Lärandet i matematik styrs av elevens motivation till ämnet. Syftet med studien är att ta reda på vilka olika faktorer i undervisningen som kan påverka elevens motivation inom ämnet matematik. För att skapa en forskningsöversikt har en systematisk litteraturstudie genomförts för att utveckla och presentera en fördjupning i de teman som blivit synliga. Två tydliga teman växte fram, Spel och Undervisningsfaktorer och det är dessa teman som undersökts för att finna vilka faktorer som kan påverka elevens motivation. Resultatet av studien visar att lärarens undervisning och hur den genomförs, har en betydande roll för hur eleven kommer finna och utveckla sin motivation till matematik. Aktiv undervisning visar sig vara en avgörande faktor till hur elevens motivation ter sig till matematiken. Pedagogiska spel i matematiken visar sig även ha en positiv inverkan på elever med inlärningssvårigheter, men lämpar sig väl för alla elever. / The teaching in mathematics is influenced by the student's motivation to mathematics. The main purpose of this study is to find factors in the teacher´s methods that can have an effect on the pupil´s motivation in mathematics. In order to create a research overview, a systematic literature study has been conducted, to then later on, deepen the topics that have become visible. Two themes were clearly emerged, Games and Activities and Teaching factors, and these themes were examined to find out which factors can affect the pupil´s motivation. The result of the study shows that the teacher´s methods and how they are implemented, has a significant role in how the pupils will find and experience motivation for math. Active teaching proves to be an important factor for the student's motivation and how it appears in the mathematical subject. The result also shows that educational games in maths education have a positive impact on all pupils, and especially for pupils with learning disabilities.

<p>Matematikdidaktik</p>

In this study the teaching of mathematics has been developed in relation to rational numbers and towards a learning activity. At the same time topic-specific mediated tools have been studied. The iterative model for learning study has been used as research approach. The purpose of the study was to explore what in an algebraic learning activity enables knowledge of rational numbers to develop. The specific questions answered by the study are how an algebraic learning activity can be formed in an otherwise arithmetic teaching tradition, what knowledge is mediated in relation to different mediated tools and what in these tools that enable this knowledge. The result of the study shows how an algebraic learning activity can be developed to support the students to understand rational numbers even in an arithmetic teaching tradition. The important details that developed the algebraic learning activity were to identify the problem to create learning tasks and the opportunity for the students to reflect that are characteristic of a learning activity. The result also shows that the mediating tools, the algebraic symbols and the general model for fractional numbers, have had significant importance for the students' possibilities to explore rational numbers. The conditions for the algebraic symbols seem to be the possibilities for these symbols to include clues to the meaning of the symbol and that the same symbol can be used in relation to several of other mediated tools. The conditions in the general model consisted of that the integer numbers and the rational numbers in the model could be distinguished and that the students could reflect on the meaning of the different parts. The general model consists of the algebraic symbols, developed in the learning activity. The algebraic symbols make the structure of the numbers visible and the general model mediates the structure of additive and multiplicative conditions that are contained in a rational number. The result of the study contributes in part to the field of mathematics education research by examining Elkonin's and Davydov's Mathematical Curriculum in a western teaching practice and in part to a development of the model of Learning study as a didactical research approach by using an activity-theoretical perspective on design and analysis.

In this study the teaching of mathematics has been developed in relation to rational numbers and towards a learning activity. At the same time topic-specific mediated tools have been studied. The iterative model for learning study has been used as research approach. The purpose of the study was to explore what in an algebraic learning activity enables knowledge of rational numbers to develop. The specific questions answered by the study are how an algebraic learning activity can be formed in an otherwise arithmetic teaching tradition, what knowledge is mediated in relation to different mediated tools and what in these tools that enable this knowledge. The result of the study shows how an algebraic learning activity can be developed to support the students to understand rational numbers even in an arithmetic teaching tradition. The important details that developed the algebraic learning activity were to identify the problem to create learning tasks and the opportunity for the students to reflect that are characteristic of a learning activity. The result also shows that the mediating tools, the algebraic symbols and the general model for fractional numbers, have had significant importance for the students' possibilities to explore rational numbers. The conditions for the algebraic symbols seem to be the possibilities for these symbols to include clues to the meaning of the symbol and that the same symbol can be used in relation to several of other mediated tools. The conditions in the general model consisted of that the integer numbers and the rational numbers in the model could be distinguished and that the students could reflect on the meaning of the different parts. The general model consists of the algebraic symbols, developed in the learning activity. The algebraic symbols make the structure of the numbers visible and the general model mediates the structure of additive and multiplicative conditions that are contained in a rational number. The result of the study contributes in part to the field of mathematics education research by examining Elkonin's and Davydov's Mathematical Curriculum in a western teaching practice and in part to a development of the model of Learning study as a didactical research approach by using an activity-theoretical perspective on design and analysis.

Syftet med denna licentiatuppsats är att undersöka aspekter i undervisningen som skapar förutsättningar för att elever i yngre åldrar (årskurs 2 och 3) ska engageras i ett algebraiskt arbete. Learning study har använts som metod (ansats) för att producera data. Ett forskarlag bestående av två grundskollärare i matematik och en lärarforskare har i  learning study-processen arbetat i en kolloborativ och intervenerande process.   I designen och analysen har Davydovs lärandeverksamhets teori, variationsteorin och Radfords definition av algebraiska mönstergeneraliseringar använts som teoretiska utgångspunkter. Det empiriska  datamaterialet består av (1) videoinspelade intervjuer med åtta elever samt transkriptioner av dessa; (2) videoinspelningar av tre forskningslektioner; (3) lektionsplaneringar; (4) synopsis av videoinspelade forskningslektioner; (5) transkriptioner av delar av forskningslektioner.   Resultatet består av tre identifierade kritiska aspekter som elever kan behöva urskilja för att kunna uttrycka och argumentera för en mönstergeneralisering algebraiskt: (a) att urskilja relationen mellan ett elements position och antalet komponenter; (b) att urskilja hur man kan använda relationen mellan ett elements position och antalet komponenter för att förutsäga ett godtyckligt element i mönstret; (c) att urskilja konstanten (den komponent som inte ändras utan är densamma i samtliga element) i mönstret.  Resultatet ger även exempel på vilka funktioner de lärandeverksamhetsteoretiska principerna (Davydov), problemsituation, lärandemodell och motsättningar, kan ha för att ett algebraiskt arbete ska etableras och upprätthållas. Vidare kan resultatet bidra till att fördjupa förståelsen gällande vad det innebär att kunna uttrycka och argumentera för mönstergeneraliseringar algebraiskt i yngre åldrar. Resultatet kan även bidra till kunskap som kan användas av lärare för att iscensätta och realisera en undervisning inom ramen för early algebra. / The purpose of this licentiate thesis is to study the aspects of the teaching that enable students of younger ages to be engaged in algebraic work. Learning study has been used as the method to produce data. A research team consisting of two primary school teachers in mathematics and a teacher researcher worked collaboratively, designing interventions iteratively during the learning study process.  In the design as well as analysis, Davydov's learning activity theory, Variation theory and Radford's definition of algebraic pattern generalizations have been used as theoretical starting points. The empirical data consists of (1) video-recorded interviews with eight students as well as transcriptions thereof; (2) video recordings of three research lessons; (3) lesson plans; (4) synopsis of video recordings of three research lessons; (5)  transcriptions of parts of video recorded research lessons. Results consists of three identified critical aspects that students may need to discern in order to express and justify for a pattern generalization algebraically: (a) to discern the relationship between the position of an element and the number of components; (b) to discern how to use the relationship between the position of an element and the number of components to predict an arbitrary element in the pattern; (c) to discern the constant (the component that does not change but is the same in all elements) in the pattern. Results give examples of what functions the theoretical principles of Davydov´s learning activity, problem situation, learning model and contradictions, may have for algebraic work to be established and maintained. Furthermore, the results may contribute to a deepened understanding of what it means to be able to express and justify for pattern generalizations algebraically at younger ages. The results may also contribute to knowledge that can be used by teachers to stage and carry out a teaching within the frame of early algebra.

Syftet med denna licentiatuppsats är att pröva en specifik strukturell modell som stöd för elevers utforskande av relationer mellan tal i additiva strukturer även när negativa tal är inkluderade. En intention är att resultatet ska kvalificera undervisningen och utgöra ett stöd vid planering och genomförande av en undervisning avseende ekvationer med additiv struktur utifrån algebraisk undervisning som alternativ till att i första hand finna en lösning med stöd av regler och procedurer. Under studien kartlades, kategoriserades och beskrevs elevernas erfarande av fenomenet relationer mellan kvantiteter. I studien prövades även om, och i sådant fall, på vilka sätt en specifik strukturell modell användes av elever under arbetet med att utforska ekvationers struktur. Elever från årskurserna 3, 8 och 9 deltog i semistrukturerade intervjuer samt i forskningslektioner. Tre grupper av lärare samt två forskare planerade, genomförde och reviderade forskningslektionerna baserat på ansatsen learning study. Fenomenografi var den teoretiska ansatsen för de inledande semistrukturerade intervjuerna. Variationsteori och lärandeverksamhet var de teoretiska ramverken för forskningslektionerna där Davydovs program var en inspirationskälla. För att uppnå syftet formulerades följande forskningsfrågor: Vilka skilda sätt att erfara fenomenet relationer mellan kvantiteter kan urskiljas i elevintervjuer? På vilka sätt använder elever en specifik strukturell modell för att utforska ekvationer? Den första forskningsfrågan besvaras i Artikel 1 som visar att elever erfar relationer mellan kvantiteter som någonting som ska beräknas alternativt någonting som ska relateras. Den andra forskningsfrågan besvaras i Artikel 2 som visar att elever använde sig av den i studien prövade specifika strukturella modellen såsom ett formulär att fylla i alternativt som en lärandemodell och redskap för att identifiera del-helhetsstrukturen mellan tal i en ekvation samt för att välja lämplig operation att lösa ut det obekanta talet.                           Resultaten visar på möjligheten, men även utmaningen, att introducera en algebraisk undervisning med fokus på analys och teoretiska resonemang även för elever med erfarenheter från en alternativ bakgrund. / The aim of the licentiate thesis is to examined a specific structural model in order to support students' exploration of relationships between numbers in additive structures even when negative numbers is included. One intention is that the finding should qualify the teaching and constitute a support when plan and implement teaching regarding equations with additive structure based on algebraic teaching as an alternative to primarily finding a solution with support of rules and procedures. During the study, the students' experiences of the phenomenon relationships between quantities was examined, categorized and described. In the study it was also examined whether and, if so, in what ways a specific structural model was used by students during the work of exploring the structure of equations. Students from grades 3, 8 and 9 participated in semi-structured interviews and in research lessons. Three groups of teachers and two researchers planned, conducted and revised the research lessons based on the learning study approach. Phenomenography was the theoretical approach for the initial semi-structured interviews. Variation theory and learning activity were the theoretical frameworks for the research lessons where Davydov's curriculum was a source of inspiration. In order to achieve the aim, the following research questions were formulated: 1) What different ways of experiencing the phenomenon of relationships between quantities can be discerned in student interviews? 2) In what ways do students use a specific structural model to explore equations? The first research question is answered in Article 1, which shows that students experience relationships between quantities as something to be calculated or something to be related. The second research question is answered in Article 2, which shows that students used the specific structural model examined in the study as a form to fill in alternatively as a learning model and a tool to identify the part-whole structure between numbers in an equation and to choose appropriate operation to find the unknown number. The findings show the possibility, but also the challenge, of introducing an algebraic teaching with a focus on analysis and theoretical reasoning also for students with experiences from an alternative background.

Den här licentiatuppsatsen handlar om hur en undervisning kan främja elevers förståelse av tiobassystemet genom att de bjuds in till en undervisning där de kan delta i ett kollektivt utforskande av bassystemet, som en övergripande nivå av tiobassystemet. Syftet är att exemplifiera och diskutera hur en undervisning, som främjar elevernas möjligheter att utveckla ett tänkande om tiobassystemet på en generell eller övergripande nivå, kan utformas. Vidare är syftet att studera vad i en undervisning, designad enligt principerna för lärandeverksamhet, som kan förstås som förebyggande i specialpedagogisk mening. Studien bygger på resultatet av två artiklar med följande frågeställningar: 1) Vilka aspekter i uppgifternas utformning och genomförande främjar elevers möjligheter att pröva relationen mellan olika bastal och övergång till successivt större respektive mindre talenheter? 2) Vad i elevernas resonemang och arbete med speciellt designade uppgifter kan ses som tecken på teoretiskt tänkande om bassystemet? Learning study har använts som forskningsramverk och genererat data för uppsatsens två artiklar. Learning studyn genomfördes i årskurs 4, tillsammans med tre matematiklärare. Design och analys är inspirerad av El’konins och Davydovs matematiska program och några principer från lärandeverksamhet. Analysen i de bägge artiklarna är genomförd med stöd av teoretiska principer för lärandeverksamhet. Datamaterialet består av videoinspelningar från tre lektioner (totalt cirka 420 minuter), transkriptioner och datasammanställningar av uppgifter, transkriptioner och anteckningar från utvärderingarna i det iterativa arbetet med lektionerna. Resultatet består av tre aspekter som behöver synliggöras genom uppgifternas utformning och genomförande för att eleverna ska kunna arbeta teoretiskt med bassystemets struktur: (1) Bastalet, (2) Tal som mätetal, och (3) Talenheternas representationer. Eleverna behöver urskilja aspekterna för att kunna identifiera att det fattas en lämplig talenhet och för att kunna pröva och reflektera över relationen mellan bastalet och övergången till successivt större respektive mindre talenheter i olika baser. Resultatet består också av ett antal exempel på tecken på teoretiskt tänkande inom tre identifierade kategorier: 1) basens funktion för det värde som siffrorna anger i talet, 2) positionsväxling, och (3 entalet som ett av en kvantitet. I analysen har Davydovs definition av teoretiskt tänkande, som något som kan komma till uttryck i form av teoretisk reflektion, analys och planering samt reproduktion av grundläggande principer för ett specifikt ämnesinnehåll, använts. Resultatet ger ett bidrag till den matematikdidaktiska forskningen och till den specialpedagogiska forskningen med inriktning mot matematik genom beskrivningar av de tre aspekterna och av tecken på teoretiskt tänkande. Vidare kan beskrivningarna av uppgifternas utformning och genomförande användas i undervisning och i fortsatta studier. I diskussionen behandlas hur en undervisning kan utformas som främjar elevernas möjligheter att utveckla ett teoretiskt tänkande om bassystemet. Diskussionen behandlar också vad i en undervisning designad enligt principerna för lärandeverksamhet som kan förstås som förebyggande i specialpedagogisk mening genom att skapa möjligheter för elever att redan tidigt i grundskolan kollektivt utforska och förstå hela positionssystemet som en struktur. Slutligen diskuteras implikationer för specialundervisning och studiens bidrag. / The subject of this licentiate thesis is about how a teaching can promote students' understanding of the base-ten system by inviting them to a teaching where they can collectively explore the base system, as an overall level of the base-ten system. The aim is to exemplify and discuss how teaching, which affords students opportunities to develop thinking about the base-ten system on a general or overall level, can be designed. Furthermore, the aim is to study teaching designed according to the principles of learning activity in terms of how it can be preventive from a special pedagogical perspective. The study is based on the results of two articles with the following questions: 1) Which aspects in the design and implementation of the tasks afford students opportunities to explore the relationship between different base numbers and the transition to successively larger and smaller number units? 2) What in the students' reasoning and work with specially designed tasks can be seen as signs of theoretical thinking about the base system? Learning study has been used as a research framework and generated data for the two articles. The learning study was carried out in year 4, together with three mathematics teachers. Design and analysis are inspired by El’konin’s and Davydov’s mathematical program and some principles from learning activity. The theoretical principles for learning activity were used as tools for analysis. Data consists of video recordings from three lessons (in total approximately 420 minutes), transcriptions and data compilations of tasks, transcriptions, and notes from the evaluations in the iterative work with the lessons. The results consist of three aspects that need to be made visible through the design and implementation of the tasks so that the students can work theoretically with the structure of the base system: (1) The base number, (2) Number as a measurement number, and (3) The representations of the number units. The students need to distinguish the aspects in order to discern that a bigger or smaller number unit is missing and to test and reflect on the relationship between the base number and the transition to successively larger and smaller number units, constructed in different bases. The result also includes several examples of signs of emerging theoretical thinking within three identified categories: 1) the bases function to the digits´ value in the number, 2) position switching, and (3) the unit as one of a quantity. In the analysis, Davydov's definition of theoretical thinking, as something that can be expressed in the form of theoretical reflection, analysis, and planning as well as the reproduction of fundamental principles for specific subject content, has been used. The results contribute to mathematics didactic research and to special educational research with a focus on mathematics through descriptions of the three aspects and signs of theoretical thinking. Further the descriptions of how tasks can be designed and carried out be used in teaching and continued research. The discussion deals with how teaching can be designed that afford student opportunities to develop theoretical thinking about the base system. The discussion also deals with what in a teaching designed according to the principles of learning activity can be understood as preventive in a special pedagogical perspective, by creating opportunities for students to collectively explore and understand the entire position system as a structure already early in elementary school. Finally, implications for special education and the contribution of the study are discussed. / <p>Sammanläggningen i Pdf innehåller båda artiklarna. </p>

Syftet med licentiatuppsatsen är att bidra med kunskap om vilka aspekter som kan vara nödvändiga för elever att urskilja för att identifiera och analysera en del-helhetsstruktur och i förlängningen bemästra ekvationer. I forskningsprojektet medverkade lärare och forskare i ett kollaborativt och intervenerande arbete. Elever i årskurserna 3, 8 och 9 deltog i semistrukturerade intervjuer och forskningslektioner för att producera data. Forskningslektionerna genomfördes med learning study som forskningsansats, vilken erbjuder iterativa processer. De teoretiska ramverken utgjordes av fenomenografi, variationsteori och lärandeverksamhet. Ansatsen fenomenografi utgjorde ett analysverktyg när intervjuerna analyserades. Variationsteori och lärandeverksamhet utgjorde kompletterande ramverk när forskningslektioner designades och analyserades. Resultatet i Artikel 1 påvisar en kritisk aspekt, vilken formulerades som: två kvantiteter tillsammans (två delar) bildar en tredje kvantitet (en helhet) med samma ”värde” som de två delarna tillsammans. Resultatet i Artikel 2 påvisar fem kritiska aspekter, vilka formulerades som (1) det är en relation mellan alla tal i en ekvation, (2) två delar tillsammans är ekvivalenta med en helhet med samma värde, (3) vad som utgör en helhet respektive delar, (4) samma relation kan formuleras på fyra olika sätt och (5) helheten kan anta ett lägre värde än delarna. En slutsats är att det kan vara en fördel redan för unga elever att delta i undervisning med utgångspunkt i early algebra och lärandeverksamhet där generella matematiska strukturer fokuseras. En ytterligare slutsats är att det kan vara gynnsamt att delta i teoretiska resonemang där ekvationer med negativa tal inkluderade utforskas med stöd av en lärandemodell. / The aim of the licentiate thesis is to contribute with knowledge concerning which aspects may be necessary for students to discern in order to identify and analyze a part-whole structure and in the long term master equations. In the research project, teachers and researchers participated in a collaborative and intervening work. Students in grades 3, 8 and 9 participated in semi-structured interviews and research lessons in order to produce data. The research lessons were conducted with learning study as research approach, which offers iterative processes.The theoretical frameworks consisted of phenomenography, variation theory and learning activity. The phenomenography approach was an analysis tool when the interviews were analyzed. Variation theory and learning activity constituted complementary frameworks when research lessons were designed and analyzed. The finding in Article 1 demonstrates a critical aspect, which was formulated as two quantities together (two parts) build up a third quantity (the whole) with the same “value” as the two parts together. The finding in Article 2 demonstrates five critical aspects, which wereformulated as (1) there is a relationship between all numbers in an equation, (2) two parts together are equivalent to a whole with the same value, (3) what constitutes a whole and parts, (4) the same relationship can be formulated in four different ways and (5) the whole can assume a lower value than the parts. One conclusion is that it may be an advantage already for young students to participate in teaching based on early algebra and learning activity where general mathematical structures are focused. A furtherconclusion is that it may be beneficial to participate in theoretical reasoning where equations with negative numbers included are explored with support by a learning model.