kontinnumslimes. Unsere Daten erlauben uns nicht nur die Verifizierung der Faktorisierung, sondern auch einen hochpraezisen Test des 1/N Skalierungsverhaltens. Hier konnten wir das quadratische Skalierungsverhalten in 1/N finden, welches von 't Hooft vorhergesagt wurde. / In this thesis we present results for the topological susceptibility “chi”, and investigate the property of factorization in the 't Hooft large N limit of SU(N) pure Yang-Mills gauge theory. A key component in the lattice gauge theory computation of chi is the estimation of the topological charge density correlator, which is affected by a severe signal to noise problem. To alleviate this problem, we introduce a novel algorithm that uses a multilevel type approach to compute the correlation function of observables smoothed with the Yang-Mills gradient flow. When applied to our observables, the results show an scaling of the error which is better than the one of standard Monte-Carlo simulations. We compute the topological susceptibility in the pure Yang-Mills gauge theory for the gauge groups with N = 4, 5, 6 and three different lattice spacings. In order to deal with the freezing of topology, we use open boundary conditions. In addition, we employ the theoretically sound definition of the topological charge density through the gradient flow. Our final result in the limit N to infinity, represents a new quality in the verification of the Witten-Veneziano formula. Lastly, we use the lattice formulation to verify the factorization of the expectation value of the product of gauge invariant operators in the large N limit. We work with Wilson loops smoothed with the Yang-Mills gradient flow and simulations up to the gauge group SU(8). The large N extrapolations at finite lattice spacing and in the continuum are compatible with factorization. Our data allow us not only to verify factorization, but also to test the 1/N scaling up to very high precision, where we find it to agree very well with a quadratic series in 1/N as predicted originally by 't Hooft for the case of the pure Yang-Mills gauge theory.

In dieser Arbeit befassen wir uns mit einer Reihe von entscheidenden Schritten, um die unpolarisierten Helizitäts- und Trasversitäts-Parton-Verteilungsfunktionen der Nukleonen im Rahmen der Gitter-QCD zu bewerten. Diskretisierungsartefakte werden unter Verwendung eines N_f=2+1+1 Eichensembles von Fermionen mit verdrillter Wilson-Masse untersucht, die bei einer Pionenmasse von ungefähr M=37 MeV simuliert werden. Die unpolarisierten und Helizitäts Partonverteilungsfunktionen weisen eine nicht vernachlässigbare Abhängigkeit vom Gitterabstand auf, und die Kontinuumsextrapolation ergibt eine bessere Übereinstimmung mit Phänomenologie. Die direkte Berechnung der Fourier-Transformation mit diskreten Gitterdaten kann Artefakte verursachen. Daher arbeiten wir mit einer neuen datengesteuerten Methode, die auf Gauß-Prozess-Regression basiert, die sogenannte Bayes-Gauß-Fourier-Transformation, um die Einschränkungen der diskreten Fourier-Transformation zu überwinden. Wir sind der Meinung, dass dieser datengesteuerte Ansatz die durch die Diskretisierung der Fourier-Transformation eingeführten Artefakte drastisch reduzieren kann, jedoch ist der endgültige Effekt auf die Lichtkegel-PDFs gering. Darüber hinaus präsentieren wir die Ergebnisse der ersten ab initio Berechnung der individuellen up, down und strange unpolarisierten, Helizitäts- und Transversitäts-Partonverteilungsfunktionen für das Proton. Die Analyse wird an einem durch N_f=2+1+1 verdrillten Kleeblatt-verbesserten Fermionen-Ensemble durchgeführt, das bei einer Pionenmasse von 260 MeV simuliert wird. Wir verwenden den hierarchischen Sondierungsalgorithmus, um die unzusammenhängenden Quarkschleifen auszuwerten. Dadurch erhalten wir Ergebnisse ungleich Null für den unbegundenen isoskalaren Beitrag und die strange Quark-Matrixelemente. / In this work, we address a number of crucial steps in order to evaluate the nucleon unpolarized helicity and trasversity parton distribution functions within the framework of lattice QCD. Discretization artifacts are investigated using an N_f=2+1+1 gauge ensemble of Wilson twisted mass fermions simulated at a pion mass of approximately M=370 MeV. The unpolarized and helicity parton distribution functions show a non-negligible dependence on the lattice spacing, with the continuum extrapolation producing a better agreement with phenomenology. The direct computation of the Fourier transform using discrete lattice data may introduce artifacts and we, therefore, use a new data-driven method based on Gaussian process regression, the so-called Bayes-Gauss Fourier transform to overcome the limitations of the discrete Fourier transform. We find that this data-driven approach can drastically reduce the artifacts introduced by the discretization of the Fourier transform, however, the final effect on the light-cone PDFs is small. Furthermore, we present results of the first ab initio calculation of the individual up, down, and strange unpolarized, helicity, and transversity parton distribution functions for the proton. The analysis is performed on an N_f=2+1+1 twisted mass clover-improved fermion ensemble simulated at a pion mass of 260 MeV. We employ the hierarchical probing algorithm to evaluate the disconnected quark loops, allowing us to obtain non-zero results for the disconnected isoscalar contribution and the strange quark matrix elements.

Einer der finalen Schritte in Simulationen von Gitter Quantenchromodynamik (QCD) oder Gittereichtheorie ist die Kontinuumsextrapolation, um die eigentliche Kontinuumsphysik zu extrahieren. Diese Extrapolation beruht stark auf Annahmen über die asymptotische Abhängigkeit vom Gitterabstand, was zu systematischen Unsicherheiten des Kontinuumslimes führt. In klassischen Feldtheorien ist die asymptotische Form schlicht eine Potenzreihe im Gitterabstand, wobei die führende Potenz von der gewählten Diskretisierung auf dem Gitter abhängt. Die Quantenkorrekturen in Gitter QCD und Gittereichtheorie brechen dieses Verhalten. Für asymptotisch freie Theorien wie Gitter QCD werden die ganzzahligen Potenzen im Gitterabstand mit einer Potenz der laufenden Kopplung multipliziert. Die führenden Potenzen in der Kopplung lassen sich wiederum aus den anomalen Dimensionen von höher-dimensionalen Operatoren bestimmen, die eine Basis für eine Symanzik Effektiven Feldtheorie bilden. Im Rahmen dieser Arbeit werden die führenden Potenzen in der Kopplung für die Wilson oder Ginsparg-Wilson (GW) Wirkung bestimmt, die für spektrale Größen wie Hadronmassen beitragen. Die untere Schranke des Spektrums dieser Potenzen liegt nahe null für Gitter QCD mit Wilson oder GW Quarks, weshalb keine Probleme durch eine verschlechterte Konvergenz zum Kontinuumslimes zu erwarten sind. Allerdings ist das Spektrum der führenden Potenzen sehr dicht. Dadurch lässt sich der Operator der minimalen Basis mit dominierendem Beitrag zu den Gitterartefakten schlecht bestimmen und ein kompliziertes Zusammenspiel der verschiedenen Beiträge zu den Gitterartefakten ist möglich. Nun, da die führenden Korrekturen der Gitterwirkungen mit Wilson und GW Quarks zur klassischen Potenz im Gitterabstand bekannt sind, sollten diese für die Kontinuumsextrapolation genutzt werden, sowohl für den Ansatz der Extrapolationsfunktion als auch als Orientierungshilfe, um die inhärente systematische Unsicherheit des Kontinuumslimes abzuschätzen. / One of the final steps in simulations of lattice Quantum Chromodynamics (QCD) or lattice pure gauge theory is the continuum extrapolation to extract the actual continuum physics. This extrapolation relies heavily on assumptions regarding the asymptotic dependence on the lattice spacing, which introduces an inherent systematic uncertainty to the continuum limit. In classical field theories the asymptotic form is a power series in the lattice spacing, where the leading power depends on the chosen lattice discretisation. The quantum nature of lattice QCD and lattice pure gauge theory spoils this behaviour. For asymptotically free theories like lattice QCD the integer powers in the lattice spacing are multiplied by an additional power in the running coupling. The leading powers in the coupling can be determined from the anomalous dimensions of higher dimensional operators, which form a minimal basis of a Symanzik Effective theory. The scope of this thesis is to compute the leading powers in the coupling for the Wilson or Ginsparg-Wilson (GW) action relevant for spectral quantities like hadron masses. The lower bound of these powers is close to zero for lattice QCD with Wilson or GW quarks such that no problems from a reduced convergence towards the continuum limit are to be expected. However the spectrum of leading powers is very dense. The operator of the minimal basis with dominant contributions to the lattice artifacts is thus hard to determine and complicated interplay of the contributions from the various operators is possible. Now the leading corrections from lattice actions with Wilson or GW quarks to the classical power in the lattice spacing are known and should be used when performing the continuum extrapolation both through explicit use in the fit ansatz and as an orientation to estimate the systematic uncertainty inherent to the continuum limit.