In dieser Arbeit wird ein neuer Ansatz für die Analyse von Profile Maximierungsschätzern präsentiert. Es werden die Ergebnisse von Spokoiny (2011) verfeinert und angepasst für die Schätzung von Komponenten von endlich dimensionalen Parametern mittels der Maximierung eines Kriteriumfunktionals. Dabei werden Versionen des Wilks Phänomens und der Fisher-Erweiterung für endliche Stichproben hergeleitet und die dafür kritische Relation der Parameterdimension zum Stichprobenumfang gekennzeichnet für den Fall von identisch unabhängig verteilten Beobachtungen und eines hinreichend glatten Funktionals. Die Ergebnisse werden ausgeweitet für die Behandlung von Parametern in unendlich dimensionalen Hilberträumen. Dabei wir die Sieve-Methode von Grenander (1981) verwendet. Der Sieve-Bias wird durch übliche Regularitätsannahmen an den Parameter und das Funktional kontrolliert. Es wird jedoch keine Basis benötigt, die orthogonal in dem vom Model induzierten Skalarprodukt ist. Weitere Hauptresultate sind zwei Konvergenzaussagen für die alternierende Maximisierungsprozedur zur approximation des Profile-Schätzers. Alle Resultate werden anhand der Analyse der Projection Pursuit Prozedur von Friendman (1981) veranschaulicht. Die Verwendung von Daubechies-Wavelets erlaubt es unter natürlichen und üblichen Annahmen alle theoretischen Resultate der Arbeit anzuwenden. / This thesis presents a new approach to analyze profile M-Estimators for finite samples. The results of Spokoiny (2011) are refined and adapted to the estimation of components of a finite dimensional parameter using the maximization of a criterion functional. A finite sample versions of the Wilks phenomenon and Fisher expansion are obtained and the critical ratio of parameter dimension to sample size is derived in the setting of i.i.d. samples and a smooth criterion functional. The results are extended to parameters in infinite dimensional Hilbert spaces using the sieve approach of Grenander (1981). The sieve bias is controlled via common regularity assumptions on the parameter and functional. But our results do not rely on an orthogonal basis in the inner product induced by the model. Furthermore the thesis presents two convergence results for the alternating maximization procedure. All results are exemplified in an application to the Projection Pursuit Procedure of Friendman (1981). Under a set of natural and common assumptions all theoretical results can be applied using Daubechies wavelets.

In this thesis, a binary decision tree is used as an approximation of a nonparametric regression curve. The best fitted decision tree is estimated from data via least squares method. It is investigated how and under which conditions the estimator converges. These asymptotic results then are used to create asymptotic convergence regions.

Die Quantilsregression untersucht die Quantilfunktion QY |X (τ ), sodass ∀τ ∈ (0, 1), FY |X [QY |X (τ )] = τ erfu ̈llt ist, wobei FY |X die bedingte Verteilungsfunktion von Y gegeben X ist. Die Quantilsregression ermo ̈glicht eine genauere Betrachtung der bedingten Verteilung u ̈ber die bedingten Momente hinaus. Diese Technik ist in vielerlei Hinsicht nu ̈tzlich: beispielsweise fu ̈r das Risikomaß Value-at-Risk (VaR), welches nach dem Basler Akkord (2011) von allen Banken angegeben werden muss, fu ̈r ”Quantil treatment-effects” und die ”bedingte stochastische Dominanz (CSD)”, welches wirtschaftliche Konzepte zur Messung der Effektivit ̈at einer Regierungspoli- tik oder einer medizinischen Behandlung sind. Die Entwicklung eines Verfahrens zur Quantilsregression stellt jedoch eine gro ̈ßere Herausforderung dar, als die Regression zur Mitte. Allgemeine Regressionsprobleme und M-Scha ̈tzer erfordern einen versierten Umgang und es muss sich mit nicht- glatten Verlustfunktionen besch ̈aftigt werden. Kapitel 2 behandelt den Einsatz der Quantilsregression im empirischen Risikomanagement w ̈ahrend einer Finanzkrise. Kapitel 3 und 4 befassen sich mit dem Problem der h ̈oheren Dimensionalit ̈at und nichtparametrischen Techniken der Quantilsregression. / Quantile regression studies the conditional quantile function QY|X(τ) on X at level τ which satisfies FY |X QY |X (τ ) = τ , where FY |X is the conditional CDF of Y given X, ∀τ ∈ (0,1). Quantile regression allows for a closer inspection of the conditional distribution beyond the conditional moments. This technique is par- ticularly useful in, for example, the Value-at-Risk (VaR) which the Basel accords (2011) require all banks to report, or the ”quantile treatment effect” and ”condi- tional stochastic dominance (CSD)” which are economic concepts in measuring the effectiveness of a government policy or a medical treatment. Given its value of applicability, to develop the technique of quantile regression is, however, more challenging than mean regression. It is necessary to be adept with general regression problems and M-estimators; additionally one needs to deal with non-smooth loss functions. In this dissertation, chapter 2 is devoted to empirical risk management during financial crises using quantile regression. Chapter 3 and 4 address the issue of high-dimensionality and the nonparametric technique of quantile regression.

Diese Arbeit stellt Modelle und Methoden vor, die für robuste Statistiken und ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen entwickelt wurden. Kapitel 2 stellt einen neuartigen Partitionierungs-Clustering-Algorithmus vor, der auf Expectiles basiert. Der Algorithmus bildet Cluster, die sich an das Endverhalten der Clusterverteilungen anpassen und sie dadurch robuster machen. Das Kapitel stellt feste Tau-Clustering- und adaptive Tau-Clustering-Schemata und ihre Anwendungen im Kryptowährungsmarkt und in der Bildsegmentierung vor. In Kapitel 3 wird ein faktorerweitertes dynamisches Modell vorgeschlagen, um das Tail-Verhalten hochdimensionaler Zeitreihen zu analysieren. Dieses Modell extrahiert latente Faktoren, die durch Extremereignisse verursacht werden, und untersucht ihre Wechselwirkung mit makroökonomischen Variablen mithilfe des VAR-Modells. Diese Methodik ermöglicht Impuls-Antwort-Analysen, Out-of-Sample-Vorhersagen und die Untersuchung von Netzwerkeffekten. Die empirische Studie stellt den signifikanten Einfluss von durch finanzielle Extremereignisse bedingten Faktoren auf makroökonomische Variablen während verschiedener Wirtschaftsperioden dar. Kapitel 4 ist eine Pilotanalyse zu Non Fungible Tokens (NFTs), insbesondere CryptoPunks. Der Autor untersucht die Clusterbildung zwischen digitalen Assets mithilfe verschiedener Visualisierungstechniken. Die durch CNN- und UMAP-Regression identifizierten Cluster werden mit Preisen und Merkmalen von CryptoPunks in Verbindung gebracht. Kapitel 5 stellt die Konstruktion eines Preisindex namens Digital Art Index (DAI) für den NFT-Kunstmarkt vor. Der Index wird mithilfe hedonischer Regression in Kombination mit robusten Schätzern für die Top-10-Liquid-NFT-Kunstsammlungen erstellt. Es schlägt innovative Verfahren vor, nämlich Huberisierung und DCS-t-Filterung, um abweichende Preisbeobachtungen zu verarbeiten und einen robusten Index zu erstellen. Darüber hinaus werden Preisdeterminanten des NFT-Marktes analysiert. / This thesis provides models and methodologies developed on robust statistics and their applications in various domains. Chapter 2 presents a novel partitioning clustering algorithm based on expectiles. The algorithm forms clusters that adapt to the tail behavior of the cluster distributions, making them more robust. The chapter introduces fixed tau-clustering and adaptive tau-clustering schemes and their applications in crypto-currency market and image segmentation. In Chapter 3 a factor augmented dynamic model is proposed to analyse tail behavior of high-dimensional time series. This model extracts latent factors driven by tail events and examines their interaction with macroeconomic variables using VAR model. This methodology enables impulse-response analysis, out-of-sample predictions, and the study of network effects. The empirical study presents significant impact of financial tail event driven factors on macroeconomic variables during different economic periods. Chapter 4 is a pilot analysis on Non Fungible Tokens (NFTs) specifically CryptoPunks. The author investigates clustering among digital assets using various visualization techniques. The clusters identified through regression CNN and UMAP are associated with prices and traits of CryptoPunks. Chapter 5 introduces the construction of a price index called the Digital Art Index (DAI) for the NFT art market. The index is created using hedonic regression combined with robust estimators on the top 10 liquid NFT art collections. It proposes innovative procedures, namely Huberization and DCS-t filtering, to handle outlying price observations and create a robust index. Furthermore, it analyzes price determinants of the NFT market.