Ce document synthétise mes contributions à l'étude de discrétisation des processus avec sauts, et à la modélisation du risque de liquidité et du risque de saut dans les marchés financiers. Chapitre 2 regroupe les résultats plus théoriques dans le domaine de discrétisation des processus stochastiques avec sauts, avec notamment une étude de l'erreur de discrétisation des stratégies de couverture, et des nouveaux schémas de simulation des équations différentielles stochastiques dirigées par des processus de Lévy. Chapitre 3 présente et étudie via le contrôle stochastique un problème d'optimisation d'investissement et de consommation dans les marchés financiers illiquides. Chapitre 4 contient des travaux plus appliqués sur la modélisation du risque de saut dans les stratégies d'assurance de portefeuille, les produits dérivés, et les marchés d'électricité.

Dans cette thèse, je me suis interessé a deux aspects de la gestion de portefeuille : la maximisation de l'utilité e d'un portefeuille financier lorsque on impose une contrainte sur l'exposition au risque, et la couverture quadratique en marché incomplet. Part I. Dans la première partie, j' étudie un problème d'assurance de portefeuille du point de vue du manager d'un fond d'investissement, qui veut structurer un produit financier pour les investisseurs du fond avec une garantie sur la valeur du portefeuille a la maturité . Si, a la maturité, la valeur du portefeuille est au dessous d'un seuil x e, l'investisseur sera remboursé a la hauteur de ce seuil par une troisième partie, qui joue le rôle d'assureur du fond (on peut imaginer que le fond appartient à une banque et que donc c'est la banque elle même qui joue le rôle d'assureur). En échange de cette assurance, la troisième partie impose une contrainte sur l'exposition au risque que le manager du fond peut tolérer, mesurée avec une mesure de risque monétaire convexe. Je donne la solution complet e de ce problème de maximisation non convexe en marché complet et je prouve que le choix de la mesure de risque est un point crucial pour avoir existence d'un portefeuille optimal. J'applique donc mes résultats lorsque on utilise la mesure de risque entropique (pour laquelle le portefeuille optimal existe toujours), les mesures de risque spectrales (pour lesquelles le portefeuille optimal peut ne pas exister dans certains cas) et la G-divergence. Mots-cl es : Assurance de portefeuille ; maximisation d'utilité ; mesure de risque convexe ; VaR, CVaR et mesure de risque spectrale ; entropie et G-divergence. Part II. Dans la deuxième partie, je m'intéresse au problème de couverture quadratique en marché incomplet. J'assume que le marché est d écrit par un processus Markovien tridimensionnel avec sauts. La premi ère variable d' état décrit l'actif - financier, échangeable sur le marché, qui sert comme instrument de couverture ; la deuxième variable d' état modélise un actif financier que intervient dans la dynamique de l'instrument de couverture mais qui n'est pas échangeable sur le march é : il peut donc être vu comme un facteur de volatilité de l'instrument de couverture, ou comme un actif financier que l'on ne peut pas acheter (pour de raisons légales par exemple) ; la troisième et dernière variable d' état représente une source externe de risque qui affecte l'option Européenne qu'on veut couvrir, et qui, elle aussi, n'est pas échangeable sur le marché. Pour résoudre le problème j'utilise l'approche de la programmation dynamique, qui me permet d' écrire l' équation de Hamilton-Jacobi- Bellman associé e au problème de couverture quadratique, qui est non locale en non linéaire. Je prouve que la fonction valeur associée au problème de couverture quadratique peut être caractérisée par un système de trois équations integro- différentielles aux dérivées partielles, dont l'une est semilinéaire et ne dépends pas du choix de l'option a couvrir, et les deux autres sont simplement linéaires , et que ce système a une unique solution r régulière dans un espace de Hölder approprié, qui me permet donc de caractériser la stratégie de couverture optimale . Ce résultat est démontré lorsque le processus est non dégénéré (c'est a dire que la composante Brownienne est strictement elliptique) et lorsque le processus est a sauts purs. Je conclus avec une application de mes résultats dans le cadre du marché de l' électricité. Mots-cl es : Couverture quadratique ; modèle a sauts ; programmation dynamique ; équation de Hamilton-Jacobi-Bellman ; équations aux dérivées partielles integro-différentielles.

Nous établissons une nouvelle décomposition des surmartingales, additive dans l'algèbre Max-Plus. Elle consiste essentiellement à exprimer toute surmartingale quasi-continue à gauche de la classe (D) comme une espérance conditionnelle d'un certain processus de running supremum. Comme application, nous montrons comment la décomposition Max-Plus permet en particulier de résoudre le problème Américain d'arrêt optimal sans avoir à calculer le prix de l'option. Ensuite, nous donnons quelques exemples illustratifs basés sur des processus de diffusion uni-dimensionnels. Une autre application intéressante concerne l'assurance de portefeuille. Nous proposons en effet une nouvelle approche au problème classique de maximisation d'utilité, avec garantie Américaine. Pour cela, nous nous ramenons à un problème général de martingales, sous contrainte de dominer un obstacle, ou de façon équivalente son enveloppe de Snell, à toute date intermédiaire. L'optimisation est relative à l'ordre convexe sur la valeur terminale, de manière à minimiser le rôle de la fonction d'utilité. Nous montrons l'optimalité de la "martingale Max-Plus" et nous traitons un exemple explicite dans le cadre d'un Brownien géométrique. Par ailleurs, nous exploitons les liens entre les martingales d'Azéma-Yor et la décomposition Max-Plus pour résoudre certains problèmes d'optimisation de portefeuille sous contraintes d'état et d'autres relatifs aux options Américaines perpétuelles. Nous retrouvons en particulier, d'une manière élémentaire, la plupart des résultats classiques sur les frontières Américaines de processus de Lévy. Le dernier chapitre propose de nouvelles méthodes numériques pour valoriser les contrats Swing.

Brownian motion has met growing interest in mathematics, physics and particularly in finance since it was introduced in the beginning of the twentieth century. Stochastic processes generalizing Brownian motion have influenced many research fields theoretically and practically. Moreover, along with more refined techniques in measure theory and functional analysis more stochastic processes were constructed and studied. Lévy processes, with Brownian motionas a special case, have been of major interest in the recent decades. In addition, Lévy processes include a number of other important processes as special cases like Poisson processes and subordinators. They are also related to stable processes. In this thesis we generalize a result by S. Chandrasekhar [2] and Edward Nelson who gave a detailed proof of this result in his book in 1967 [12]. In Nelson’s first result standard Ornstein-Uhlenbeck processes are studied. Physically this describes free particles performing a random and irregular movement in water caused by collisions with the water molecules. In a further step he introduces a nonlinear drift in the position variable, i.e. he studies the case when these particles are exposed to an external field of force in physical terms. In this report, we aim to generalize the result of Edward Nelson to the case of α-stable Lévy processes. In other words we replace the driving noise of a standard Ornstein-Uhlenbeck process by an α-stable Lévy noise and introduce a scaling parameter uniformly in front of all vector fields in the cotangent space, even in front of the noise. This corresponds to time being sent to infinity. With Chandrasekhar’s and Nelson’s choice of the diffusion constant the stationary state of the velocity process (which is approached as time tends to infinity) is the Boltzmann distribution of statistical mechanics.The scaling limits we obtain in the absence and presence of a nonlinear drift term by using the scaling property of the characteristic functions and time change, can be extended to other types of processes rather than α-stable Lévy processes. In future, we will consider to generalize this one dimensional result to Euclidean space of arbitrary finite dimension. A challenging task is to consider the geodesic flow on the cotangent bundle of a Riemannian manifold with scaled drift and scaled Lévy noise. Geometrically the Ornstein-Uhlenbeck process is defined on the tangent bundle of the real line and the driving Lévy noise is defined on the cotangent space.

Nous cherchons à construire une génétique des populations branchantes, basée notamment sur les processus de branchement à espace d'états continu, dits CB-processus. <br /><br />Nous modifions d'abord les arbres branchants afin d'en obtenir des versions stationnaires, de deux façons : en introduisant des interactions de type compétitif entre les individus, de manière à réguler la taille de la population ("processus de branchement logistique"); en appliquant divers conditionnements, au sens des h-processus de Doob : conditionnement du processus de Lévy associé à rester dans un intervalle, conditionnement à la non-extinction des CB-processus (Q-processus), mais aussi des CB-processus avec interactions, sous leur forme diffusion.<br /><br />Nous étudions la probabilité de fixation d'un mutant, question qui conditionne l'évolution de la diversité. En utilisant la théorie des diffusions, nous proposons un cadre unifié permettant de comparer deux modèles classiques et le modèle de branchement logistique. Puis nous munissons les individus d'un trait quantitatif soumis à des mutations, et nous suivons, par une approche micro--macro, l'évolution du trait résident ("diffusion canonique de la dynamique adaptative").<br /> <br /><br />Nous étudions la généalogie associée aux CB-processus avec immigration, dont un cas particulier est le Q-processus cité plus haut. Nous construisons des arbres branchants (dont la largeur n'est pas markovienne), dits \emph{arbres de ramification}, sur lesquels se voient directement les deux types de généalogies associées aux CB-processus, qui ont été découvertes par J.-F. Le Gall et ses collaborateurs. Nous donnons également une démonstration de la représentation de Lamperti des CB-processus comme processus de Lévy changés de temps.<br /><br />Nous décrivons de façon rétrospective la structure généalogique des CB-processus, puis celle des arbres de ramification, comme le fait une des approches phares de la génétique des populations moderne, dite théorie de la coalescence. <br /><br />Des collaborations dans divers domaines de la biologie des populations sont également exposées : génétique des populations classique, écologie des invasions, biologie de la conservation.

L'interaction matière-lumière dans des milieux opaques donne lieu à des phénomènes collectifs nécessitant le couplage d'équations atomiques et d'une équation de transport. Le piégeage de la lumière dans un système atomique multi-niveaux sera étudié expérimentalement dans une vapeur froide et théoriquement avec le couplage des paramètres atomiques à une équation de diffusion. Ensuite, du gain sera ajouté dans ce nuage d'atomes froids multi niveaux. Nous montrerons théoriquement qu'un seuil laser existe dans ce type de système combinant gain et diffusion et qu'expérimentalement le gain Raman associé à de la diffusion sur une raie résonante a permis l'observation d'un laser aléatoire à atomes froids. La validité de l'équation de diffusion nécessite une non redistribution en fréquence et donc des atomes suffisamment froids pour s'affranchir de l'effet Doppler. Finalement nous étudierons le transport dans une vapeur atomique chaude (20°C-180°C) opaque. L'effet Doppler invalide la loi de Beer-Lambert pour la longueur des pas des photons entre des diffusions qui suivent alors une statistique de Lévy.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles.

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l'apparition de produits dérivés divers et variés. Parmi les plus répandus, on retrouve les options américaines. Une option américaine est par définition une option qu'on a le droit d'exercer avant l'échéance convenue T. Les plus basiques sont le Put ou le Call américain (respectivement option de vente (K - x)+ ou d'achat (x - K)+). La première partie, et la plus conséquente, de cette thèse est consacrée à l'étude des options américaines dans des modèles exponentiels de Lévy. On commence dans un cadre multidimensionnel caractérise le prix d'une option américaine, dont le Pay-off appartient à une classe de fonctions non forcément bornées, à l'aide d'une inéquation variationnelle au sens des distributions. On étudie, ensuite, les propriétés générales de la région d'exercice ainsi que de la frontière libre. On affine encore ces résultats en étudiant, en particulier, la région d'exercice d'un Call américain sur un panier d'actifs, où on caractérise en particulier la région d'exercice limite (à l'échéance). Dans un deuxième temps, on se place dans un cadre unidimensionnel et on étudie le comportement du prix critique (fonction délimitant la région d'exercice) d'un Put américain près de l'échéance. Particulièrement, on considère le cas où le prix ne converge pas vers le strike K, dans un modèle Jump-diffusion puis dans un modèle où le processus de Lévy est à saut pur avec un comportement proche de celui d'un &-stable. La deuxième partie porte sur l'approximation numérique de la Credit Valuation Adjustment (CVA). On y présente une méthode basée sur le calcul de Malliavin inspirées de celles utilisées pour les options américaines. Une étude de la complexité de cette méthode y est aussi présentée et comparée aux méthodes purement Monte Carlo et aux méthodes fondées sur la régression.

Les limites d'échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'uneloi stable, un phénomène d'universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l'arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu'avec grande probabilité, un sommet de l'arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l'arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d'un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s'intersectent pas intérieurement, et remarquons qu'elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d'obtenir d'intéressantes conséquences de nature combinatoire.

With the acceptance of the new Basel II banking regulation (implemented in South Africa in January 2008) the search for improved ways of modeling the most important banking activities has become very topical. Since the notion of Levy-process was introduced, it has emerged as an important tool for modeling economic variables in a Basel II framework. In this study, we investigate the stochastic dynamics of banking items that are driven by such processes. In particular, we discuss bank provisioning for loan losses and deposit withdrawals. The first type of provisioning is related to the earnings that the bank sets aside in order to cover loan defaults. In this case, we apply principles from robustness to a situation where the decision maker is a bank owner and the decision rule determines the optimal provisioning strategy for loan losses. In this regard, we formulate a dynamic banking loan loss model involving a provisioning portfolio consisting of provisions for expected losses and loan loss reserves for unexpected losses. Here, unexpected loan losses and provisioning for expected losses are modeled via a compound Poisson process and an exponential Levy process, respectively. We use historical evidence from OECD (Organization for Economic Corporation and Development) countries to support the fact that the provisions for loan losses-to-total assets ratio is negatively correlated with aggregate asset prices and the private credit-to-GDP ratio. Secondly, we construct models for provisioning for deposit withdrawals. In particular, we build stochastic dynamic models which enable us to analyze the interplay between deposit withdrawals and the provisioning for these withdrawals via Treasuries and reserves. Further insight is gained by considering a numerical problem and a simulation of the trajectory of the stochastic dynamics of the sum of the Treasuries and reserves. Since managing the risk that depositors will exercise their withdrawal option is an important aspect of this thesis, we consider the idea of a hedging provisioning strategy for deposit withdrawals in an incomplete market setting. In this spirit, we discuss an optimal risk management problem for a commercial bank whose main activity is to obtain funds through deposits from the public and use the Treasuries and reserves to cater for the resulting withdrawals. Finally, we provide a brief analysis of some of the issues arising from the dynamic models of the banking items derived. / Thesis (Ph.D. (Computer, Statistical and Mathematical Sciences))--North-West University, Potchefstroom Campus, 2008.