Let R(G) denote the category of smooth representations of a p-adic group. Bernstein has constructed an indexing set B(G) such that R(G) decomposes into a direct sum over s ∈ B(G) of full subcategories Rs(G) known as Bernstein subcategories. Bushnell and Kutzko have developed a method to study the representations contained in a given subcategory. One attempts to associate to that subcategory a smooth irreducible representation (τ,W) of a compact open subgroup J < G. If the functor V ↦ HomJ(W,V) is an equivalence of categories from Rs(G) → H(G,τ)mod we call (J,τ) a type. Given a Levi subgroup L < G and a type (JL, τL) for a subcategory of representations on L, Bushnell and Kutzko further show that one can construct a type on G that “lies over” (JL, τL) by constructing an object known as a cover. In particular, a cover implements induction of H(L,τL)-modules in a manner compatible with parabolic induction of L-representations. In this thesis I construct a cover for certain representations of the Siegel Levi subgroup of Sp(2k) over an archimedean local field of characteristic zero. In partic- ular, the representations I consider are twisted by highly ramified characters. This compliments work of Bushnell, Goldberg, and Stevens on covers in the self-dual case. My construction is quite concrete, and I also show that the cover I construct has a useful property known as splitness. In fact, I prove a fairly general theorem characterizing when covers are split.

This thesis is concerned with the Langlands program; namely the global Langlands correspondence, Langlands functoriality, and a conjecture of Gross. In chapter 1, we cover the most important background material needed for this thesis. This includes material on reductive groups and their root data, the definition of automorphic representations and a general overview of the Langlands program, and Gross' conjecture concerning attaching l-adic Galois representations to automorphic representations on certain reductive groups G over &Qopf;. In chapter 2, we show that odd-dimensional definite unitary groups satisfy the hypotheses of Gross' conjecture and verify the conjecture in this case using known constructions of automorphic l-adic Galois representations. We do this by verifying a specific case of a generalisation of Gross' conjecture; one should still get l-adic Galois representations if one removes one of his hypotheses but with the cost that their image lies in ^CG(&Qopf;_l) as opposed to ^LG(&Qopf;_l). Such Galois representations have been constructed for certain automorphic representations on G, a definite unitary group of arbitrary dimension, and there is a map ^CG(&Qopf;_l) &rarr; ^LG(&Qopf;_l) precisely when G is odd-dimensional. In chapter 3, which forms the main part of this thesis, we show that G = U_n(B) where B is a rational definite quaternion algebra satisfies the hypotheses of Gross' conjecture. We prove that one can transfer a cuspidal automorphic representation &pi; of G to a &pi;' on Sp_2n (a Jacquet-Langlands type transfer) provided it is Steinberg at some finite place. We also prove this when B is indefinite. One can then transfer &pi;′ to an automorphic representaion of GL_2n+1 using the work of Arthur. Finally, one can attach l-adic Galois representations to these automorphic representations on GL_2n+1, provided we assume π is regular algebraic if B is indefinite, and show that they have orthogonal image.

<p>We consider a novel setting for local harmonic analysis on reductive groups motivated by Langlands functoriality conjecture. To this end, we characterize certain non-linear Schwartz spaces on tori and reductive groups in spectral terms, and develop some of their structure in the unramified case, and we derive estimates of their moderate growth at infinity. We also consider non-linear Fourier transforms, and calculate their action on tame supercuspidal representations of $GL_2(F)$ in terms of inducing cuspidal data.</p>

Let E/F be a quadratic extension of p-adic fields. The local Langlands correspondence establishes a bijection between n-dimensional Frobenius semisimple representations of the Weil-Deligne group of E and smooth, irreducible representations of GL(n, E). We reinterpret this bijection in the setting of the Weil restriction of scalars Res(GL(n), E/F), and show that the Asai L-function and epsilon factor on the analytic side match up with the expected Artin L-function and epsilon factor on the Galois side.

<p dir="ltr">In this thesis, we prove the rationality results for the ratio of the critical values of certain <i>L</i>-functions, which appear in the constant term of Eisenstein series associated with the exceptional group <i>G</i>_<em>2</em> over a totally imaginary field. Our methodology builds upon the works of Harder and Raghuram, who established rationality results for special values of Rankin-Selberg <i>L</i>-functions for<i> </i><i>GL</i>_<em>n</em><i>× GL</i>_<em>n'</em> by studying the rank-one Eisenstein cohomology of the ambient group <i>GL</i>_n+n' over a totally real field, as well as its generalization by Raghuram [35] for the case over a totally imaginary field.</p><p dir="ltr">The <i>L</i>-functions in this thesis were constructed using the Langlands-Shahidi method for <i>G</i>_<em>2</em> over a totally imaginary field, attached to maximal parabolic subgroups. This is the first instance of applying the Harder-Raghuram method to an exceptional group, and the first case involving more than one function appearing in the constant term. Our results demonstrate the relationship between the rationality of different <i>L</i>-functions appearing in the constant term, allowing one to prove the rationality of one <i>L</i>-function based on the known rationality result of another <i>L</i>-functions.</p>

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires. / This thesis is made of two independent parts, dealing with two different aspects of characteristic p (φ,Γ)-modules. In the first part we study the reduction modulo p of -2-dimensional irreducible crystalline representations. For weights k ≤ p2, we give an explicit description of the reduction V(k,a) for a belonging to a closed disk centered at zero, generalizing results already known for k ≤ 2p. We explicitely compute the biggest possible radius for this disk, and prove that in some cases, the reduction which is constant on the interior of the disk is different for a belonging to the border of the disk. In the second part, we study the smooth, irreducible representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) over a field of characteristic p and admitting a central character. One way of constructing such representations from irreducible (φ,Γ)-modules was described by Colmez in his construction of the p-adic Langlands correspondence. After giving a more general framework for Colmez's construction, we classify the irreducible representations of the Borel subgroup, proving that the previous construction already gives all the infinite dimensional representations. When the coefficient field is finite, Fontaine's equivalence combined with the previous classification gives a correspondence between these representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) and modular galois representations.

Dans cette thèse, nous montrons deux résultats d'analyse harmonique sur un groupe réductif p-adique tordu.Le premier résultat est un analogue non connexe au théorème matriciel de Paley Wiener. Soit G réductif p-adique (non nécessairement connexe). L'algèbre de Hecke des fonctions complexes sur G localement constantes à support compact agit les représentations complexe lisses irréductibles de G. L'action d'une fonction est vue comme sa transformée de Fourier. Le théorème fournit une caractérisation de l'image de l'algèbre de Hecke par la transformée de Fourier, ainsi qu'une formule d'inversion.Le second résultat établit une identité spectrale sur le groupe GLn tordu (avec n pair, sur un corps p-adique) pour l'intégrale orbitale tordue sur la classe de conjugaison tordue stable des matrices antisymétriques inversibles. Cette dernière s'exprime comme une intégrale sur les représentations irréductibles tempérées auto-duales de GLn dont le paramètre de Langlands est symplectique. La preuve repose sur le transfert endoscopique. / In this thesis, we show tow results of Harmonic Analysis on réductive p-adic group.The first results extends the matrix Paley-Wiener theorem to the non-connected case. Let G be reductive (non necessarily connected) p-adic group. The Hecke algebra of compactly supported locally constant complex functions on G acts on complex smooth irreducible representations of G. The action of a given function is seen as its Fourier transform. The theorem characterizes the image of the Hecke algebra under the Fourier transform and provides an inversion formula.The second result is the proof of a spectral identity on the so-called twisted GLn group (where n is even, on a p-adic field) for the twisted orbital integral over the twisted stable conjugacy class of antisymetric invertible matrices. We express it as an integral over those irreducible tempered auto-dual representations of GLn whose Langlands' parameter is symplectic. Our proof uses endoscopic transfer.

In dieser Dissertationsschrift soll erkl{\"a}rt werden, wie auf der Grundlage von einfachen Strata, wie sie in einer gemeinsamen Arbeit mit Broussous \cite{BG} betrachtet wurden, einfache Charaktere f{\"u}r lokale einfache Algebren konstruiert werden k{\"o}nnen, wobei die Konstruktion den Vorbildern von Bushnell und Kutzko im zerfallenden Fall \cite{BK1} und von Zink \cite{Z7} im Falle eines Schiefk{\"o}rpers folgt. Der Begriff des einfachen Charakters geht auf die Arbeit \cite{BK1} zur{\"u}ck und bezeichnet eine ausgezeichnete Auswahl von Heisenbergcharakteren, die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter zugeordnet wird, der zu einer absteigenden Normalreihe $$1+\R\supset1+\R^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, wobei $\R$ das Jacobsonradikal einer erblichen Ordnung bezeichnet. Wir werden hier nur von Hauptordnungen ausgehen, d.h. von dem Fall, da{ss} $\R$ und seine Potenzen gebrochene Hauptideale sind. Diese Vorgehensweise und auch die besondere Auswahl der Heisenbergcharaktere in Form von einfachen Charakteren, wird durch die Konstruktion im Falle eines Schiefk{\"o}rpers \cite{Z7} und durch den abstrakten Matchingsatz \cite{BDKV} gerechtfertigt. Im Falle eines lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers ist n{\"a}mlich der Bewertungsring die einzige erbliche Ordnung und die einfachen Charaktere sind alle Heisenbergcharaktere die zu einem stabilen Darstellungsfilter geh{\"o}ren, der gem{\"a}{ss} \cite{Z2}(Hauptsatz 1.4) einem Darstellungsfilter, der zur absteigenden Normalreihe $$1+\pin_D\supset1+\pin_D^2\supset\ldots$$ geh{\"o}rt, zugeordnet wird, wobei $\pin_D$ das Bewertungsideal des Schiefk{\"o}rpers $D$ bezeichnet. Der abstrakte Matchingsatz liefert nun die Existenz einer Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ und den irreduziblen quadratintegrierbaren glatten Darstellungen einer beliebigen anderen lokalen zentraleinfachen Algebra vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben nicht-archimedischen Grundk{\"o}rper $F$, welche den Charakter einer Darstellung in dem Sinne erh{\"a}lt, da{ss} die Charakterwerte auf den Konjugationsklassen elliptischer Elemente der verschiedenen Algebren, welche mithilfe ihrer Minimalpolynome identifiziert werden k{\"o}nnen, bis auf ein Vorzeichen {\"u}bereinstimmen. Wir werden hier kanonische Bijektionen zwischen den einfachen Charakteren f{\"u}r verschiedene zentraleinfache Algebren vom selben reduzierten Grad {\"u}ber demselben Grundk{\"o}rper angeben, von denen wir erwarten, da{ss} sie mit der Abbildung des abstrakten Matchingsatzes vertr{\"a}glich sind. Das dieses in der Tat der Fall ist, wurde bisher nur in einfachen F{\"a}llen wie \cite{He} und \cite{BH2} gezeigt, jedoch wurde in der Arbeit \cite{Z4} bereits mithilfe der Konstruktionen von \cite{Z7} und \cite{BK3} eine Bijektion zwischen den irreduziblen glatten Darstellungen der multiplikativen Gruppe des lokalen zentralen Schiefk{\"o}rpers $D$ vom Index $N$ {\"u}ber einem Grundk{\"o}rper $F$ und den irreduziblen essentiell quadratintegrierbaren glatten Darstellungen von $Gl_N(F)$ konstruiert, welche den Artinf{\"u}hrer und den formalen Grad einer Darstellung erh{\"a}lt. Da die Abbildung des abstrakten Matchingsatzes dieselben Forderungen erf{\"u}llt, kommt dies der gew{\"u}nschten Vertr{\"a}glichkeit schon sehr nahe und wir erf{\"u}llen mit unserer Konstruktion insbesondere die in der Arbeit \cite{Z4} gemachte Forderung die dort im Bezug auf die einfachen Charaktere getroffen Auswahlen noch unabh{\"a}ngiger von den jeweiligen Algebren zu gestalten. Die hier getroffene Auswahl wird durch die Verwendung sogenannter spezieller approximierender Folgen getroffen, welche sich aus einer Verallgemeinerung der in \cite{BG} gemachten {\"U}berlegungen ergeben. Im Anschlu{ss} an die Konstruktion und den Vergleich einfacher Charaktere werden wir in einer gro{ss}en Anzahl von F{\"a}llen zeigen, da{ss} sich die Heisenbergdarstellungen, die wir zu den einfachen Charakteren erhalten, in kanonischer Weise fortsetzen lassen und wir erwarten von diesen Fortsetzungen, da{ss} sie analoge Eigenschaften besitzen, wie die sogenannten ``$\beta$-Fortsetzungen'' von \cite{BK1}(5.2.1) im zerfallenden Fall. Damit k{\"o}nnen wir in diesen F{\"a}llen eine Liste von hypothetischen einfachen Typen angeben, von denen wir vermuten, da{ss} sie alle Bernsteinkomponenten parametrisieren, welche irreduzible essentiell quadratintegrierbare Darstellungen enthalten. Insbesondere vermuten wir, da{ss} sich die supercuspidalen Darstellungen mittels kompakter Induktion aus Fortsetzungen solcher einfacher Typen auf eine kompakt modulo Zentrum Untergruppe gewinnen lassen. Um die Vollst{\"a}ndigkeit dieser Konstruktion zu demonstrieren, h{\"a}tten wir allerdings noch die Eigenschaft ``Verkettung impliziert Konjugation'' zu zeigen, welche wir ebenfalls auf eine Folgearbeit verschieben m{\"u}ssen. Beabsichtig w{\"a}re dann ein Vollst{\"a}ndigkeitsbeweis mit dem abstrakten Matchingsatz wie bei L. Corwin \cite{Co} oder in \cite{Z4}. Wir weisen hier nur in Spezialf{\"a}llen nach, dass die Typendarstellungen, welche wir hier angegeben haben, tats{\"a}chlich Typen im Sinne von \cite{BK4}(4.1)(4.2) sind. Insbesondere sind es auch unsere Berechnungen in der Arbeit \cite{GSZ}, welche dem von uns im Geiste von \cite{Z7} und \cite{BK1} gemachten Ans{\"a}tzen hohe Evidenz geben. / In this thesis, we try to explain how simple characters for arbitrary central simple algebras over a non-archimedian local field $F$ can be constructed. Moreover, we introduce a kind of matching of simple characters between different algebras of fixed reduced degree. If the index of the algebra $A$ is odd or $A=M_l(D)$, where $l$ is an arbitrary prime number and $D$ a central division algebra over $F$, we can extend the Heisenberg representations associated to the simple characters to level-0 and obtain a hypothetical list of simple types. For $A=M_l(D)$ and if the residual field of $F$ is not the field with two elements, we can proof that all so-called maximal simple types in our list are simple types in the sense of \cite{BK4} and their extensions to their stabelizers induce supercupidal representations of $G_l(D)$. Using the the heuristical relation via the abstract matching theorem of \cite{BDKV} to the cases of a division algebra due to \cite{Z5} and to the split case due to \cite{BK1}, we conjecture that all supercuspidal representations of $Gl_l(D)$ can be obtained by this way.

Dans cette thèse, d’une part, nous généralisons au cas équivariant un résultat de J. Denef et F. Loeser sur les sommes trigonométriques sur un tore ; d’autre part, nous étudions la stratification de Thom-Boardman associée à la multiplication des sections globales des fibrés en droites sur une courbe. Nous montrons une inégalité subtile sur les dimensions de ces strates. Notre motivation vient du programme de Langlands géométrique. En s’appuyant sur les travaux de W. T. Gan, N. Gurevich, D. Jiang et de S. Lysenko, nous proposons, pour le groupe réductif G de type G2, une construction conjecturale du faisceau automorphe dont le paramètre d’Arthur est unipotent et sous-régulier. En utilisant nos deux résultats ci-dessus, nous déterminons les rangs génériques de toutes les composantes isotypiques d’un faisceau S₃-équivariant qui apparaît dans notre conjecture, ce S₃ étant le centralisateur du SL2 sous-régulier dans le groupe dual de Langlands de G. / In this thesis, on the one hand, we generalise to the equivariant case a result of J. Denef and F. Loeser about trigonometric sums on tori ; on the other hand, we study the Thom-Boardman stratification associated to the multiplication of global sections of line bundles on a curve. We prove a subtle inequaliity about the dimensions of these strata. Our motivation comes from the geometric Langlands program. Based on works of W. T. Gan, N. Gurevich, D. Jiang and S. Lysenko, we propose, for the reductive group G of type G2, a conjectural construction of the automorphic sheaf whose Arthur parameter is unipotent and sub-regular. Using our two results above, we determine the generic ranks of all isotypic components of an S3-equivaraint sheaf which appears in our conjecture, this S3 being the centraliser of the sub-regular SL2 inside the Langlands dual group of G.

Cette thèse se compose de deux chapitres distincts. Les problématiques abordées y sont différentes, mais ils ont en commun de relier des objets de nature géométrique à des objets issus de la théorie de Hodge p-adique. Les résultats du premier chapitre s’inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Nous décrivons le complexe de de Rham des revêtements du demi-plan de Drinfeld pour GL_2(Q_p). Cette description, conjecturée par Breuil et Strauch, fournit une réalisation géométrique de la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour certaines représentations de de Rham de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q_p. Le second chapitre est consacré à l’étude de la catégorie des espaces de Banach-Colmez. Notre résultat principal est une description de cette catégorie abélienne en termes de la catégorie des faisceaux cohérents sur la courbe de Fargues-Fontaine. Au passage, nous démontrons quelques résultats d’intérêt indépendant sur la cohomologie pro-étale et la cohomologie syntomique des variétés rigides. / This PhD thesis contains two chapters. The topics of these two chapters are quite different, but they have in common to draw connections between geometric objects and objects which come from p-adic Hodge theory. The framework of the first chapter is the p-adic Langlands program. We describe the de Rham complex of the étale overings of Drinfeld's p-adic upper half-plane for GL_2(Q_p). Conjectured by Breuil and Strauch, this description gives a geometric realization of the p-adic local Langlands correspondence for certain two-dimensional de Rham representations of the absolute Galois group of Q_p. The second chapter is devoted to the study of the category of Banach-Colmez spaces. Our main result is a precise description of this abelian category in terms of the category of coherent sheaves on the Fargues-Fontaine. Along the way we also prove a few results of independent interest about the pro-étale cohomology and syntomic cohomology of rigid spaces.