It is argued that the geometric dual of a noncommutative operator algebra represents a notion of quantum state space which differs from existing notions by representing observables as maps from states to outcomes rather than from states to distributions on outcomes. A program of solving for an explicitly geometric manifestation of quantum state space by adapting the spectral presheaf, a construction meant to analyze contextuality in quantum mechanics, to derive simple reconstructions of noncommutative topological tools from their topological prototypes is presented. We associate to each unital C*-algebra A a geometric object--a diagram of topological spaces representing quotient spaces of the noncommutative space underlying A—meant to serve the role of a generalized Gel'fand spectrum. After showing that any functor F from compact Hausdorff spaces to a suitable target category C can be applied directly to these geometric objects to automatically yield an extension F^∼ which acts on all unital C*-algebras, we compare a novel formulation of the operator K₀ functor to the extension K^∼ of the topological K-functor. We then conjecture that the extension of the functor assigning a topological space its topological lattice assigns a unital C*-algebra the topological lattice of its primary ideal spectrum and prove the von Neumann algebraic analogue of this conjecture.

A física é uma ciência altamente matematizada, tendo seus conceitos e métodos profundamente influenciados pelo pensamento matemático. Apesar disso, em contextos de ensino, o papel da matemática na física tende a se resumir ao de uma ferramenta para a descrição e operacionalização de grandezas, fazendo com que os estudantes não percebam o caráter estruturante do formalismo matemático para a constituição teórica da física. Assim, é fundamental dedicar um esforço sistemático de pesquisa para investigar estratégias que visem a apropriação dessa maneira matemática de conceber o mundo físico pelos estudantes. Apesar da existência de um número razoável de pesquisas que identificam as principais dificuldades enfrentadas pelos estudantes para a compreensão do significado de equações e utilização da matemática para a resolução de problemas de física, esse tema tem sido pouco investigado sob a ótica do ensino. Dessa forma, este trabalho objetiva contribuir para tal esforço por meio da realização de um estudo de caso em aulas de relatividade e eletromagnetismo, ministradas por um professor experiente e diferenciado em nível superior. A análise das aulas com auxílio do software videograph, juntamente com estudos históricos e epistemológicos, nos conduz à proposição de uma ferramenta teórica composta por oito categorias de análise, a qual se destina a descrever e avaliar abordagens didáticas em relação à ênfase em múltiplos aspectos da imbricada inter-relação entre física e matemática em contextos de ensino. Essa ferramenta é utilizada na análise de 19 episódios de ensino extraídos da gravação do curso de eletromagnetismo ministrado pelo professor do estudo de caso. Sua abordagem focada na estruturação matemática de conceitos físicos, na interpretação física de expressões matemáticas, no incentivo constante à metacognição, entre outros aspectos, nos permite apontar critérios associados à qualidade didática das aulas analisadas, os quais são posteriormente justificados pelo próprio professor em entrevistas semiestruturadas. Dentre as perspectivas deste trabalho, estão a possibilidade de utilizar a ferramenta de análise para realizar estudos comparativos entre aulas ministradas por diferentes professores sobre o mesmo tema, avaliar concepções diversas sobre o papel da matemática presentes em materiais didáticos, bem como a utilização de tais análises como recurso didático-pedagógico para a formação de professores de física e matemática. / Physics is a highly mathematized science, so that its concepts and methods are profoundly influenced by the mathematical thinking. Nevertheless, in the context of physics education, mathematics tends to be seen as a mere tool to describe and operate physical quantities, preventing students from understanding the structural role of the mathematical formalism for the development of physical theories. Thus, it is essential to devote a systematic research effort to investigate how to enable students to reason mathematically about the physical world. Despite the existence of several studies that identify the main difficulties faced by students to understand the meaning of physics equations and to use mathematics to solve physics problems, this topic has not been sufficiently investigated from the perspective of instruction. Aiming at contributing to this effort, this work conducts a case study in relativity and electromagnetism lectures, which were taught by an experienced and distinguished professor. The analysis of these lectures with the software videograph, along with historical and epistemological studies, led us to proposing a theoretical framework with eight categories, which is intended to describe and evaluate teaching approaches regarding the emphasis on the multiple aspects of the relationship between physics and mathematics. This framework is used in the analysis of 19 teaching episodes extracted from the recordings of the electromagnetism course given by the case study professor. His approach focused on constructing mathematical representations of physical concepts, physically interpreting mathematical expressions, encouraging metacognition, among others. This allowed us to identify several criteria related to the didactical quality of the lectures analyzed. These criteria are later justified by the professor in semi-structured interviews. The use of this analytical tool to conduct comparative studies between different lecturers/teachers, to evaluate different conceptions about the role of mathematics in physics textbooks and as a didactic resource for teacher education, are some of the future perspectives of this research.

A física é uma ciência altamente matematizada, tendo seus conceitos e métodos profundamente influenciados pelo pensamento matemático. Apesar disso, em contextos de ensino, o papel da matemática na física tende a se resumir ao de uma ferramenta para a descrição e operacionalização de grandezas, fazendo com que os estudantes não percebam o caráter estruturante do formalismo matemático para a constituição teórica da física. Assim, é fundamental dedicar um esforço sistemático de pesquisa para investigar estratégias que visem a apropriação dessa maneira matemática de conceber o mundo físico pelos estudantes. Apesar da existência de um número razoável de pesquisas que identificam as principais dificuldades enfrentadas pelos estudantes para a compreensão do significado de equações e utilização da matemática para a resolução de problemas de física, esse tema tem sido pouco investigado sob a ótica do ensino. Dessa forma, este trabalho objetiva contribuir para tal esforço por meio da realização de um estudo de caso em aulas de relatividade e eletromagnetismo, ministradas por um professor experiente e diferenciado em nível superior. A análise das aulas com auxílio do software videograph, juntamente com estudos históricos e epistemológicos, nos conduz à proposição de uma ferramenta teórica composta por oito categorias de análise, a qual se destina a descrever e avaliar abordagens didáticas em relação à ênfase em múltiplos aspectos da imbricada inter-relação entre física e matemática em contextos de ensino. Essa ferramenta é utilizada na análise de 19 episódios de ensino extraídos da gravação do curso de eletromagnetismo ministrado pelo professor do estudo de caso. Sua abordagem focada na estruturação matemática de conceitos físicos, na interpretação física de expressões matemáticas, no incentivo constante à metacognição, entre outros aspectos, nos permite apontar critérios associados à qualidade didática das aulas analisadas, os quais são posteriormente justificados pelo próprio professor em entrevistas semiestruturadas. Dentre as perspectivas deste trabalho, estão a possibilidade de utilizar a ferramenta de análise para realizar estudos comparativos entre aulas ministradas por diferentes professores sobre o mesmo tema, avaliar concepções diversas sobre o papel da matemática presentes em materiais didáticos, bem como a utilização de tais análises como recurso didático-pedagógico para a formação de professores de física e matemática. / Physics is a highly mathematized science, so that its concepts and methods are profoundly influenced by the mathematical thinking. Nevertheless, in the context of physics education, mathematics tends to be seen as a mere tool to describe and operate physical quantities, preventing students from understanding the structural role of the mathematical formalism for the development of physical theories. Thus, it is essential to devote a systematic research effort to investigate how to enable students to reason mathematically about the physical world. Despite the existence of several studies that identify the main difficulties faced by students to understand the meaning of physics equations and to use mathematics to solve physics problems, this topic has not been sufficiently investigated from the perspective of instruction. Aiming at contributing to this effort, this work conducts a case study in relativity and electromagnetism lectures, which were taught by an experienced and distinguished professor. The analysis of these lectures with the software videograph, along with historical and epistemological studies, led us to proposing a theoretical framework with eight categories, which is intended to describe and evaluate teaching approaches regarding the emphasis on the multiple aspects of the relationship between physics and mathematics. This framework is used in the analysis of 19 teaching episodes extracted from the recordings of the electromagnetism course given by the case study professor. His approach focused on constructing mathematical representations of physical concepts, physically interpreting mathematical expressions, encouraging metacognition, among others. This allowed us to identify several criteria related to the didactical quality of the lectures analyzed. These criteria are later justified by the professor in semi-structured interviews. The use of this analytical tool to conduct comparative studies between different lecturers/teachers, to evaluate different conceptions about the role of mathematics in physics textbooks and as a didactic resource for teacher education, are some of the future perspectives of this research.

Nous proposons dans cette recherche une solution nouvelle quant à l'existence et à la nature de la singularité initiale d'espace-temps. Dans le contexte de la supergravité N=2 et de la théorie topologique des champs, nous considérons que la singularité initiale d'espace-temps correspond à un instanton gravitationnel singulier de taille zéro caractérisé par une configuration Riemanienne de la métrique (++++) en dimension D = 4. Associée à un état topologique correspondant à l'échelle zéro de l'espace-temps, la singularité initiale n'est pas ici considérée en termes de divergences des champs physiques, mais peut être résolue dans la cadre de la théorie topologique des champs. Nous obtenons ce résultat à partir de l'observation physique selon laquelle le pré espace-temps doit être considéré en équilibre thermique à l'échelle de Planck. En conséquences, nous suggérons de manière naturelle qu'à l'échelle de Planck l'espace-temps à l'équilibre doit être soumis à la condition KMS. Dans ce contexte, l'état KMS dans lequel se trouve le pré espace-temps à l'échelle de Planck pourrait être interprété comme le résultat d'une unification entre " état physique" (métrique lorentzienne +++-) et "état topologique" (métrique riemanienne ++++). Ceci correspond à la phase d'oscillation quantique de la signature de la métrique déjà mise en évidence dans des travaux antérieurs. Nous suggérons alors que "la singularité d'échelle zéro" doit être comprise en termes d'invariants topologiques, en particulier le premier invariant de Donaldson. En conséquences, nous proposons ici un nouvel invariant topologique, asssocié à l'échelle 0 et de la forme Z = TR (-1)s, que nous appelons "invariant de singularité". Enfin, dans ce contexte, nous proposons la conjecture selon laquelle le problème de l'interaction inertielle pourrait être expliqué en termes d'amplitude topologique liée à l'instanton gravitationnel singulier caractérisant, dans notre approche, l'échelle zéro de l'espace-temps.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation et la simulation de dispositifs nanoélectroniques innovants. Premièrement, nous dérivons formellement un modèle avec masse effective pour décrire le transport quantique des électrons dans des nanostructures très fortement confinées. Des simulations numériques illustrent l'intérêt du modèle obtenu pour un dispositif simplifié mais déjà significatif. La deuxième partie est consacrée à l'étude du transport non ballistique dans ces mêmes structures confinées. Nous analysons rigoureusement un modèle de drift-diffusion et puis nous décrivons et implémentons une approche de couplage spatial classique-quantique. Enfin, nous modélisons et simulons un nanodispositif de spintronique. Plus précisement, nous étudions le renversement d'aimantation dans un matériau ferromagnétique multi-couches sous l'effet d'un courant de spin.

Les résultats présentés dans ce mémoire d'habilitation à diriger les recherches s'appuient sur les travaux que j'ai effectués depuis 2006, date à laquelle j'ai rejoint le Laboratoire de Physique Théorique d'Orsay en tant que chargé de recherches au CNRS. J'ai choisi d'articuler ce mémoire autour de trois grandes thématiques : (i) les systèmes élastiques désordonnés, (ii) les propriétés de persistence, (iii) les statistiques d'extrêmes. La première partie s'inscrit dans la continuité des travaux que j'ai effectués lors de ma thèse puis mon post-doctorat. Elle s'articule autour des résultats que j'ai obtenus pour deux modèles élastiques désordonnés : le modèle SOS sur un substrat désordonné en deux dimensions, et le voisinage de la transition de dépiégage d'une ligne élastique, en dimension 1+1 dans un potentiel désordonné. A la fin de mon post-doctorat, j'ai commencé à m'intéresser aux problèmes de persistence, auxquels est consacrée la deuxième partie. Je présente donc mes travaux sur la persistence, dans des situations de dynamique hors d'équilibre mais aussi d'un point de vue un peu plus formel, en connexion avec les propriétés des racines réelles de polynômes aléatoires. Enfin ces propriétés de persistence m'ont amené à m'intéresser aux statistiques d'extrêmes, qui constituent la part la plus importante de ce mémoire, cette thématique étant actuellement mon sujet principal de recherche. Cette dernière partie s'ouvre sur une assez longue introduction sur les statistiques d'extrêmes, où sont présentés un certain nombre de résultats connus (et d'autres moins connus).

Nous nous intéressons à l'imagerie d'un objet enfoui dans un milieu multi-couches inhomogène, avec des données ne contenant pas la phase. Nous résolvons un problème direct modèle de propagation des ondes dans un tel milieu, à l'aide de l'analyse asymptotique et des équations intégrales. Puis nous développons des algorithmes de reconstruction à base de dérivée topologique et des techniques de l'optimisation de forme.

Ce travail est consacré à l'étude de l'équation de Novikov-Veselov, un analogue ( 2 + 1 )-dimensionnel de l'équation renommée de Korteweg-de Vries, intégrable via la transformée de la diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger stationnaire en dimension 2 à énergie fixe. Nous commençons par étudier une classe spéciale de solutions rationnelles non singulières de l'équation de Novikov-Veselov à énergie positive, construites par Grinevich et Zakharov, et nous démontrons que ces solutions sont multisolitons. Les solutions de Grinevich-Zakharov sont localisées comme $ O( | x |^{ -2 } ) $, $ | x | \to \infty $, et dans le travail présent, nous prouvons que cette localisation est presque la plus forte possible pour les solitons de l'équation de Novikov-Veselov: nous montrons que l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle ne possède pas de solitons localisés plus fort que $ O ( | x |^{ - 3 } ) $, $ | x | \to \infty $. Pour le cas d'énergie zéro, nous montrons que si les solitons de l'équation de Novikov-Veselov appartiennent à l'image des solutions de l'équation de Novikov-Veselov modifiée sous la transformation de Miura, dans ce cas, la localisation plus forte que $ O( | x |^{ -2 } ) $ n'est pas possible. Dans le travail présent, nous étudions également la question du comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy pour l'équation de Novikov-Veselov à énergie non nulle (pour le cas d'énergie positive, les solutions transparentes ou " reflectionless " sont considérées). Sous l'hypothèse de non singularité des données de diffusion des solutions nous obtenons que ces solutions décroissent avec le temps de façon uniforme comme $ O( t^{ -1 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie positive et comme $ O( t^{ -3/4 } ) $, $ t \to +\infty $, dans le cas d'énergie négative; dans ce dernier cas, nous démontrons également que l'estimation obtenue est optimale.

L'étude de la propagation de la lumière dans les fibres optiques monomodes requiert la prise en compte de plusieurs phénomènes compliqués tels que la dispersion modale de polarisation et l'effet Kerr. Il s'est avéré que l'évolution de l'enveloppe lentement variable du champ électrique est bien décrite par un système couplé d'équations de Schrödinger non linéaires à coefficients aléatoires : l'équation de Manakov PMD. Cette équation fait intervenir différentes échelles dont le ratio est donné par un petit paramètre. La première partie de ce travail consiste à étudier le comportement asymptotique de la solution de l'équation de Manakov PMD lorsque ce petit paramètre tend vers zéro. En généralisant la théorie de l'Approximation-Diffusion au cadre de la dimension infinie, on a montré que la dynamique asymptotique est donnée par une équation aux dérivées partielles stochastiques dirigée par un mouvement brownien de dimension trois. Dans une seconde partie, nous proposons un schéma de différences finies de type Crank Nicolson pour cette équation pour lequel nous obtenons un ordre de convergence en probabilité d'ordre 1/2. La discrétisation du bruit doit être implicite afin d'obtenir un schéma conservatif et stable. Enfin la dernière partie est relative à la simulation numérique de la dispersion modale de polarisation et à ses effets sur la propagation et la collision de solitons de Manakov. Dans ce cadre, on propose une méthode de réduction de variance valable pour les équations aux dérivées partielles stochastiques.

Le mélanome est le cancer de la peau le plus mortel. S'il est détecté de manière précoce il peut cependant être traité par simple excision et les chances de guérison sont alors très bonnes. Des algorithmes de diagnostic différentiels basés sur des critères morphologiques permettent ainsi de distinguer cette tumeur d'autres lésions bénignes présentes à la surface de la peau. Les mécanismes engendrant les formes et les microstructures caractéristiques d'un mélanome restent cependant pratiquement inconnus. L'objectif de ce travail est d'éclairer les processus morphogénétiques à l'oeuvre lors du développement des tumeurs mélanocytaires à l'aide des outils de la physique macroscopique. On commence par développer un modèle multiphase en couche mince pour décrire la croissance du mélanome dans l'épiderme. On montre analytiquement et numériquement l'existence d'une instabilité conduisant à l'apparition d'ondulations sur le contour d'une lésion initialement circulaire que l'on compare avec les irrégularités de contour fréquemment observées dans les mélanomes. L'identification des paramètres contrôlant cette instabilité permet ainsi de corréler les propriétés microscopiques de la tumeur à la forme et l'évolution macroscopique de la lésion. On montre ensuite la possibilité d'une décomposition spinodale dans cette classe de modèle multiphase, engendrant la formation d'agrégats de cellules tumorales. Le comportement du système aux temps long est cependant perturbée par les mécanismes de régulation de la prolifération cellulaire et un état d'équilibre est atteint où les agrégats de cellules forment une structure symétrique en points, en bandes ou en quadrillage. Ces prédictions permettent de mieux comprendre la présence de points et de globules pigmentés au sein de ces lésions, de taille, de forme et de répartition uniforme dans les tumeurs bénignes, et plus irrégulière dans les mélanomes. On s'intéresse finalement à la peau glabre et on illustre comment la géométrie particulière de l'épiderme dans ces régions influence l'aspect des tumeurs. En montrant comment le transport et la répartition de la mélanine est modifiée on propose ainsi une explication à l'apparition des bandes parallèles pigmentées et à la localisation des colonnes de mélanine. Afin d'étudier l'influence de la géométrie sur la répartition des cellules tumorales on développe un modèle multiphase en couche mince sur surface courbe. On propose ainsi un mécanisme expliquant la localisation d'agrégats cellulaires dans les crêtes épidermiques.