La dynamique de particules colloïdales à l'interface entre deux fluides joue un rôle central dans la micro-rhéologie, l'encapsulation, l'émulsification, la formation de biofilms, la décontamination de l'eau. En outre, ce sujet est également stimulant d'un point de vue théorique en raison de la complexité de l'hydrodynamique à l'interface et du rôle de la ligne de contact. Malgré ce grand intérêt, le comportement d'une particule à une interface fluide n'a jamais été caractérisé directement. Dans cette thèse, nous étudions le mouvement brownien de billes micrométriques de silice et de sphéroïdes de polystyrène à une interface eau-air. Nous contrôlons expérimentalement tous les paramètres d'intérêt. L'angle de contact des billes est finement ajusté dans la gamme 30°-140° par des traitements chimiques de surface et mesuré in situ par interférométrie. Le rapport d'aspect de particules sphéroïdales varie dans la gamme 1 -10 par étirage de billes sphériques commerciales. Les dynamiques de translation et de rotation sont suivies par particle tracking. Contre intuitivement et contre tous les modèles hydrodynamiques la diffusion est beaucoup plus lente que prévu. Pour expliquer cette dissipation supplémentaire nous concevons un modèle tenant compte de la contribution des fluctuations thermiques de l'interface à la ligne de contact. Les fluctuations donnent origine à des forces aléatoires qui s'ajoutent à celles dues aux chocs de molécules. Le théorème de fluctuation-dissipation permet d'obtenir la friction supplémentaire associée à ces forces flottantes. La friction totale est discutée en termes d'hétérogénéités de la surface des particules et d'ondes capillaires à l'interface. / The dynamics of colloidal particles at the interface between two fluids plays a central role in micro-rheology, encapsulation, emulsification, biofilms formation and water remediation. Moreover, this subject is also challenging from a theoretical point of view because of the complexity of hydrodynamics at the interface and of the role of the contact line. Despite this great interest, the behavior of a single particle at a fluid interface was never directly characterized.In this thesis, we study the Brownian motion of micrometric spherical silica beads and anisotropic polystyrene spheroids at a flat air-water interface. We fully characterize and control all the experimentally relevant parameters. The bead contact angle is finely tuned in the range 30-140° by surface treatments and measured in situ by a homemade Vertical Scanning Interferometer. The spheroid aspect ratio varies in the range 1 – 10 by stretching of commercial beads. The translational and the rotational dynamics are followed by particle tracking.Counter-intuitively, and against all hydrodynamic models, the diffusion is much slower than expected. To explain this extra dissipation we devised a model considering the contribution of thermally activated fluctuations of the interface at the triple line. Such fluctuations couple with the lateral movement of the particle via random forces that add to the ones due to the shocks of surroundings molecules. Fluctuation-dissipation theorem allows obtaining the extra friction associated to this additional mechanism. The fitting values of the total friction are discussed in term of the typical scales of particle surface heterogeneities and of surface capillary waves.

Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnel / Fractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)

Résumé indisponible / Résumé indisponible

Dans cette thèse nous étudions des équations différentielles stochastiques sur quelques graphes simples dont les solutions sont des flots de noyaux au sens de Le Jan et Raimond. Dans une première partie, nous définissons une extension de l'équation de Tanaka sur un nombre fini de demi-droites orientées et issues de l'origine. Utilisant certaines propriétés de régularité du flot associé au mouvement brownien biaisé, nous donnons une description complète de toutes les solutions. S'appuyant sur une transformation discrète introduite par Csaki et Vincze, nous donnons dans un cas d'orientation particulière (qui couvre déjà l'équation de Tanaka usuelle) une approche discrète à quelques solutions. La dernière partie de ce travail est effectuée avec O. Raimond. Par une méthode de couplage des flots, nous classifions les solutions de l'équation de Tanaka sur le cercle. Nous établissons aussi que ces flots sont coalescents. / In this thesis we study stochastic differential equations on some simple graphs whose solutions are stochastic flows of kernels in the sense of Le Jan and Raimond. In the first part, we define an extension of Tanaka's equation on a finite number of oriented half-lines issuing from the origin. Using some regularity properties of the skew Brownian motion flow, we give a complete description of all the solutions. Based on a discrete transformation introduced by Csaki and Vincze, we give for a particular orientation (which already covers the usual Tanaka's equation) a discrete approach to some solutions. The last part of this work is carried out with O. Raimond. By a method of coupling flows, we classify the solutions of Tanaka's equation on the circle. We also establish that all these flows are coalescing.

Dans cette thèse nous étudions des équations différentielles stochastiques sur quelques graphes simples dont les solutions sont des flots de noyaux au sens de Le Jan et Raimond. Dans une première partie, nous définissons une extension de l'équation de Tanaka sur un nombre fini de demi-droites orientées et issues de l'origine. Utilisant certaines propriétés de régularité du flot associé au mouvement brownien biaisé, nous donnons une description complète de toutes les solutions. S'appuyant sur une transformation discrète introduite par Csaki et Vincze, nous donnons dans un cas d'orientation particulière (qui couvre déjà l'équation de Tanaka usuelle) une approche discrète à quelques solutions. La dernière partie de ce travail est effectuée avec O. Raimond. Par une méthode de couplage des flots, nous classifions les solutions de l'équation de Tanaka sur le cercle. Nous établissons aussi que ces flots sont coalescents.

Cette thèse porte sur l’analyse statistique de quelques modèles de processus stochastiques gouvernés par des bruits de type fractionnaire, en temps discret ou continu.Dans le Chapitre 1, nous étudions le problème d’estimation par maximum de vraisemblance (EMV) des paramètres d’un processus autorégressif d’ordre p (AR(p)) dirigé par un bruit gaussien stationnaire, qui peut être à longue mémoire commele bruit gaussien fractionnaire. Nous donnons une formule explicite pour l’EMV et nous analysons ses propriétés asymptotiques. En fait, dans notre modèle la fonction de covariance du bruit est supposée connue, mais le comportement asymptotique de l’estimateur (vitesse de convergence, information de Fisher) n’en dépend pas.Le Chapitre 2 est consacré à la détermination de l’entrée optimale (d’un point de vue asymptotique) pour l’estimation du paramètre de dérive dans un processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire partiellement observé mais contrôlé. Nous exposons un principe de séparation qui nous permet d’atteindre cet objectif. Les propriétés asymptotiques de l’EMV sont démontrées en utilisant le programme d’Ibragimov-Khasminskii et le calcul de transformées de Laplace d’une fonctionnellequadratique du processus.Dans le Chapitre 3, nous présentons une nouvelle approche pour étudier les propriétés du mouvement brownien fractionnaire mélangé et de modèles connexes, basée sur la théorie du filtrage des processus gaussiens. Les résultats mettent en lumière la structure de semimartingale et mènent à un certain nombre de propriétés d’absolue continuité utiles. Nous établissons l’équivalence des mesures induites par le mouvement brownien fractionnaire mélangé avec une dérive stochastique, et en déduisons l’expression correspondante de la dérivée de Radon-Nikodym. Pour un indice de Hurst H > 3=4, nous obtenons une représentation du mouvement brownien fractionnaire mélangé comme processus de type diffusion dans sa filtration naturelle et en déduisons une formule de la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesurede Wiener. Pour H < 1=4, nous montrons l’équivalence de la mesure avec celle la composante fractionnaire et obtenons une formule pour la densité correspondante. Un domaine d’application potentielle est l’analyse statistique des modèles gouvernés par des bruits fractionnaires mélangés. A titre d’exemple, nous considérons le modèle de régression linéaire de base et montrons comment définir l’EMV et étudié son comportement asymptotique. / This thesis focuses on the statistical analysis of some models of stochastic processes generated by fractional noise in discrete or continuous time.In Chapter 1, we study the problem of parameter estimation by maximum likelihood (MLE) for an autoregressive process of order p (AR (p)) generated by a stationary Gaussian noise, which can have long memory as the fractional Gaussiannoise. We exhibit an explicit formula for the MLE and we analyze its asymptotic properties. Actually in our model the covariance function of the noise is assumed to be known but the asymptotic behavior of the estimator ( rate of convergence, Fisher information) does not depend on it.Chapter 2 is devoted to the determination of the asymptotical optimal input for the estimation of the drift parameter in a partially observed but controlled fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We expose a separation principle that allows us toreach this goal. Large sample asymptotical properties of the MLE are deduced using the Ibragimov-Khasminskii program and Laplace transform computations for quadratic functionals of the process.In Chapter 3, we present a new approach to study the properties of mixed fractional Brownian motion (fBm) and related models, based on the filtering theory of Gaussian processes. The results shed light on the semimartingale structure andproperties lead to a number of useful absolute continuity relations. We establish equivalence of the measures, induced by the mixed fBm with stochastic drifts, and derive the corresponding expression for the Radon-Nikodym derivative. For theHurst index H > 3=4 we obtain a representation of the mixed fBm as a diffusion type process in its own filtration and derive a formula for the Radon-Nikodym derivative with respect to the Wiener measure. For H < 1=4, we prove equivalenceto the fractional component and obtain a formula for the corresponding derivative. An area of potential applications is statistical analysis of models, driven by mixed fractional noises. As an example we consider only the basic linear regression setting and show how the MLE can be defined and studied in the large sample asymptotic regime.

Cette thèse a pour objet l'étude de processus aléatoires en milieu aléatoire. Ce type de processus a été introduit pour la première fois en 1965 par A.A. Chernov, et a depuis fait l'objet de nombreuses recherches. Parallèlement au modèle élémentaire unidimensionnel ́etudié par A.A. Chernov, de nombreuses tentatives ont ́eté faites récemment afin d'appliquer le même type d'approche dans des contextes différents. Nous nous focalisons particulièrement sur deux exemples. Tout d'abord nous étudions le cas de la marche aléatoire en milieu aléatoire sur les arbres, pour laquelle nous étendons un critère de récurrence/transience dû à R. Lyons et R. Pemantle, avant de présenter une étude du comportement asymptotique dans le régime critique. Nous montrons dans un premier cas un théorème central limite, et dans un second nous identifions un équivalent en (logn)^3. Le régime intermédiaire entre ces deux comportements a fait l'objet de travaux plus anciens de Y. Hu et Z. Shi. Dans une autre partie nous étudions un processus aléatoire en milieu aléatoire à temps continu, connu sous le nom de diffusion de Brox. Nous étendons à ce processus des résultats dûs à A. Fribergh, N. Gantert et S. Popov concernant l'accélération et le ralentissement.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

La valorisation des options exotiques continues de façon "exacte" est très difficile (voire impossible) dans les modèles exponentiels de Lévy. En fait nous verrons que pour les options lookback et barrière digitale, et sous l'hypothèse que les sauts de l'actif sous-jacent sont tous négatifs, nous avons des formules semi-fermées. En général il faut recourir à des techniques qui permettent d'approcher les prix de ces dérivés, ce qui engendre des erreurs. Nous étudierons le comportement asymptotique de ces erreurs. Dans certains cas ces erreurs peuvent être corrigées de sorte à obtenir une convergence plus rapide vers la valeur "exacte" recherchée. Nous proposons aussi des méthodes permettant d'évaluer les prix des options exotiques par des techniques de Monte-Carlo / The exact valuation of continuous exotic options is very difficult (sometimes impossible) in exponential Lévy models. In fact, for lookback options and digital barrier, and assuming that the jumps of the underlying assets are all negative, we have semi-closed formulas. In general it is necessary to use numerical methods to approach the prices of these derivatives, which causes errors. We study the asymptotic behavior of these errors. In some cases these errors can be corrected so that to obtain a faster convergence to the fair value. We also propose some methods to evaluate the prices of exotic options by Monte Carlo techniques

Le travail réalisé dans cette thèse porte sur l’étude du mouvement Brownien d’une suspension colloïdale sous champ de force optique faible et l’étude fondamentale des effets convectifs et de diffusion anormale. Nous avons construit un microscope à fond noir afin de suivre les particules et de reconstruire leurs trajectoires avec une résolution spatiale de 20 nm et une résolution temporelle de 8 ms. Ces trajectoires sont analysées statistiquement afin d’en extraire la contribution balistique induite par la force de pression de radiation appliquée par le laser d’illumination. En plus de l’effet mécanique du laser sur les particules, le fluide absorbe les radiations ce qui le chauffe et crée ainsi une différence de température entre la partie illuminée et la partie non illuminée de l’échantillon.Nous validons aussi les hypothèses de stationnarité et d’érgodicité qui sont fondamentales pour notre stratégie de mesure de force faible. L’analyse statistique fine de notre système nous permet de mettre en évidence et de caractériser des effets de diffusion anormale brownienne. Nos expériences révèlent en effet la présence de trajectoires anormales dont l’origine se comprend comme un effet d’interaction entre la particule suivie et le reste de l’ensemble colloïdal. / The work presented in this thesis deals with the study of the Brownian motion of a colloidal suspension under an external weak optical force, the study of convective effects and anomalous diffusion. We have built a dark field microscope in order to track the particles and reconstruct the Brownian trajectories with a spatial resolution of 20 nm and a temporal resolution of 8 ms.Statistical analysis of the trajectories has allowed us to extract the ballistic contribution induced by the radiation pressure force exerted by irradiating a laser on the particles. In addition to the mechanical effect of the laser on the particles, the fluid absorbs the radiation. Consequently, the temperature of the fluid rises and results in a thermal difference between the illuminated and the non-illuminated areas of the sample. In order to validate our weak force measurement, we have investigated two fundamental hypotheses in statistical physics: ergodicity and stationary aspect. A closer statistical analysis enables us to demonstrate and characterize the effect of anomalous Brownian diffusion. Our experiments have revealed the existence of anomalous trajectories, which can be understood as an effect of the interactions between the particles.