Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des K-théories de Morava modulo 2 des 2-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ pour le premier p=2 et n un entier positif.Le cas n=1, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas n>1, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques.La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie de l'omega-spectre associé à la théorie K(2). / The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod 2 Morava K-theories of elementary abelian 2-groups. Namely, we study the covariant functors $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ for the prime p=2 and n a positive integer.The case n=1, which follows directly from the work of Atiyah on topological K-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case n>1, where the above-mentioned functors are analytic.The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the omega-spectrum associated to the theory K(2).

Les travaux présentés dans cette thèse concernent l'équivalence monoïdale de groupes quantiques localement compacts et ses applications. Nous généralisons au cas localement compact et régulier, deux résultats importants concernant les actions de groupes quantiques compacts. Soient G1 et G2 deux groupes quantiques localement compacts réguliers et monoïdalement équivalents. Nous développons un procédé d'induction des actions qui permet d'établir une équivalence canonique des catégories dont les objets sont les actions continues de G1 et G2 sur les C*-algèbres. Comme application de ce résultat, nous obtenons une équivalence canonique des catégories de KK-Théorie équivariante pour G1 et G2. Nous introduisons et étudions une notion d'actions sur les C*-algèbres, de groupoïdes quantiques mesurés sur une base finie. La preuve de la seconde équivalence s'appuie alors sur une version du théorème de bidualité de Takesaki-Takai pour les actions de groupoïdes quantiques mesurés sur une base finie. Enfin, nous terminons en définissant et étudiant une notion de modules hilbertiens équivariants pour des actions de groupoïdes quantiques mesurés sur une base finie. / This dissertation deals with the notion of monoidal equivalence of locally compact quantum groups and its applications. We generalize to the case of regular locally compact quantum groups, two important resultst concerning the actions of compact quantum groups. Let G1 and G2 be two regular locally compact quantum groups monoidally equivalent. We develop an induction procedure and we build an equivalence of the categories, whose objects are the continuous actions of G1 and G2 on C*-algebras. As an application of this result, we obtain a canonical equivalence of the categories of equivariant KK-theory for actions of G1 and G2. We introduce and investigate a notion of actions on C*-algebras of mesured quantum groupoids on a finite basis. The proof of the second equivalence relies on a version of the Takesaki-Takai duality theorem for continuous actions of measured quantum groupoids on a finite basis. We conclude by defining and studying a notion of equivariant Hilbert modules for actions of mesured quantum groupoids on a finite basis.

Pour X une courbe sur un corps global k, lisse, projective et géométriquement connexe, nous déterminons la Q-structure du groupe de Quillen K1(X) : nous démontrons que dimQ K1(X) ? Q =2r, où r désigne le nombre de places archimédiennes de k (y compris le cas r = 0 pour un corps de fonctions). Cela con?rme une conjecture de Bloch annoncée dans les années 1980. Dans le langage de la K-théorie de Milnor, que nous dé?nissons pour les variétés algébriques via les groupes de Somekawa, le premier K-groupe spécial de Milnor SKM1 (X) est de torsion. Pour la preuve, nous développons une théorie des hauteurs applicable aux K-groupes de Milnor, et nous généralisons l’approche de base de facteurs de Bass-Tate. Une structure plus ?ne de SKM 1 (X) émerge en localisant le corps de base k, et une description explicite de la décomposition correspondante est donnée. En particulier, nous identi?ons un sous-groupe WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) pour chaque entier rationnel l, nommé noyau sauvage, dont nous croyons qu’il est ?ni. / For a smooth projective geometrically connected curve X over a global ?eld k, we determine the Q-structure of its ?rst Quillen K-group K1(X) by showing that dimQ K1(X) ? Q =2r, where r denotes the number of archimedean places of k (including the case r = 0 for k a function ?eld). This con?rms a conjecture of Bloch. In the language of Milnor K-theory, which we de?ne for varieties via Somekawa groups, the ?rst special Milnor K-group SKM 1 (X) is torsion. For the proof, we develop a theory of heights applicable to Milnor K-groups, and generalize the factor basis approach of Bass-Tate. A ?ner structure of SKM 1 (X) emerges when localizing the ground ?eld k, and we give an explicit description of the resulting decomposition. In particular, we identify a potentially ?nite subgroup WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) for each rational prime l, named wild kernel.

Dans son preprint, M. Bruno Kahn a construit une suite spectrale par rang en utilisant la méthode catégorique. Cette suite spectrale est construit par une filtration de la catégorie des modules sans-torsion de type fini d'un anneau intègre A ce qui explique le nom : suite spectrale par rangs. Cette suite spectrale converge vers les groupes d'homologies de la Q-construction de la catégorie de A-modules sans torsion de type fini et elle été utilisé par Quillen pour prouver que les K-groupes sont de génération finie pour anneau d'intègres d'un corps de nombres. Notre but de cette thèse est de calculer le différentiel de la suite spectrale par rangs qui peut servit comme une première étape d'une idée générale d'unifier les calculs de rangs des K-groupes de la courbe sur un corps fini (G. Harder) et la courbe arithmétique (A. Borel). Pour gagner ça, nous étudions le foncteur cellulaire (connexe) et les constructions de Grothendieck en détail, en particulier ses propriétés homotopiques. En utilisant ça, nous pouvons mettre le différentiel dans certain triangles distingués de foncteurs sur une catégorie, puis nous réalisons ces foncteurs explicits en langages d'immeuble de Tits, module de Steinberg et symbole modulaire au sens d'Ash-Rudolph. Nous avons aussi obliger de fabriquer un autre symbole : le symbole étendu pour étudier l'homologie de la suspension d'immeuble de Tits, mais nous montons que ce symbole est équivalent que symbole modulaire. / Bruno Kahn has constructed a rank spectral sequence by using a purely categorical approach. This spectral sequence was derived by using a filtration of the category of torsion-free modules over integral domain by ranks and hence the name: rank spectral sequence. This spectral sequence converges to the homology groups of the Q-construction over the category of finitely generated torsion-free modules over an integral ring. Quillen used it in the proof of the finite generation of K-groups of rings of integers. Our goal in this thesis is to calculate the differential of the rank spectral sequence. We believe that this is a first step towards a much bigger project, that is, to unify the calculation of the ranks of K-groups of curves over a finite field (result of G. Harder) and of arithmetic curves (result of A. Borel).To achieve our goal, we put the differential in certain distinguished triangles of coefficients/functors over some categories, and make these functors explicit in terms of Tits building and Ash-Rudolph's modular symbols. To accomplish this, we shall use Quillen's categorical homotopy theory intensively and introduce the notion of extended (modular) symbols which is equivalent to Ash-Rudolph's via the suspension of Tits buildings.

En employant des méthodes de la théorie de Chern-Weil, Reznikov produit une condition suffisante qui assure la non-trivialité de la projectivisation \( \mathbb{P}(E) \) d'un fibré vectoriel complexe en tant que fibré Hamiltonien. Dans le contexte de la quantification géométrique, Savelyev et Shelukhin introduisent un nouvel invariant des fibrés Hamiltoniens avec valeurs dans la K-théorie et étendent le résultat de Reznikov. Cet invariant est donné par l'indice d'Atiyah-Singer d'une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac. Dans ce mémoire, on s'intéresse à des fibrés Hamiltoniens résultant d'un produit fibré et d'un produit cartésien d'une collection de fibrés projectifs complexes \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). En usant des mêmes méthodes que Shelukhin et Savelyev, on définit une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac qui agissent sur les sections d'un fibré de Dirac canonique à valeurs dans un fibré pré-quantique. L'indice de famille produit un invariant de fibrés Hamiltoniens avec fibres données par un produit d'espaces projectifs complexes et permet de construire des exemples de fibrés Hamiltoniens non-triviaux. / Using methods of Chern-Weil Theory, Reznikov provides a sufficient condition for the non-triviality of the projectivization \( \mathbb{P}(E) \) of a complex vector bundle \( E \) as a Hamiltonian fibration. In the setting of geometric quantization, Savelyev and Shelukhin introduce a new invariant of Hamiltonian fibrations and a K-theoretic lift of Reznikov's result. This invariant is given by the Atiyah-Singer index of a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators. In this thesis, we consider Hamiltonian fibrations given by the Cartesian product and the fiber product of a collection of complex projective bundles \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). Using the same methods as Savelyev and Shelukhin, we define a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators acting on sections of a canonical Dirac bundle with values in a suitable prequantum fibration. The family index gives then an invariant of Hamiltonian fibrations with fibers given by a product of complex projective spaces and allows to construct examples of non-trivial Hamiltonian fibrations.

Le thème de cette thèse est les différents aspects de la théorie de Borel-Moore dans le monde motivique. Classiquement, sur le corps des nombres complexes, l’homologie de Borel-Moore, aussi appelée “homologie à support compact”, possède des propriétés assez différentes comparée avec l’homologie singulière. Dans cette thèse on étudiera quelques généralisations et applications de cette théorie dans les catégories triangulées de motifs.La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie on définit l'homologie motivique de Borel-Moore dans les catégories triangulées de motifs mixtes définies par Cisinski et Déglise et étudie ses diverses propriétés fonctorielles, tout particulièrement une fonctorialité analogue au morphisme de Gysin raffiné défini par Fulton. Ces résultats nous serviront ensuite à identifier le coeur de la structure de poids de Chow définie par Hébert et Bondarko: il se trouve que le coeur, autrement dit la catégorie des éléments de poids zéro, est équivalente à une version relative des motifs purs de Chow sur une base définie par Corti et Hanamura.Dans la deuxième partie on démontre la représentabilité de la G-théorie de Quillen, sous la reformulation de Thomason, dans un premier temps dans la catégorie A1-homotopique des schémas de Morel-Voevodsky, mais aussi dans la catégorie homotopique stable construite par Jardine. On établit une identification de celle-ci comme la théorie de Borel-Moore associée à la K-théorie algébrique, en utilisant le formalisme des six foncteurs établi par Ayoub et Cisinski-Déglise. / The theme of this thesis is different aspects of Borel-Moore theory in the world of motives. Classically, over the field of complex numbers, Borel-Moore homology, also called “homology with compact support”, has some properties quite different from singular homology. In this thesis we study some generalizations and applications of this theory in triangulated categories of motives.The thesis is composed of two parts. In the first part we define Borel-Moore motivic homology in the triangulated categories of mixed motives defined by Cisinski and Déglise and study its various functorial properties, especially a functoriality similar to the refined Gysin morphism defined by Fulton. These results are then used to identify the heart of the Chow weight structure defined by Hébert and Bondarko: it turns out that the heart, namely the category of elements of weight zero, is equivalent to a relative version of pure Chow motives over a base defined by Corti and Hanamura.In the second part we show the representability of Quillen’s G-theory, reformulated by Thomason, firstly in the A1-homotopy category of schemes of Morel-Voevodsky, but also in the stable homotopy category constructed by Jardine. We establish an identification of G-theory as the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, by using the six functors formalism settled by Ayoub and Cisinski-Déglise.

Le théorème de l'indice d'Atiyah et Singer, démontré en 1963, est un résultat qui a permis de relier des thématiques mathématiques variées, allant des équations aux dérivées partielles a la topologie et la géométrie différentielle. Plus précisément, il fait le lien entre la dimension de l'espace des solutions d'une équation aux dérivées partielles elliptique et des invariants topologiques du type (co)homologie, et a des applications importantes, regroupant plusieurs théorèmes majeurs venant de divers domaines (géométrie algébrique, topologie différentielle, analyse fonctionnelle). D'un autre cote, les fonctions zêta associées à des opérateurs pseudo différentiels sur une variété riemannienne close contiennent dans leurs propriétés analytiques des informations intéressantes. On peut par exemple retrouver dans les résidus le théorème de Weyl sur l asymptotique du nombre de valeurs propres d'un laplacien, et en particulier le volume de la variété. En se plaçant dans le cadre de la géométrie différentielle non commutative développée par Connes, on peut pousser cette idée plus loin. Plus précisément, on peut obtenir, en combinant des techniques de renormalisation zêta avec la propriété d'excision en cohomologie cyclique, des théorèmes d'indice dans l'esprit de celui d'Atiyah-Singer. L'intérêt de ce point de vue réside dans sa généralisation possible à des situations géométriques plus délicates. La présente thèse établit des résultats dans cette direction / The index theorem of Atiyah and Singer, discovered in 1963, is a striking result which relates many different fields in mathematics going from the analysis of partial differential equations to differential topology and geometry. To be more precise, this theorem relates the dimension of the space of some elliptic partial differential equations and topological invariants coming from (co)homology theories, and has important applications. Many major results from different fields (algebraic topology, differential topology, functional analysis) may be seen as corollaries of this result, or obtained from techniques developed in the framework of index theory. On another side, zeta functions associated to pseudodifferential operators on a closed Riemannian manifold contain in their analytic properties many interesting informations. For instance, the Weyl theorem on the asymptotic number of eigenvalues of a Laplacian may be recovered within the residues of the zeta function. This gives in particular the volume of the manifold, which is a geometric data. Using the framework of noncommutative geometry developed by Connes, this idea may be pushed further, yielding index theorems in the spirit of the one of Atiyah Singer. The interest in this viewpoint is to be suitable for more delicate geometrical situations. The present thesis establishes results in this direction

Cette thèse explore la relation entre les catégories de modules sur les catégories différentielles graduées (abrégées DG) petites, d'une part, et les catégories triangulées bien engendrées d'autre part. Dans la première partie, on construit la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A d'une catégorie DG $\alpha$-cocomplète petite A, où $\alpha$ est un cardinal régulier. Cette construction jouit d'une propriété très intéressante, qui est la clef pour démontrer le théorème principal de la thèse. Les catégories D_\alpha A s'avèrent être les prototypes des catégories triangulées algébriques à engendrement $\alpha$-compact. On entend par algébrique, équivalente, en tant que catégorie triangulée à la catégorie stable d'une catégorie de Frobenius. Le résultat principal établit que les catégories algébriques bien engendrées sont précisément celles qui sont des localisations de la catégorie dérivée d'une catégorie DG petite. Ce résultat rappelle beaucoup un théorème de Gabriel et Popescu de 1964, qui caractérise les catégories abéliennes de Grothendieck comme des localisations de catégories de modules sur des anneaux. Il donne aussi une réponse positive à une question de Drinfeld qui demandait si toutes les catégories triangulées bien engendrées sont des localisations de catégories triangulées à engendrement compact, pour la classe des catégories triangulées algébriques. Dans la deuxième partie, on étudie les catégories DA et D_\alpha A en utilisant la structure projective de catégories de modèles de Quillen présente sur la catégorie des DG modules. On introduit la sous-catégorie des DG modules cofibrants homotopiquement $\alpha$-compacts et on montre que sa catégorie homotopique est précisément la catégorie dérivée $\alpha$-continue D_\alpha A. Cela nous permet de donner une deuxième preuve, complètement différente du résultat-clef de la première partie.

Le travail effectué dans cette thèse consiste à construire et adapter dans d'autres cadres des objets issus de la géométrie algébrique. Nous nous intéressons d'abord à la théorie des classes de Chern pour les faisceaux cohérents. Sur les variétés projectives, elle est complètement achevée dans les anneaux de Chow grâce à l'existence de résolutions globales localement libres et se ramène formellement à la théorie pour les fibrés. Un résultat de Voisin montre que ces résolutions n'existent pas toujours sur des variétés complexes compactes générales. Nous construisons ici par récurrence sur la dimension de la variété de base des classes de Chern en cohomologie de Deligne rationnelle pour les faisceaux analytiques cohérents en imposant la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions et en utilisant des méthodes de dévissage. Ces classes sont les seules à vérifier la formule de fonctorialité par pull-back, la formule de Whitney et la formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les immersions; elles coïncident donc avec les classes topologiques et les classes d'Atiyah. Elles vérifient aussi le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch pour les morphismes projectifs. Notre second travail est l'étude des schémas de Hilbert ponctuels d'une variété symplectique ou presque complexe de dimension 4. Ils ont été construits par Voisin et généralisent les schémas de Hilbert connus pour les surfaces projectives. En utilisant les structures complexes relatives intégrables introduites dans la construction de Voisin, nous pouvons étendre au cas presque complexe ou symplectique la théorie classique. Nous calculons les nombres de Betti, nous construisons les opérateurs de Nakajima, nous étudions l'anneau de cohomologie et la classe de cobordisme de ces schémas de Hilbert, et nous prouvons dans ce contexte un cas particulier de la conjecture de la résolution crêpante de Ruan.

Dans cette thèse nous développons une théorie de catégories faiblement enrichies . Par 'faiblement' on comprendra ici une catégorie dont la composition de morphismes est associative à homotopie près; à l'inverse d'une catégorie enrichie classique où la composition est strictement associative. Il s'agit donc de notions qui apparaissent dans un contexte homotopique. Nous donnons une notion de catégorie enrichie de Segal et une notion de catégorie enrichie co-Segal; chacune de ces notions donnant lieu à une structure de catégorie supérieure. L'une des motivations de ce travail était de fournir une théorie de catégories linéaires supérieures, connues pour leur importance dans des différents domaines des mathématiques, notamment dans les géométries algébriques commutative et non-commutative. La première partie de la thèse est consacrée à la notion de catégorie enrichie de Segal. Nous définissons une telle catégorie enrichie comme morphisme (colax) de 2-catégories satisfaisant certaines conditions dites conditions de Segal . Le fil rouge de notre démarche est la définition de monoïde à homotopie près donnée par Leinster. Les monoïdes de Leinster correspondent précisément aux catégories enrichies de Segal avec un seul objet; ici on suit la coutume en théorie des catégories qui consiste à identifier un monoïde avec l'espace des endomorphismes d'un objet. Notre contribution ici est donc une généralisation des travaux de Leinster. Nous montrons comment notre formalisme couvre le cas des catégories de Segal classique, les monoïdes de Leinster et surtout apporte une définition de DG-catégorie de Segal. Les catégories enrichies 'classiques' sont des catégorie enrichies sur une catégorie monoïdale. L'École australienne a étudié la notion plus générale de catégorie enrichie lorsqu'on remplace 'monoïdale' par '2-catégorie'. Notre formalisme généralise de manière naturelle le cas australien en ajoutant de l'homotopie dans la 2-catégorie sur laquelle on enrichit. Les principaux résultats de la thèse sont dans la deuxième partie qui porte sur les catégories enrichies co-Segal. Nous avons introduit ces nouvelles structures lorsqu'on s'est aperçu que les catégories enrichies de Segal ne sont pas faciles à manipuler pour faire une théorie de l'homotopie. En effet il semble devoir imposer une condition supplémentaire qui est trop restrictive dans beaucoup de cas. Ces nouvelles catégories s'obtiennent en 'renversant' la situation du cas Segal, d'où le préfixe 'co' dans 'co-Segal'. Nous définissons une catégorie co-Segal comme morphisme (lax) de 2-catégories satisfaisant des conditions co-Segal . Ces structures se révèlent plus souples à manipuler et notamment pour faire de l'homotopie. Notre résultat principal est l'existence d'une structure de modèles au sens de Quillen sur la catégorie des précatégories co-Segal; avec comme particularité que les objets fibrants sont des catégories co-Segal. Cette structure de modèle s'obtient comme localisation de Bousfield et repose sur des méthodes initialement développées par Jardine et Joyal.