Mit der Erfindung des Lasers wurden kohärente Lichtquellen allgemein verfügbar. Technische Fortschritte bei Pulsleistung und Pulsdauer ermöglichen linearer und nichtlinearer Wechselwirkungen von Licht und Materie auf ultrakurzen Zeitskalen zu untersuchen. Die Erzeugung von hohen Harmonischen is heutzutage viel verwended um den lichtblitze im extremen Ultraviolett mit bis zu attosekunden pulsedauern zu erzeugen. Diese Methode wurde kürzlich für Spektroskopie mit weicher Röntgenstrahlung erweitert. In dieser wird ein ein Anregungs-Abfrage Aufbau vorgestellt, in dem Höhere Harmonische im weichen Röntgenspektralbereich erzeugt und als ultrakurze Abfrage-Pulse genutzt werden. Ein neu entworfenes Röntgenabsorptionsspektrometer ermöglicht die bisher beste Auflösung und den besten detektierten Fluss an der K-Kante von Stickstoff. Der Aufbau wird genutzt, um die Ionisationsdynamik von diatomarem Stickstoff auf Femtosekunden-Zeitskalen und die anschließende Pikosekunden-Plasmadynamik zu untersuchen. Im Bereich des "Air Lasing", in dem das Lasern von Stickstoff-Ionen, die durch Starkfeld-Ionisation entstehen, untersucht wird, werden neue Erkenntnisse gewonnen. Der geringe Absorptionsquerschnitt von Wasser zwischen den K-Kanten von Kohlenstoff und Sauerstoff, bekannt als Wasserfenster, ermöglicht die Untersuchung von Molekülen und Ionen in wässriger Lösung. Es werden die ersten in eine laser labor gemessenen stationären weichen Röntgenspektren für Ionen und molekulare Systeme in wässriger Lösung vorgestellt. Darüber hinaus wird der Ansatz auch für transiente Absorptionsspektren angewendet. Zusätzliche Daten von Strahlzeiten an Großgeräten ermöglichen einen Vergleich der Methoden. Schließlich werden Ergebnisse von BESSY II zur Untersuchung der Struktur und lokale Umgebung von Protonen in Wasser vorgestellt. Die K-Kanten-Spektroskopie von Protonen-Wasser-Komplexen in Acetonitril vorgestellt erlaubt es die elektronische Struktur der beteiligten Moleküle besser zu verstehen. / The invention of the laser made coherent light sources widely available. Technical advances in pulse power und pulse duration allow the study of linear and nonlinear interactions of light and matter and ultrashort time scales. The highest nonlinear frequency up-converting process, High-order harmonics generation, is today the standard for up to attosecond short table-top sources. This method has been recently applied for ultrafast spectroscopy in the soft x-ray water window. In this thesis, a table-top high-order harmonics setup is presented and used for pump-probe spectroscopy in the water window. A home-built soft x-ray absorption spectrometer enables the so far best resolution and detected flux at nitrogen K-edge. The setup is utilized to study ionization dynamics of diatomic nitrogen on femtosecond time scales and the subsequent picosecond plasma dynamics. In the realm of air lasing, where lasing in nitrogen ions formed by strong field ionization is studied new insides are provided, narrowing down possible theoretical interpretations. The low absorption cross section of water between the carbon and oxygen K-edges known as the water window, enables to investigate molecules and ions in aqueous solution. The first steady-state soft x-ray spectra are presented for ions and molecular systems in aqueous solution recorded with a table-top laser based setup. Furthermore, the approach is also applied for transient absorption spectra. Additional data from beamtimes at large scale facilities allow for a comparison of the approaches. Finally, spectroscopic results taken at BESSY II are presented. The structure and local environment of excess protons in water is studied for more than two centuries and are still controversially discussed. Investigating proton-water complexes in acetonitrile with oxygen K-edge spectroscopy allows for a local probing of electronic orbital interactions and electric field effects on the electronic structure of the participating water molecules.

La physique de la couche limite atmosphérique en domaine océanique est principalement régie par les processus couplés liés au vent, à l’état de mer local, et à des effets de flottabilité. Leur compréhension reste néanmoins parcellaire et leurs descriptions théoriques et stochastiques sont pour le moins lacunaires, lorsqu’elles ne sont tout simplement pas mises à mal par les rares observations. Dans un contexte d’exploitation croissante de la ressource éolienne offshore, la mise en place de méthodes numériques visant à une description plus fine des propriétés turbulentes de cette couche limite sera une étape déterminante dans la réduction des coûts et l’optimisation des structures pour des rendements de récupération d’énergie améliorés. Ainsi, un outil numérique a été mis en place afin d’étudier le couplage entre un écoulement atmosphérique et l’état de mer. Un code Large-Eddy Simulation massivement parallèle pour la simulation des écoulements atmosphériques incompressibles développé par P. Sullivan au National Center for Atmospheric Research est couplé à un code spectral d’états de mer non-linéaires développé au Laboratoire de recherche en Hydrodynamique, Energétique et Environnement Atmosphérique. De nombreuses configurations de vents et d’états de mer sont modélisées. On montre que les lois semi empiriques souvent utilisées pour représenter la distribution verticale de la vitesse moyenne du vent sont une bonne approximation dans les situations où un petit état de mer est soumis à un fort vent. Néanmoins, dans le cas de houles très rapides se propageant dans des zones de faible vent, la création d’un jet de vent par la houle invalide ces lois semi-empiriques. / Modelling the dynamic coupling of ocean-atmosphere systems requires a fundamental and quantitative understanding of the mechanisms governing the windwave interactions: despite numerous studies, our current understanding remains quite incomplete and, in certain conditions, sparse field observations contradict the usual theoretical and stochastic models. Within the context of a growing exploitation of the offshore wind energy and the development of met ocean models, a fine description of this resource is a key issue. Field experiments and numerical modelling have revealed that atmospheric stability and wave effects, including the dynamic sea surface roughness, are two major factors affecting the wind field over oceans. A numerical tool has been implemented in order to study the coupling between an atmospheric flow and the seastate. A massively parallel large-eddy simulation developed by P. Sullivan at the National Center for Atmospheric Research is then coupled to a High-Order Spectral wave model developed at the Hydrodynamics,Energetics & Atmospheric Environment Laboratory in Ecole Centrale de Nantes. Numerous configurations of wind and sea states are investigated. It appears that, under strongly forced wind conditions above a small sea state, the semi-empirical laws referred to as standards in the international guidelines are a good approximation for the vertical profile of the mean wind speed. However, for light winds overlying fast-moving swell, the presence of a wave induced wind jet is observed, invalidating the use of such logarithmic laws.

A high-order central essentially non-oscillatory (CENO) finite-volume scheme in combination with a block-based adaptive mesh refinement (AMR) algorithm is proposed for solution of hyperbolic and elliptic systems of conservation laws on body- fitted multi-block mesh. The spatial discretization of the hyperbolic (inviscid) terms is based on a hybrid solution reconstruction procedure that combines an unlimited high-order k-exact least-squares reconstruction technique following from a fixed central stencil with a monotonicity preserving limited piecewise linear reconstruction algorithm. The limited reconstruction is applied to computational cells with under-resolved solution content and the unlimited k-exact reconstruction procedure is used for cells in which the solution is fully resolved. Switching in the hybrid procedure is determined by a solution smoothness indicator. The hybrid approach avoids the complexity associated with other ENO schemes that require reconstruction on multiple stencils and therefore, would seem very well suited for extension to unstructured meshes. The high-order elliptic (viscous) fluxes are computed based on a k-order accurate average gradient derived from a (k+1)-order accurate reconstruction. A novel h-refinement criterion based on the solution smoothness indicator is used to direct the steady and unsteady refinement of the AMR mesh. The predictive capabilities of the proposed high-order AMR scheme are demonstrated for the Euler and Navier-Stokes equations governing two-dimensional compressible gaseous flows as well as for advection-diffusion problems characterized by the full range of Peclet numbers, Pe. The ability of the scheme to accurately represent solutions with smooth extrema and yet robustly handle under-resolved and/or non-smooth solution content (i.e., shocks and other discontinuities) is shown for a range of problems. Moreover, the ability to perform mesh refinement in regions of smooth but under-resolved and/or non-smooth solution content to achieve the desired resolution is also demonstrated.

A high-order central essentially non-oscillatory (CENO) finite-volume scheme in combination with a block-based adaptive mesh refinement (AMR) algorithm is proposed for solution of hyperbolic and elliptic systems of conservation laws on body- fitted multi-block mesh. The spatial discretization of the hyperbolic (inviscid) terms is based on a hybrid solution reconstruction procedure that combines an unlimited high-order k-exact least-squares reconstruction technique following from a fixed central stencil with a monotonicity preserving limited piecewise linear reconstruction algorithm. The limited reconstruction is applied to computational cells with under-resolved solution content and the unlimited k-exact reconstruction procedure is used for cells in which the solution is fully resolved. Switching in the hybrid procedure is determined by a solution smoothness indicator. The hybrid approach avoids the complexity associated with other ENO schemes that require reconstruction on multiple stencils and therefore, would seem very well suited for extension to unstructured meshes. The high-order elliptic (viscous) fluxes are computed based on a k-order accurate average gradient derived from a (k+1)-order accurate reconstruction. A novel h-refinement criterion based on the solution smoothness indicator is used to direct the steady and unsteady refinement of the AMR mesh. The predictive capabilities of the proposed high-order AMR scheme are demonstrated for the Euler and Navier-Stokes equations governing two-dimensional compressible gaseous flows as well as for advection-diffusion problems characterized by the full range of Peclet numbers, Pe. The ability of the scheme to accurately represent solutions with smooth extrema and yet robustly handle under-resolved and/or non-smooth solution content (i.e., shocks and other discontinuities) is shown for a range of problems. Moreover, the ability to perform mesh refinement in regions of smooth but under-resolved and/or non-smooth solution content to achieve the desired resolution is also demonstrated.

This thesis develops the methodology for solving initial boundary value problems with the use of summation-by-parts discretizations. The combination of high orders of accuracy and a systematic approach to construct provably stable boundary and interface procedures makes this methodology especially suitable for scientific computations with high demands on efficiency and robustness. Most classes of high order methods can be applied in a way that satisfies a summation-by-parts rule. These include, but are not limited to, finite difference, spectral and nodal discontinuous Galerkin methods. In the first part of this thesis, the summation-by-parts methodology is extended to the time domain, enabling fully discrete formulations with superior stability properties. The resulting time discretization technique is closely related to fully implicit Runge-Kutta methods, and may alternatively be formulated as either a global method or as a family of multi-stage methods. Both first and second order derivatives in time are considered. In the latter case also including mixed initial and boundary conditions (i.e. conditions involving derivatives in both space and time). The second part of the thesis deals with summation-by-parts discretizations on multi-block and hybrid meshes. A new formulation of general multi-block couplings in several dimensions is presented and analyzed. It collects all multi-block, multi-element and  hybrid summation-by-parts schemes into a single compact framework. The new framework includes a generalized description of non-conforming interfaces based on so called summation-by-parts preserving interpolation operators, for which a new theoretical accuracy result is presented.

L'analyse des processus non-linéaires de génération et de propagation de la houle a constitué le cadre de cette thèse. Afin d'améliorer la compréhension de ces phénomènes, une méthode numérique dite High-Order Spectral (HOS), résolvant le problème de façon non-linéaire, a été développée. Cette méthode, avec une formulation surfacique et résolue de manière spectrale, associe précision et efficacité. <br /><br />Un traitement original de la génération de houle non-linéaire est proposé. Il permet l'accès à des simulations de champs de vagues tridimensionnels complexes, fortement cambrés, dans un bassin de houle. Diverses comparaisons avec des expériences menées dans le bassin du Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'ECN sont présentées.<br /><br />Des simulations océaniques, en milieu ouvert, sont également proposées. Un intérêt particulier est porté à l'étude de l'apparition des vagues scélérates au sein de l'océan. L'importance des effets non-linéaires est pointée ainsi que l'aptitude de la méthode à modéliser de tels phénomènes. Des comparaisons avec les méthodes classiquement employées dans ce genre de problématique indiquent l'intérêt de l'approche utilisée ici.<br /><br />La résolution du problème de tenue à la mer est également envisagée. L'utilisation de la méthode HOS dans les codes couplés, développés au Laboratoire de Mécanique des Fluides (potentiel, RANS, SPH), est envisagée. Elle permettra la description précise de la houle incidente ; le couplage est mis en place et validé sur un certain nombre de cas d'application.

Cette thèse porte sur l’étude d’une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l’on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides (par exemple des combinaisons entre des méthodes Volumes Finis et Différences Finies, Éléments Finis et Différences Finies, etc.), notre objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l’aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l’aide d’hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, nous utilisons des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d’ordre arbitraire, pour approximer le champ électromagnétique. Nous utilisons un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d’intégration en temps de type saute-mouton d’ordre deux ou d’ordre quatre. Après avoir introduit le contexte historique et physique des équations de Maxwell, nous présentons les étapes détaillées de la méthode GDDT-PpQk. Nous réalisons ensuite une analyse de stabilité L2 théorique, en montrant que cette méthode conserve une énergie discrète et en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps, ainsi que l’analyse de convergence en h (théorique également), conduisant à un estimateur d’erreur a-priori. Ensuite, nous menons une étude numérique complète en 2D (ondes TMz), pour différents cas tests, des maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes. Nous faisons enfin de même pour la mise en oeuvre en 3D, avec des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d’une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine. Nous montrons alors la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul. / This thesis is concerned with the study of a Discontinuous Galerkin Time-Domain method (DGTD), for the numerical resolution of the unsteady Maxwell equations on hybrid tetrahedral/hexahedral in 3D (triangular/quadrangular in 2D) and non-conforming meshes, denoted by DGTD-PpQk method. Like in several studies on various hybrid time domain methods (such as a combination of Finite Volume with Finite Difference methods, or Finite Element with Finite Difference, etc.), our general objective is to mesh objects with complex geometry by tetrahedra for high precision and mesh the surrounding space by square elements for simplicity and speed. In the discretization scheme of the DGTD method considered here, the electromagnetic field components are approximated by a high order nodal polynomial, using a centered approximation for the surface integrals. Time integration of the associated semi-discrete equations is achieved by a second or fourth order Leap-Frog scheme. After introducing the historical and physical context of Maxwell equations, we present the details of the DGTD-PpQk method. We prove the L2 stability of this method by establishing the conservation of a discrete analog of the electromagnetic energy and a sufficient CFL-like stability condition is exhibited. The theoritical convergence of the scheme is also studied, this leads to a-priori error estimate that takes into account the hybrid nature of the mesh. Afterward, we perform a complete numerical study in 2D (TMz waves), for several test problems, on hybrid and non-conforming meshes, and for homogeneous or heterogeneous media. We do the same for the 3D implementation, with more realistic simulations, for example the propagation in a heterogeneous human head model. We show the consistency between the mathematical and numerical results of this DGTD-PpQk method, and its contribution in terms of accuracy and CPU time.

Cette thèse porte sur la modélisation des ondes élastodynamiques dans deux situations particulières qui pénalisent les méthodes numériques utilisées pour simuler ces phénomènes. Dans la première partie, on se place dans le cas où les ondes de pression (ondes P) se propagent à une vitesse beaucoup plus grande que celle des ondes de cisaillement (ondes S). Les modèles numériques utilisés habituellement pour traiter cette configuration sont pénalisés par la plus petite vitesse qui dicte le choix du pas du schéma. Nous proposons ici un schéma qui découple numériquement, dans le volume, les ondes P et les ondes S, pour deux types de conditions de bord en utilisant la décomposition du déplacement en potentiels de Lamé, en deux dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet homogènes, qui sont des conditions essentielles pour la formulation classique en déplacement, deviennent des conditions naturelles, mais non standard, pour la formulation en potentiels qui se présente comme un système de deux équations d’ondes couplées par les conditions aux limites. Cette formulation préserve une énergie équivalente à l'énergie élastodynamique. Nous construisons un schéma éléments finis en espace et utilisons un thêta-schéma en temps sur les termes de bord afin de ne pas pénaliser la CFL et mener à une condition sur le pas de temps indépendante des termes de couplage au bord. Ce schéma préserve une énergie discrète. Le cas des conditions de surface libre mène à des instabilités. Nous les avons traitées comme des perturbations des conditions de Dirichlet, ce qui permet d'obtenir de bons résultats dans le domaine fréquentiel mais donne naissance à de sévères instabilités après discrétisation en temps. La seconde partie de la thèse est consacrée à la construction, l'analyse et la validation de conditions de transmission effectives (CTE) à travers une couche mince de matériau homogène et isotrope d'épaisseur constante h. Ici, la finesse de la couche affecte les schémas explicites usuels car le maillage de la couche avec des éléments suffisamment petits entraîne une diminution analogue du pas de temps critique via la condition CFL, tandis que l'on espère avec les CTE obtenir un pas de temps indépendant de l'épaisseur de la couche. Une analyse complète du cas de la bande mince rectiligne est donnée en deux et trois dimensions. Les conditions obtenues sont stables via la conservation d'une énergie et l'ordre de l'erreur d'approximation par rapport à l'épaisseur de la couche pour les conditions d'ordre 2 est de O(h^3). Des résultats numériques sont présentés pour les configurations bi et tridimensionnelles, ils valident les résultats de stabilité, d'estimation d'erreur et de conditions de stabilité de schémas en temps proposés, qui sont des modifications du schéma explicite utilisé en l'absence de couche mince. Enfin, le traitement d'une couche curviligne est effectué dans le cas bidimensionnel. Sa stabilité est à nouveau vérifiée par conservation d'énergie et des résultats numériques sont également présentés. / This work is dedicated to the modelling of elastodynamic waves in two particular situations for which standard numerical methods experience difficulties. In the first part, the case where the velocity of the pressure waves (P waves) is much greater than the velocity of the shear waves (S waves) is studied. When applied to this situation, standard explicit time-stepping methods are hampered by the fact that the mesh size is dictated by the smallest velocity. We develop a numerical scheme that uncouples the body S-waves and P-waves by exploiting the well-known representation of elastodynamic states in terms of Lamé potentials. Formulations are derived and analysed for the 2-D case, where both potentials are scalar functions. Homogeneous essential Dirichlet boundary conditions lead to non-standard natural conditions for our potential-based formulation. A system of two wave equations, coupled by two boundary conditions, is obtained. This formulation is energy-preserving. A discretization approach involving finite elements in space and a theta-scheme in time applied to the boundary unknowns inside the domain is proposed, so that the « natural » time step for each wave speed can be used. This scheme is shown to be also energy-preserving. The case of Neumann boundary conditions is also addressed. These conditions are treated as perturbations of the Dirichlet case, an approach which yields good results in the time-harmonic case while giving rise to severe instabilities in the time-discrete transient case. The second part of this thesis is concerned with the design, analysis, numerical approximation and implementation of effective transmission conditions (ETCs) for the propagation of elastic waves through a thin elastic layer with small uniform thickness h which is embedded in a reference elastic medium, under transient conditions, with both materials assumed to have isotropic properties. Here, the thinness of the layer has an adverse effect on usual explicit schemes, since meshing the layer with small elements will induce a corresponding reduction of the critical time step through a CFL condition, whereas it is expected that the layer-less CFL condition will remain valid if the layer is modelled using ETCs. First, a complete analysis is given in the case of a planar elastic layer, applicable to two- and three-dimensional situations. The stability of the proposed second-order ETC is established as the result of energy preservation, while the approximation error on the transmission solution is shown to be of order O(h^3) in energy norm. Numerical experiments, performed for two- and three-dimensional configurations, validate the theoretical findings on stability, approximation error and stability conditions of time-stepping schemes that are natural modifications of the explicit scheme used in the absence of a thin layer. Then, ETCs are also derived for the case of a curvilinear layer embedded in a two-dimensional elastic medium. Their stability is again proven as resulting from energy preservation and the theoretical results are illustrated with numerical experiments.

Les modèles numériques d'océans régionaux tridimensionnels sont basés sur la résolution des équations primitives et utilisent pour la plupart des méthodes de résolution eulérienne de type différences finies sur des grilles décalées. Ces modèles doivent représenter fidèlement les transports et transferts d'énergie. L'amélioration de ces modèles numériques exige donc (i) l'identification des processus prépondérants, notamment en terme de dissipation, dans ces transferts et (ii) la construction de méthodes numériques respectant un certain nombre d'équilibres. La première partie du travail se concentre sur la propagation des ondes externes et internes de gravité. Nous nous intéresserons en premier lieu à la stabilité de la séparation en mode rapide (barotrope) et lents (baroclines) et montrons qu'elle peut être ameliorée en levant certaines hypothèses traditionnellement effectuées. Dans un second temps, nous étudions l'impact de la discrétisation (ordre des schémas, grilles décalées ou non) sur la propagation des ondes internes de gravité provenant du couplage vitesse pression. Une décomposition en modes verticaux nous permet également de proposer un schéma espace temps très efficace. La seconde partie étudie en détail les schémas d'advection de quantité de mouvement et de traceurs, tout particulièrement dans l'objectif d'une réduction de la diffusion diapycnale (diffusion dans les directions orthogonales aux couches de densité constante). Ce travail nous amène tout d'abord à porter notre attention sur les schémas d'advection verticaux souvent négligés au regard de la dimension horizontale. Les bonnes propriétés d'un schéma compact (et de ses variantes espace temps et monotones) sont mises en avant. Enfin nous analysons le comportement multidimensionnel de ces schémas d'advection. / Three-dimensional regional ocean numerical models are based on solving the primitive equations and mostly use Eulerian finite differences methods of resolution on staggered grids. These models must accurately represent transports and energy transfers. Improving these numerical models therefore requires (i) the identification of predominant process, particularly in terms of dissipation in these transfers and (ii) the construction of numerical methods respecting a number of balances. The first part of the work focuses on the propagation of external and internal gravity waves. We focus primarily on the stability of the separation in fast mode (barotropic) and slow (baroclinic) and show that it can be improved by removing certain assumptions traditionally made. In a second step, we study the impact of the discretization (order of schemes, staggered grids or not) on the propagation of internal gravity waves coming from the coupling velocity pressure. A decomposition into vertical modes also allows us to offer a highly effective space-time scheme. The second part examines in detail the numerical advection schemes of momentum and tracers, especially with the aim of reducing the diapycnal diffusion (diffusion in the orthogonal direction of constant density layers). This work leads us first to focus our attention on the vertical advection schemes often overlooked in front of the horizontal dimension. The good properties of a compact schema (and its space-time and monotonous variants ) are highlighted. Finally we analyze the multidimensional behavior of these advection schemes.

Uma grande limitação dos métodos de diferenças finitas é que eles estão restritos a malhas e domínios retangulares. Para descrever escoamentos em domínios complexos, como, por exemplo, problemas com superfícies livres, faz-se necessário o uso de técnicas acessórias. O método de interfaces imersas é uma dessas técnicas. Nesse trabalho, primeiramente foi desenvolvido um método de projeção, totalmente livre de pressão, para as equações de Navier-Stokes com variáveis primitivas em malha deslocada. Esse método é baseado em diferenças finitas compactas, possuindo segunda ordem temporal e quarta ordem espacial. Esse método foi combinado com o método de interface imersa de Linnick e Fasel [2] para resolver numericamente as equações de Stokes com quarta ordem de precisão. A verificação do código foi feita por meio do método das soluções manufaturadas e da comparação com resultados de outros autores em problemas clássicos da literatura. / A great limitation of finite differences methods is that they are restricted to retangular meshes and domains. In order to describe flows in complex domains, e.g. free surface problems, it is necessary to use accessory techniques. The immersed interface method is one of such techniques. In the present work, firstly, a projection method was developed, which is completely pressure-free, for the Navier-Stokes equations with primitive variables in a staggered mesh. This method is based on compact finite differences, with temporal second-order precision and spatial foruth-order precision. This method was combined with the immersed interface method from Linnick e Fasel [2] in order to numerically solve the Stokes equations with fourth-order precision. The verification of the code was performed with the manufactured solutions method and by comparing results with other authors for some classical problems in the literature.