De nos jours, la géométrie non-commutative est un domaine grandissant des mathématiques, qui peut apparaître comme un cadre prometteur pour la physique moderne. Les théories quantiques des champs sur des "espaces non-commutatifs" ont en effet été très étudiées, et sont sujettes à un nouveau type de divergence, le mélange ultraviolet-infrarouge. Cependant, une solution a récemment été apportée à ce problème par H. Grosse et R. Wulkenhaar en ajoutant à l'action d'un modèle scalaire sur l'espace non-commutatif de Moyal, un terme harmonique qui la rend renormalisable. Un des buts de cette thèse est l'extension de cette procédure aux théories de jauge sur l'espace de Moyal. En effet, nous avons introduit une nouvelle théorie de jauge non-commutative, fortement reliée au modèle de Grosse-Wulkenhaar, et candidate à la renormalisabilité. Nous avons ensuite étudié ses propriétés les plus importantes, notamment ses configurations du vide. Finalement, nous donnons une interprétation mathématique de cette nouvelle action en terme de calcul différentiel basé sur les dérivations, associé à une superalgèbre. Ce travail contient, outre les résultats mentionnés ci-dessus, une introduction à la géométrie non-commutative, une introduction aux algèbres epsilon-graduées, définies dans cette thèse, et une introduction à la renormalisation des théories quantiques de champs scalaires (point de vue wilsonien et BPHZ) et de jauge.

Nous étudions des solutions avec flux de la théorie des cordes, sur un espace-temps dix-dimensionnel séparé en un espace-temps quatre-dimensionnel maximalement symétrique, et une variété interne six-dimensionnelle M, étant ici une variété résoluble (un tore twisté). Ces solutions sont intéressantes pour relier la théorie des cordes à une extension supersymétrique (SUSY) du modèle standard des particules, ou à des modèles cosmologiques. Pour des solutions SUSY des supergravités de type II, la présence de flux sur M aide à résoudre le problème des moduli. Une classe plus large de variétés que le simple Calabi-Yau peut alors être considérée pour M, et une caractérisation générale est donnée en terme de Géométrie Complexe Généralisée: M doit être un Calabi-Yau Généralisé (GCY). Il a été montré qu'une sous-classe de variétés résolubles sont des GCY, donc nous allons chercher des solutions sur de telles M. Pour y parvenir, nous utilisons une méthode de résolution algorithmique. Nous étudions ensuite un certain type de solutions: celles qui admettent une structure SU(2) intermédiaire. Par la suite, nous considérons le twist, une transformation qui relie des solutions sur le tore à d'autres sur variétés résolubles. En déterminant des contraintes sur le twist pour générer des solutions, nous parvenons à relier des solutions connues, et nous en trouvons une nouvelle. Nous l'utilisons également pour relier des solutions avec flux de la corde hétérotique. Nous considérons finalement des solutions de de Sitter dix-dimensionnelles. Plusieurs problèmes, dont la brisure de la SUSY, rendent la recherche de telles solutions difficile. Nous proposons un ansatz pour des sources brisant la SUSY qui aide à surmonter ces difficultés. Nous donnons alors une solution explicite sur variété résoluble, et discutons partiellement sa stabilité quatre-dimensionnelle.

Le but de cette thèse a été l'étude de quelques représentants des modèles sigma en deux dimensions invariants conformes et avec symétrie continue qui sortent du cadre traditionnel, établie par la recherche des dernières décennies dans le domaine des théories conformes, des modèles sigma de Wess-Zumino-Witten ou des modèles gaussiens. Les modèles sigma sur des superespaces symétriques, définis par une action métrique standard, offrent de tels exemples. La difficulté de résoudre ces modèles sigma est relié au fait qu'ils ne possèdent pas de symétrie de Kac-Moody, qui est normalement nécessaire pour intégrer les théories conformes nongaussiennes avec symétrie continue. Dans cette thèse on considère les modèles sigma sur les supersphères S^(2S+1/2S) et sur les superespaces projectifs). Les deux modèles continus admettent une discrétisation par un gaz de boucles denses qui s'intersectent et dont l'algèbre des matrices de transfert est une algèbre de type Brauer. La stratégie principale qu'on a adoptée dans la recherche des résultats exacts sur ces modèles sigma est l'étude détaillée des symétries de la théorie continue, d'un coté, et du modèle discret, de l'autre. Cette analyse permet de faire le pont entre le comportement du modèle discret et la théorie continue. L'analyse détaillée des symétries discrètes - en particulier la structure des blocs de l'algèbre de Brauer - combinée à des calculs perturbatifs donne lieu à une proposition pour, selon les cas, le spectre partiel ou complet de la théorie conforme. Une dualité exacte du type couplage faible/couplage fort est également conjecturée dans les cas des modèles sigma sur les supersphères.

La course à la miniaturisation des transistors MOS (Métal Oxyde Semiconducteur) implique l'utilisation de nouvelles technologies d'amélioration des performances. Notamment, l'ingénierie de contrainte mécanique est aujourd'hui devenue une étape incontournable. Dans ce contexte, les objectifs de ce travail sont de modéliser les dispositifs des prochains nœuds technologiques et de quantifier l'impact de la contrainte mécanique sur le transport. La mobilité est le facteur de mérite principalement exploité pour quantifier les performances d'une technologie et l'un des paramètres clés des simulateurs commerciaux. Dans ce cadre, le concept de mobilité effective et de mobilité de magnétorésistance dans les dispositifs courts est analysé et le rôle prépondérant des effets non stationnaires dans leur extraction est clairement identifié et quantifié par des modèles avancés. Ensuite, grâce à la version « Full Band » du simulateur particulaire Monte Carlo MONACO développée durant cette thèse, l'influence de la contrainte sur la structure de bandes et ses répercussions sur le transport dans les transistors courts sont étudiées. En bande de valence, le régime balistique est loin d'être atteint et la mobilité reste représentative des performances. Enfin, l'impact de la contrainte uniaxiale sur la mobilité des trous en couche d'inversion est étudiée par le biais d'expériences de flexion mécanique. Grâce à l'outil de calcul de mobilité Kubo-Greenwood (couplé à une résolution autocohérente des équations de k.p Schrödinger à 6 bandes et de Poisson) développé dans cette thèse, les tendances observées sont expliquées par les forts couplages existants entre les effets de contrainte et de confinement des trous.

La glace de spin est un matériau magnétique frustré (cristal de Titane d'Holmium ou de Dysprosium par exemple ...), ayant pour propriété essentielle l'existence d'un état fondamental macroscopiquement dégénéré et donc une entropie non nulle à 0 Kelvin. La frustration géométrique dans ce composé donne lieu à de fortes contraintes topologiques sur les spins. Dans cette thèse, je présenterai certaines conséquences de ces contraintes, telles que l'apparition de transition de phases exotiques en présence de champ magnétique ou de pression, ou bien l'émergence d'excitations locales analogues à des monopoles magnétiques dont l'influence est primordiale dans la dynamique des composés de glace de spin !

Conservation laws play an important role in science. The aim of this thesis is to provide an overview and develop new methods for constructing conservation laws using Lie group theory. The derivation of conservation laws for invariant variational problems is based on Noether’s theorem. It is shown that the use of Lie-Bäcklund transformation groups allows one to reduce the number of basic conserved quantities for differential equations obtained by Noether’s theorem and construct a basis of conservation laws. Several examples on constructing a basis for some well-known equations are provided. Moreover, this approach allows one to obtain new conservation laws even for equations without Lagrangians. A formal Lagrangian can be introduced and used for computing nonlocal conservation laws. For self-adjoint or quasi-self-adjoint equations nonlocal conservation laws can be transformed into local conservation laws. One of the fields of applications of this approach is electromagnetic theory, namely, nonlocal conservation laws are obtained for the generalized Maxwell-Dirac equations. The theory is also applied to the nonlinear magma equation and its nonlocal conservation laws are computed.

Quelques systèmes quantiques ouverts sont étudiés par la récente théorie des systèmes dynamiques. Un système est couplé à un réservoir, une équation de Volterra dirige son évolution. La limite faible conduit aux résultats markoviens de Davies introduisant les opérateurs de Davies et de Van Hove, calculés formellement. Le semi-groupe de générateur de Davies agit sur les observables du système. On précise des conditions à la complète positivité satisfaites par les modèles connus. Une méthode explicite résout l'équation maîtresse pour un système, formé d'oscillateurs harmoniques, et donne le retour rapide vers l'équilibre. La formule de Feshbach relie la résolvante projetée du liouvillien au générateur de Davies. Des hypothèses spécifiques d'un champ bosonique génèrent des processus gaussiens stationnaires représentés à l'aide d'un mouvement brownien complexe. L'existence d'une mesure invariante prouve l'évolution markovienne de la matrice de densité du système

Ce manuscrit se décompose en deux parties principales, associées à deux types d'applications assez différentes. Dans la première partie qui comprend les deux premiers chapitres, je m'intéresse à des systèmes issus de problèmes de contrôle et d'estimation en physique quantique; dans la deuxième partie (troisième chapitre du manuscrit), j'étudie la propagation d'ondes électriques le long des fils classiques dans un réseau de lignes de transmission et je considère certains problèmes d'estimation de paramètres. Dans le premier chapitre nous étudions le problème de la planification de trajectoires pour des systèmes quantiques fermés modélisés par des équations de Schrödinger bilinéaire. Nous démontrons alors des résultats de la stabilisation approchée pour le cas d'une boite quantique infinie ainsi que pour le cas d'un potentiel décroissant. Dans les deux cas, le manque de pré-compacité des trajectoires dans des espaces fonctionnels appropriés nous oblige à proposer des méthodes de Lyapunov qui évitent des phénomènes de perte de masse à l'infini. Dans le deuxième chapitre nous étudions le problème de stabilisation de systèmes quantiques en observation. Cette observation nécessite l'ouverture du système à son environnement. Les modèles pertinents pour l'évolution de ce type de systèmes sont des modèles stochastiques basés sur des trajectoires de Monte-Carlo quantiques. Nous étudions alors certains problèmes de stabilisation qui parviennent de vraies expériences physiques. Enfin, dans le chapitre 3 nous considérons le problème d'estimation de paramètres pour un réseau de fils de câblage électrique. Dans ce but, nous étudions deux approches : l'approche temporelle et l'approche fréquentielle. Dans l'approche temporelle, nous considérons le réseau le plus simple qui consiste d'une seule ligne de transmission et nous proposons un algorithme d'identification pour l'équation d'onde associé qui est basé sur l'application des observateurs asymptotiques. Dans l'approche fréquentielle, nous considérons un réseau plus compliqué de la forme étoile. Nous proposons alors des résultats d'identifiabilité basés sur des techniques de l'inverse scattering.

The presented work deals with two distinct problems in the field of Mathematical Physics. The first part is dedicated to an 'almost' solution of Villani's conjecture, a known conjecture related to a Statistical Mechanics model invented by Kac in 1956, giving a rigorous explanation of some simple cases of the Boltzmann equation. In 2003 Villani conjectured that the time it will take the system of particles in Kac's model to equilibrate is proportional to the number of particles in the system. Our main result in this part is a proof, up to an epsilon, of that conjecture, showing that for all practical purposes we can consider it to be true. The second part of the presentation is based on a joint work with Prof. Michael Loss and is dedicated to a newly developed trace inequality for the fractional Laplacian, connecting between the fractional Laplacian of a function and its restriction to intersection of hyperplanes. The newly found inequality is sharp and the functions that attain equality in it are completely classified.

In this thesis we studied theoretically and numerically dynamics, order and fluctuations in two dimensional active matter with specific reference to the nematic phase in collections of self-driven particles.The aim is to study the ways in which a nonequilibrium steady state with nematic order differs from a thermal equilibrium system of the same spatial symmetry. The models we study are closely related to “flocking”[1], as well as to equations written down to describe the interaction of molecular motors and filaments in a living cell[2,3] and granular nematics [4]. We look at (i) orientational and density fluctuations in the ordered phase, (ii) the way in which density fluctuations evolve in a nematic background, and finally (iii) the coarsening of nematic order and the density field starting from a statistically homogeneous and isotropic initial state. Our work establishes several striking differences between active nematics and their thermal equilibrium counterparts. We studied two-dimensional nonequilibrium active nematics. Two-dimensional nonequilibrium nematic steady states, as found in agitated granular-rod monolayers or films of orientable amoeboid cells, were predicted [5] to have giant number fluctuations, with the standard deviation proportional to the mean. We studied this problem more closely, asking in particular whether the active nematic steady state is intrinsically phase-separated. Our work has close analogy to the work of Das and Barma[6] on particles sliding downhill on fluctuating surfaces, so we looked at a model in which particles were advected passively by the broken-symmetry modes of a nematic, via a rule proposed in [5]. We found that an initially homogeneous distribution of particles on a well-ordered nematic background clumped spontaneously, with domains growing as t1/2, and an apparently finite phase-separation order parameter in the limit of large system size. The density correlation function shows a cusp, indicating that Porod’s Law does not hold here and that the phase-separation is fluctuation-dominated[7]. Dynamics of active particles can be implemented either through microscopic rules as in[8,9]or in a long-wavelength phenomenological approach as in[5]It is important to understand how the two methods are related. The purely phenomenological approach introduces the simplest possible (and generally additive)noise consistent with conservation laws and symmetries. Deriving the long-wavelength equation by explicit coarse-graining of the microscopic rule will in general give additive and multiplicative noise terms, as seen in e.g., in [10]. We carry out such a derivation and obtain coupled fluctuating hydrodynamic equations for the orientational order parameter (polar as well as apolar) and density fields. The nonequilibrium “curvature-induced” current term postulated on symmetry grounds in[5]emerges naturally from this approach. In addition, we find a multiplicative contribution to the noise whose presence should be of importance during coarsening[11]. We studied nonequilibrium phenomena in detail by solving stochastic partial differential equations for apolar objects as obtained from microscopic rules in[8]. As a result of “curvature-induced” currents, the growth of nematic order from an initially isotropic, homogeneous state is shown to be accompanied by a remarkable clumping of the number density around topological defects. The consequent coarsening of both density and nematic order are characterised by cusps in the short-distance behaviour of the correlation functions, a breakdown of Porod’s Law. We identify the origins of this breakdown; in particular, the nature of the noise terms in the equations of motion is shown to play a key role[12]. Lastly we studied an active nematic steady-state, in two space dimensions, keeping track of only the orientational order parameter, and not the density. We apply the Dynamic Renormalization Group to the equations of motion of the order parameter. Our aim is to check whether certain characteristic nonlinearities entering these equations lead to singular renormalizations of the director stiffness coefficients, which would stabilize true long-range order in a two-dimensional active nematic, unlike in its thermal equilibrium counterpart. The nonlinearities are related to those in[13]but free of a constraint that applies at thermal equilibrium. We explore, in particular, the intriguing but ultimately deceptive similarity between a limiting case of our model and the fluctuating Burgers/KPZequation. By contrast with that case, we find that the nonlinearities are marginally irrelevant. This implies in particular that 2-dactive nematics too have only quasi-long-range order[14].