Die Verbundkonstruktion aus Bodenmaterial und Geogitter bietet vielfältige Möglichkeiten zur kosteneffizienten Realisierung komplexer geotechnischer Bauvorhaben. Die wirkenden Effekte innerhalb des Verzahnungsbereiches von Geogitter und Bodenkörnern, die maßgeblich zur Stabilisierung des Verbundsystems beitragen, sind jedoch bislang nur unzureichend beschrieben bzw. nachgewiesen. Die Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Simulation, insbesondere hinsichtlich diskontinuumsmechanischer Verfahren, eröffnen innovative Möglichkeiten zur Analyse der Wirkungsmechanismen auf mikromechanischer Ebene. Die vorliegende Forschungsarbeit befasst sich daher mit der Entwicklung und Validierung numerischer Modelle in PFC3D, basierend auf den Randbedingungen und Ergebnissen von systematisch durchgeführten Laborversuchen, zur Reproduktion des natürlichen Interaktionsverhaltens innerhalb eines Geogitter-Boden Verbundsystems. Ein spezieller Fokus richtet sich auf die Modellierung granularer Böden unter Berücksichtigung der wesentlichen kornspezifischen Merkmale, insbesondere der Kornform. Die modelltechnische Beschreibung von Bodenkörnern erfolgt unter Anwendung der sog. Clump-Logik und basiert hauptsächlich auf den Ergebnissen einer fotooptischen Messmethode. Ein neu entwickeltes Verfahren zur Generierung von Kornzusammensetzungen mit spezifischer Lagerungsdichte wird vorgestellt. Die Kalibrierung eines einheitlichen mikromechanischen Parametersatzes zur Reproduktion des bodenmechanischen Verhaltens erfolgt anhand der Simulation von fünf standardisierten Prüfverfahren. Die charakteristische Struktur eines ausgewählten Geogitters wird modelltechnisch implementiert sowie das Verhalten unter Zug- und Torsionsbeanspruchung reproduziert. Der Nachweis eines realistischen Interaktionsverhaltens umfasst die Kalibrierung der Kontaktparameter zwischen den modellierten Verbundkomponenten anhand der Simulation von Herausziehversuchen. Die labor- und modelltechnische Entwicklung spezieller Interaktionsversuche ermöglicht es, präzise Aussagen zum Verbundverhalten unter verschiedenen Belastungssituationen zu treffen. Die wesentlichen Wirkungsmechanismen und Effekte werden unter Berücksichtigung von signifikanten Kennwerten quantifiziert, um zum einen die Effizienz dieser speziellen polymeren Baustoffe zu analysieren und zum anderen eine Grundlage zur Beurteilung und Bemessung von geogitterbewehrten Konstruktionen anhand von allgemeingültigen Systemparametern zu schaffen.

Um das Verständnis für physikalische und biologische Dynamiken zu verbessern, werden oft stellvertretend mathematische Modelle entwickelt, implementiert,validiert und analysiert. Die Entscheidung für oder gegen einen bestimmten Modelltyp, zum Beispiel ob die Auflösung in Raum und Zeit diskret oder kontinuierlich definiert ist, kann erheblichen Einfluss auf die Ergebnisse haben. Insbesondere bei der Untersuchung und Simulation der Dynamiken von biologischen Zellen, die häufig auch als biologische Flüssigkeiten (Biofluids) bezeichnet und in der Literatur oft mit physikalischen Flüssigkeiten verglichen werden, ist die Wahl des geeigneten Modelltyps nicht immer trivial. In diesem Zusammenhang stellt die vorliegende Arbeit drei verschiedene Szenarien vor. Unter Zuhilfenahme von unterschiedlichen mathematischen Modellen werden diese Szenarien dann untersucht. Dabei wird deutlich, dass trotz des ähnlichen Kontextes von physikalischen und biologischen Dynamiken je Szenario unterschiedliche Modelltypen besser geeignet sind und mitunter verschiedene Aussagen liefern. Daher muss für jedes dieser Szenarien die Entscheidung, welches Modell genommen wird und ob dieses in Raum und Zeit diskret oder kontinuierlich ist, neu evaluiert werden. Das erste Szenario befasst sich mit einer rein physikalischen Dynamik und beschreibt das Aufsteigen einer runden Flüssigkeitsblase innerhalb einer anderen Flüssigkeit. In diesem Zusammenhang wird auch häufig von zwei Phasen gesprochen. Dieser Fall dient auch als numerischer Benchmark-Test zur Bewertung der Genauigkeit von Zwei-Phasen-Modellen. Innerhalb dieses Kontextes werden oft Modelle verwendet, die kontinuierlich in Bezug auf Ort und Zeit sind. In der vorliegenden Arbeit wird stellvertretend das Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Modell verwendet. Vor allem wird ein neuer einfacher Diskretisierungsansatz für dieses Modell vorgestellt. Unter Verwendung eines Standard-Benchmark-Tests wird gezeigt, dass die Genauigkeit vergleichbar zu bisherigen Methoden ist. Das zweite Szenario fokussiert sich auf eine biologische Dynamik und beschreibt das Wachstum eines Tumorsphäroiden und sein Verhalten bei der Behandlung mit Radiostrahlung. Tumorsphäroide sind spezielle 3D in-vitro Experimente, welche eine Ansammlung von mehreren tausend Zellen umfassen und Tumormikroumgebung und Mikrometastasen nachempfinden. Durch ihre 3D Struktur zeigen sie Stoffwechselgradienten von Sauerstoff, Nährstoffen und Abfallprodukten. Die Modellierung solcher Sphäroide wird häufig mit zell- oder agentenbasierten Modellen beschrieben, die in Bezug auf Ort und Zeit meist diskret sind und das Zellverhalten regelbasiert beschreiben. In dieser Arbeit wird hierfür stellvertretend ein zellulärer Automat verwendet. Dieser dient später als Vergleichsmodell zu dem neu entwickelten und hier vorgestellten Ansatz: dem 1D Radial Shell Modell, welches im Ort diskret und in der Zeit kontinuierlich ist. Dieses ermöglicht weitere Erkenntnisse und Vorhersagen zum Wachstum der Sphäroide, insbesondere für die Dynamik bei kleinem Sphäroidvolumen. Im dritten Szenario wird ein Grenzfall zwischen den physikalischen und biologischen Flüssigkeiten beschrieben: Die Entmischungsdynamik von biologischen Zellen, welche oft in der Literatur mit der Entmischung von zwei physikalischen Flüssigkeiten, wie Wasser und Öl, verglichen wird. Daher werden die beiden zuvor vorgestellten Modelle, das kontinuierliche Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Modell und der diskrete zelluläre Automat, für diesen Sachverhalt simuliert und analysiert. Zudem werden beide Modelle miteinander und jeweils mit biologischen Experimenten verglichen, wobei aufgrund ihrer unterschiedlichen zeitlichen und räumlichen Auflösung verschiedene Vor- und Nachteile identifizierbar sind. Am Ende zeigt sich entgegen bisherigen Versuchen in der Literatur, dass die Anpassung der Modelle an die Experimentaldaten nicht ausschließlich durch das Skalierungsverhalten machbar ist, da die Zeitskalen in den Experimenten häufig zu kurz sind. Daher sollten zusätzliche Metriken, wie zum Beispiel der durchschnittliche Clusterdurchmesser oder die Verteilung der Clustergrößen, beachtet werden. / Enhancing the understanding of physical and biological dynamics is crucial, which is why assisting mathematical models are often developed, implemented, validated, and analyzed. The decision for or against a particular model type, for example, whether the resolution in space and time is defined discretely or continuously, can considerably influence the results. Especially when investigating and simulating the dynamics of biological cells, also referred to as biological fluids and in the literature often compared to physical fluids, choosing the appropriate model type is not trivial in every case. This work presents three scenarios, which are further examined with the help of various mathematical models. Despite the similar context, dynamics of physical and biological fluids, some model types are more suited and deliver different results for each scenario. Therefore, the decision should be made new, depending on the scenarios, which model type is optimal, discrete, or continuous in space and time. The first scenario describes pure physical dynamics by the rise of a round fluid bubble within another fluid, which is often referred to as two phases. This setup also serves as a numerical benchmark test to evaluate the accuracy of physical two-phase-models. Within this context, the models used are often continuous regarding space and time. In this work, the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-model is chosen as a representative example. In particular, a new discretization approach for the model is introduced and evaluated by the previous benchmark test, which showcases that the new, more straightforward discretization approach leads to comparably precise results. The second scenario focuses on biological dynamics and describes the untreated growth of a tumor spheroid and further its behavior when exposed to \acl{rt}. These tumor spheroids are, in particular, 3D-assays of in-vitro experiments, which are 3D avascular aggregates of several thousand tumor cells mimicking tumor microareas or micrometastases. Due to their 3D structure, spheroids exhibit metabolic gradients of oxygen, nutrients, and waste products. These are usually simulated with cell or agent-based models, which are discrete in terms of space and time and describe the cell behavior in a rule-based manner. In this work, a cellular automaton is used as a representative. Later, this model will serve as a comparison for the new innovative approach presented here: the 1D Radial Shell model, which is space-discrete and time-continuous. This model allows further insights and predictions, for example, regarding the behavior of spheroids at small volumes, justifying the use of multiple model types. The third scenario can be seen as the in-between of physical and biological fluid dynamics: The segregation of biological cells of two distinct types, which is in the literature often referred to as similar or equal to that of two physical fluids, like oil and water. Therefore, this process is simulated and analyzed with the previously introduced continuous Cahn-Hilliard-Navier-Stokes and the discrete cellular automaton models. Thereby, both models are compared with each other and also individually with biological experiments. The comparison enables the identification of various advantages and disadvantages due to their different temporal and spatial resolution. In the end, it becomes clear that adapting the models to the experimental data is only partially feasible through the scaling behavior, as the time scale in the experiments is often too short, which stands in contrast to the current standard in the literature. Therefore, we emphasize that additional metrics should be considered, such as the average cluster diameter or cluster size distribution.

It is well-known that the solution of a so-called singularly perturbed differential equation exhibits layers. These are small regions in the domain where the solution changes drastically. These layers deteriorate the convergence of standard numerical algorithms, such as the finite element method on a uniform mesh. In the past many approaches were developed to overcome this difficulty. In this context it was very helpful to understand the structure of the solution - especially to know where the layers can occur. Therefore, we have a lot of analysis in the literature concerning the properties of solutions of such problems. Nevertheless, this field is far from being understood conclusively. More recently, there is an increasing interest in the numerics of optimal control problems subject to a singularly perturbed convection-diffusion equation and box constraints for the control. However, it is not much known about the solutions of such optimal control problems. The proposed solution methods are based on the experience one has from scalar singularly perturbed differential equations, but so far, the analysis presented does not use the structure of the solution and in fact, the provided bounds are rather meaningless for solutions which exhibit boundary layers, since these bounds scale like epsilon^(-1.5) as epsilon converges to 0. In this thesis we strive to prove bounds for the solution and its derivatives of the optimal control problem. These bounds show that there is an additional layer that is weaker than the layers one expects knowing the results for scalar differential equation problems, but that weak layer deteriorates the convergence of the proposed methods. In Chapter 1 and 2 we discuss the optimal control problem for the one-dimensional case. We consider the case without control constraints and the case with control constraints separately. For the case without control constraints we develop a method to prove bounds for arbitrary derivatives of the solution, given the data is smooth enough. For the latter case we prove bounds for the derivatives up to the second order. Subsequently, we discuss several discretization methods. In this context we use special Shishkin meshes. These meshes are piecewise equidistant, but have a very fine subdivision in the region of the layers. Additionally, we consider different ways of discretizing the control constraints. The first one enforces the compliance of the constraints everywhere and the other one enforces it only in the mesh nodes. For each proposed algorithm we prove convergence estimates that are independent of the parameter epsilon. Hence, they are meaningful even for small values of epsilon. As a next step we turn to the two-dimensional case. To be able to adapt the proofs of Chapter 2 to this case we require bounds for the solution of the scalar differential equation problem for a right hand side f only in W^(1,infty). Although, a lot of results for this problem can be found in the literature but we can not apply any of them, because they require a smooth right hand side f in C^(2,alpha) for some alpha in (0,1). Therefore, we dedicate Chapter 3 to the analysis of the scalar differential equations problem only using a right hand side f that is not very smooth. In Chapter 4 we strive to prove bounds for the solution of the optimal control problem in the two dimensional case. The analysis for this problem is not complete. Especially, the characteristic layers induce subproblems that are not understood completely. Hence, we can not prove sharp bounds for all terms in the solution decomposition we construct. Nevertheless, we propose a solution method. Numerical results indicate an epsilon-independent convergence for the considered examples - although we are not able to prove this.

Diese Arbeit befasst sich mit der theoretischen Beschreibung nichtlinearer optischer Phänomene in Hinblick auf das (numerische) unstetige Galerkin-Zeitraumverfahren. Insbesondere werden zwei Materialmodelle behandelt: das hydrodynamische Modell für Metalle und das Modell für Raman-aktive Materialien. Im ersten Teil der Arbeit wird das hydordynamische Modell für Metalle unter Verwendung eines störungstheoretischen Ansatzes behandelt. Insbesondere wird dieser Ansatz genutzt, um die nichtlinearen optischen Effekte, Erzeugung zweiter Harmonischer und Summenfrequenzerzeugung, mit Hilfe des unstetigen Galerkin-Verfahrens zu studieren. In diesem Zusammenhang wird demonstriert, wie das optische Signal zweiter Ordnung von Nanoantennen optimiert werden kann. Hierzu wird ein hier erarbeitetes Schema für die Abstimmung des eingestrahten Lichtes angewandt. Zudem führt eine intelligente Wahl des Antennendesigns zu einem optimierten Signal. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird das Modell für Raman-aktive Dielektrika behandelt. Genauer wird die nichtlineare Antwort dritter Ordnung für stimulierte Raman-Streuung hergeleitet. Diese wird dazu genutzt, um ein System aus Hilfsdifferentialgleichungen für das unstetige Galerkin-Verfahren zu konstruieren. Die Ergebnisse des erweiterten numerischen Verfahrens werden im Anschluss gezeigt und diskutiert. / This thesis is concerned with the theoretical description of nonlinear optical phenomena with regards to the (numerical) discontinuous Galerkin time-domain (DGTD) method. It deals with two different material models: the hydrodynamic model for metals and the model for Raman-active dielectrics. In the first part, we review the hydrodynamic model for metals, where we apply a perturbative approach to the model. We use this approach to calculate the second-order nonlinear optical effects of second-harmonic generation and sum-frequency generation using the DGTD method. In this context, we will see how to optimize the second-order response of plasmonic nanoantennas by applying a deliberate tuning scheme for the optical excitations as well as by choosing an intelligent nanoantenna design. In the second part, we examine the material model for Raman-active dielectrics. In particular, we see how to derive the third-order nonlinear response by which one can describe the process of stimulated Raman scattering. We show how to incorporate this third-order response into the DGTD scheme yielding a novel set of auxiliary differential equations. Finally, we demonstrate the workings of the modified numerical scheme.