Negativa tal har inte alltid varit lika självklara som de är idag. En elev som aldrig tidigare mött ne-gativa tal, än mindre räknat med dem, kommer troligtvis anse att det är ologiskt att tala om äpplen. Forskning visar på att det finns en mängd svårigheter och missuppfattningar om operatio-ner med negativa tal. En del av dessa missuppfattningar grundas i den tvetydighet som finns be-träffande minustecknets funktioner - då minustecknet både används som operator och som be-teckning för negativitet. Den negativa talmängden är en del av kursplanen i matematik för årskurs 4 till 6. Vanligtvis är det dock först i årskurs 8 som elever undervisas om operationer med negativa tal. Syftet med denna studie är att undersöka hur elever i årskurs 7 uppfattar addition och subtraktion av negativa tal. Detta ämnar vi att uppfylla genom att besvara följande frågeställning; På vilka kva-litativ skilda sätt uppfattar elever operationer med negativa tal? Som grund för urvalet genomfördes ett förtest varifrån åtta elever valdes ut till att delta i kvalitati-va intervjuer. Dessa intervjuer resulterade i att fem kvalitativt åtskilda beskrivningskategorier kun-de urskiljas; det finns inget under noll, eliminering av termer, omvända räkneoperationer till vänster om noll, posi-tiva och negativa tal samarbetar ej samt positiv eller negativ differens. Vi hoppas att denna studie kan bidra till en ökad förståelse om vilka olika elevuppfattningar det finns av operationer med negativa tal.

Det övergripande syftet med denna studie är att undersöka hur ett antal lärare i åk 4-6 introducerar negativa tal i matematikundervisningen med hänsyn till sammanhang (t.ex. addition eller prioriteringsregler) och metaforer (t.ex. termometern), och deras orsaker till varför de gör på just dessa sätt. Metoder som används i studien är för att samla in data är observationer och intervjuer. Resultaten visar att de lärare som observerades och intervjuades främst använder sig av tallinjen som sammanhang och termometer samt tallinjen som metaforer för att introducera negativa tal. Enligt de observerade lärarna använder de sig av just dessa sammanhang och metaforer (t.ex. tallinjen och termometern) eftersom dessa lätt kan kopplas till elevernas vardagsliv. Vissa sammanhang och metaforer valdes bort eftersom lärarna anser att de är svåra att koppla till elevernas vardagsliv och de anser att det blir överkurs för deras elever.

<p>Syftet med arbetet har varit att undersöka om eleverna är hjälpta av att använda tallinjen i arbetet med förståelsen för negativa tal. I undersökningen har en grupp elever från år 3 samt en grupp elever från år 5 deltagit.</p><p> </p><p>Arbetssättet i undersökningen är baserat på aktionsforskningens principer. För- och eftertest samt dagboksanteckningar från de genomförda lektionspassen ligger till grund för analysen där en kvalitativ metod har använts.</p><p> </p><p>Av resultaten går det att utläsa att elevernas rätta svar ökar på eftertestet samt att flera av eleverna använder tallinjen för att beskriva sina tankegångar vilket inte alls förekom på förtestet.</p><p> </p><p>I arbetet lyfts även några viktiga moment som beroende på framställningen kan förenkla men även försvåra förståelsen. Diskussionen visar också att det läromedel den undersökta skolan använder kräver att läraren undervisar eleverna om de negativa talen, annars riskerar eleverna att memorera minnesregler utan att få någon förståelse för operationerna då de räknar med negativa tal.</p>

Syftet med arbetet har varit att undersöka om eleverna är hjälpta av att använda tallinjen i arbetet med förståelsen för negativa tal. I undersökningen har en grupp elever från år 3 samt en grupp elever från år 5 deltagit.   Arbetssättet i undersökningen är baserat på aktionsforskningens principer. För- och eftertest samt dagboksanteckningar från de genomförda lektionspassen ligger till grund för analysen där en kvalitativ metod har använts.   Av resultaten går det att utläsa att elevernas rätta svar ökar på eftertestet samt att flera av eleverna använder tallinjen för att beskriva sina tankegångar vilket inte alls förekom på förtestet.   I arbetet lyfts även några viktiga moment som beroende på framställningen kan förenkla men även försvåra förståelsen. Diskussionen visar också att det läromedel den undersökta skolan använder kräver att läraren undervisar eleverna om de negativa talen, annars riskerar eleverna att memorera minnesregler utan att få någon förståelse för operationerna då de räknar med negativa tal.

Jag valde att skriva denna uppsats om negativa tal för att jag har kommit på en metod och förklaringsmodell som kan åtgärda vissa brister inom det matematiska området. Syftet med arbetet var att undersöka om elever i skolans tidigare år kan lära sig räkna med negativa tal med hjälp av visualisering som min metod ”att räkna med gropar” bygger på. Jag har använt mig av ett undervisningsförsök med fördiagnos och efterdiagnos, med en lektionsserie på 4 lektioner mellan diagnoserna. Undervisningsförsöket gjordes i en klass 5 med 28 elever som aldrig tidigare varit i kontakt med det matematiska området negativa tal. Resultatet visade att metoden fungerade väl och att eleverna lärt sig mycket bra. De gjorde en ökning från 35 % rätt på fördiagnosen till 80 % rätt på efterdiagnosen. Det tyder på att visualisering av ett nytt och okänt område med hjälp av min metod fungerar för att eleverna skall få en första förståelse för ett område inom matematiken de kommer ha mycket nytta av under senare år i skolan.

<p>Jag valde att skriva denna uppsats om negativa tal för att jag har kommit på en metod och förklaringsmodell som kan åtgärda vissa brister inom det matematiska området. Syftet med arbetet var att undersöka om elever i skolans tidigare år kan lära sig räkna med negativa tal med hjälp av visualisering som min metod ”att räkna med gropar” bygger på. Jag har använt mig av ett undervisningsförsök med fördiagnos och efterdiagnos, med en lektionsserie på 4 lektioner mellan diagnoserna. Undervisningsförsöket gjordes i en klass 5 med 28 elever som aldrig tidigare varit i kontakt med det matematiska området negativa tal. Resultatet visade att metoden fungerade väl och att eleverna lärt sig mycket bra. De gjorde en ökning från 35 % rätt på fördiagnosen till 80 % rätt på efterdiagnosen. Det tyder på att visualisering av ett nytt och okänt område med hjälp av min metod fungerar för att eleverna skall få en första förståelse för ett område inom matematiken de kommer ha mycket nytta av under senare år i skolan.</p>

I denna studie undersöktes hur elever i grundskolan förstår och hanterar negativa tal i matematik. En fenomenografisk metod användes för att samla in både kvantitativa och kvalitativa data från elever i årskurs 9. Studien fokuserade på elevernas uppfattningar om negativa tal och undersökte hur eleverna skiljer på minus-symbolen för subtraktion och negativitet, om de tycker att matematik blir svårare med negativa tal och om problem med negativa tal blir lättare att lösa när de handlar om vardagliga situationer. Resultatet analyserades och diskuterades i ljuset av tidigare forskning på området. Resultatet visade att eleverna hade svårt att skilja på minus-symbolen för subtraktion och negativitet, och att de ibland förväxlade de två symbolerna med varandra. Detta ledde till att vissa elever hade svårt att hantera negativa tal i olika kombinationer, och att de automatiserade regeln att minus minus blir plus. När eleverna fick möjlighet att använda negativa tal i vardagliga situationer verkade det bli lättare för dem att förstå och hantera negativa tal. En del elever upplever att matematik blir svårare med negativa tal, medan andra inte tycker att det påverkar svårighetsgraden.

Vi har undersökt vilka delar inom matematiken som kan hjälpa eleverna att utveckla sin förståelse för %u201Dlång tid%u201D och tidslinjer. I analysen diskuteras resultaten utifrån utvecklingspsykologiskt perspektiv/strukturteori (Piaget), sociohistorisk/sociokulturell teori (Vygotskij) och konstruktivistisk teori (von Glasersfeld). Undersökningen har genomförts med två grupper elever i årskurserna 3-5 där vi har använt oss av intervjuer och undervisningsförsök för att få svar på våra frågor. Gruppernas resultat har analyserats och jämförts med varandra för att försöka hitta den matematik som har hjälpt eleverna att förstå tidslinjer och dess användningsområden, eller som vållat dem bekymmer. De matematiska delar som synliggjordes i undersökningen är bland annat proportionalitet, positionssystemet, stora tal och negativa tal. Vi har också funnit att i arbetet med abstrakta begrepp som tid, är dialogen mellan elever och lärare-elever av stor betydelse för kunskapsutvecklingen.

Från en tidig ålder får barn lära sig att använda positiva tal. De kan lägga ihop två tal och få ett större tal eller dra ifrån ett tal från ett annat för att få ett mindre tal. Till exempel får småbarn lära sig att två plus två äpplen blir fyra äpplen och att om man har tre päron och tar bort två får man ett päron kvar. Man kan på ett konkret sätt se det framför sig. Något som inte är lika självklart är tal som t ex. fyra minus fem. Hur kan man ha fyra päron och dra ifrån fem? Negativa tal dyker sällan dyker upp i vardagliga problem, men det är fortfarande något som lärs ut i skolan. Syftet med arbetet som beskrivs i denna rapport är att undersöka gymnasieelevers uppfattningar om negativa tal och som teoretiskt ramverk används den fenomenografiska ansatsen. För att ta reda på vilka olika uppfattningar elever kan ha intervjuades åtta eleversom går sitt andra år på gymnasiet (och läser Matematik 2b). Undersökningen ämnade svarapå följande frågeställning: Hur uppfattar gymnasieelever negativa tal och vilka strategiersynliggörs i deras beräkningar? Vilka skilda beskrivnings-kategorier om negativa tal går detatt urskilja. En kvalitativ undersökning gjordes av materialet med hjälp av en fenomenografisk analys. Efter analysen gick det att särskilja fem distinkt olika beskrivningskategorier, där alla kategorier, utom den sista, leder till att eleven använder någon form av strategi för att underlätta beräkningar med negativa tal: (1) Minus minus blir plus, (2) Negativa tal förklaras med metaforer, (3) Uträkningar blir lättare om termerna i ett uttryck flyttas om, (4) Negativa tal håller till på andra sidan noll och (5) Upplever en osäkerhet kring negativa tal. Resultatet kan hjälpa matematiklärare förstå de utmaningar elever står inför beräkningar med negativa tal. Exempelvis att eleverna inte tycker det falla sig naturligt eller tillräckligt att beskriva ett tal som negativt, vilket kan bottna i att de är vana att matematik kan förklaras med konkreta exempel. Det är något som matematiklärare borde vara medvetna om. / From an early age we learn to use positive numbers. We can put two numbers together and get a bigger number or subtract a number from another to get a smaller number. For example,young children learn that two plus two apples will be four apples and that if you have three pears and remove two you have one pear left. It is easy to visualize the numbers in front of you. Something that is not as obvious is calculations such four minus five. How can one have four pears and subtract five? Negative numbers rarely appear in everyday problems, but it is still something we are required to learn in school. The purpose of the work described in this report is to examine the upper secondary school pupils' perceptions of negative numbers and as the theoretical framework a phenomenographic approach is used. To find out what different perceptions pupils may have about negative numbers, eight pupils were interviewed. They were all in their second year in upper secondary school and study mathematics at the (Swedish) level 2b. The survey intended to answer the following question: How do upper secondary school students perceive negative numbers and what strategies are made visible in their calculations? What different categories of descriptions about negative numbers can be distinguished? A qualitative study was preformed of the collected material using a phenomenographic analysis. After the analysis, five distinctly different description categories could be distinguished, where all categories, except the last one, results in the student using some form of strategy as help when performing calculations containing negative numbers: (1) Minus minus becomes plus, (2) Negative numbers are explained by metaphors, (3) Calculations become easier if the terms in an expression are moved around, (4) Negative numbers are on the other side zero, and (5) Experience of uncertainty about negative numbers. The results can help math teachers understand the challenges students face when calculating with negative numbers. For example, the pupils do not think it is natural or enough to describe a number as negative, which may be because they are used to mathematics which can beexplained by concrete examples. This is something that math teacher should be aware of.

Syftet med den här studien var att undersöka hur de negativa talen synliggörs i två läromedel, för årskurs 5, genom att identifiera vilka kritiska aspekter som framstår i dessa läromedel samt hur de kritiska aspekterna varieras. De läromedel som har analyserats är Prima Formula 5 och Matte Direkt Borgen 5B. Analysen är kvalitativ och genomförs med hjälp av två ramverk där variationsteori står som teoretisk utgångspunkt. Analysen genomförs i två delar. En första del där läromedlen undersöks för att se vilka kritiska aspekter som synliggörs. Därefter en andra del där de identifierade kritiska aspekterna undersöks för att se vilka variationsmönster som framstår då de kritiska aspekterna varieras i läromedlet. Av resultatet framkommer att de aspekter som framstår som kritiska i Prima Formula 5 är tallinjen, tal mindre än 0, de negativa talens storleksordning och minustecknets olika funktioner. I Matte Direkt Borgen 5B framstod de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Däremot tolkades inte minustecknets olika funktioner som en kritisk aspekt i det läromedlet. De variationsmönster som hittades vid analys var främst kontrast och generalisering. Fusion framstod i Prima Formula 5 men endast för de kritiska aspekterna tallinjen, tal mindre än 0 och de negativa talens storleksordning. Minustecknets olika funktioner varierades inte med fusion. I Matte Direkt Borgen 5B används inte fusion för någon av de kritiska aspekterna. De kritiska aspekter som framstår i läromedlen beskrivs i diskussionen som rimliga utifrån tidigare forskning. Avslutningsvis diskuteras att lärare kan behöva komplettera för variationsmönster som saknas, samt betydelsen av val av läromedel.