Otimizar significa determinar estratégias para se obter as melhores alternativas em busca dos objetivos traçados. Em matemática, otimização refere-se ao estudo de problemas em que se deseja maximizar ou minimizar uma determinada função através da escolha sistemática dos valores de variáveis dentro de um conjunto viável. Um dos métodos de se determinar os máximos e mínimos de funções é utilizando-se o cálculo em várias variáveis, o qual será abordado nesse trabalho. Possíveis situações relacionadas ao cotidiano são apresentadas para que o processo de otimização possa ser abordado por alunos do Ensino Médio. / Optimizing means determing strategies to obtain better alternatives in the search of the stated aims. In Mathematics, optimization refers to the study of problems in which we want to maximize or to minimize a certain function through a systematic choice of variable values in a viable set. One of the methods used to determine the maximums and the minimums of functions is using calculus in several variables, what will be discussed in this work. Possible situations related to daily life are presented so that the optimization process can be studied by high school students.

Otimizar significa determinar estratégias para se obter as melhores alternativas em busca dos objetivos traçados. Em matemática, otimização refere-se ao estudo de problemas em que se deseja maximizar ou minimizar uma determinada função através da escolha sistemática dos valores de variáveis dentro de um conjunto viável. Um dos métodos de se determinar os máximos e mínimos de funções é utilizando-se o cálculo em várias variáveis, o qual será abordado nesse trabalho. Possíveis situações relacionadas ao cotidiano são apresentadas para que o processo de otimização possa ser abordado por alunos do Ensino Médio. / Optimizing means determing strategies to obtain better alternatives in the search of the stated aims. In Mathematics, optimization refers to the study of problems in which we want to maximize or to minimize a certain function through a systematic choice of variable values in a viable set. One of the methods used to determine the maximums and the minimums of functions is using calculus in several variables, what will be discussed in this work. Possible situations related to daily life are presented so that the optimization process can be studied by high school students.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2014-08-28T15:33:45Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertacao Marcos Antonio da Costa.pdf: 1237372 bytes, checksum: e4392b806f26f0293114e12b4ed829c9 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-28T15:33:45Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertacao Marcos Antonio da Costa.pdf: 1237372 bytes, checksum: e4392b806f26f0293114e12b4ed829c9 (MD5) Previous issue date: 2013-04-12 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We deal with extremum values problems. Our focus is the high school students. We present simple ideas and techniques on solving classical optimization problems. Among other problems we cite the classical isoperimetric ploblem and the Heron0s problem. We are based on the book Stories About Maxima and Minima by Tikhomirov which lead with these classical problems using only elementary mathematical subjects. / Estudamos problemas envolvendo valores extremos, com foco nos estudantes do Ensino Médio. Apresentamos de forma simples e resumida, algumas ideias e teorias para a solução de tais problemas. Dentre os quais citamos o Problema de Dido e o de Heron. O principal referencial teórico para confecção deste trabalho foi o livro de Tikhomirov intitulado Stories About Maxima and Minima. Baseados em tal livro, aplicamos métodos e teorias elementares para solucionarmos problemas clássicos de máximos e mínimos.

Submitted by Izabel Franco (izabel-franco@ufscar.br) on 2016-09-23T17:39:24Z No. of bitstreams: 1 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:41:50Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-09-26T20:41:55Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-26T20:42:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) Previous issue date: 2015-08-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / This work presents a didactic proposal for the classes of affine and quadratic functions in elementary school. From our experiences in the teaching profession, we noted that the study of this content requires experimentation and contextualized activities. The study of affine and quadratic functions in basic education is of great importance for abstraction capacity development, solving practical problems and helps to get skills of comparing results, recognizing the characteristics of these functions. Our work is not intended to define affine and quadratic function, but to develop the perception ability of the results that leads to graphs and charts building and can be confirmed using the GeoGebra software. This activity was implemented in two classes of the ninth year of elementary school at Colégio Batista Brasileiro in Bauru. To do this we need four classes of 100 minutes and 1 class of 50 minutes. This is a didactic sequence that requires the use of computers and of the GeoGebra software. / Este trabalho apresenta uma proposta didática para as aulas de funções afim e quadrática no ensino fundamental. A partir de nossas experiências no exercício da docência observamos que o estudo desse conteúdo necessita de atividades de experimentação e contextualização. O estudo de funções afim e quadrática no ensino fundamental é de grande importância para o desenvolvimento da capacidade de abstração, resolução de problemas práticos do cotidiano e ajuda a adquirir habilidades de comparar resultados, reconhecendo as características dessas funções. Nosso trabalho não tem como objetivo definir função afim e quadrática, mas desenvolver a capacidade de percepção dos resultados que levam a construção de gráficos e tabelas, podendo ser confirmados utilizando o software GeoGebra. Esta atividade foi aplicada em duas turmas do nono ano do ensino fundamental de uma escola particular chamada Colégio Batista Brasileiro em Bauru. Para isso foram utilizadas 4 aulas de 100 minutos e 1 aula de 50 minutos. Trata-se de uma sequência didática que requer o uso de computadores e do software GeoGebra.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Ao analisar a Educação Básica nos dias atuais, observa-se que no Ensino Médio o estudo dos problemas sobre máximos e mínimos é realizado de forma limitada e superficial, resumindo-se basicamente a algumas aplicações de funções quadráticas. A resolução de problemas de otimização de índole geométrica constitui um campo fértil para trabalhar a formação matemática dos alunos nesse nível e contribuir com o aperfeiçoamento da qualidade do ensino da Matemática. Esta categoria de problemas pode ser de utilidade na preparação de alunos para as Olimpíadas de Matemática. Este trabalho aborda o estudo e descrição de métodos de solução de problemas de otimização em geometria euclidana, apresentando uma catalogação devida a Andreescu, junto a vários exemplos resolvidos. / Looking over the Basic Education nowadays, it becomes aware that in high school the study of maxima and minimas problems is carry out in a limited and superficial way. In general, the resolution of these problems lessened to some application of quadratic functions. However, Geometric optimizations problems may be a fecund area to contribute for improving the quality of math education at this level and to develop the mathematical mind of students. That category of problems is also useful for training students for the Math Olympics. This masters dissertation deals with the study of resolutions methods of optimization problems in Euclidean Plane Geometry, presenting a cataloging, according to Andreescu, and some several solved illustrative examples.

Nosso objetivo com este trabalho é contribuir para o aperfeiçoamento da ação educativa do professor de matemática na Educação Básica, tanto em formação inicial quanto em formação continuada. Apresentamos algumas abordagens elementares para estudo de Máximos e Mínimos que utilizam conteúdos próprios dos anos finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio embasados principalmente na obra Maxima and Minima without Calculus (NIVEN, 1981). Discutimos os conceitos de Conhecimento Especializado e de Horizontes de Conteúdo Matemático como justificativa para a relevância do uso deste material, que foram cunhados por pesquisadores da Universidade de Michigan, liderados por Deborah Ball no artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes it Special? (2008). Trazemos uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio. Discorremos sobre os quatro conceitos de Médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática partindo de problemas que originaram tais conceitos. Mostramos ainda como podem ser naturalmente associados a medidas de segmentos definidos em quadrados, trapézios e semicírculos que evidenciam claramente certas desigualdades entre elas. A seguir, como aplicação de produtos notáveis e trinômios do segundo grau, apresentamos problemas algébricos e geométricos envolvendo máximos e mínimos e discutimos suas soluções. Estabelecemos e provamos algebricamente as desigualdades entre as quatro médias (de até quatro números positivos), que são aplicadas para a determinação de pontos de máximo ou mínimo de funções variadas em problemas contextualizados. Por fim generalizamos e provamos as desigualdades entre as médias para n números positivos e desenvolvemos várias outras aplicações. / This work intends to be a contribution to the improvement of the educational action of mathematics school teachers in both initial or continuous formation. We present some elementary approaches for the study of Maxima and Minima that use final years of Elementary and High School contents only, mainly based on Ivan Nivens book Maxima and Minima without Calculus (NIVEN, 1981). We discuss the concepts of Specialized and Horizons Knowledge of Mathematical Content as a justification for the relevance of the use of this material, which were been introducted by the University of Michigans researchers, led by Deborah Ball, in the article - Content Knowledge for Teaching: What Makes it Special? (2008). We bring a critical analysis of the approach employed for the topic (maxima and minima) in some high school textbooks. We discuss the four concepts of averages - arithmetic, geometric, harmonic and quadratic - starting from problems that originated them. We also show how they can be naturally associated with measures of segments defined in squares, trapezoids and semicircles so that we can clearly visualise certains inequalities between them. Next, as an application of notable products and of second degree trinomials, we present algebraic and geometric problems of maxima or minima and discuss their solutions. We establish and prove algebraically the inequalities between the four averages (up to four positive numbers), which are applied to determine maximum or minimum points of varied functions in contextualized problems. Finally we generalize and prove the averages inequalities for n positive numbers and we develop several applications.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Katia Vigo Ingar.pdf: 7484950 bytes, checksum: 70bd251a7d421ffddde7fa79693993a3 (MD5) Previous issue date: 2014-11-05 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work aimed to analyze the process of visualization during the learning of notions of maximum and minimum local values in functions of two real variables by students of engineering. The methodology of the study is the Artigue Didactic Engineering. The theoretical reference was based on the theory of Semiotic Register by Duval, particularly in the perceptive, discursive, operational and sequential apprehension of a graphic register represented in the CAS Mathematica and in the articulation between the graphic and algebraic registers. Our theoretical referential was also based on the Theory of Didactic Situation by Brousseau, for we got started with situations which have as their main frame the position of the professor-researcher who faces a group of students in a milieu formed by a computer laboratory, questionings and feedback. The a posteriori analysis of didactic situations helped us see that the students presented difficulties converting the register from natural language to algebraic but, anyway, they coordinated three registers of semiotics representation: natural language, algebraic and graphic. In the graphic register presented in the CAS Mathematica, through operational apprehension and by means of optical, positional and mereologic modifications, the students identified the visual variables inherent to the graphic register. To the students it was not easy to articulate the visual variables with the meaningful values of the algebraic register presented in the definitions and theorems of maximum and minimum values of functions of two real variables. Validating results was not simple for them either. Therefore, the study of visualization through the theory of Semiotic Register by Duval proved itself to be the way to the apprehension of maximum and minimum local values of functions of two real variables / Esta pesquisa tem por objetivo analisar o processo de visualização durante a aprendizagem das noções de valores máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis reais, de alunos de engenharia. A metodologia do estudo é a Engenharia Didática de Artigue. E o referencial teórico está baseado na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval, especificamente nas apreensões perceptiva, discursiva, operatória e sequencial de um registro gráfico representado no CAS Mathematica, e na articulação entre o registro gráfico e o algébrico. Nosso referencial teórico fundamentou-se, também, na teoria das Situações Didáticas de Brousseau, uma vez que iniciamos com a proposta de situações, em cujo cenário está o professor-pesquisador diante de um grupo de alunos, em um milieu constituído por um laboratório de computação, além dos questionamentos e devoluções. Por meio da análise a posteriori das situações didáticas, percebe-se que os alunos apresentaram dificuldades em realizar a conversão do registro da língua natural para o algébrico, mas, mesmo assim, coordenaram três registros de representação semiótica: língua natural, algébrico e gráfico. Já no registro gráfico representado no CAS Mathematica, pela apreensão operatória e por meio das modificações ótica, posicional e mereológica, identificaram as variáveis visuais próprias do registro gráfico, porém, tiveram dificuldade em articulá-las com os valores significantes do registro algébrico, apresentado nas definições e teoremas de valores máximos e mínimos de funções de duas variáveis reais, e em validar os resultados. Portanto, o estudo da visualização, mediante a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval, mostrou ser um meio para a aprendizagem dos valores máximos e mínimos locais de funções de duas variáveis reais

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:29:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 6311.pdf: 6136932 bytes, checksum: 61ddcfd9f2becb52bf53455a06dd1ced (MD5) Previous issue date: 2014-04-15 / Financiadora de Estudos e Projetos / This paper presents a didactic proposal for Spatial Geometry classes in High School. We were taken to create this proposal from our experience as a teacher, when we observed that the study of this content requires experimentation and contextualization activities. The study of the Spatial Geometry is of great importance in High School. It contributes to the development of the capacity of abstraction, solving practical problems of everyday life and helps to acquire skills to estimate and compare results, recognize properties of geometric shapes, calculate areas, volume and working with different units of measure. Our work uses as motivation the problem of constructing a silo for grain storage, for this it is necessary to compare the volumes of the prisms with triangular, square and hexagonal base and of the cylinder without the cover, height and total area of the fixed surface to choose the format representing the highest volume. Our work is not intended to define or obtain formulas to calculate areas and volumes. The main focus of this work is to develop the ability to manipulate these formulas and other knowledge, such as solving quadratic equation, using the Pythagorean theorem, and correctly use the calculator to solve a practical problem. This activity has been applied to three classes of Second Grade High School students in a State School of São Paulo in Agudos town. For this purpose two classes of 100 minutes were used. The pupils enjoyed the activity that was carried out in groups of three and the lesson was without complications. This is a didactic sequence that does not require many resources and may be useful for teachers who want to work the theme in context. Our proposal adopts suggestions from the National Curricular Parameters (NCP) and we believe that can be used by fellow teachers, to which our product is available. / Este trabalho apresenta uma proposta didática para aulas de Geometria Espacial no Ensino Médio. Fomos levados a criar essa proposta a partir de nossa experiência como professor, quando observamos que o estudo desse conteúdo necessita de atividades de experimentação e contextualização. O estudo da Geometria Espacial é de grande importância no Ensino Médio. Contribui para o desenvolvimento da capacidade de abstração, resolução de problemas práticos do quotidiano, e ajuda a adquirir habilidades como estimar e comparar resultados, reconhecer propriedades das formas geométricas, calcular áreas, volumes e trabalhar com diferentes unidades de medida. Nosso trabalho usa como motivação o problema de construir um silo para armazenamento de grãos, para isso é preciso comparar os volumes dos prismas de base triangular, quadrada, hexagonal e do cilindro, sem a tampa, altura e área total da superfície fixa para escolher o formato que apresente o maior volume. Nosso trabalho não tem o objetivo de definir ou obter fórmulas para calcular áreas e volumes. O foco principal deste trabalho é desenvolver a capacidade de manipular tais fórmulas e outros conhecimentos, como por exemplo, resolver equações do segundo grau, utilizar o teorema de Pitágoras e utilizar corretamente a calculadora para resolver um problema prático. Esta atividade foi aplicada em três turmas da segunda série do Ensino Médio de uma escola da Rede Estadual de Ensino de São Paulo em Agudos. Para isso foram utilizadas duas aulas de 100 minutos. Os alunos gostaram da atividade que foi realizada em grupos de três e a aula transcorreu sem complicações. Trata-se de uma sequência didática que não requer muitos recursos e pode ser útil para os professores que pretendam trabalhar o tema de maneira contextualizada. Nossa proposta adota sugestões dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e acreditamos que pode ser utilizada por colegas professores, aos quais nosso produto está disponível.

Submitted by Eunice Nunes (eunicenunes6@gmail.com) on 2018-09-17T21:34:46Z No. of bitstreams: 2 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Eunice Nunes (eunicenunes6@gmail.com) on 2018-09-17T21:35:08Z (GMT) No. of bitstreams: 2 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Eunice Nunes (eunicenunes6@gmail.com) on 2018-09-17T21:36:04Z (GMT) No. of bitstreams: 2 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-17T21:36:14Z (GMT). No. of bitstreams: 2 DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) DissFMGD.pdf: 5584383 bytes, checksum: a1c7f3be1865a53b851640fd3b5643c9 (MD5) Previous issue date: 2015-06-11 / Não recebi financiamento / This work presents a didactic proposal for the classes of affine and quadratic functions in elementary school. From our experiences in the teaching profession, we noted that the study of this content requires experimentation and contextualized activities. The study of affine and quadratic functions in basic education is of great importance for abstraction capacity development, solving practical problems and helps to get skills of comparing results, recognizing the characteristics of these functions. Our work is not intended to define affine and quadratic function, but to develop the perception ability of the results that leads to graphs and charts building and can be confirmed using the GeoGebra software. This activity was implemented in two classes of the ninth year of elementary school at Colégio Batista Brasileiro in Bauru. To do this we need four classes of 100 minutes and 1 class of 50 minutes. This is a didactic sequence that requires the use of computers and of the GeoGebra software / Este trabalho apresenta uma proposta didática para as aulas de funções afim e quadrática no ensino fundamental. A partir de nossas experiências no exercício da docência observamos que o estudo desse conteúdo necessita de atividades de experimentação e contextualização. O estudo de funções afim e quadrática no ensino fundamental é de grande importância para o desenvolvimento da capacidade de abstração, resolução de problemas práticos do cotidiano e ajuda a adquirir habilidades de comparar resultados, reconhecendo as características dessas funções. Nosso trabalho não tem como objetivo definir função afim e quadrática, mas desenvolver a capacidade de percepção dos resultados que levam a construção de gráficos e tabelas, podendo ser confirmados utilizando o software GeoGebra. Esta atividade foi aplicada em duas turmas do nono ano do ensino fundamental de uma escola particular chamada Colégio Batista Brasileiro em Bauru. Para isso foram utilizadas 4 aulas de 100 minutos e 1 aula de 50 minutos. Trata-se de uma sequência didática que requer o uso de computadores e do software GeoGebra.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we show contents of high-school and college which can be applied when the subject is to optimise. The search for the great is something very present in our lives. Different areas, amongst them, Operational Reserach, search for better solutions for their problems. For example, the best way to distribute scarce resources among the sectors of an industry. Studying optimisation may sharpen in people the interest for studying Mathmatics, and the understanding that the squaring function is not the only way of modeling and solving problems of optimisation. / Neste trabalho apresentamos conteúdos do ensino médio e do ensino superior que podem ser aplicados quando o assunto é otimizar. A busca pelo ótimo é algo muito presente em nossas vidas. Diferentes áreas, dentre elas, Pesquisa Operacional, buscam melhores soluções para seus problemas. Por exemplo, a melhor forma de distribuir recursos escassos entre os setores de uma indústria. Estudar otimização pode aguçar nas pessoas o interesse por estudar matemática, e a compreensão de que a função quadrática não é a única forma de modelar e resolver problemas de otimização. / São Cristóvão, SE