Two applications of Category Theory are considered. The link between them is applications to Physics and more specifically to Entropy. The first research chapter is broader in scope and not explicitly about Physics, although connections to Statistical Mechanics are made towards the end of the chapter. Matroids are abstract structures that describe dependence, and strong maps are certain structure-preserving functions between them with desirable properties. We examine properties of various categories of matroids and strong maps: we compute limits and colimits; we find free and cofree constructions of various subcategories; we examine factorisation structures, including a translation principle from geometric lattices; we find functors with convenient properties to/from vector spaces, multisets of vectors, geometric lattices, and graphs; we determine which widely used operations on matroids are functorial (these include deletion, contraction, series and parallel connection, and a simplification monad); lastly, we find a categorical characterisation of the greedy algorithm. In conclusion, this project determines which aspects of Matroid Theory are most and least conducive to categorical treatment. The purpose of the second research chapter is to provide a categorical framework for generalising and unifying notions of Entropy in various settings, exploiting the fact that Entropy is a monotone subadditive function. A categorical characterisation of Entropy through a category of thermodynamical systems and adiabatic processes is found. A modelling perspective (adiabatic categories) that directly generalises an existing model is compared to an axiomatisation through topological and linear structures (topological weak semimodules), where the latter is based on a categorification of semimodules. Properties of each class of categories are examined; most notably a cancellation property of adiabatic categories generalising an existing result, and an adjunction between the categories of weak semimodules and symmetric monoidal categories. An adjunction between categories of adiabatic categories and topological weak semimodules is found. We examine in which cases each of these classes of categories constitutes a traced monoidal category. Lastly, examples of physical applications are provided. In conclusion, this project uncovers a way of, and makes progress towards, retrieving the statistical formulation of Entropy from simple axioms.

Aircraft propellers in any flight condition other than pure axial flight are subject to an incident flowfield that gives rise to time-varying forces. Means of modelling these time-dependent forces have been presented in the literature, to varying degrees of success but a review of the different models is missing, and there is a need for an instructive means of simulation using physically realistic but computationally light methodologies. This dissertation provides a comprehensive overview of the relevant work to date, in addition to providing a logical framework in which the problem of propeller blade cyclic load variation may be assessed. Through this framework, the importance of different aerodynamic features pertinent to this problem are compared, and a new solution methodology based on adaptations of existing models is presented. This research project was commissioned by Dowty Propellers (DP), who chose Glasgow University and the supervisors for their rotorcraft simulation experience. Prediction of the propeller induced flowfield is shown to be of importance for the calculation of blade cyclic loads. Momentum models are fit for purpose owing to relative computational simplicity - this dissertation suggests a new radially-weighted implementation of momentum theory that provides better correlation with wind tunnel data than existing models. Swept propeller blades are discussed and the inherent problems faced by a designer or performance engineer are highlighted. An Euler transform to resolve velocities and forces between disc and blade element axes is presented, along with the assertion that ‘simple’ sweep correction methods can be deleterious to propeller aerodynamic simulation if used naïvely. Fundamentally, representation of a swept propeller blade by a blade element model is described as wholly more problematic than a straight propeller blade owing to the displacement of blade elements with respect to the blade pitch change axis - and that flow information will always be lost with such a representation. Installation effects are simulated and installed load fluctuations are predicted to a reasonable degree of accuracy compared to what little data is available. Different means of resolving installation velocities to disc and, subsequently, blade element axes are compared, and it is shown that representing installation effects by an effective incidence angle as is ‘standard practice’ will most likely underpredict installed load fluctuation. In addition to a varying blade root bending load caused directly by load fluctuation on a propeller at an angle of incidence, the reacted net loads at a propeller hub may include a constant yawing moment and in-plane force. This in-plane force has been well documented in the literature, but the equations for its calculation may miss a component of force due to a tilting of the blade tangential force. New equations for this additional force term are presented that validate well to legacy experimental data.

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2014-09-25T21:45:23Z No. of bitstreams: 2 Dissertacao Professor Hélio.pdf: 12746241 bytes, checksum: ff94e807a4ec5d7a686218aa89399608 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-09-26T12:01:18Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertacao Professor Hélio.pdf: 12746241 bytes, checksum: ff94e807a4ec5d7a686218aa89399608 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-09-26T12:01:18Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertacao Professor Hélio.pdf: 12746241 bytes, checksum: ff94e807a4ec5d7a686218aa89399608 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-03-01 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG / How to improve the teaching and learning of high school students, this study made an application of new technologies in line with the teaching of interdisciplinary Trigonometric applying the software Geogebra in resolving issues of Mathematics of the day-to-day and in matters of physics, in particular the Simple Harmonic Motion. Soon this work shows the importance of the teacher to teacher training and use of new technologies in the classroom, because these days where the job market increasingly requires the empowerment of people, in order to have success in life, but if the classes are not interesting, students will not be interested in learning, with the goal of teaching that will not be achieved. This work aims to improve the teaching of mathematics and physics with the use of new technologies, this objective was achieved in Chapter 4, with the application of software Geogebra in solving the problems posed. The work was divided into four chapters. In the rst chapter is a description of the national curriculum reform attending Law 9.394/96 and NCPs, the second chapter is a brief description of what the software Geogebra and some of its tools, in the third chapter was de ned Trigonometric and some of their properties and the fourth chapter is a software application in three situationsproblems of Mathematics and Physics. In these problems became clear the importance of using new technologies and interdisciplinarity in the classroom and in improving teaching the teacher, with that teaching and learning is achieved more e ciently. / Com o intuito de melhorar o ensino e a aprendizagem dos alunos do Ensino M édio, este trabalho faz uma aplica ção das novas tecnologias em consonância com a interdisciplinaridade para o ensino das Fun ções Trigonom étricas, aplicando o software Geogebra na resolu ção de questões de Matem atica do dia-a-dia e em questões de F sica, em específi co o Movimento Harmônico Simples. Este trabalho mostra ao professor a importância da capacita ção docente e do uso das novas tecnologias em sala de aula, pois nos dias de hoje onde o mercado de trabalho exige cada vez mais a capacita ção das pessoas, para que se tenha sucesso na vida pro fissional. Mas se as aulas não forem interessantes, os alunos não vão ter interesse em aprender, com isso o objetivo de ensinar não ser a alcan çado. Este trabalho tem o objetivo de melhorar o ensino da Matem atica e da F sica com o uso das novas tecnologias, este objetivo foi atingido no capitulo 4, com a aplica ção do software Geogebra na resolu ção dos problemas propostos. O trabalho e divido em quatro cap ítulos. No primeiro capí tulo foi feito uma descri ção da reforma curricular nacional atendendo a Lei 9.394/96 e os PCNs, no segundo capí tulo foi feito uma breve descri c~ao do que e o software Geogebra e algumas de suas ferramentas, no terceiro cap tulo foi de nido as Fun ções Trigonom etricas e algumas de suas propriedades e no quarto capí tulo foi feito uma aplica ção do software em três situa ções-problemas de Matem atica e de Fí sica. Nestes problemas fi cou claro a importância do uso das novas tecnologias e da interdisciplinaridade em sala de aula e na melhoria da did ática do professor, com isso o ensino e a aprendizagem e alcan çada de forma mais e ciente.

Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux solutions de trou noir dans des théories de gravitation modifiées, inspirées par la Cosmologie ou la Théorie des Cordes. Les théories Einstein-Maxwell-Dilaton (EMD) comprennent des champs scalaires et de jauge additionnels, ainsi qu'un potentiel scalaire de Liouville en exponentielle. Dans les théories Einstein-Gauss-Bonnet, l'espace-temps est étendu à plus de quatre dimensions. Nous commençons par passer en revue et classer les solutions des théories EMD. Dans le cas où l'horizon du trou noir est planaire, l'obtention d'une équation maîtresse constitue l'un des principaux résultats. Elle alors permet d'intégrer totalement le système d'équations, au prix d'une contrainte sur les constantes de couplage, et sinon d'obtenir des solutions particulières. Dans le cas des théories Einstein-Gauss-Bonnet à six dimensions, le tenseur de Weyl de l'horizon intervient dans les équations par l'action de la constante de couplage du terme de Gauss-Bonnet : cela a pour effet de restreindre grandement la topologie de l'horizon, ce qui lève en partie la dégénérescence qui existait en Relativité Générale. Par la suite, nous étudions les propriétés thermodynamiques des trous noirs en Relativité Générale et en théories EMD. Pour ces dernières, nous montrons que des transitions de phases similaires à celles en Relativité Générale existent dans l'ensemble canonique. Plus généralement, ces propriétés dépendent de manière cruciale des constantes de couplage de la théorie. Pour finir, nous donnons une interprétation holographique aux trous noirs des théories EMD, en tant que bonnes approximations à l'Infra-Rouge. Nous calculons également les conductivités en courant continu et alternatif dans le cadre d'une application à la Matière Condensée, et trouvons certaines caractéristiques typiques des métaux étranges.

Les progrès des techniques de nanofabrication des dix dernières années ont permis la mise en place de protocoles visant à manipuler les charges uniques dans les nanostructures. Ces nouvelles techniques permettent d'envisager la réalisation d'expériences d'optique quantique avec des électrons. Cette thèse s'inscrit dans ce contexte. Le but de ce travail a été la construction d'un formalisme adapté à la description de telles expériences. Ce formalisme, construit en analogie avec la théorie de la cohérence quantique du champ électromagnétique de Glauber, souligne les similitudes et différences entre les photons se propageant dans le vide, et le transport électronique dans des conducteurs balistiques unidimensionnels. En particulier, il rend compte de la décohérence et de la relaxation en énergie des excitations électroniques en présence d'interactions. Un autre aspect de cette thèse a été la proposition de protocoles permettant de mesurer des quantités directement reliées aux propriétés de cohérence décrites par le formalisme de l'optique quantique électronique. En particulier, un protocole de tomographie quantique reposant sur l'effet Hanbury Brown et Twiss a été proposé pour reconstruire la cohérence à un corps d'une source monoélectronique. Ce protocole peut aussi être envisagé pour obtenir des informations sur les mécanismes de décohérence.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de la théorie des systèmes intégrables avec bords et le développement des structures algébriques associées. D'une part, nous nous attaquons au problème de la diagonalisation de l'hamiltonien du modèle XXZ avec bords non diagonaux. Nous exhibons les deux ensembles d'états propres et valeurs propres du modèle si les paramètres de bords satisfont deux conditions. D'autre part, nous introduisons un modèle de physique statistique que nous appelons le modèle face avec un bord réfléchissant. Nous calculons exactement sa fonction de partition et nous montrons que cette dernière se représente simplement sous la forme d'un unique déterminant matriciel. Nous montrons que ces deux problèmes sont reliés par la transformation vertex-face et exhibent une structure algébrique commune, l'algèbre de réflexion dynamique. Nous nous intéressons aux aspects mathématiques de cette algèbre dans le cas elliptique général, et nous introduisons deux classes de ces représentations, la représentation de co-module d'évaluation et sa duale. Nous pensons que cette algèbre est la structure clef pour l'analyse des modèles faces avec bords. En particulier, nous montrons à l'aide de twists de Drinfel'd que leur fonction de partition se représente simplement dans le cas général.

La modélisation des réacteurs nucléaires repose sur la résolution de l'équation de Boltzmann linéaire. Nous nous sommes intéressés à la résolution spatiale de la forme stationnaire de cette équation. Après discrétisation en énergie et en angle, l'équation hyperbolique est résolue numériquement par la méthode des éléments finis discontinus. Le solveur MINARET utilise cette méthode sur un maillage triangulaire non structuré afin de pouvoir traiter des géométries complexes (comprenant entre autres des arcs de cercle). Cependant, l'utilisation d'arêtes droites introduit une approximation de la géométrie. Autoriser l'existence d'arêtes courbes permet de coller parfaitement à la géométrie, et dans certains cas de diminuer le nombre de triangles du maillage. L'objectif principal de cette thèse est l'étude d'éléments finis sur des triangles possédant un ou plusieurs bords courbes. Le choix des fonctions de base est un des points importants pour ce type d'éléments finis. Un résultat de convergence a été obtenu sous réserve que les triangles courbes ne soient pas trop éloignés des triangles droits associés. D'autre part, un solveur courbe a été développé pour traiter des triangles avec un, deux ou trois bords courbes. Une autre partie de ce travail porte sur l'accélération de la convergence des calculs. En effet, la résolution du problème est itérative et peut, dans certains cas, converger très lentement. Une méthode d'accélération dite DSA (Diffusion Synthetic Acceleration) permet de diminuer le nombre d'itérations et le temps de calcul : un calcul de diffusion est ajouté à chaque itération. L'opérateur de diffusion est un préconditionneur de l'opérateur de transport. La DSA a été mise en oeuvre en utilisant une technique issue des méthodes de pénalisation intérieure. Une analyse de Fourier en 1D et 2D permet d'évaluer l'accélération dans le cas de milieux infinis périodiques et de vérifier la stabilité du schéma lorsque de fortes hétérogénéités existent.

L'objet de cette thèse est l'étude de problèmes faisant intervenir les extrema du mouvement brownien en dimension 1 et 2. En dimension 1, y sont obtenues, en particulier, les distributions jointes du maximum et du temps d'atteinte de ce maximum pour n mouvements browniens indépendants sur un intervalle de temps fixé. En dimension 2, à l'aide des résultats en dimension 1, sont obtenues les valeurs moyennes du périmètre et de l'aire de l'enveloppe convexe de n chemins browniens indépendants, ouverts ou fermés. Quelques applications de ces résultats théoriques sont également présentées.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relâchée et pour lequel la convergence est garantie. Dans la dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique.