The present work is about measure-valued diffusion processes, which are aligned with two distinct geometries on the set of probability measures. In the first part we focus on a stochastic partial differential equation, the Dean-Kawasaki equation, which can be considered as a natural candidate for a Langevin equation on probability measures, when equipped with the Wasserstein distance. Apart from that, the dynamic in question appears frequently as a model for fluctuating density fields in non-equilibrium statistical mechanics. Yet, we prove that the Dean-Kawasaki equation admits a solution only in integer parameter regimes, in which case the solution is given by a particle system of finite size with mean field interaction. For the second part we restrict ourselves to positive probability measures on a finite set, which we identify with the open standard unit simplex. We show that Brownian motion on the simplex equipped with the Aitchison geometry, can be interpreted as a replicator dynamic in a white noise fitness landscape. We infer three approximation results for this Aitchison diffusion. Finally, invoking Fokker-Planck equations and Wasserstein contraction estimates, we study the long time behavior of the stochastic replicator equation, as an example of a non-gradient drift diffusion on the Aitchison simplex.

In this thesis, a dynamic spatial model for the spread of Chronic Wasting Disease in Colorado mule deer is derived from a system of differential equations that captures the qualitative spatial and temporal behaviour of the disease. These differential equations are incorporated into an empirical Bayesian hierarchical model through the unusual step of deterministic autoregressive updates. Spatial effects in the model are described directly in the differential equations rather than through the use of correlations in the data. The use of deterministic updates is a simplification that reduces the number of parameters that must be estimated, yet still provides a flexible model that gives reasonable predictions for the disease. The posterior distribution generated by the data model hierarchy possesses characteristics that are atypical for many Markov chain Monte Carlo simulation techniques. To address these difficulties, a new MCMC technique is developed that has qualities similar to recently introduced tempered Langevin type algorithms. The methodology is used to fit the CWD model, and posterior parameter estimates are then used to obtain predictions about Chronic Wasting Disease.

Québec Université Laval, Bibliothèque 2019

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese.pdf: 5590910 bytes, checksum: a89ccd96ade2b696f0e5b9163dc31bf5 (MD5) Previous issue date: 2006-11-13 / Lagrangian stochastic models are a largely used tool in the study of passive substances dispersion inside the Atmospheric Boundary Layer. Its application is related to the trajectory computation of thousands of particles, that numerically simulate the dispersion of suspense substances in the atmosphere. In this study, the basic concepts related to the Lagrangian stochastic modelling are presented and discussed together with its main characteristics and its computational implementation, to the study of particles dispersion in the atmosphere. In a computational experiment, the obtained results are compared with observational data from the TRACT experiment, that took place in Europe in 1992. The input data needed for the dispersion model are extracted from simulations with the numerical weather forecast model RAMS. Dispersion over Rio de Janeiro region is also tested in a second experiment. / Modelos Lagrangianos estocásticos constituem ferramenta muito utilizada no estudo da dispersão de substâncias passivas na Camada Limite Atmosférica. Sua aplicação consiste em calcular a trajetória de milhares de partículas, que simulam numericamente a dispersão de uma substância em suspensão na atmosfera. Nesta tese, são apresentados e discutidos os conceitos básicos relacionados à Modelagem Lagrangiana Estocástica de Partículas, bem como suas principais características e sua implementação computacional, para o estudo da dispersão de partículas na atmosfera. Numa experimentação computacional, comparam-se os resultados obtidos com dados observacionais provenientes do experimento TRACT, realizado na Europa em 1992. Os dados de entrada necessários ao modelo de dispersão são extraídos de simulações do modelo de previsão numérica do tempo RAMS. A dispersão sobre o Estado do Rio de Janeiro é também testada em um segundo experimento.

Este trabalho apresenta uma contribuição ao estudo das flutuações quânticas dos feixes sonda e de bombeio na condição de transparência induzida por laser. Com esse estudo conseguimos observar nas flutuações dos campos uma manifestação do caráter coerente da interação dos átomos com os feixes. Para alcançar nosso objetivo, derivamos a teoria do fenômeno da transparência induzida tratando ambos feixes dentro do formalismo quântico. Com tal formulação, encontramos que a condição de transparência induzida corresponde a um estado de equilíbrio dinâmico do sistema átomo - campo de bombeio - campo sonda onde, os átomos redistribuem os fótons entre os campos, correlacionando os mesmos e alterando, ao mesmo tempo, as propriedades estatísticas desses feixes. Utilizando dois critérios diferentes, mostrando que a correlação entre os feixes sonda e de bombeio é de natureza quântica, o que possibilita a aplicação desse sistema, por exemplo, na informação e computação quânticas. Os resultados experimentais obtidos confirmaram as previsões teóricas em relação às flutuações quânticas dos campos, e a existência de uma correlação entre eles. Trata-se da primeira investigação experimental de propriedades estatísticas dos campos em transparência induzida. A correlação de intensidade medida é o primeiro passo para a observação de emaranhamento entre feixes sonda e de bombeio na condiçào de transparência induzida. / In this work we presente a contribution to the study of quantum fluctuations of pump and probe filds in the Electromagnetically Induced Transparency (EIT) condition. We observed in the fields fluctuations evidence of the coherent character of the interaction between the atoms and the fields. To reach our purpose, the fields were treated quantum-mechanically in deriving the theory of the EIT phenomenon. Using this formulation, we concluded that the EIT condition corresponds to a state of dynamical equilibrium of the system atom pump field probe field, where the atoms redistribute the photons between both fields, correlating them and, at the same time, affecting their statistical properties. By means of two different criteria we showed that such a correlation is of quantum nature, making possible the application of this system in, for example, quantum information and quantum computation. The theoretical predictions were corroborated by our experimental results regarding the quantum fluctuations and the existence of a correlation between the pump and probe fields. This is the first experiment to investigate statistical properties of the fields in EIT. The intensity correlation measured is the first step towards the observation of entanglement between the fields.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable. Dans une deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet. Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand. Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet. Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants. / This thesis deals with the study of friction type differential equations, in other words, attractive equations, with a unique stable point 0, describing the speed of an object submitted to a frictional force. This object's speed is disturbed by Lévy type random perturbations. In a first part, one is interested in fondamental properties of these SDE: existence and unicity of a solution, Markov and ergodic properties, and more particularly the case of stable Lévy processes.In a second part, one study the stability of the solution of these SDE when the perturbation is an stable Lévy process that tends to 0. In fact, one proves the existence of a Taylor expansion of order one around the deterministic solution for the object's speed and position. In a third part, one study the asymptotic behaviour of the solutions when the initial speed is 0 and the perturbation is a symmetric stable Lévy process. One proves that the amount of perturbations, if the stability's index of the Lévy process and the increasing of the potential are big enough, leads to a gaussian asymptotic behaviour for the object's position.In a forth part, one relaxes the assumption of symmetry of the perturbation by proving the same result as in the third part but with a drift. To do so, one first studies the tail of the invariant measure of the object's speed.Finally, in a last part, one is interested in the same result as in the third part when the perturbation is the sum of the Brownian motion and a pure jump stable Lévy process. Then, one begins the study of the dimension two by considering the case where the equations are separated but where the driving Brownian motions are dependent.

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Centro Latino-Americano de Física / Os processos estocásticos com ruído branco multiplicativo são objeto de atenção constante em uma grande área da pesquisa científica. A variedade de prescrições possíveis para definir matematicamente estes processos oferece um obstáculo ao desenvolvimento de ferramentas gerais para seu tratamento. Na presente tese, estudamos propriedades de equilíbrio de processos markovianos com ruído branco multiplicativo. Para conseguirmos isto, definimos uma transformação de reversão temporal de tais processos levando em conta que a distribuição estacionária de probabilidade depende da prescrição. Deduzimos um formalismo funcional visando obter o funcional gerador das funções de correlação e resposta de um processo estocástico multiplicativo representado por uma equação de Langevin. Ao representar o processo estocástico neste formalismo (de Grassmann) funcional eludimos a necessidade de fixar uma prescrição particular. Neste contexto, analisamos as propriedades de equilíbrio e estudamos as simetrias ocultas do processo. Mostramos que, usando uma definição apropriada da distribuição de equilíbrio e considerando a transformação de reversão temporal adequada, as propriedades usuais de equilíbrio são satisfeitas para qualquer prescrição. Finalmente, apresentamos uma dedução detalhada da formulação supersimétrica covariante de um processo markoviano com ruído branco multiplicativo e estudamos algumas das relações impostas pelas funções de correlação através das identidades de Ward-Takahashi. / Multiplicativewhite-noise stochastic processes continuously attract the attention of a wide area of scientific research. The variety of prescriptions available to define it difficults the development of general tools for its characterization. In this thesis, we study equilibrium properties of Markovian multiplicative white-noise processes. For this, we define the time reversal transformation for this kind of processes, taking into account that the asymptotic stationary probability distribution depends on the prescription. We deduce a functional formalism to derive a generating functional for correlation and response functions of a multiplicative stochastic process represented by a Langevin equation. Representing the stochastic process in this functional (Grassmann) formalism, we avoid the necessity of fixing a particular prescription. In this framework, we analyze equilibrium properties and study hidden symmetries of the process. We show that, using a careful definition of equilibrium distribution and taking into account the appropriate time reversal transformation, usual equilibrium properties are satisfied for any prescription. Finally, we present a detailed deduction of a covariant supersymmetric formulation of a multiplicativeMarkovian white-noise process and study some of the constraints it imposes on correlation functions using Ward-Takahashi identities.

Lagrangian stochastic models are a largely used tool in the study of passive substances dispersion inside the Atmospheric Boundary Layer. Its application is related to the trajectory computation of thousands of particles, that numerically simulate the dispersion of suspense substances in the atmosphere. In this study, the basic concepts related to the Lagrangian stochastic modelling are presented and discussed together with its main characteristics and its computational implementation, to the study of particles dispersion in the atmosphere. In a computational experiment, the obtained results are compared with observational data from the TRACT experiment, that took place in Europe in 1992. The input data needed for the dispersion model are extracted from simulations with the numerical weather forecast model RAMS. Dispersion over Rio de Janeiro region is also tested in a second experiment. / Modelos Lagrangianos estocásticos constituem ferramenta muito utilizada no estudo da dispersão de substâncias passivas na Camada Limite Atmosférica. Sua aplicação consiste em calcular a trajetória de milhares de partículas, que simulam numericamente a dispersão de uma substância em suspensão na atmosfera. Nesta tese, são apresentados e discutidos os conceitos básicos relacionados à Modelagem Lagrangiana Estocástica de Partículas, bem como suas principais características e sua implementação computacional, para o estudo da dispersão de partículas na atmosfera. Numa experimentação computacional, comparam-se os resultados obtidos com dados observacionais provenientes do experimento TRACT, realizado na Europa em 1992. Os dados de entrada necessários ao modelo de dispersão são extraídos de simulações do modelo de previsão numérica do tempo RAMS. A dispersão sobre o Estado do Rio de Janeiro é também testada em um segundo experimento.

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:14:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 3660633 bytes, checksum: 7309d28729d29dd071bc87f7c5609ebc (MD5) Previous issue date: 2013-11-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The non-linear science is a central topic covering several investigation areas, such as biology, chemistry, mathematics and physics. In the first part of this thesis, we studied the non-linearity in the scope of classical field theory. The discussions are based on static solutions in (1, 1) space-time dimensions, and they are focused on kinks and lumps defects. In the related procedures, we show several techniques which allowed us to determine new models with their respective analytical solutions. The main mathematical tool to obtain these results is the so called deformation method, which was also an essential piece in the construction of a new extension method. This method presents the determination of new two scalar fields models from the coupling between two one scalar field systems. The method was analyzed carefully, as well as the linear stability, the zero modes, the total energy and the superpotentials, related with the new families of potentials. Furthermore, in the second part we presented the basics concepts about the Brownian Motion, where we analised the features of the solution of the Langevin Equation, and we also introduced a path integral approach to this problem in a quantum field theory way. / A ciência não-linear é tema central de diversas linhas de investigação, cobrindo áreas como a biologia, a física, a matemática e a química. Nossa primeira vertente de trabalho nesta tese, consiste no estudo de não-linearidades via abordagem de teoria clássica de campos. As discussões estão baseadas em soluções estáticas em (1, 1) dimensões, com destaque para o chamados defeitos tipo kink e lump. Nos procedimentos relatados, discorremos a respeito de diversas técnicas para a determinação de novos modelos com suas respectivas soluções analíticas. Um ferramental fundamental para a obtenção desses resultados é o chamado método de deformação, o qual também foi parte essencial para a criação de um método de extensão de modelos, onde visamos a construção de modelos de dois campos reais a partir do acoplamento entre dois modelos de um campo. Tal método também foi exposto em detalhes, bem como as análises sobre estabilidade linear, cálculo de modos zeros, determinação da energia total e dos superpotenciais, relativos às novas famílias de potenciais. Já a segunda linha de pesquisa, refere-se aos conceitos básicos do movimento browniano, onde analisamos as propriedades da solução da equação de Langevin, e na introdução de uma abordagem via integrais de trajetória para descrevê-lo nos moldes de teoria de quântica de campos.