The Heston stochastic volatility model is one extension of the Black-Scholes model which describes the money markets more accurately so that more realistic prices for derivative products are obtained. From the stochastic differential equation of the underlying financial product a partial differential equation (p.d.e.) for the value function of an option can be derived. This p.d.e. can be solved with the finite difference method (f.d.m.). The stability and consistency of the method is examined. Furthermore a boundary condition is proposed to reduce the numerical error. Finally a non uniform structured grid is derived which is fairly optimal for the numerical result in the most interesting point. / Das stochastische Volatilitaetsmodell von Heston ist eines der Erweiterungen des Black-Scholes-Modells. Von der stochastischen Differentialgleichung fuer den unterliegenden Prozess kann eine partielle Differentialgleichung fuer die Wertfunktion einer Option abgeleitet werden. Es wird die Loesung mittels Finiter Differenzenmethode untersucht (Konsistenz, Stabilitaet). Weiterhin wird eine Randbedingung und ein spezielles nicht-uniformes Netz vorgeschlagen, was zu einer starken Reduzierung des numerischen Fehlers der Wertfunktion in einem ganz bestimmten Punkt fuehrt.

La prévision de la volatilité future constitue l'un des principaux enjeux actuels dans la finance contemporaine. De ce fait, une estimation précise de la volatilité, seul paramètre inobservable sur le marché, est cruciale pour la prise de décision en allocation d'actifs et en gestion des risques. Les modèles GARCH se basent sur les cours boursiers passés pour calculer ou estimer la volatilité. L'hypothèse qui se cache derrière cette approche est que l'on peut se servir du passé pour prédire l'avenir. Les modèles GARCH semblent toutefois peu adaptés à la prévision à long terme puisqu'ils présentent un retour à la moyenne. Nous avons alors utilisé le modèle EWMA qui présente l'avantage de ne pas retourner à la moyenne et nous avons estimé les paramètres des modèles étudiés pour reconstruire une volatilité historique de l'indice S&P500 par le biais de chaque modèle afin de les comparer avec le modèle de la volatilité réalisée. Les résultats de notre recherche montrent que la volatilité estimée par le modèle GARCH de Heston et Nandi (2000) n'est pas en mesure de reproduire la trajectoire suivie par la volatilité de l'indice S&P500 et ce modèle ne pourrait donc être employé pour faire des prévisions sur celle-ci. Nous avons trouvé également que le modèle EWMA semble significativement reproduire la même trajectoire que celle associée à la volatilité réalisée de l'indice et par conséquent on peut l'utiliser pour prévoir la volatilité future de l'indice S&P500. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Volatilité, S&P500, GARCH, EWMA, Heston et Nandi, VIX.

L'énorme incertitude qui règne sur les marchés financiers se traduit par de la volatilité intégrée dans les prix des options qui augmentent lorsque les investisseurs prévoient des fluctuations importantes des prix des actions. Le recours à une formule d'évaluation d'options est alors nécessaire pour extraire la volatilité anticipée des prix d'options cotés. Dans ce cas, les hypothèses jointes d'efficience informationnelle du marché des options et de validité du modèle d'évaluation d'options retenu sont impliquées. Motivés par ces faits, nous avons adapté le modèle de Heston pour générer la volatilité de l'indice boursier S&P 500 à partir des prix des options écrites sur cet indice. Puis nous avons estimé les paramètres du modèle pour reconstruire une volatilité historique et la comparer avec la volatilité réalisée. Les résultats de notre recherche montrent que la différence entre la volatilité estimée par le modèle de Heston et la volatilité réalisée est peu significative, ce qui nous a permis de valider et d'appliquer ce modèle pour prévoir la volatilité future de l'indice S&P 500. Nous avons trouvé également que les résultats dépendent de la quantité des options sélectionnées et de la largeur de l'intervalle des prix d'options disponibles. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Volatilité, Options, S&P500, Heston, GARCH, VIX.

Stochastic volatility models on option pricing have received much study following the discovery of the non-at implied surface following the crash of the stock markets in 1987. The most widely used stochastic volatility model is introduced by Heston (1993) because of its ability to generate volatility satisfying the market observations, being non-negative and mean-reverting, and also providing a closed-form solution for the European options. However, little research has been done on Heston model used to price early-exercise options. This presumably is largely due to the absence of a closed-form solution and the increase in computational requirement that complicates the required calibration exercise. This thesis examines the performance of the Heston model versus the Black-Scholes model for the American Style equity option of Microsoft and the index option of S&P 100 index. We employ a finite difference method combined with a Projected Successive Over-relaxation method for pricing an American put option under the Black-Scholes model, while an Alternating Direction Implicit method is utilized to decompose a multi-dimensional partial differential equation into several one dimensional steps under the Heston model. For the calibration of the Heston model, we apply a two step procedure where in the first step we apply an indirect inference method to historical stock prices to estimate diffusion parameters under a probability measure and then use a least squares method to estimate the instantaneous volatility and the market risk premium which are used to switch from working under the probability measure to working under the risk-neutral measure. We find that option price is positively related with the value of the mean reverting speed and the long-term variance. It is not sensitive to the market price of risk and it is negatively related with the risk free rate and the volatility of volatility. By comparing the European put option and the American put option under the Heston model, we observe that their implied volatility generally follow similar patterns. However, there are still some interesting observations that can be made from the comparison of the two put options. First, for the out-of-the-money category, the American and European options have rather comparable implied volatilities with the American options' implied volatility being slightly bigger than the European options. While for the in-the-money category, the implied volatility of the European options is notably higher than the American options and its value exceeds the implied volatility of the American options. We also assess the performance of the Heston model by comparing its result with the result from the Black-Scholes model. We observe that overall the Heston model performs better than the Black-Scholes model. In particular, the Heston model has tendency of underpricing the in-the-money option and overpricing the out-of-the-money option. Whereas, the Black-Scholes model is inclined to underprice both the in-the-money option and the out-of-the-money option.b

This work describes stochastic volatility models and application of such models for option pricing. Models for underlying asset and then pricing models for options with stochastic volatility are derived. Black-Scholes and Heston-Nandi models are compared in empirical part of this work.

Asset pricing models are well established and have been used extensively by practitioners both for pricing options as well as for hedging them. Though Black-Scholes is the original and most commonly communicated asset pricing model, alternative asset pricing models which incorporate additional features have since been developed. We present three asset pricing models here - the Black-Scholes model, the Heston model and the Merton (1976) model. For each asset pricing model we test the hedge effectiveness of delta hedging, minimum variance hedging and static hedging, where appropriate. The options hedged under the aforementioned techniques and asset pricing models are down-and-out call options, lookback options and cliquet options. The hedges are performed over three strikes, which represent At-the-money, Out-the-money and In-the-money options. Stock prices are simulated under the stochastic-volatility double jump diffusion (SVJJ) model, which incorporates stochastic volatility as well as jumps in the stock and volatility process. Simulation is performed under two ’Worlds’. World 1 is set under normal market conditions, whereas World 2 represents stressed market conditions. Calibrating each asset pricing model to observed option prices is performed via the use of a least squares optimisation routine. We find that there is not an asset pricing model which consistently provides a better hedge in World 1. In World 2, however, the Heston model marginally outperforms the Black-Scholes model overall. This can be explained through the higher volatility under World 2, which the Heston model can more accurately describe given the stochastic volatility component. Calibration difficulties are experienced with the Merton model. These difficulties lead to larger errors when minimum variance hedging and alternative calibration techniques should be considered for future users of the optimiser.

In this thesis the Black Scholes and the Heston stock prices are investigated and the models are compared. The Black Scholes model assumes that the volatility is constant, while the Heston model allows stochastic volatility which is more flexible and can perform better with empirical data. Both models are analysed and simulated, and the parameters are estimated based on empirical data of S&P 500. Results are based on simulations and characteristic functions which are presented with figures of probability density functions.

資本市場之系統性風險加劇時，對於利率變動型人壽保險所持有之區隔資產將出現大幅波動，進而影響保險公司之清償能力，本研究透過建立區隔資產負債表之隨機模型，檢視系統性風險下對於人壽保險業違約風險之變化，並透過敏感度分析找出對違約風險影響最大的因子。 本研究依據利率變動型壽險之現金流量建立公司之資產負債模型，預期建立Heston (1993)模型描述標的資產的隨機波動過程，相較於以往Black-Scholes (1973)模型更能反映真實的市場波動。本研究藉由資產與負債的變化，衡量保險公司違約風險，同時分析影響違約風險之各項因子，包含解約、死亡與資產配置策略之關聯性。本研究結果顯示，宣告利率、評價時間長度及資產配置策略等皆會影響保險公司之違約風險及其破產幅度。 / When systemic risk of capital markets exacerbates, the segment assets that held by interest sensitive life insurance policies will fluctuate widely and affect insurer's solvency. This paper considers the problem of valuating the default risk of the life insurers under systematic risk, by constructing a stochastic model of segment balance sheet. In this paper, we establish insurer's asset-liability model on the basis of interest sensitive life insurance policies' cash flow.In particular, we use Heston(1993) model to simulate stochastic process of assets, which is better reflect market volatility than Black-Scholes(1973) model in reality. And moreover, by means of the variation on asset and liability, this study evaluating the default risk of life insurers and analyze the factors affect default risk, like the correlation between surrender, death and asset allocation. And using the result of sensitivity analysis to determine which factor is more important, like guaranteed rate, time period of valuation and so on.

Les titres financiers sont souvent modélisés par des équations différentielles stochastiques (ÉDS). Ces équations peuvent décrire le comportement de l'actif, et aussi parfois certains paramètres du modèle. Par exemple, le modèle de Heston (1993), qui s'inscrit dans la catégorie des modèles à volatilité stochastique, décrit le comportement de l'actif et de la variance de ce dernier. Le modèle de Heston est très intéressant puisqu'il admet des formules semi-analytiques pour certains produits dérivés, ainsi qu'un certain réalisme. Cependant, la plupart des algorithmes de simulation pour ce modèle font face à quelques problèmes lorsque la condition de Feller (1951) n'est pas respectée. Dans ce mémoire, nous introduisons trois nouveaux algorithmes de simulation pour le modèle de Heston. Ces nouveaux algorithmes visent à accélérer le célèbre algorithme de Broadie et Kaya (2006); pour ce faire, nous utiliserons, entre autres, des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et des approximations. Dans le premier algorithme, nous modifions la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya afin de l'accélérer. Alors, au lieu d'utiliser la méthode de Newton du second ordre et l'approche d'inversion, nous utilisons l'algorithme de Metropolis-Hastings (voir Hastings (1970)). Le second algorithme est une amélioration du premier. Au lieu d'utiliser la vraie densité de la variance intégrée, nous utilisons l'approximation de Smith (2007). Cette amélioration diminue la dimension de l'équation caractéristique et accélère l'algorithme. Notre dernier algorithme n'est pas basé sur une méthode MCMC. Cependant, nous essayons toujours d'accélérer la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya (2006). Afin de réussir ceci, nous utilisons une variable aléatoire gamma dont les moments sont appariés à la vraie variable aléatoire de la variance intégrée par rapport au temps. Selon Stewart et al. (2007), il est possible d'approximer une convolution de variables aléatoires gamma (qui ressemble beaucoup à la représentation donnée par Glasserman et Kim (2008) si le pas de temps est petit) par une simple variable aléatoire gamma. / Financial stocks are often modeled by stochastic differential equations (SDEs). These equations could describe the behavior of the underlying asset as well as some of the model's parameters. For example, the Heston (1993) model, which is a stochastic volatility model, describes the behavior of the stock and the variance of the latter. The Heston model is very interesting since it has semi-closed formulas for some derivatives, and it is quite realistic. However, many simulation schemes for this model have problems when the Feller (1951) condition is violated. In this thesis, we introduce new simulation schemes to simulate price paths using the Heston model. These new algorithms are based on Broadie and Kaya's (2006) method. In order to increase the speed of the exact scheme of Broadie and Kaya, we use, among other things, Markov chains Monte Carlo (MCMC) algorithms and some well-chosen approximations. In our first algorithm, we modify the second step of the Broadie and Kaya's method in order to get faster schemes. Instead of using the second-order Newton method coupled with the inversion approach, we use a Metropolis-Hastings algorithm. The second algorithm is a small improvement of our latter scheme. Instead of using the real integrated variance over time p.d.f., we use Smith's (2007) approximation. This helps us decrease the dimension of our problem (from three to two). Our last algorithm is not based on MCMC methods. However, we still try to speed up the second step of Broadie and Kaya. In order to achieve this, we use a moment-matched gamma random variable. According to Stewart et al. (2007), it is possible to approximate a complex gamma convolution (somewhat near the representation given by Glasserman and Kim (2008) when T-t is close to zero) by a gamma distribution.

Les titres financiers sont souvent modélisés par des équations différentielles stochastiques (ÉDS). Ces équations peuvent décrire le comportement de l'actif, et aussi parfois certains paramètres du modèle. Par exemple, le modèle de Heston (1993), qui s'inscrit dans la catégorie des modèles à volatilité stochastique, décrit le comportement de l'actif et de la variance de ce dernier. Le modèle de Heston est très intéressant puisqu'il admet des formules semi-analytiques pour certains produits dérivés, ainsi qu'un certain réalisme. Cependant, la plupart des algorithmes de simulation pour ce modèle font face à quelques problèmes lorsque la condition de Feller (1951) n'est pas respectée. Dans ce mémoire, nous introduisons trois nouveaux algorithmes de simulation pour le modèle de Heston. Ces nouveaux algorithmes visent à accélérer le célèbre algorithme de Broadie et Kaya (2006); pour ce faire, nous utiliserons, entre autres, des méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et des approximations. Dans le premier algorithme, nous modifions la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya afin de l'accélérer. Alors, au lieu d'utiliser la méthode de Newton du second ordre et l'approche d'inversion, nous utilisons l'algorithme de Metropolis-Hastings (voir Hastings (1970)). Le second algorithme est une amélioration du premier. Au lieu d'utiliser la vraie densité de la variance intégrée, nous utilisons l'approximation de Smith (2007). Cette amélioration diminue la dimension de l'équation caractéristique et accélère l'algorithme. Notre dernier algorithme n'est pas basé sur une méthode MCMC. Cependant, nous essayons toujours d'accélérer la seconde étape de la méthode de Broadie et Kaya (2006). Afin de réussir ceci, nous utilisons une variable aléatoire gamma dont les moments sont appariés à la vraie variable aléatoire de la variance intégrée par rapport au temps. Selon Stewart et al. (2007), il est possible d'approximer une convolution de variables aléatoires gamma (qui ressemble beaucoup à la représentation donnée par Glasserman et Kim (2008) si le pas de temps est petit) par une simple variable aléatoire gamma. / Financial stocks are often modeled by stochastic differential equations (SDEs). These equations could describe the behavior of the underlying asset as well as some of the model's parameters. For example, the Heston (1993) model, which is a stochastic volatility model, describes the behavior of the stock and the variance of the latter. The Heston model is very interesting since it has semi-closed formulas for some derivatives, and it is quite realistic. However, many simulation schemes for this model have problems when the Feller (1951) condition is violated. In this thesis, we introduce new simulation schemes to simulate price paths using the Heston model. These new algorithms are based on Broadie and Kaya's (2006) method. In order to increase the speed of the exact scheme of Broadie and Kaya, we use, among other things, Markov chains Monte Carlo (MCMC) algorithms and some well-chosen approximations. In our first algorithm, we modify the second step of the Broadie and Kaya's method in order to get faster schemes. Instead of using the second-order Newton method coupled with the inversion approach, we use a Metropolis-Hastings algorithm. The second algorithm is a small improvement of our latter scheme. Instead of using the real integrated variance over time p.d.f., we use Smith's (2007) approximation. This helps us decrease the dimension of our problem (from three to two). Our last algorithm is not based on MCMC methods. However, we still try to speed up the second step of Broadie and Kaya. In order to achieve this, we use a moment-matched gamma random variable. According to Stewart et al. (2007), it is possible to approximate a complex gamma convolution (somewhat near the representation given by Glasserman and Kim (2008) when T-t is close to zero) by a gamma distribution.