Nous détaillons dans cette thèse des algorithmes modérément exponentiels pour l'approximation du problème MAX SAT. Nous discutons d'une méthode générique pour la conception d'algorithmes exponentiels réalisant des schémas d'approximation dans un cadre plus général. Enfin, nous présentons des résultats paramétrés pour des problèmes de coupe à cardinalité contrainte.

Un fasciagraphe de taille n et de fibre F est constitué de n copies consécutives du graphe F, chaque copie étant reliée à la suivante selon le même schéma. Les rotagraphes sont définis similairement, mais selon une structure circulaire. Dans cette thèse nous caractérisons un ensemble de problèmes combinatoires qui peuvent être résolus de façon efficace dans la classe des fasciagraphes et rotagraphes. Dans ce contexte, nous définissons les (d,q,w)-propriétés closes et stables, et présentons pour de telles propriétés un algorithme pour calculer une solution optimale en temps constant pour l'ensemble des fasciagraphes ou rotagraphes de fibre fixée. Nous montrons que plusieurs problèmes communément étudiés dans la théorie des graphes et NP-complets dans le cas général sont caractérisés par des (d,q,w)-propriétés closes ou stables. Dans une seconde partie de la thèse, nous adaptons cet algorithme générique à trois problèmes spécifiques caractérisés par des (d,q,w)-propriétés stables : le problème du code identifiant minimum, et deux problèmes proches, celui de dominant-localisateur minimum et celui du dominant-total-localisateur minimum. Nous présentons alors une implémentation de l'algorithme qui nous a permis de répondre à des questions ouvertes dans certains rotagraphes particuliers : les bandes circulaires de hauteur bornée. Nous en déduisons d'autres résultats sur les bandes infinies de hauteur bornée. Enfin, nous explorons le problème du code identifiant dans une autre classe de graphes à structure répétitive : les graphes fractals de cycle.

La décomposition modulaire apparait naturellement dans différents domaines de la combinatoire (et en particulier les graphes). Cette décomposition se révèle être un puissant outil de description d'objets discrets. Elle est aussi utilisée comme étape préliminaire à nombreux d'algorithmes.<br /><br />Dans ce mémoire, nous nous intéressons au calcul de la décomposition modulaire. Malgré la publication d'algorithmes linéaires au milieu des années 90, la recherche sur ce problème n'a pas cessée. Nous faisons le point sur les différentes avancées et techniques utilisées.

Cette thèse traite deux types de problèmes algorithmiques : des problèmes de triangularisation de matrices booléennes par permutation des lignes et des colonnes et des problèmes de découverte de structures secondaires d'ARN. Nous étudions des problèmes de triangularisation de matrices booléennes par permutation des lignes et des colonnes. Ce problème apparaît, par exemple, lorsque l'on souhaite calculer "en place" un système d'équations. Une façon naturelle d'aborder ce problème est de se placer dans le cadre général de la théorie des graphes et des graphes bipartis en particulier. Nous présentons de nombreux résultats de complexité - essentiellement de NP-complétude - liés à ce problème et introduisons quelques extensions dont nous précisons toujours la complexité. Certaines familles d'ARN sont très précisément définies par des motifs de séquence, et des contraintes structurelles secondaires et tertiaires. La plupart des outils ne sont pas adaptés puisqu'ils n'intègrent pas toutes les connaissances sur la molécule lors de l'exploration des banques de séquences. D'où l'intérêt d'algorithmes de recherche assurant une recherche en séquence et structure par le biais d'un descripteur défini par l'utilisateur intégrant l'ensemble des connaissances caractérisant l'ARN à détecter. Une nouvelle façon d'aborder ce problème consiste en l'étude de problèmes algorithmiques sur les graphes d'intersection d'un ensemble de 2-intervalles. Cette notion de 2-intervalles se trouve dans la lignée des études actuelles en matière d'algorithmique de graphes où l'on étudie de plus en plus les structures des graphes issues de modèles géométriques. Nous présentons plusieurs résultats de complexité et montrons en particulier que la recherche de motifs dans un ensemble de 2-intervalles est un problème NP-complet. Nous nous intéressons, plus particulièrement, à appliquer ces travaux pour la prédiction de motifs biologiques structurés. Plus spécifiquement, nous avons mis au point l'algorithme ORANGE pour la prédiction des introns auto-catalytiques de groupe 1 dans de grandes séquences génomiques. Cet algorithme est une amélioration de l'algorithme CITRON mis au point par F. Lisacek et F. Michel du point de vue de la rapidité d'exécution. De plus, une mise-en-œuvre de l'algorithme ORANGE est accessible en ligne sur Internet.

Les codes identifiants dans les graphes modélisent des systèmes de détection et de localisation à distance de pannes multiples dans les réseaux. Nous abordons dans une première partie différents problèmes de nature algorithmique ou structurelle concernant plusieurs variations autour de ces codes ; en particulier, nous obtenons de nombreux résultats quant à la structure des graphes sans jumeaux. Ces questions nous amènent dans une deuxième partie à considérer une notion de puissance de graphe, que nous étudions plus avant. Nous obtenons en particulier des résultats de type extrémal et nous consacrons l'étude des racines carrées de graphes.

Cette thèse présente différents aperçus de problèmes de mathématiques discrètes en lien avec la théorie des graphes. Elle s'intéresse en particulier à la coloration de graphes, i.e. l'assignation de couleurs aux sommets (ou arêtes) d'un graphes sous certaines contraintes locales, notamment l'exclusion de motifs. Pour différents types de coloration (choisissabilité des sommets, des arêtes, coloration acyclique ou linéaire, ...), un état de l'art est présenté, accompagné de résultats d'existence sur les graphes planaires ou leurs sous-classes, ayant pour but de minimiser le nombre de couleurs nécessaires pour un degré maximum ou un degré moyen maximum (Mad) donnés. Cette thèse traite également de décompositions induites de graphes, et démontre qu'il existe pour tout graphe $H$ une suite infinie de graphes denses dont les arêtes peuvent être partitionnées en copies induites de $H$. Cette preuve requiert le formalisme des hypergraphes, pour lesquels un autre résultat de décomposition est démontré, i.e. une décomposition optimale de l'hypergraphe complet 3-régulier en hypergraphes $\alpha$-acycliques. La troisième parti porte sur des questions algorithmiques. Elles consistent en problèmes d'optimisation ou d'existence, motivés par le routage d'information dans les réseaux, analysés par le formalisme classique de complexité algorithmique, ou traitent de la recherche de sous-graphes dans le formalisme de la complexité paramétrée. Dans une quatrième partie sont considérés des problèmes de comptage issus de la chimie, suivis de la présentation de Programmes Linéaires Entiers utilisés dans le logiciel de mathématiques Sage.

Soit un réseau comprenant des lignes de communication qui échouent indépendamment, dans lequel tous ou certains sites, appelés terminaux, doivent être capables de communiquer entre eux. Dans le modèle stochastique statique classique le réseau est représenté par un graphe probabiliste dont les arêtes sont présentes selon des probabilités connues. La mesure de fiabilité classique (CLR) est la probabilité que les terminaux appartiennent à la même composante connexe. Dans plusieurs contextes il est utile d'imposer la condition plus forte que la distance entre deux terminaux quelconques soit bornée supérieurement par un paramètre d. La probabilité que ça se produise est connue comme la fiabilité diamètre-bornée (DCR). Il s'agit d'une extension de la CLR. Les deux problèmes appartiennent à la classe NP-difficile de complexité; le calcul exact n'est possible que pour les instances de taille limitée ou topologies spécifiques. Dans cette thèse, nous contribuons des résultats concernant le problème du calcul et l'estimation de la DCR. Nous étudions la complexité de calcul de cas particuliers, paramétré par le nombre de terminaux, nœuds et le paramètre d. Nous passons en revue des méthodes pour le calcul exact et étudions des topologies particulières pour lesquelles le calcul de la DCR a une complexité polynomiale. Nous introduisons des résultats de base sur le comportement asymptotique de la DCR lorsque le réseau se développe comme un graphe aléatoire. Nous discutons sur l'impact de la contrainte de diamètre dans l'utilisation des techniques de Monte Carlo, et adaptons et testons une famille de méthodes basées sur le conditionnement de l'espace d'échantillonnage en utilisant des structures nommées d-pathsets et d-cutsets. Nous définissons une famille de mesures de performabilité qui généralise la DCR, développons une méthode de Monte Carlo pour l'estimer, et présentons des résultats expérimentaux sur la performance de ces techniques Monte Carlo par rapport é l'approche naïve. Finalement, nous proposons une nouvelle technique qui combine la simulation Monte Carlo et l'interpolation polynomiale pour les mesures de fiabilité.

Dans une perspective de meilleure évaluation des pratiques de mobilité quotidienne, il convient de recentrer les méthodes et les outils d’aide à la décision autour des acteurs des déplacements : les usagers. Dans cette logique le modèle MICROBILIS a été développé afin d’évaluer l’adaptation des stratégies des usagers par rapport à leur environnement des transports. Trois champs sont mobilisés : les modèles de micro-simulation d’affectation, la théorie des graphes et les systèmes multi-agents. L’environnement est modélisé à partir d’un modèle microscopique des déplacements et d’un graphe cellulaire, définissant la capacité du réseau. Les simulations permettent de retrouver les relations empiriques de la dynamique de trafic sur les sections et mettent en évidence des contraintes supérieures de capacité au niveau des carrefours. Le passage à la simulation d’un réseau de grande taille induit la complexification de l’environnement et la multiplication des cas particuliers. Il n’a pas été possible de réaliser ce passage sans réduire les hypothèses initiales, devenant ainsi non représentatives de la réalité. / From the perspective of best practice assessment of daily mobility, it should refocus the methods and tools for decision aid around the actors in travel: users. In this logic MICROBILIS model was developed to evaluate the adaptation strategies of users relative to their environmental transport. Three streams have been mobilized: the micro-simulation of assignment models, graph theory and multi-agent systems. The environment is modeled from a microscopic simulator of movements and a cellular graph, defining the network capacity. The simulations allow to find the empirical relationships of the dynamics of traffic on the sections and highlight upper capacity constraints at intersections. The transition to the simulation of a large network induces the complexity of the environment and the multiplication of particular cases. It was not possible to make this transition without reducing the initial assumptions, making it unrepresentative of reality.

Un fasciagraphe de taille n et de fibre F est constitué de n copies consécutives du graphe F, chaque copie étant reliée à la suivante selon le même schéma. Les rotagraphes sont définis similairement, mais selon une structure circulaire. Dans cette thèse nous caractérisons un ensemble de problèmes combinatoires qui peuvent être résolus de façon efficace dans la classe des fasciagraphes et rotagraphes. Dans ce contexte, nous définissons les (d,q,w)-propriétés closes et stables, et présentons pour de telles propriétés un algorithme pour calculer une solution optimale en temps constant pour l'ensemble des fasciagraphes ou rotagraphes de fibre fixée. Nous montrons que plusieurs problèmes communément étudiés dans la théorie des graphes et NP-complets dans le cas général sont caractérisés par des (d,q,w)-propriétés closes ou stables. Dans une seconde partie de la thèse, nous adaptons cet algorithme générique à trois problèmes spécifiques caractérisés par des (d,q,w)-propriétés stables : le problème du code identifiant minimum, et deux problèmes proches, celui de dominant-localisateur minimum et celui du dominant-total-localisateur minimum. Nous présentons alors une implémentation de l'algorithme qui nous a permis de répondre à des questions ouvertes dans certains rotagraphes particuliers : les bandes circulaires de hauteur bornée. Nous en déduisons d'autres résultats sur les bandes infinies de hauteur bornée. Enfin, nous explorons le problème du code identifiant dans une autre classe de graphes à structure répétitive : les graphes fractals de cycle. / A fasciagraph of length n and of fiber F, is constituted of n consecutive copies of a graph F, each copy being linked to the next one according to a same scheme. Rotagraphs are defines similarily, but along a circular structure. In this thesis, we caracterize a set of combinatorial problems that can be efficiently solved when applied on the class of rotagraphs and fasciagraphs. In this context, we define closed and stable (d,q,w)-properties, and we present, for such properties, an algorithm to compute an optimal solution, in constant time, for the set of fasciagraphs or rotagraphs of fixed fiber. We show that several problems, largely studied in graph theory, are caracterized by closed or stable (d,q,w)-properties. In a second part of the thesis, we adapt the generic algorithm to three problems caracterized by stable (d,q,w)-properties : the problem of minimum indentifying code, and two other, close to this one, the problem of minimum locating-dominating set et the one of minimum locating-total-dominating set. We present an implementation of our algorithm which has let us respond to open questions in a certain sub-class of rotagraphs : the circular strips of bounded height. We deduce from there other results on infinite strips of bounded height. Finaly we explore the problem of minimum identifying code in another class of graphs with repetitive structure : the fractal graphs.

Une classe de graphes est close par mineurs si, pour tout graphe dans la classe et tout mineur de ce graphe, le mineur est ́egalement dans la classe. Par un fameux th ́eor`eme de Robertson et Seymour, nous savons que car- act ́eriser une telle classe peut ˆetre fait `a l’aide d’un nombre fini de mineurs exclus minimaux. Ceux-ci sont des graphes qui n’appartiennent pas `a la classe et qui sont minimaux dans le sens des mineurs pour cette propri ́et ́e.Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes à propos de classes de graphes closes par mineurs. Les deux premiers sont reliés à la caractérisation de certaines classes de graphes, alors que le troisième étudie une relation de “packing-covering” dans des graphes excluant un mineur.Pour le premier problème, nous étudions des plongements isométriques de graphes dont les arêtes sont pondérées dans des espaces métriques. Principalement, nous nous intêressons aux espaces ell_2 et ell_∞. E ́tant donné un graphe pondéré, un plongement isométrique associe à chaque sommet du graphe un vecteur dans l’autre espace de sorte que pour chaque arête du graphe le poids de celle-ci est égal à la distance entre les vecteurs correspondant à ses sommets. Nous disons qu’une fonction de poids sur les arêtes est une fonction de distances réalisable s’il existe un tel plongement. Le paramètre f_p(G) détermine la dimension k minimale d’un espace ell_p telle que toute fonction de distances réalisable de G peut être plongée dans ell_p^k. Ce paramètre est monotone dans le sens des mineurs. Nous caractérisons les graphes tels que f_p(G) a une grande valeur en termes de mineurs inévitables pour p = 2 et p = ∞. Une famille de graphes donne des mineurs inévitables pour un invariant monotone pour les mineurs, si ces graphes “expliquent” pourquoi l’invariant est grand.Le deuxième problème étudie les mineurs exclus minimaux pour la classe de graphes avec φ(G) borné par une constante k, où φ(G) est un paramètre lié au dominant des coupes d’un graphe G. Ce polyèdre contient tous les points qui, composante par composante, sont plus grands ou égaux à une combination convexe des vecteurs d’incidence de coupes dans G. Le paramètre φ(G) est égal au membre de droite maximum d’une description linéaire du dominant des coupes de G en forme entière minimale. Nous étudions les mineurs exclus minimaux pour la propriété φ(G) <= 4 et montrons une nouvelle borne sur φ(G) en termes du “vertex cover number”.Le dernier problème est d’un autre type. Nous étudions une relation de “packing-covering” dans les classes de graphes excluant un mineur. Étant donné un graphe G, une boule de centre v et de rayon r est l’ensemble de tous les sommets de G qui sont à distance au plus r de v. Pour un graphe G et une collection de boules donnés nous pouvons définir un hypergraphe H dont les sommets sont ceux de G et les arêtes correspondent aux boules de la collection. Il est bien connu que dans l’hypergraphe H, le “transversal number” τ(H) vaut au moins le “packing number” ν(H). Nous montrons une borne supérieure sur ν(H) qui est linéaire en τ(H), résolvant ainsi un problème ouvert de Chepoi, Estellon et Vaxès. / A class of graphs is closed under taking minors if for each graph in the class and each minor of this graph, the minor is also in the class. By a famous result of Robertson and Seymour, we know that characterizing such a class can be done by identifying a finite set of minimal excluded minors, that is, graphs which do not belong to the class and are minor-minimal for this property.In this thesis, we study three problems in minor-closed classes of graphs. The first two are related to the characterization of some graph classes, while the third one studies a packing-covering relation for graphs excluding a minor.In the first problem, we study isometric embeddings of edge-weighted graphs into metric spaces. In particular, we consider ell_2- and ell_∞-spaces. Given a weighted graph, an isometric embedding maps the vertices of this graph to vectors such that for each edge of the graph the weight of the edge equals the distance between the vectors representing its ends. We say that a weight function on the edges of the graph is a realizable distance function if such an embedding exists. The minor-monotone parameter f_p(G) determines the minimum dimension k of an ell_p-space such that any realizable distance function of G is realizable in ell_p^k. We characterize graphs with large f_p(G) value in terms of unavoidable minors for p = 2 and p = ∞. Roughly speaking, a family of graphs gives unavoidable minors for a minor-monotone parameter if these graphs “explain” why the parameter is high.The second problem studies the minimal excluded minors of the class of graphs such that φ(G) is bounded by some constant k, where φ(G) is a parameter related to the cut dominant of a graph G. This unbounded polyhedron contains all points that are componentwise larger than or equal to a convex combination of incidence vectors of cuts in G. The parameter φ(G) is equal to the maximum right-hand side of a facet-defining inequality of the cut dominant of G in minimum integer form. We study minimal excluded graphs for the property φ(G) <= 4 and provide also a new bound of φ(G) in terms of the vertex cover number.The last problem has a different flavor as it studies a packing-covering relation in classes of graphs excluding a minor. Given a graph G, a ball of center v and radius r is the set of all vertices in G that are at distance at most r from v. Given a graph and a collection of balls, we can define a hypergraph H such that its vertices are the vertices of G and its edges correspond to the balls in the collection. It is well-known that, in the hypergraph H, the transversal number τ(H) is at least the packing number ν(H). We show that we can bound τ(H) from above by a linear function of ν(H) for every graphs G and ball collections H if the graph G excludes a minor, solving an open problem by Chepoi, Estellon et Vaxès. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished