Neste trabalho problemas não lineares geométricos envolvendo pórticos planos e sólidos tridimensionais são analisados através do método dos elementos finitos com formulação posicional. A formulação posicional utiliza como incógnitas as posições dos nós ao invés de deslocamentos. O referencial adotado da formulação é o lagrangiano total. Também se utiliza o algoritmo de Newton-Raphson para solução iterativa do problema não linear. Para problemas envolvendo dinâmica, a matriz de massa é consistente e o integrador temporal é o algoritmo de Newmark. Para o pórtico plano, a cinemática adotada é a de Reissner, onde a seção plana do pórtico não necessariamente permanece perpendicular ao seu eixo central após deformação. Com relação à formulação de sólido tridimensional, é adotada aproximação cúbica de variáveis com elementos finitos tretraédricos de 20 nós. É apresentada também a análise de impacto em anteparo rígido para estruturas tridimensionais utilizando o integrador de Newmark modificado para se garantir a estabilidade do problema. A formulação aqui proposta é validade em comparação com exemplos clássicos da literatura especializada. / Non linear geometric analysis for 2D frames and 3D solids are analyzed in this work by employing the finite element method with positional description. The present formulation does not use the concept of displacement; it considers positions as the real variables of the problem. In addition, the formulation is developed through total lagrangian description. Besides, the Newton-Raphson method is applied for solving the iterative linear system. For dynamic problems, the mass matrix is consistent and it is applied the Newmark algorithm for time integration. For 2D frame analysis, Reissner kinematics is adopted, that is, initial plane cross-sections remain plane after deformation and angles are independent of the slope of central line. In respect to 3D solids, a cubic approximation for the variables is employed through tetraedric finite elements with 20 nodes. Moreover, impact analysis against rigid wall is performed for 3D solids by applying the modified Newmark procedure in order to guarantee a stabilized response. In order to validate the herein proposed formulation, numerical examples are compared to those in the specialized literature.

Nos últimos anos grande número de modelos computacionais tem sido propostos com o intuito de descrever o movimento de solutos no perfil do solo, apesar disso, o que se observa é que existe grande dificuldade em se modelar esses fenômenos, para que o modelo possa predizer o processo de deslocamento e retenção dos solutos na natureza. Para tanto, o objetivo deste trabalho foi utilizar um modelo estatístico para descrever o transporte dos solutos no perfil do solo. Dessa forma, foi realizado um experimento em laboratório e observado os níveis de potássio e nitrato ao longo do perfil dos solos Latossolo Vermelho Amarelo e Nitossolo Vermelho. Para inferir sobre essas variáveis foram consideradas duas abordagens. Para a primeira abordagem foi utilizado um modelo de regressão não linear para cada uma das variáveis, cujos parâmetros do modelo apresentam uma interpretação prática, na área de solos. Para esse modelo foi realizado um esboço sobre a não linearidade do mesmo para verificar as propriedades assintóticas dos estimadores dos parâmetros. Para o método de estimação foi considerado, o método de mínimos quadrados e o método de bootstrap. Além disso, foi realizada uma análise de diagnóstico para verificar a adequação do modelo, bem como identificar pontos discrepantes. Por outro lado, para outra abordagem, foi utilizado um modelo multiresposta para analisar o comportamento das variáveis nitrato e potássio ao longo do perfil dos solos, conjuntamente. Para esse modelo foi utilizado o método da máxima verossimilhança para encontrar as estimativas dos parâmetros do modelo. Em ambas as situações, observou-se a adequação dos modelos para descrever o comportamento dos solutos nos solos, sendo uma alternativa para os pesquisadores que trabalham com estudo de solos. O modelo logístico com quatro parâmetros se destacou por apresentar melhores propriedades, como medidas de não linearidade e boa qualidade de ajuste. / In the last years, several computational models have been proposed to describe the movement of solutes in the soil profile, but what is observed is that there is great difficulty in model these phenomena, so that model can predict the displacement process and retention of solutes in nature. Thus, the aim of this study was to use a statistical model to describe the transport of solutes in the soil profile. Therefore, an experiment was conducted in the laboratory and observed levels of potassium and nitrate along the depth of soil Oxisol (Haplustox) and Hapludox,. To make inferences about these variables were considered two approaches. For the first approach was utilized a non-linear regression model for each variable and the model parameters have a practical interpretation on soil. For this model we performed a sketch on the nonlinearity of the model to check the asymptotic properties of parameter estimators. To estimate the parameters were considered the least squares method and the bootstrap method. In addition, we performed a diagnostic analysis to verify the adequacy of the model and identify outliers. In the second approach considered was using a multi-response model to analyze the behavior of the variables nitrate and potassium throughout the soil profile together. For this model we used the maximum likelihood method to estimate the model parameters. In both cases, we observed the suitability of the models to describe the behavior of solutes in soils, being an alternative for researchers working on the study of soils. The logistic model with four parameters stood out with better properties, such as non-linearity and good fit.

Esta dissertação tem como objetivo principal o desenvolvimento de uma formulação, via método dos elementos finitos (MEF), para a identificação e solução do impacto não linear bidimensional entre estruturas anelares reticuladas e anteparo rígido fixo. O comportamento dinâmico não linear geométrico é feito por meio de uma formulação posicional classificada como Lagrangiana total com cinemática exata. Utiliza-se o integrador temporal de Newmark modificado para descrever o comportamento dinâmico, de forma a garantir a estabilidade na análise do impacto. Desenvolveu-se um algoritmo de identificação da ocorrência do impacto, utilizando-se segmentos auxiliares que definem uma região formada por pontos passíveis de impacto. A solução do impacto é feita com um algoritmo de retorno geométrico segundo superfície curva com aproximação qualquer para o anteparo rígido, considerando situações com e sem atrito. Faz-se uma comparação entre a técnica adotada e a técnica dos multiplicadores de Lagrange e das penalidades, mostrando a equivalência entre as mesmas. Por fim, são apresentados exemplos numéricos gerais utilizando a técnica desenvolvida, onde se fez um estudo de convergência para discretização geométrica e temporal. / This work has as main goal the development of a formulation, based on the finite element method (FEM), for the identification and solution of the bidimensional nonlinear impact between reticulated cyclics structures and fixed rigid wall. The dynamic geometrically nonlinear behavior is treated with a positional formulation classified as total Lagrangean with exact kinematics. The time integrator of modified Newmark is used, to describe the dynamic behavior, to assure the stability in the analysis of the impact. An algorithm of identification of the occurrence of the impact was developed, using auxiliary segments that define a region formed for feasible points of impact. The solution of the impact is made with an algorithm of geometric return as curve surface with any approach for the rigid wall, considering situations with and without friction. A comparison between the technique adopted and Lagrange multipliers and penalty is made. Finally, general numerical examples are presented, where a study of convergence was made.

Este trabalho trata da evolução natural do modelo de cálculo em regime elástico linear, largamente empregado no dimensionamento de pavimentos de concreto armado, para um modelo com maior capacidade de representação. A consideração da não-linearidade física do material concreto armado é incorporada a um sistema computacional em elementos finitos segundo modelos não-estratificados, através da generalização das formulações para o campo dos esforços. O elemento de barra é abordado em campo uniaxial, verificando-se o escoamento produzido pela flexão. Para o elemento de placa, estabelece-se o critério de escoamento de Von Mises com leis associativas particularizado ao estado plano de tensões (EPT). Essas tensões são integradas ao longo da espessura do elemento, permitindo escrever o critério em função do terno de valores de momentos atuantes. Por fim, os modelos de barra e placa são integrados ao sistema computacional, resultando um sistema de análise não-linear de pavimentos de concreto armado. A caracterização do comportamento físico da seção transversal é feita segundo um diagrama momento-curvatura trilinear. A aplicação do modelo proposto a elementos estruturais isolados, e a um pavimento convencional, confirma a melhoria do sistema computacional, e os tempos de processamento requeridos evidenciam a viabilidade do emprego do modelo não-linear físico em projetos usuais de pavimentos de concreto armado. / This work deals with the natural evolution of the design model based on linear elasticity, widely employed on reinforced concrete slabs designs, to a improved design model. The consideration of physical nonlinearity of the reinforced concrete is introduced into a finite element computational system by nonlayered models with generalization of the formulation to the bending moment field. The beam element is treated in a uniaxial field, with bending moment yielding. In the plate element it is established the Von Mises yield criterion with associative laws particularized to the plane stress. These stresses are integrated along the element depth, enabling to write the criterion with plate bending moments. At last, the beam and the plate models are incorporated into a computational system, resulting in a reinforced concrete slabs analysis system. The characterization of the cross section physical behavior is made by a trilinear bending moment-curvature diagram. The application of the proposed model to isolate structural elements and to a conventional slab confirms the improvement of the finite element system and the required computational analysis times show the feasibility of the nonlinear model application into usual reinforced concrete slab design.

O objetivo deste trabalho é fornecer uma contribuição à análise estrutural de pavimentos de edifícios de concreto armado. Com esse fim, foram implementados os modelos de DEBERNARDI e de GHALI & FAVRE, próprios para barras de concreto armado. Os resultados são obtidos para o instante de aplicação de um carregamento e para um instante qualquer de tempo, considerando-se a fluência. Apresenta-se, no decorrer do trabalho, o equacionamento dos modelos e das variáveis envolvidas no processo. São mostrados exemplos práticos de aplicação dos algoritmos desenvolvidos e discute-se, nos capítulos finais, a redistribuição de momentos que ocorre em estruturas reticulares de concreto armado. / The aim of this work is to give a contribution to structural analysis of reinforced concrete building floors. Therefore, DEBERNARDI\'s and GHALI & FAVRE\'s models for reinforced concrete were implemented. The results are obtained at the loading application instant and at any instant of time, considering therefore the creep. In this work, it is presented the formulations of the adopted models and the variables used in the process. Some practical examples of application for the developed algorithms are shown. Finally, it is discussed the redistribution of bending moments that may occur in reinforced concrete grid structures.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work refers to consideration of the effects of material nonlinearity applied to the behavior of reinforced concrete beams subjected to simple bending. The importance of the topic is highlight, as well as several works stemming from this study. The nonlinear behavior of steel and concrete are described along with understanding the manifestation of material nonlinearity. The constitutive models discussed and used in structural analysis are based on moment-curvature diagrams. The types of analysis and the approximate methods of the Brazilian standard NBR 6118 (ABNT, 2007) for the consideration of material nonlinearity in the verification of limit states (Ultimate and Service) are discussed. In numerical examples, the efficiency of constitutive models that employ moment-curvature relationship is verified by comparing with experimental results of reinforced concrete beams. The results of approximate methods are compared with those obtained by nonlinear analysis. The conclusions provided good results for immediate deflections calculated by approximate methods in service situations, as well for approximate methods that consider reinforcement in ultimate limit state. / Este trabalho refere-se à consideração dos efeitos da não-linearidade física aplicados ao comportamento de vigas de concreto armado submetidas à flexão simples. É salientada a importância do tema, bem como os diversos trabalhos originados deste estudo. O comportamento marcadamente não-linear dos materiais aço e concreto é descrito juntamente com noções básicas sobre a manifestação da não-linearidade física. Os modelos constitutivos abordados e utilizados na análise estrutural são baseados em diagramas momento-curvatura. São abordados os tipos de análises e os métodos aproximados da norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2007) que visam a consideração da não-linearidade física na verificação dos Estados Limites (Último e de Serviço). Nos exemplos numéricos, a eficácia dos modelos constitutivos que empregam relações momento-curvatura é verificada mediante a comparação com resultados experimentais de vigas de concreto armado. Também são elaborados exemplos numéricos que mostram a aplicação dos métodos aproximados, cujos resultados são confrontados com os obtidos por análise nãolinear. Dentre as conclusões da pesquisa, destacam-se os resultados satisfatórios fornecidos pelos métodos aproximados na estimativa de flechas imediatas de vigas em análises do Estado Limite de Serviço e, pelos métodos aproximados que consideram a quantidade de armaduras em análises do Estado Limite Último.

Petróleo Brasileiro S/A / It is unusual practice, in national projects of new pavements and restorations, the consideration of viscoelastic behavior and non-linear elastic of materials that compound or will compound the layers of pavement. However, the linear elastic response is a simplification of the actual behavior of the pavements layers, since the materials used in the structure have dependent stiffness of the stress state (granular layers and subgrades) or temperature and load application time (asphalt concrete). Therefore, it was aimed to study the behavior of the pavements structures of three monitored sections in the city of Santa Maria/RS. For this, tests were performed with the equipment FWD applying four different loads in each stake that compounds the extension of the three sections. It was found from deflection basins and backcalculated resilient moduli the nonlinear elastic behavior of granular layers (base and sub-base) of the sections 1 and 2, with resilient modulus directly proportional to the increase of the confining pressure. The subgrades of both sections exhibited varied behavior and can be simplified by the linear elasticity without considerable loss. The same happened to the asphalt concrete of section 1. On the other hand, the coating of the section 2 resulted in resilient modules dependent of the increase of vertical surface tension in the center of the load plate. In relation to section 3, the results related only to deflection measures indicated mostly behavior near of linearity in all evaluated reading distances, except for that carried out under the load application. Sequentially to load pulses, also were determined deflections with the Benkelman beam, aiming to find a local correlation between the results obtained from different equipments. The deflections basins indicated higher values, measured with the beam, in relation to those determined by FWD. Consequently, the resilient modules were higher when determined from the backcalculation of the readings taken with FWD, in relation to Benkelman beam. In parallel, it was verified and quantified the influence of bounding conditions between the layers and correction, total or partial, of deflections basins, depending on the temperature, in backcalculated resilient moduli. It was found that the assignment of total bounding in the interfaces between the layers reduces considerably the backcalculated resilient moduli of granular materials. Regarding to the temperature correction, it is appropriate the determination of the rigidity of the granular materials and the subgrade by performing backcalculation without any adjustment in the field basins. Taking these values as a basis, it was considered appropriate to repeat the iterative procedure, with adjustment of the deflections depending on the temperature in the initial readings, thereby determining the new asphalt concrete resilient moduli. / Não é prática usual, em projetos nacionais de pavimentos novos e restaurações, a consideração do comportamento viscoelástico e elástico não linear dos materiais que constituem, ou que irão constituir as camadas do pavimento. Todavia, a resposta elástica linear é uma simplificação do comportamento real das camadas dos pavimentos, já que os materiais empregados na estrutura possuem rigidez dependente do estado de tensões (camadas granulares e subleitos) ou da temperatura e tempo de aplicação de carga (concretos asfálticos). Em vista disso, buscou-se estudar o comportamento das estruturas dos pavimentos de três trechos monitorados, na cidade de Santa Maria/RS. Para isso, foram realizados ensaios com o equipamento FWD, aplicando quatro diferentes carregamentos em cada estaca que compõe a extensão dos três trechos. Verificou-se, a partir das bacias deflectométricas e dos módulos de resiliência retroanalisados, o comportamento elástico não linear das camadas granulares (base e sub-base) dos Trechos 1 e 2, com módulo de resiliência diretamente proporcional ao incremento da tensão confinante. Os subleitos de dois trechos exibiram comportamento variado, podendo ser simplificados pela elasticidade linear, sem prejuízo considerável. O mesmo aconteceu para o concreto asfáltico do Trecho 1. Já o revestimento do Trecho 2 resultou em módulos resilientes dependentes do incremento da tensão vertical na superfície no centro da placa de carga. Em relação ao Trecho 3, os resultados, referentes apenas às medidas deflectométricas, indicaram comportamento majoritariamente próximo da linearidade em todas as distâncias de leitura avaliadas, com exceção daquela medida abaixo do centro da placa de carga. Sequencialmente aos pulsos de carga, foram determinadas também as deflexões com a viga Benkelman, objetivando encontrar uma correlação local entre os resultados obtidos a partir dos diferentes equipamentos. As bacias deflectométricas indicaram valores superiores, medidos com a viga, em relação àqueles determinados pelo FWD. Consequentemente, os módulos de resiliência foram maiores quando determinados a partir da retroanálise de leituras efetuadas com o FWD, em relação à viga Benkelman. Em paralelo, foi verificada e quantificada a influência das condições de aderência entre as camadas e da correção, total ou parcial, das bacias deflectométricas, em função da temperatura, nos módulos de resiliência retroanalisados. Constatou-se que a atribuição de aderência total nas interfaces entre as camadas reduz consideravelmente os módulos de resiliência retroanalisados dos materiais granulares. Em relação à correção de temperatura, verificou-se adequada a determinação da rigidez dos materiais granulares e subleito mediante a realização da retroanálise sem nenhum ajuste nas bacias de campo. Tomando estes valores como base, julgou-se pertinente a repetição do procedimento iterativo, com ajuste das deflexões em função da temperatura nas leituras iniciais, determinando assim o novo módulo de resiliência do revestimento.

Orientador: Luís Eduardo Evangelista de Araujo / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-18T17:59:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carvalho_SilvaniaAlvesde_D.pdf: 4970692 bytes, checksum: f260af26ecacc7e92b1246968850ff9b (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Nesta tese apresentamos o estudo teórico de grades de difração induzidas em meios atômicos na condição de transparência induzida eletromagneticamente (EIT). As grades atômicas que serão descritas baseiam-se na não-linearidade Kerr gigante exibida pelos átomos sob EIT. No primeiro estudo realizado, a grade atômica é gerada a partir da modulação da não-linearidade Kerr através de uma onda estacionária. Neste estudo, aplicamos a teoria de ondas acopladas, desenvolvida originalmente para grades acústicas e holográficas, para a grade atômica de modo a obter uma expressão analítica para a eficiência de difração em primeira ordem. Altas eficiências de difração de um feixe de prova ressonante são previstas para incidência próxima ao ângulo de Bragg. Em um segundo estudo, descrevemos uma grade atômica do tipo ¿blazed¿ criada através da inserção de uma máscara de intensidade em um dos feixes responsáveis pela não-linearidade Kerr do meio. Eficiências de difração em primeira ordem para o feixe de prova próximas a 100% foram obtidas. Por último, discutimos uma grade de difração induzida na condição de coerência máxima entre os estados fundamentais de um átomo. Esta grade difrata não somente o feixe de prova incidente, mas também um segundo feixe gerado por mistura de quatro ondas. Apesar desta última grade apresentar eficiência de difração muito menor do que as duas grades anteriores, esta grade pode operar em vários comprimentos de onda diferentes, embora envolva sempre um feixe ressonante com alguma transição atômica. Além da contribuição teórica, trabalhos experimentais relacionados à área de aprisionamento e resfriamento de átomos foram realizados. Inicialmente, um experimento de espectrocopia de fotoassociação próximo ao limite de dissociação em uma amostra de 85Rb é apresentado. Em seguida, uma fonte de laser em 423 nm, formada por um laser de Ti-Sa com dobramento intracavidade através de um cristal LBO, que foi construída e estabilizada é descrita / Abstract: In this thesis we present a theoretical study on induced diffraction gratings in atomic media under electromagnetically induced transparency condition. The atomic gratings which will be described are based on the giant Kerr nonlinearity displayed by the atoms under EIT. In the first study, the atomic grating is generated from the modulation of the Kerr nonlinearity through a stationary wave. In this study, we apply coupled wave theory, originally developed for acoustic and holographic gratings, for an atomic grating in such a way that an analytical expression for the first order diffraction is obtained. High diffraction efficiencies of the resonant probe beam are predicted for incidence near Bragg angle. In a second study, we describe a blazed-type atomic grating created through the insertion of an intensity mask in one of the beam responsible for the Kerr nonlinearity of the medium. First order diffraction for the probe beam near 100% efficiency was observed. Finally, we discuss a diffraction grating induced under maximum coherence condition between the ground states of an atom. This grating diffracts not only the probe beam, but also a second beam generated by four wave mixing. Although this last grating shows a diffraction efficiency much smaller than the previous one, this grating can operate in several wavelengths, although involving a beam resonant with an atomic transition. Besides the theoretical contribution, experimental works related to the cooling and trapping of atoms were implemented. Initially, an experiment of photoassociation spectroscopy near the dissociation limit in a sample of cold rubidium atoms is presented. Following, a homebuilt laser source at 423 nm formed by a Ti-Sapphire laser with intracavity frequency doubling through a LBO crystal that was stabilized is described / Doutorado / Física Atômica e Molecular / Doutora em Ciências

No presente trabalho, desenvolve-se um programa computacional para análise de instabilidade de perfis de parede fina por meio do método dos elementos finitos (MEF), com discretização em elementos de casca. Para tal finalidade, utiliza-se uma formulação não-linear geométrica do MEF, com descrição lagrangeana total do equilíbrio, tendo posições nodais e vetores generalizados como variáveis fundamentais da formulação, possibilitando a adoção de lei constitutiva tridimensional completa. Dada a adoção de vetores generalizados ao invés de giros, surge o problema de não unicidade desses vetores nas regiões de encontro entre elementos não coplanares. Para contornar esse problema, desenvolvem-se algumas estratégias de acoplamento que são eficientes e que não comprometem o condicionamento do sistema resultante. Em seguida, introduz-se no programa uma estratégia, baseada na análise linear de instabilidade, que consiste na obtenção de autovalores e autovetores correspondendo, respectivamente, a cargas críticas e modos de instabilidade associados. É realizada uma extensão dessa estratégia para a incorporação da análise não-linear de instabilidade, possibilitando a determinação de pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio de um ponto da estrutura. Desenvolve-se, também, uma interface gráfica para o programa, para a qual se implementam algoritmos para geração de malha de elementos finitos triangulares e quadrilaterais e se possibilita a aplicação de condições de contorno de forma simples. Por fim, apresentam-se exemplos para validar o código computacional desenvolvido e para explorar as potencialidades do mesmo. A partir desses exemplos, conclui-se que a estratégia proposta e a ferramenta computacional desenvolvida funcionam adequadamente, oferecendo como principal vantagem respostas em geral livres de travamento volumétrico quando comparadas aos resultados provenientes da formulação convencional do MEF, encontrados na literatura. / In the present work, a computational program is developed to perform instability analysis in thin-walled profiles employing the finite element method (FEM), using shell elements. For this purpose, a non-linear geometric formulation of FEM is adopted, with Total Lagrangean description of the equilibrium, having nodal positions and unconstrained vectors as fundamental variables of the formulation, instead of displacements and rotations, making possible the adoption of complete three-dimensional constitutive law. Given the adoption of generalized vectors instead of rotations, the problem arises of the vectors\' non-uniqueness in the regions of connection between non-coplanar shell elements. To overcome this problem, some coupling strategies are developed that are efficient and do not result in ill conditioning of the resulting system of equilibrium equations. Then, a strategy based on buckling analysis is considered in the program, which consists of obtaining eigenvalues and eigenvectors related, respectively, to critical loads and instability modes. An extension of this strategy is developed to consider the nonlinear analysis of instability, making possible to determine critical points along the equilibrium path of a point in the structure. A graphical interface is also developed for the program, for which algorithms are implemented for triangular and quadrilateral finite elements mesh generations and easy boundary conditions assignments. Finally, some examples are presented to validate the developments and to explore the potentialities of the computational tool obtained in the work. From the results, it is possible to conclude that the program works properly, offering as main advantage volumetric responses, in general, free of locking when compared to results using the conventional FEM formulation, as found in the literature.

Neste trabalho estudam-se diversos aspectos conceituais relativos à modelagem mecânico-matemática para a descrição do comportamento estrutural não-linear geométrico. Apresenta-se, inicialmente, a aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais na caracterização do equilíbrio na posição deslocada. Em seguida, a partir do emprego do Método dos Elementos Finitos, analisam-se as formas discretizadas Lagrangiana e Euleriana da expressão do equilíbrio, que resultam em função da descrição adotada para o movimento. A questão da estabilidade estrutural é tratada, abordando-se os conceitos de ponto limite e de bifurcação. Estudam-se, finalmente, os procedimentos incrementais, em combinação com o Método de Newton, para a solução do sistema não-linear de equações e para a caracterização de pontos singulares de equilíbrio. Exemplos consistindo na análise do comportamento de estruturas reticulares compõem as aplicações numéricas. / In this work, several conceptual aspects related to the mechanic-mathematical modeling for description of the geometrical nonlinear stuctural behavior are studied. First of all the Principle of Virtual Work is presented in order to characterize the equilibrium in the displaced position. Then, from the use of finite element method one analyses the Lagrangian and Eulerian forms which result from the adopted description of the motion. Stability of the structural response is treated by discussing the concepts of limit and bifurcation points. Finally, the incremental procedures in combination with the Newton schemes for solution of nonlinear equations and characterization of the singular points of equilibrium are studied. The numerical applications are related to the analysis of simple linear structures.