Les travaux effectués durant cette thèse s’inscrivent dans le cadre d’une collaboration entre l’équipe CEM de l’Institut Pascal et l’équipe EDPAN du Laboratoire de Mathématiques de l’Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand. Nous présentons ici une étude qui, partant de l’analyse du processus de Retournement Temporel en électromagnétisme, a débouché sur le développement d’une méthode originale baptisée Linear Combination of Configuration Fields (LCCF) ou, en français, Combinaison Linéaire de Configurations de Champs. Après avoir introduit l’ensemble des outils et méthodes utilisés dans ces travaux, ce mémoire détaille le processus de Retournement Temporel de base ainsi qu’un ajout apporté à celui-ci. Par la suite, la méthode LCCF s’étant révélée applicable à plusieurs problèmes d’identification de sources en électromagnétisme, nous nous consacrons à la présentation détaillée des différentes variantes de celle-ci et nous illustrons son utilisation sur de nombreux exemples numériques. / This Ph.D thesis is the result of a collaboration between the CEM team of Pascal Institute and the EDPAN team of the Laboratory of Mathematics of the Blaise Pascal University in Clermont-Ferrand. We present here a study based on Time Reversal process in Electromagnetics. This work led to the development of a novel method called Linear Combination of Configuration Field (LCCF). This thesis first introduces the tools and the numerical methods used during this work. Then, we describe the Time Reversal process and a possible improvement to the basic technic. Afterwards, several possible applications of the LCCF method to electromagnetic source identification problems are detailed and we illustrate each of it on various numerical examples.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’amélioration des performances numériques dela méthode Galerkin Discontinu en Domaine Temporel (GDDT), afin de valoriser son emploi industrielpour des problèmes de propagation d’ondes électromagnétiques. Pour ce faire, nous cherchons à réduire lenombre d’éléments des maillages utilisés en appliquant une stratégie de h-déraffinement/p-enrichissement.Dans un premier temps, nous montrons que si ce type de stratégie permet d’améliorer significativementl’efficacité numérique des résolutions dans un cadre conforme, son extension aux maillages non-conformespeut s’accompagner de contre-performances rédhibitoires limitant fortement leur intérêt pratique. Aprèsavoir identifié que ces dernières sont causées par le traitement des termes de flux non-conformes, nousproposons une méthode originale de condensation afin de retrouver des performances avantageuses. Cellecise base sur une redéfinition des flux non-conformes à partir d’un opérateur de reconstruction de traces,permettant de recréer une conformité d’espaces, et d’un produit scalaire condensé, assurant un calculapproché efficace. La stabilité et la consistance du schéma GDDT ainsi défini sont établies sous certainesconditions portant sur ces deux quantités. Dans un deuxième temps, nous détaillons la construction desopérateurs de trace et des produits scalaires associés. Nous proposons alors des flux condensés pourplusieurs configurations non-conformes, et validons numériquement la convergence du schéma GDDT résultant.Puis, nous cherchons à concevoir un algorithme de h-déraffinement/p-enrichissement automatisé,dans le but de générer des maillages hp minimisant les coûts de calcul du schéma. Ce processus est traduitsous la forme d’un problème d’optimisation combinatoire sous plusieurs contraintes de natures trèsdiverses. Nous présentons alors un algorithme de post-maillage basé sur un parcours efficace de l’arbrede recherche des configurations admissibles, associé à un processus de déraffinement hiérarchique. Enfin,nous mettons en œuvre la chaîne de calcul développée sur plusieurs cas-tests d’intérêt industriel, etévaluons son apport en termes de performances numériques. / This thesis is devoted to improving the numerical efficiency of the Discontinuous Galerkinin Time Domain (DGDT) method, in order to enhance its suitability for industrial use. One can noticethat, in an hp-conforming context, increasing correlatively the approximation order and the mesh sizeis a powerful strategy to reduce numerical costs. However, in complex geometries, the mesh can beconstrainted by the presence of small-scale inner elements, leading to hp-nonconforming configurationswith hanging nodes. The first issue we are dealing with is related to the nonconforming fluxes involvedin these configurations, whose high computational costs can deter the use of hp-coarsening strategies.In order to recover a satisfactory performance level, an original flux-lumping technique is set up. Thistechnique relies on recasting hybrid fluxes into conforming ones, and is performed by introducing twoingredients : a reconstruction operator designed to map traces from each side of a nonconforming interfaceinto the same functional space, and a lumped scalar product granting efficient integral computations.The resulting DGTD scheme is then proved to be stable and consistent, under some assumptions on thelatter two elements. Subsequently, we develop a lumped flux construction routine, and show numericalconvergence results on basic hybrid configurations. In a second part, we implement an automated strategyaiming at generating efficient hp-nonconforming meshes, well-suited to the previous DGDT scheme. To doso, a post-meshing process is formalized into a constrained optimization problem. We then put forward aheuristic hp-coarsening algorithm, based on a hierarchical coarsening approach coupled with an efficientsearch over the feasible configuration tree. Lastly, we present several numerical examples related toelectromagnetic wave propagation problems, and evaluate computational cost improvements.

Cette thèse constitue un ensemble de travaux et de réflexions sur la question de la modélisation des applications électromagnétiques en nano-optique en utilisant la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD). Dans un premier temps, des codes FDTD bidimentionnels pour le calcul de bandes interdites photoniques ont été mis en oeuvre. Ces algorithmes tiennent comptes de la dispersion des métaux nobles dans la gamme optique décrite par le modèle de Drude ou de Drude-Lorentz. Ces programmes FDTD permettent de tenir compte de la propagation soit dans le plan perpendiculaire au plan d'invariance (appelé "cas dans le plan" ou "in-plane" en anglais) pour les deux polarisations TE et TM ainsi que le cas d'une propagation quelconque hors du plan (ou off-plane). Plusieurs diagrammes de bandes sont calculés et présentés pour les structures carrées et triangulaires dans les cas diélectriques et métalliques. Ensuite, nous avons implémenté un code BOR-FDTD, basé sur la discrétisation des équations de Maxwell exprimées en coordonnées cylindriques, pour la modélisation des guides d'ondes (ou d'autres objets) à symétrie de révolution. Les conditions absorbantes PML pour décrire l'espace libre sont intégrées à la BOR-FDTD ainsi que les deux modèles de Drude et de Drude-Lorentz. Des simulations ont été effectuées pour le calcul de modes propres de guides d'ondes coaxiaux et cylindriques sub-longueurs d'ondes faits en métal parfait et en métal réel (argent par exemple). Les résultats montrent la possibilité de guider des signaux optiques sans beaucoup de pertes dans un guide coaxial fait en argent de dimensions sublongueur d'onde. Ce dernier résultat est original et constitue une très importante avancée dans le domaine de la "nanoconnectique" en optique, plus particulièrement pour l'optique intégrée. Puis, un autre code numérique FDTD-3D a été élaboré pour la modélisation des structures périodiques (type cristaux photoniques tridimensionnels) éclairées en incidence oblique. Ce code intègre aussi les couches absorbantes PML ainsi que les modèles de dispersion de Drude et de Drude-lorentz. Les résultats obtenus sont comparés à ceux issus d'autres modèles théoriques. Les applications de ce code à l'étude de radôme, à l'excitation du mode TEM de la structure métallique à ouvertures annulaires et aux calculs des spectres d'extinction Raman montrent l'efficacité de la FDTD pour la modélisation de telles structures.

Un nouvel outil numérique pour prédire le mouvement et la déformation de particules sous champ électrique dans les microsystèmes biologiques est proposé. Ce moyen permettra à terme l'optimisation de labopuces dans les premières phases de conception. Le phénomène utilisé pour manipuler les particules est la diélectrophorèse associée au mouvement dû à la polarisation des diélectriques sous champ électrique non uniforme. L'outil numérique utilisé pour le suivi des interfaces mobiles sous champ électrique est la Méthode Intégrale aux Frontières (MIF). Les écoulements sont supposés irrotationnels. Par cet outil, nous avons réussi à retrouver les résultats de Taylor sur l'instabilité des gouttes sous champ uniforme. Les résultats du déplacement des gouttes sous champ non uniforme montrent un bon accord également entre les simulations et des modèles analytiques approchés. L'état de développement de l'outil MIF nous permet d'envisager son extension vers des problèmes électrohydrodynamiques encore plus riches.

On présente quelques résultats de contrôlabilité et de contrôlabilité lagrangienne sur des équations aux dérivées partielles.

Nous avons consacré cette thèse à l'étude des différents processus non-linéaires de l'interaction rayonnement-matière et en particulier à la génération des solitons de gap dans les milieux non-linéaires à bandes interdites. Dans la première partie nous avons utilisé un modèle semi-classique de Maxwell-Bloch pour décrire l'interaction d'un milieu à deux niveaux quantiques avec charges avec un champ électromagnétique classique à travers la densité de population, qui est à l'origine même de la non-linéarité. Le couplage non-linéaire qui en résulte génère des phénomènes particulièrement intéressants (génération et diffusion des solitons de gap) à la résonance, quand la pulsation du champ appliqué est proche de la fréquence de transition du milieu à deux niveaux. La dynamique non-linéaire observée numériquement est expliquée à l'aide d'un modèle de Schrödinger non-linéaire dans un potentiel lié aux charges du milieu. La deuxième partie concerne l'étude théorique de la dynamique des solitons quadratiques dans les amplificateurs paramétriques optiques (OPA). Les équations décrivant l'interaction à trois ondes dégénérée dans un cristal biréfringent non-linéaire ont été établies en prenant en compte la diffraction transverse et le walk-off spatial. Nous avons proposé une méthode pour résoudre le problème ardu de la détermination du seuil de supratransmission non-linéaire dans les OPA et nous avons généralisé les résultats obtenus à une grande classe de systèmes non-linéaires non-intégrables à composantes multiples.

Cette thèse s'intéresse, à la diffraction d'ondes électromagnétiques par un matériau ferromagnétique obéissant à la loi non-linéaire de Landau-Lifshitz, et comporte trois parties. On étudie dans la première partie le problème de Cauchy formé par le système de Maxwell et la loi de L.L. On y montre l'existence et l'unicité des solutions fortes en 2D. La deuxième partie traite le problème de diffraction par un revêtement ferromagnétique de faible épaisseur. La couche mince est remplacée par des conditions aux limites équivalentes, obtenues via un développement asymptotique par rapport à l'épaisseur et permettant un calcul approchée de la solution. La stabilité (ou instabilité) de ces conditions est analysée dans le cas général mais l'étude de l'erreur pour le problème non-linéaire n'a été faite que pour le modèle 1D. On propose et on étudie ensuite deux schémas de discrétisation en temps. L'intérêt pratique de ces conditions équivalentes a été mis en évidence par des expériences numériques 1D et 2D. La troisième partie est consacrée à l'homogénéisation d'un milieu ferromagnétique périodique. Le modèle homogénéisé est présenté dans le cas général et comprend une loi non linéaire micro-macro non locale. La convergence double échelle est montrée dans le cas laminaire. Le procédé d'homogénéisation est également validé numériquement dans ce cas.

Ce manuscrit de thèse rassemble quelques résultats concernant des problèmes de quantification. Il est divisé en deux parties : la quantification de champs invariants conforme sur l'espace-temps de de Sitter et deux quantifications par états cohérents. • La première partie s'inscrit dans un programme de quantification systématique et rigoureux, proche de l'axiomatique de Wightman, des champs sur l'espace-temps de de Sitter. Plus particulièrement, nous avons étudié les champs admettant une extension (naturelle) au groupe conforme. Après avoir clarifié les notions d'invariance sous les transformations de Weyl et sous le groupe conforme SO0(2, d) nous avons établi un point de vue géométrique reliant/déformant les champs sur l'espace-temps de (anti-)de Sitter à ceux sur l'espace-temps de Minkowski, tout en gardant transparente l'action du groupe conforme. Cette méthode nous a permis d'obtenir le propagateur du champ vectoriel invariant conforme, qui adopte alors une forme particulièrement simple et compacte. Enfin, notre approche se généralise aux champs tensoriels de rang plus élevé invariants conformes sur l'espace-temps de de Sitter. • La seconde partie de ce travail concerne l'utilisation des états cohérents dans les problèmes de quantification. Suivant la géométrie ou la topologie de l'espace des phases, nombres d'observables ne peuvent être quantifiées en suivant les règles de quantification canonique. En un certain sens la quantification par états cohérents, et leurs généralisations, permet de contourner ces difficultés, ou, du moins, fournit des idées quant à la façon de les contourner. Par exemple, la particule dans un puits infini de potentiel est un modèle pour la quantification par états cohérents comme l'opérateur impulsion, en dépit d'être symétrique, n'est pas auto-adjoint et, ainsi, ne peut vérifier les relations de commutation canonique (théorème de Pauli). Grâce à une nouvelle famille d'états cohérents vectoriels nous avons pu quantifier, de manière cohérente, la particule dans le puits infini de potentiel. Enfin, nous avons abordé la fuzzyfication de l'hyperboloïde, c'est-à-dire la quantification de l'espace-temps de de Sitter lui-même, grâce à une nouvelle base d'états cohérents vectoriels.

Ce manuscrit est dédié au transport relativiste cinétique sous influence de champs magnétiques, identifié comme obstacle pour la modélisation et la simulation intégrée, dans le cadre de la Fusion par Confinement Inertiel (FCI). Une réalisation importante concerne le développement d'un code déterministe de référence, 2Dx-3Dv, de type Maxwell-Fokker-Planck-Landau, permettant la prise en compte de fonctions de distribution à large degré d'anisotropie. Ce travail se situe à l'interface de l'analyse numérique, des mathématiques appliquées, et de la physique des plasmas. Un deuxième résultat marquant concerne la dérivation d'un modèle collisionel multi-échelle, pour le transport d'électrons relativistes dans la matière dense. Des processus importants sont mis en évidence pour la FCI, et une analogie est menée vis-à-vis des processus de transport collisionels connus en radiothérapie. Enfin, un modèle mésoscopique aux moments angulaires, avec fermeture entropique, a été dérivé et utilisé pour le dépôt de dose pour la radiothérapie. Des schémas numériques précis, d'ordre élevé, et robustes, ont été développé dans ce cadre.

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème de transmission d'ondes électromagnétiques dans des matériaux fortement conducteurs entourés d'un matériau diélectrique isolant. On analyse finement le phénomène de l'effet de peau à l'aide de l'analyse asymptotique et de la simulation numérique. On calcule un développement asymptotique multi-échelle à haute conductivité des solutions des équations de Maxwell tridimensionnelles en régime harmonique. Pour valider ce développement, on établit des estimations uniformes par sous-domaines des solutions de ces équations pour une conductivité assez élevée. Ces estimations ont motivé une étude préliminaire d'un problème de transmission scalaire pour lequel des estimations a priori sont démontrées grâce à la convergence normale d'un développement asymptotique. L'accord des formules théoriques avec les calculs numériques est remarquable et met en évidence l'influence de la géométrie de l'interface dans le phénomène de l'effet de peau.<br /><br />D'autre part, on étudie le comportement du champ électromagnétique dans une cellule biologique modélisée par un milieu entouré d'une couche mince et plongée dans un milieu ambiant. On calcule des conditions de transmission approchées sur le bord du domaine intérieur équivalentes à la couche mince.