Les progrès du calcul scientifique ont permis des avancées importantes dans la simulation et la compréhension de problèmes complexes tels que les différents phénomènes physiques qui ont lieu dans des turbines à gaz industrielles. Cependant' l'essentiel de ces avancées portent sur la résolution d'un seul problème à la fois. En effet on résout soit les équations de la phase fluide d'un côté' de la thermique d'un autre' du rayonnement' etc... Pourtant' dans la réalité tous ces différents problèmes physiques interagissent entre eux: on parle de problèmes couplés. Ainsi en réalisant des calculs couplés on peut continuer à améliorer la qualité des simulations et donc donner aux concepteurs de turbines à gaz des outils supplémentaires. Aujourd'hui' des logiciels récents permettent de résoudre plusieurs physiques simultanément grâce à des solveurs génériques. En revanche' la contrepartie de cette généricité est qu'ils se révèlent peu efficaces sur des problèmes coûteux tels que la Simulation aux Grandes Echelles (SGE). Une autre solution consiste à connecter des codes spécialisés en leur faisant échanger des informations' cela s'appelle le couplage de codes. Dans cette thèse on s'intéresse au couplage d'un domaine fluide dans lequel on simule une SGE réactive (combustion) avec un domaine solide dans lequel on résout la conduction thermique. Pour réaliser ce couplage une méthodologie est mise en place en abordant différentes problématiques. Tout d'abord' la problématique spécifique au couplage de la SGE et de la thermique : l'impact de la fréquence d'échange sur la convergence du système ainsi que sur les problèmes de repliement de spectre et la stabilité du système couplé. Ensuite les problèmes d'interpolation et de géométrie sont traités avec notamment le développement d'une méthode d'interpolation conservative et la mise en évidence des difficultés spécifiques au couplage de géométries industrielles. Finalement la problématique du calcul haute performance (HPC) est traitée avec le développement d'une méthode permettant de réaliser efficacement l'échange des données et l'interpolation entre différents codes parallèles. Ces travaux ont été appliqués sur une configuration de chambre de combustion aéronautique industrielle. / Progress in scientific computing has led to major advances in simulation and understanding of the different physical phenomena that exist in industrial gas turbines. However' most of these advances have focused on solving one problem at a time. Indeed' the combustion problem is solved independently from the thermal or radiation problems' etc... In reality all these problems interact: one speaks of coupled problems. Thus performing coupled computations can improve the quality of simulations and provide gas turbines engineers with new design tools. Recently' solutions have been developed to handle multiple physics simultaneously using generic solvers. However' due to their genericity these solutions reveal to be ineffective on expensive problems such as Large Eddy Simulation (LES). Another solution is to perform code coupling: specialized codes are connected together' one for each problem and they exchange data periodically. In this thesis a conjugate heat transfer problem is considered. A fluid domain solved by a combustion LES solver is coupled with a solid domain in which the conduction problem is solved. Implementing this coupled problem raises multiple issues which are addressed in this thesis. Firstly' the specific problem of coupling an LES solver to a conduction solver is considered: the impact of the inter-solver exchange frequency on convergence' possible temporal aliasing' and stability of the coupled system is studied. Then interpolation and geometrical issues are addressed: a conservative interpolation method is developed and compared to other methods. These methods are then applied to an industrial configuration' highlighting the problems and solutions specific to complex geometry. Finally' high performance computing (HPC) is considered: an efficient method to perform data exchange and interpolation between parallel codes is developed. This work has been applied to an aeronautical combustion chamber configuration.

Cette thèse aborde différents aspects de la résolution numérique des Equations aux Dérivées Partielles.Le premier chapitre est consacré à l'étude de la méthode Mixed High-Order (MHO). Il s'agit d'une méthode mixte de dernière génération permettant d'obtenir des approximations d'ordre arbitraire sur maillages généraux. Le principal résultat obtenu est l'équivalence entre la méthode MHO et une méthode primale de type Hybrid High-Order (HHO).Dans le deuxième chapitre, nous appliquons la méthode MHO/HHO à des problèmes issus de la mécanique des fluides. Nous considérons d'abord le problème de Stokes, pour lequel nous obtenons une discrétisation d'ordre arbitraire inf-sup stable sur maillages généraux. Des estimations d'erreur optimales en normes d'énergie et L2 sont proposées. Ensuite, nous étudions l'extension au problème d'Oseen, pour lequel on propose une estimation d'erreur en norme d'énergie où on trace explicitement la dépendance du nombre de Péclet local.Dans le troisième chapitre, nous analysons la version hp de la méthode HHO pour le problème de Darcy. Le schéma proposé permet de traiter des maillages généraux ainsi que de faire varier le degré polynomial d'un élément à l'autre. La dépendance de l'anisotropie locale du coefficient de diffusion est tracée explicitement dans l'analyse d'erreur en normes d'énergie et L2.La thèse se clôture par une ouverture sur la réduction de problèmes de diffusion à coefficients variables. L'objectif consiste à comprendre l'impact du choix de la formulation (mixte ou primale) utilisée pour la projection sur l'espace réduit sur la qualité du modèle réduit. / This Ph.D. thesis deals with different aspects of the numerical resolution of Partial Differential Equations.The first chapter focuses on the Mixed High-Order method (MHO). It is a last generation mixed scheme capable of arbitrary order approximations on general meshes. The main result of this chapter is the equivalence between the MHO method and a Hybrid High-Order (HHO) primal method.In the second chapter, we apply the MHO/HHO method to problems in fluid mechanics. We first address the Stokes problem, for which a novel inf-sup stable, arbitrary-order discretization on general meshes is obtained. Optimal error estimates in both energy- and L2-norms are proved. Next, an extension to the Oseen problem is considered, for which we prove an error estimate in the energy norm where the dependence on the local Péclet number is explicitly tracked.In the third chapter, we analyse a hp version of the HHO method applied to the Darcy problem. The resulting scheme enables the use of general meshes, as well as varying polynomial orders on each face.The dependence with respect to the local anisotropy of the diffusion coefficient is explicitly tracked in both the energy- and L2-norms error estimates.In the fourth and last chapter, we address a perspective topic linked to model order reduction of diffusion problems with a parametric dependence. Our goal is in this case to understand the impact of the choice of the variational formulation (primal or mixed) used for the projection on the reduced space on the quality of the reduced model.

Ce manuscrit est dédié à la détection et la caractérisation de points d'intérêt dans les maillages. Nous montrons tout d'abord les limitations de la mesure de courbure sur des contours francs, mesure habituellement utilisée dans le domaine de l'analyse de maillages. Nous présentons ensuite une généralisation de l'opérateur SUSAN pour les maillages, nommé SUSAN-3D. La mesure de saillance proposée quantifie les variations locales de la surface et classe directement les points analysés en cinq catégories : saillant, crête, plat, vallée et creux. Les maillages considérés sont à variété uniforme avec ou sans bords et peuvent être réguliers ou irréguliers, denses ou non et bruités ou non. Nous étudions ensuite les performances de SUSAN-3D en les comparant à celles de deux opérateurs de courbure : l'opérateur de Meyer et l'opérateur de Stokely. Deux méthodes de comparaison des mesures de saillance et courbure sont proposées et utilisées sur deux types d’objets : des sphères et des cubes. Les sphères permettent l'étude de la précision sur des surfaces différentiables et les cubes sur deux types de contours non-différentiables : les arêtes et les coins. Nous montrons au travers de ces études les avantages de notre méthode qui sont une forte répétabilité de la mesure, une faible sensibilité au bruit et la capacité d'analyser les surfaces peu denses. Enfin, nous présentons une extension multi-échelle et une automatisation de la détermination des échelles d'analyse qui font de SUSAN-3D un opérateur générique et autonome d’analyse et de caractérisation pour les maillages / This manuscript is dedicated to the detection and caracterization of interest points for 3D meshes. First of all, we show the limitations of the curvature measure on sharp edges, the measure usually used for the analysis of meshes. Then, we present a generalization of the SUSAN operator for meshes, named SUSAN-3D. The saliency measure proposed quantify the local variation of the surface and classify directly the analysed vertices in five classes: salient, crest, flat, valley and cavity. The meshes under consideration are manifolds and can be closed or non-closed, regulars or irregulars, dense or not and noised or not. The accuracy of the SUSAN-3D operator is compared to two curvature operators: the Meyer's operator and the Stokely's operator. Two comparison methods of saliency and curvature measures are described and used on two types of objects: spheres and cubes. The spheres allow the study of the accuracy for differentiable surfaces and the cubes for two types of sharp edges: crests and corners. Through these studies, we show the benefits of our method that are a strong repeatability of the measure, high robustness to noise and capacity to analyse non dense meshes. Finally, we present a multi-scale scheme and automation of the determination of the analysis scales that allow SUSAN-3D to be a general and autonomous operator for the analysis and caracterization of meshes

Dans le contexte du développement d'une agriculture durable visant à préserver les ressources naturelles et les écosystèmes, il s'avère nécessaire d'approfondir notre compréhension des processus souterrains et des interactions entre le sol et les racines des plantes.Dans cette thèse, on utilise des outils mathématiques et numériques pour développer des modèles mécanistiques explicites du mouvement de l'eau et des nutriments dans le sol et de l'absorption racinaire, gouvernés par des équations aux dérivées partielles non linéaires. Un accent est mis sur la prise en compte explicite de la géométrie du système racinaire et des processus à petite échelle survenant dans la rhizosphère, qui jouent un rôle majeur dans l'absorption racinaire.La première étude est dédiée à l'analyse mathématique d'un modèle d'absorption du phosphore (P) par les racines des plantes. L'évolution de la concentration de P dans la solution du sol est gouvernée par une équation de convection-diffusion avec une condition aux limites non linéaire à la surface de la racine, que l'on considère ici comme un bord du domaine du sol. On formule ensuite un problème d'optimisation de forme visant à trouver les formes racinaires qui maximisent l'absorption de P.La seconde partie de cette thèse montre comment on peut tirer avantage des récents progrès du calcul scientifique dans le domaine de l'adaptation de maillage non structuré et du calcul parallèle afin de développer des modèles numériques du mouvement de l'eau et des solutés et de l'absorption racinaire à l'échelle de la plante, tout en prenant en compte les phénomènes locaux survenant à l'échelle de la racine unique. / In the context of the development of sustainable agriculture aiming at preserving natural resources and ecosystems, it is necessary to improve our understanding of underground processes and interactions between soil and plant roots.In this thesis, we use mathematical and numerical tools to develop explicit mechanistic models of soil water and solute movement accounting for root water and nutrient uptake and governed by nonlinear partial differential equations. An emphasis is put on resolving the geometry of the root system as well as small scale processes occurring in the rhizosphere, which play a major role in plant root uptake.The first study is dedicated to the mathematical analysis of a model of phosphorus (P) uptake by plant roots. The evolution of the concentration of P in the soil solution is governed by a convection-diffusion equation with a nonlinear boundary condition at the root surface, which is included as a boundary of the soil domain. A shape optimization problem is formulated that aims at finding root shapes maximizing P uptake.The second part of this thesis shows how we can take advantage of the recent advances of scientific computing in the field of unstructured mesh adaptation and parallel computing to develop numerical models of soil water and solute movement with root water and nutrient uptake at the plant scale while taking into account local processes at the single root scale.

Les simulations dépendant du temps sont toujours un challenge dans l'industrie, notamment à cause des problèmes posés par les géométries mobiles en termes de CPU et de précision. Cette thèse présente des contributions à certains aspects des simulations en géométrie mobile. Un algorithme de bouger de maillage fondé sur une déformation de maillage sur un grand pas de temps et des changements de connectivité (swaps) est étudié. Une méthode d'élasticité et une méthode d'interpolation directe sont comparées en 3D, démontrant l'efficacité de l'algorithme. Cet algorithme est couplé à un solver ALE, dont les schémas et l'implémentation en 3D sont décrits en détail. Une interpolation linéaire est utilisée pou traiter les swaps. Des cas de validation montrent que les swaps n'influent pas notablement sur la précision de la solution. Plusieurs examples complexes en 3D démontrent la puissance de cette approche, pour des mouvement imposés ou pour des problèmes d'Interaction Fluide-Structure. L'adaptation de maillage anisotrope a démontré son efficacité pour améliorer la précision des calculs stationnaires pour un coût raisonnable. On considère l'extension de ces méthodes aux problèmes instationnaires, en mettant à jour l'algorithme de point fixe précédent grâce à une ananlyse de l'erreur espace-temps fondée sur le modèle de maillage continu. Une parallélisation efficace permet de réaliser des simulations adaptatives instationnaires avec une précision inégalée. Cet algorithme est étendu au cas des géométries mobiles en corrigeant la métrique optimale instationnaire. Finalement, plusieurs exemples 3D de simulations adaptatives en géométries mobiles démontrent l'efficacité de l'approche. / Time dependent simulations are still a challenge for industry, notably due to problems raised by moving boundaries, both in terms of CPU cost and accuracy. This thesis presents contributions to several aspects of simulations with moving meshes. A moving-mesh algorithm based on a large deformation time step and connectivity changes (swaps) is studied. An elasticity method and an Inverse Distance Weighted interpolation method are compared on many 3D examples, demonstrating the efficiency of the algorithm in handling large geometry displacement without remeshing. This algorithm is coupled with an Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) solver, whose schemes and implementation in 3D are described in details. A linear interpolation scheme is used to handle swaps. Validation test cases showed that the use of swaps does not impact notably the accuracy of the solution, while several other complex 3D examples demonstrate the capabilities of the approach both with imposed motion and Fluid-Structure Interaction problems. Metric-based mesh adaptation has proved its efficiency in improving the accuracy of steady simulation at a reasonable cost. We consider the extension of these methods to unsteady problems, updating the previous fixed-point algorithm thanks to a new space-time error analysis based on the continuous mesh model. An efficient p-thread parallelization enables running 3D unsteady adaptative simulations with a new level of accuracy. This algorithm is extended to moving mesh problems, notably by correcting the optimal unsteady metric. Finally several 3D examples of adaptative moving mesh simulations are exhibited, that prove our concept by improving notably the accuracy of the solution for a reasonable time cost.

Cette thèse est dédiée à la simulation numérique des systèmes mécaniques impliquant l'interaction entre une structure mince déformable et un fluide incompressible interne ou qui l'entoure.Dans la première partie, nous introduisons deux nouvelles classes de schémas de couplage explicites en utilisant des maillages compatibles. Les méthodes proposées combinent une certaine consistance Robin dans le système avec (i) un schéma à pas fractionnaire pour le fluide ou (ii) une discrétisation temporelle d'ordre deux pour le fluide et le solide. Les propriétés de stabilité des méthodes sont analysées dans un cadre linéaire représentatif. Cette partie inclut aussi une étude numérique exhaustive dans laquelle plusieurs schémas de couplage (dont certains proposés ici) sont comparés et validés avec des résultats expérimentaux. Dans la seconde partie, nous considérons des maillages non compatibles. La discrétisation spatiale est basée, dans ce cas là, sur des variantes de la méthode de Nitsche avec éléments coupés. Nous présentons deux nouveaux types de schémas de découplage qui exploitent la susmentionée condition de Robin en utilisant des maillages incompatibles. Le caractère semi-implicite ou explicite du couplage en temps dépend de l'ordre dans lequel les discrétisations spatiales et temporelles sont effectuées. Dans le cas d'un couplage avec des structures immergées, la vitesse et la pression discrètes permettent des discontinuités faibles et fortes à travers l'interface, respectivement. Des estimations de stabilité et d'erreur sont fournies dans un cadre linéaire. Une série de tests numériques illustre la performance des différentes méthodes proposées. / This thesis is devoted to the numerical approximation of mechanical systems involving the interaction of a deformable thin-walled structure with an internal or surrounding incompressible fluid flow. In the first part, we introduce two new classes of explicit coupling schemes using fitted meshes. The methods proposed combine a certain Robin-consistency in the system with (i) a projection-based time-marching in the fluid or (ii) second-order time-stepping in both the fluid and the solid. The stability properties of the methods are analyzed within representative linear settings. This part includes also a comprehensive numerical study in which state-of-the-art coupling schemes (including some of the methods proposed herein) are compared and validated against the results of an experimental benchmark. In the second part, we consider unfitted mesh formulations. The spatial discretization in this case is based on variants of Nitsche’s method with cut elements. We present two new classes of splitting schemes which exploit the aforementioned interface Robin-consistency in the unfitted framework. The semi-implicit or explicit nature of the splitting in time is dictated by the order in which the spatial and time discretizations are performed. In the case of the coupling with immersed structures, weak and strong discontinuities across the interface are allowed for the velocity and pressure, respectively. Stability and error estimates are provided within a linear setting. A series of numerical tests illustrates the performance of the different methods proposed.

L'objectif de cette thèse est de développer un nouveau schéma numérique du type volumes finis pour la dynamique des gaz. Dans deux articles, F.Berthelin, T.Goudon et S.Minjeaud proposent de résoudre le système des équations d'Euler barotrope en dimension 1 d'espace, avec un schéma d'ordre 1 fonctionnant sur grilles décalées et dont la conception des flux est inspirée des schémas cinétiques. Nous proposons d'enrichir ce schéma afin qu'il puisse résoudre le système des équations d'Euler barotrope ou complet, en dimension 2 d'espace sur maillage cartésien ou non structuré, possiblement à l'ordre 2 et le cas échéant à bas nombres de Mach. Nous commencerons par développer une version 2D du schéma sur grilles cartésiennes (ou MAC) à l’ordre 2 via une méthode de type MUSCL, d'abord pour les équations barotropes puis pour les équations complètes. Ces dernières demandent de traiter une équation d’énergie supplémentaire et l’un des problèmes -résolu- est de trouver une définition discrète convenable de l’énergie totale telle qu'elle satisfasse une équation conservative locale. Dans un troisième chapitre nous étudierons le passage à la limite du compressible vers l'incompressible et nous verrons comment utiliser les atouts de notre schéma afin de le modifier et d'en faire un schéma Asymptotic Preserving pour des écoulements à bas nombres de Mach. Dans un quatrième temps nous proposerons une adaptation du schéma sur des maillages non structurés. Notre approche sera fortement inspirée des méthodes DDFV et pourra présenter des avantages dans les régimes à faibles nombres de Mach. Cette thèse se termine par un cinquième chapitre issu d’une collaboration lors du CEMRACS 2017, où le point de vue considéré n’est plus macroscopique mais microscopique. Nous commencerons par étudier un modèle micro/macro idéalisé auquel un processus stochastique a été ajouté puis nous tenterons d'en déduire un modèle à grande échelle pour un système fortement couplé, qui soit consistant avec la description micro/macro sous-jacente du problème physique. / The objective of this thesis is to develop a new numerical scheme of finite volume type for gas dynamics. In two articles, F.Berthelin, T.Goudon and S.Minjeaud propose to solve the barotropic Euler system in dimension 1 of space, with a first order scheme that works on staggered grids and of which fluxes are inspired by kinetic schemes. We propose to enhance this scheme so that it can solve the barotropic or complete Euler systems, in dimension 2 of space on Cartesian or unstructured grids, possibly at order 2 and at Low Mach numbers where appropriate. We begin with the development of a 2D version of the scheme on Cartesian (or MAC) grids, at order 2 via a MUSCL type method, for the barotropic equations at first and then for the complete equations. The latter require to handle with an additional energy equation and one of the -solved- problems is to find a suitable discrete definition of the total energy such that it satisfies a local conservative equation. In a third chapter we study the transition from the compressible case to the incompressible limit and we shall see how to use the advantages of our initial scheme in order to make it an Asymptotic Preserving scheme at low Mach numbers. In a fourth chapter we propose an adaptation of the scheme on unstructured meshes. Our approach is strongly inspired by the DDFV methods and may have advantages in low-Mach regimes.This thesis ends with a fifth chapter issued from a collaboration during CEMRACS 2017, where the considered point of view is no longer macroscopic but microscopic. We begin by studying a simplified micro/macro model with an added stochastic process and then we attempt to deduce a large-scale model for a strongly coupled system which has to be consistent with the underlying micro / macro description of the physical problem.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations SPN du transport de neutrons au sein des cœurs de réacteurs nucléaires à eau pressurisée. Ces équations forment un problème aux valeurs propres généralisé. Dans notre étude nous commençons par le problème source associé et ensuite nous étudions le problème aux valeurs propres. Un cœur de réacteur est composé de différents milieux: le combustible, le fluide caloporteur, le modérateur... à cause de ces hétérogénéités de la géométrie, le flux solution du problème source peut être peu régulier. Nous proposons l’analyse numérique de l’approximation de la solution par la méthode des éléments finis du problème source dans le cas où la solution est peu régulière. Pour le problème aux valeurs propres, dans le cas mixte, les théories déjà développées ne s’appliquent pas. Nous proposons ici une nouvelle méthode pour étudier la convergence de la méthode des éléments finis mixtes pour les problèmes aux valeurs propres. Pour les solutions peu régulières, la montée en ordre de la méthode des éléments finis n’améliore pas l’approximation du problème, il faut raffiner le maillage aux alentours des singularités de la solution. La géométrie des cœurs de réacteur se prête bien aux maillages cartésiens, mais leur raffinement augmente vite leur nombre de degrés de liberté. Pour palier à cette augmentation, nous proposons ici une méthode de décomposition de domaine qui permet d’utiliser des maillages globalement non-conformes. / In this thesis, we investigate the resolution of the SPN neutron transport equations in pressurized water nuclear reactor. These equations are a generalized eigenvalue problem. In our study, we first considerate the associated source problem and after we concentrate on the eigenvalue problem. A nuclear reactor core is composed of different media: the fuel, the coolant, the neutron moderator... Due to these heterogeneities of the geometry, the solution flux can have a low-regularity. We propose the numerical analysis of its approximation with finite element method for the low regular case. For the eigenvalue problem under its mixed form, we can not rely on the theories already developed. We propose here a new method for studying the convergence of the SPN neutron transport eigenvalue problem approximation with mixed finite element. When the solution has low-regularity, increasing the order of the method does not improve the approximation, the triangulation need to be refined near the singularities of the solution. Nuclear reactor cores are well-suited for Cartesian grids, but the refinement of these sort of triangulations increases rapidly their number of degrees of freedom. To avoid this drawback, we propose domain decomposition method which can handle globally non-conforming triangulations.

L’estimation de la distribution de dose et d’énergie en présence du mouvement des tissus induit par la respiration, constitue un défi technologique important dans la planification du traitement en hadronthérapie. Notamment pour le cancer pulmonaire, dans lequel de nombreuses difficultés apparaissent comme la variation de densité des tissues, le changement de la forme des organes ainsi que le décalage de la position de la tumeur pendant la respiration. Tous ces paramètres affectent la portée du faisceau d’ions utilisés pendant le traitement, et, par conséquent entraînent une distribution de dose inattendue. L’objectif principal de cette thèse est de proposer une méthode de calcul de dose basée sur les structures tétraédriques, qui permet d’estimer les distributions de dose des organes en mouvement en utilisant les simulations Monte Carlo. Ces distributions de dose sont calculées en utilisant une carte de densité tétraédrique dépendante du temps, décrivant l’anatomie interne du corps humain. De plus, le mouvement interne peut être représenté à l'aide d'une modélisation biomécanique résolue par la méthode des éléments finis (MEF) ou d'une carte de déplacement issue d’un recalage d’images déformable. Contrairement aux méthodes basées sur les structures classiques à base de voxels, la dose déposée s’accumule à l’intérieur de chaque tétraèdre au cours de la déformation, surmontant ainsi le problème du suivi tissulaire puisque le tétraèdre est défini comme une partie d’un tissu dont la composition chimique et la topologie ne changent pas. Dans la première partie de la thèse, nous avons développé une méthode de calcul de dose qui génère une carte de dose 4D en utilisant un modèle tétraédrique spécifique au patient. En outre, nous étudions l’effet du niveau de détail des maillages tétraédriques sur la précision de la distribution de la dose obtenue. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur l’optimisation de la géométrie tétraédrique pour réduire le temps de simulation, sachant que l’obtention d’une distribution de dose précise peut être coûteux en termes de temps. Pour surmonter ce problème, nous avons proposé une nouvelle approche qui prend en compte la direction du faisceau afin de minimiser l'erreur de l’épaisseur équivalent eau des tétraèdres avant le volume de la tumeur. Cette méthode permet d'obtenir un maillage tétraédrique grossier et, par conséquent, d'améliorer les performances de calcul dans les simulations de Monte Carlo, tout en conservant une distribution de dose précise dans le volume cible / The estimation of energy and dose distribution patterns in respiratory-induced organ motion constitutes a significant challenge in hadron therapy treatment planning and dosimetry. Notably for lung cancer in which many difficulties arise, like tissue densities variation and the tumor position shifting during respiration. All these parameters affect the ranges of protons or ions used in treatment when passing through different tissues and can easily result in unexpected dose distribution. The present work consists of calculating the dose distributions of moving organs by means of Monte Carlo simulations and patient-specific modeling tools. The dose distributions are calculated using a time-dependent tetrahedral density map, describing the internal anatomy of the human body. Additionally, the internal motion can be described using either a biomechanical modeling based on Finite Element Analysis (FEA) or deformable image registration displacement map. Unlike methods based on the conventional voxel-based structures, the deposited energy is accumulated inside each tetrahedron during deformation, thus overcoming the problem of tissue tracking since that the tetrahedron is defined as a part of a tissue whose chemical composition and topology do not change. The first part of the Ph.D. project proposes a dose calculation method that generates a 4D dose map using a patient-specific tetrahedral model. Besides, we study the effect of the level of detail of tetrahedral meshes on the accuracy of the resulted dose distribution. In the second part, we focus on the optimization of the tetrahedral geometry to address the problem of time simulation, since obtaining a precise dose distribution can be very time-consuming. To overcome this issue, we've defined a new approach that takes into account the direction of the beam to minimize the error of the water equivalent thickness of the tetrahedrons before the tumor volume. This method allows for a coarsened tetrahedral mesh and as a result, improved computational performance in Monte Carlo simulations while guaranteeing a precise dose distribution in the target volume

La simulation numérique est aujourd'hui un outils majeur dans la conception des objets aérodynamiques, que ce soit dans l'aéronautique, l'automobile, l'industrie navale, etc... Un des défis majeurs pour repousser les limites des codes de simulation est d'améliorer leur précision, tout en utilisant une quantité fixe de ressources (puissance et/ou temps de calcul). Cet objectif peut être atteint par deux approches différentes, soit en construisant une discrétisation fournissant sur un maillage donné une solution d'ordre très élevé, soit en construisant un schéma compact et massivement parallèlisable, de manière à minimiser le temps de calcul en distribuant le problème sur un grand nombre de processeurs. Dans cette thèse, nous tentons de rassembler ces deux approches par le développement et l'implémentation de Schéma Distribuant le Résidu (RDS) d'ordre très élevé et de compacité maximale. Ce manuscrit commence par un rappel des principaux résultats mathématiques concernant les Lois de Conservation hyperboliques (CLs). Le but de cette première partie est de mettre en évidence les propriétés des solutions analytiques que nous cherchons à approcher, de manière à injecter ces propriétés dans celles de la solution discrète recherchée. Nous décrivons ensuite les trois étapes principales de la construction d'un schéma RD d'ordre très élevé : - la représentation polynomiale d'ordre très élevé de la solution sur des polygones et des polyèdres; - la description de méthodes distribuant le résidu de faible ordre, compactes et conservatives, consistantes avec une représentation polynomiale des données de très haut degré. Parmi elles, une attention particulière est donnée à la plus simple, issue d'une généralisation du schéma de Lax-Friedrichs (\LxF); - la mise en place d'une procédure préservant la positivité qui transforme tout schéma stable et linéaire, en un schéma non linéaire d'ordre très élevé, capturant les chocs de manière non oscillante. Dans le manuscrit, nous montrons que les schémas obtenus par cette procédure sont consistants avec la CL considérée, qu'ils sont stables en norme $\L^{\infty}$ et qu'ils ont la bonne erreur de troncature. Même si tous ces développements théoriques ne sont démontrés que dans le cas de CLs scalaires, des remarques au sujet des problèmes vectoriels sont faites dès que cela est possible. Malheureusement, lorsqu'on considère le schéma \LxF, le problème algébrique non linéaire associé à la recherche de la solution stationnaire est en général mal posé. En particulier, on observe l'apparition de modes parasites de haute fréquence dans les régions de faible gradient. Ceux-ci sont éliminés grâce à un terme supplémentaire de stabilisation dont les effets et l'évaluation numérique sont précisément détaillés. Enfin, nous nous intéressons à une discrétisation correcte des conditions limites pour le schéma d'ordre élevé proposé. Cette théorie est ensuite illustrée sur des cas test scalaires bidimensionnels simples. Afin de montrer la généralité de notre approche, des maillages composés uniquement de triangles et des maillages hybrides, composés de triangles et de quandrangles, sont utilisés. Les résultats obtenus par ces tests confirment ce qui est attendu par la théorie et mettent en avant certains avantages des maillages hybrides. Nous considérons ensuite des solutions bidimensionnelles des équations d'Euler de la dynamique des gaz. Les résultats sont assez bons, mais on perd les pentes de convergence attendues dès que des conditions limite de paroi sont utilisées. Ce problème nécessite encore d'être étudié. Nous présentons alors l'implémentation parallèle du schéma. Celle-ci est analysée et illustrée à travers des cas test tridimensionnel de grande taille. / Numerical simulations are nowadays a major tool in aerodynamic design in aeronautic, automotive, naval industry etc... One of the main challenges to push further the limits of the simulation codes is to increase their accuracy within a fixed set of resources (computational power and/or time). Two possible approaches to deal with this issue are either to contruct discretizations yielding, on a given mesh, very high order accurate solutions, or to construct compact, massively parallelizable schemes to minimize the computational time by means of a high performance parallel implementation. In this thesis, we try to combine both approaches by investigating the contruction and implementation of very high order Residual Distribution Schemes (RDS) with the most possible compact stencil. The manuscript starts with a review of the mathematical theory of hyperbolic Conservation Laws (CLs). The aim of this initial part is to highlight the properties of the analytical solutions we are trying to approximate, in order to be able to link these properties with the ones of the sought discrete solutions. Next, we describe the three main steps toward the construction of a very high order RDS: - The definition of higher order polynomial representations of the solution over polygons and polyhedra; - The design of low order compact conservative RD schemes consistent with a given (high degree) polynomial representation. Among these, particular accest is put on the simplest, given by a generalization of the Lax-Friedrich's (\LxF) scheme; - The design of a positivity preserving nonlinear transformation, mapping first-order linear schemes onto nonlinear very high order schemes. In the manuscript, we show formally that the schemes obtained following this procedure are consistent with the initial CL, that they are stable in $L^{\infty}$ norm, and that they have the proper truncation error. Even though all the theoretical developments are carried out for scalar CLs, remarks on the extension to systems are given whenever possible. Unortunately, when employing the first order \LxF scheme as a basis for the construction of the nonlinear discretization, the final nonlinear algebraic equation is not well-posed in general. In particular, for smoothly varying solutions one observes the appearance of high frequency spurious modes. In order to kill these modes, a streamline dissipation term is added to the scheme. The analytical implications of this modifications, as well as its practical computation, are thouroughly studied. Lastly, we focus on a correct discretization of the boundary conditions for the very high order RDS proposed. The theory is then extensively verified on a variety of scalar two dimensional test cases. Both triangular, and hybrid triangular-quadrilateral meshes are used to show the generality of the approach. The results obtained in these tests confirm all the theoretical expectations in terms of accuracy and stability and underline some advantages of the hybrid grids. Next, we consider solutions of the two dimensional Euler equations of gas dynamics. The results obtained are quite satisfactory and yet, we are not able to obtain the desired convergence rates on problems involving solid wall boundaries. Further investigation of this problem is under way. We then discuss the parallel implementation of the schemes, and analyze and illustrate the performance of this implementation on large three dimensional problems. Due to the preliminary character and the complexity of these three dimensional problems, a rather qualitative discussion is made for these tests cases: the overall behavior seems to be the correct one, but more work is necessary to assess the properties of the schemes in three dimensions.