Cette thèse est consacrée à l'étude de la<br />stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution<br />non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :<br />l'équation de Dirac non linéaire.<br /><br />Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues<br />comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.<br />Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes<br />linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas<br />de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le<br />propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.<br />Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de<br />Kato et des estimations de Strichartz.<br /><br />En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un<br />opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées<br />d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous<br />faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité<br />orbitale pour certains de ces états.

Cette thèse présente une contribution aux développements de méthodes numériques pour la simulation d'écoulements en milieu poreux, en particulier par des méthodes de décomposition de domaine espace--temps qui permettent l'utilisation de pas de temps différents dans les différents sous--domaines. Nous étudions deux types de méthodes: la première est basée sur une généralisation de l'opérateur de Steklov-Poincaré au cas de problèmes dépendants du temps, et la seconde est basée sur la méthode de Relaxation d'Onde Optimisée de Schwarz (OSWR) dans laquelle des conditions de transmission plus générales (Robin ou Ventcell) sont utilisées pour accélérer la convergence de l'algorithme. Ces deux méthodes sont étudiées sur une formulation mixte qui est bien adaptée à la modélisation de l'écoulement et du transport en milieu poreux. Nous considérons tout d'abord un problème de diffusion et formulons, pour chaque méthode, un problème sur l'interface espace -temps entre les sous-domaines. Le caractère bien posé de ces problèmes, avec des conditions aux limites de Dirichlet ou de Robin, est démontré. Les preuves de convergence de l'algorithme OSWR et de sa version semi-discrète sous forme mixte sont également données. Des expériences numériques sont menées en 2D pour comparer les performances des deux méthodes sur des problèmes fortement hétérogènes, et un préconditionneur de Neumann--Neumann dépendant du temps permet d'accélérer la première méthode. Les deux méthodes sont ensuite étendues au cas d'une équation d'advection-diffusion, l'advection et la diffusion étant traitées séparément grâce une technique de séparation d'opérateurs, ce qui permet d'utiliser des pas de temps différents pour les deux phénomènes dans chaque sous-domaine. Des conditions de transmission sont proposées séparément pour l'advection et pour la diffusion. La convergence des méthodes est étudiée sur des exemples numériques, pour des problèmes en régime d'advection dominante ou de diffusion dominante, et leur précision en temps est étudiée dans le cas de grilles non-conformes en temps. Deux exemples inspirés de la simulation du stockage de déchets nucléaires sont étudiés, et la simulation sur des temps longs est réalisée par l'intermédiaire de fenêtres en temps. Nous considérons également la méthode OSWR avec des conditions de transmission de Ventcell, étendues à la formulation mixte. Nous démontrons que les problèmes de sous--domaine avec des conditions aux limites de Ventcell sont bien posés. Nous comparons les performances des paramètres optimisés pour Ventcell et Robin dans le cas de problèmes hétérogènes pour une décomposition en deux sous-domaines. Enfin, nous étudions l'extension des deux méthodes au cas où l'interface représente une fracture pour un modèle réduit d'écoulement dans un milieu poreux fracturé.

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$. / Gowers in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant $c > 0$ such that every finite group $G$ has a product-free subset of size at least $c|G|$. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime $p$, the group $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ has no product-free subset of size $\geq cn^{8/9}$, where $n$ is the order of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$. We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups $\SL_k(\mathh{Z}_p)$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups $\SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz, where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial $f$ is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime $q$, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes $p$, such that $t^q-p$ is monogenic, is greater than or equal to $(q-1)/q$. We will also prove that, when $q=3$, the density of primes $p$, which $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ is non-monogenic, is at least $1/9$.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles non linéaires issus de la mécanique quantique relativiste.Dans la première partie, nous démontrons à l'aide d'une méthode de tir l'existence d'une infinité de solutions d'équations de Dirac non linéaires provenant d'un modèle de hadrons et d'un modèle de la physique des noyaux.Dans la seconde partie, nous prouvons par des méthodes variationnelles l'existence d'un état fondamental et d'états excités pour deux modèles de la physique des hadrons. Par la suite, nous étudions la transition de phase reliant les deux modèles grâce à la Gamma-convergence.La dernière partie est consacrée à l'étude d'un autre modèle de hadrons dans lequel les fonctions d'onde des quarks sont parfaitement localisées. Nous énonçons quelques résultats préliminaires que nous avons obtenus.

Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles

Cette thèse porte sur la mise en œuvre des architectures reconfigurables pour répondre aux besoins des systèmes de communication : des débits élevés et une grande flexibilité supportant les évolutivités des futurs systèmes. Nous nous intéressons particulièrement aux systèmes MIMO. Les architectures proposées utilisent l'opérateur CORDIC (COordinate Rotation DIgital Computing) comme opérateur commun, ainsi que les techniques de reconfiguration statique et partielle de FPGA en vue d'une optimisation et d'une adaptation dynamique des ressources matérielles aux caractéristiques de la communication. Le nombre d'opérateurs CORDIC peut donc être modifié par la reconfiguration statique pour s'adapter aux différents récepteurs MIMO et aux différents débits demandés. Les interconnexions entre les opérateurs CORDIC peuvent être modifiées par la reconfiguration partielle et dynamique de FPGA afin d'optimiser les ressources matérielles. L'impact du nombre d'étage de l'opérateur CORDIC sur le TEB et EQM du décodeur a été étudié. Trois exemples de récepteurs MIMO ont été réalisés à l'aide cette architecture reconfigurable: V-BLAST Square Root, MMSE et CMA. L'utilisation de cette architecture permet de diminuer les ressources matérielles sans dégrader les performances du décodeur MIMO en terme de TEB et EQM.

L'aspect de la radio logicielle et plus précisément celui de la paramétrisation sous l'approche opérateur commun est traité dans cette thèse. Dans ce contexte, l'étude des codes cycliques en particulier les codes de Reed-Solomon (RS) est considérée. Dans l'optique d'impliquer l'opérateur FFT, utilisé dans différentes fonctions comme la fonction de filtrage, la (dé)modulation OFDM dans le codage et décodage RS, nous avons ressorti une classe spécifique des codes RS définie dans le corps de Galois CG(Ft). Nous avons ensuite proposé un opérateur FFT reconfigurable (DMFFT) capable de réaliser deux fonctionnalités : FNT pour le décodage RS et la FFT classique. L'opérateur DMFFT est implémenté sur des composants FPGA et comparé à l'approche Velcro qui consiste à implémenter séparément les deux opérateurs FFT et FNT. Cette implémentation a montré que l'approche reconfigurable permet d'obtenir une économie en mémoire environ 25 % et une réduction de complexité environ 18 %. Dans le but de traiter les codes RS classiques utilisés dans les standards actuels, nous avons proposé deux scénari permettant de réaliser d'une façon optimale un opérateur tri mode (TMFFT) qui est capable de réaliser, en plus de deux fonctionnalités de l'opérateur DMFFT, la transformée de Fourier dans les corps finis CG(2m).

Ce travail présente quelques contributions en arithmétique des ordinateurs pour le matériel et le logiciel. L'arithmétique des ordinateurs est la branche de l'informatique qui traite des représentations des nombres, des algorithmes pour effectuer les calculs de base en machine, la validation de la qualité des calculs, l'analyse de l'efficacité des calculs et des outils d'aide à la conception de systèmes de calcul arithmétique. Nos travaux comportent des liens avec les domaines de la conception de circuits intégrés numériques, de l'architecture des machines et du développement logiciel de bibliothèques de calcul. Les principaux domaines d'application de nos travaux sont: le calcul numérique dans les systèmes embarqués, la cryptographie et la sécurité numérique, le traitement numérique du signal et des images et de façon plus limitée les dispositifs numériques de contrôle-commande en automatique. Le mémoire résume les travaux de recherche effectués, seul et en collaboration, depuis octobre 1997. Ces travaux portent sur: l'arithmétique en ligne, des architectures reconfigurables, des méthodes d'évaluation de fonctions à base de tables, la division pour circuits asynchrones, des opérateurs arithmétiques spécifiques pour FPGA, des variantes de la multiplication comme la multiplication par des constantes ou tronquée, des bibliothèques flottantes pour processeurs entiers, la division par des constantes, l'évaluation de fonctions par approximation polynomiale, des opérateurs arithmétiques pour la basse consommation d'énergie, la modélisation et l'évaluation de la consommation d'opérateurs arithmétiques, des opérateurs arithmétiques pour la cryptographie (corps finis et sécurisation contre des attaques physiques), la génération de diviseurs matériels, la bibliothèque logicielle PACE pour la cryptographie, la consommation d'énergie dans les processeurs graphiques, la maîtrise des erreurs d'arrondi dans les outils de CAO, la génération de nombres vraiment aléatoires et l'arithmétique par estimation.

L'animation de personnages virtuels guidée par des données fait l'objet de nombreuses études dans le domaine de l'informatique graphique. Dans ce contexte, le mouvement est classiquement défini par une suite de squelettes au cours du temps, chacun étant décrit par un vecteur de positions et de rotations. Le maillage 3D est ensuite guidé par les squelettes au moyen d'un couplage défini explicitement. L'enchaînement des différentes étapes de ce processus est difficile à mettre en oeuvre, et conduit à des approximations et des erreurs de modélisation, à la fois au niveau de l'animation du squelette et de la déformation du maillage. Dans ce manuscrit nous proposons d'étudier d'autres représentations du mouvement par le biais d'un ensemble de relations spatiales. Cette approche nous permet de tenir compte implicitement de contraintes de distance entre les points de la structure articulée, du maillage et de l'environnement, et d'exprimer en particulier la notion de contact. Deux axes d'étude sont principalement abordés~: le premier considère le mouvement dans l'espace métrique, et le second caractérise chaque posture par son information différentielle dans l'espace Laplacien. Dans un premier temps, nous proposons de représenter les squelettes associés aux postures du mouvement par un ensemble de distances. Caractériser une telle structure dans l'espace métrique se ramène à un formalisme mathématique connu sous le nom de problème de la géométrie des distances. Ainsi, nous nous inspirons des différentes techniques existantes et les appliquons au contrôle du mouvement. L'objectif est de produire de nouveaux mouvements à partir de processus d'édition ou d'inversion cinématique. Nous montrons que cette représentation permet un contrôle simple et intuitif de l'animation d'un personnage. Elle possède également plusieurs propriétés exploitables dans le cadre de l'analyse du mouvement. Ce dernier point est illustré par une application originale de recherche de mouvements dans des grandes bases de données. Dans un second temps, nous définissons le mouvement par un ensemble de graphes dont les sommets sont caractérisés par une information différentielle. A travers cette représentation, nous proposons une nouvelle méthode d'édition du mouvement couplant des contraintes de distance avec l'opérateur Laplacien discret. Cet opérateur permet de préserver les relations spatiales lors de l'édition du mouvement alors que les contraintes de distance préservent certaines propriétés inhérentes au squelette. Ce concept donne lieu à plusieurs applications dédiées à la reconstruction et l'édition de mouvement : (i) l'édition interactive d'animation de squelette, où nous proposons d'éditer tout type de mouvement avec de fortes déformations tout en préservant l'information spatio-temporelle ; (ii) la reconstruction de trajectoires de marqueurs~: en faisant l'hypothèse qu'il existe un lien entre la trajectoire d'un marqueur et celles de ses voisins, nous proposons de reconstruire les trajectoires incomplètes ; (iii) l'animation de maillage où nous proposons un nouveau processus d'animation directement guidé par les trajectoires des marqueurs.

Cette recherche s'inscrit dans le cadre général du contrôle de qualité des processus utilisés en production minière, tels que le tir à l'explosif, le broyage et le concassage. Elle s'intéresse plus particulièrement à la quantification par traitement d'images de la granulométrie des roches fragmentées. Globalement, les développements menés portent sur l'amélioration des deux étapes les plus déterminantes de la mesure : l'extraction des contours des fragments de roches dans l'image (2D) et la reconstruction de la courbe granulométrique en volume (étape de stéréologie, 3D). Actuellement, le tamisage (ou plus généralement le criblage) est le moyen le plus utilisé pour la mesure de la granulométrie des roches fragmentées. Il constitue la référence actuelle de la mesure. En conséquence, toute mesure établie par traitement d'images sera validée sur la base des résultats du tamisage. En ce qui concerne l'étape d'extraction des contours des fragments, le problème majeur qui se pose est celui du filtrage correct du bruit présent dans l'image. Dans un premier temps, de nouveaux outils de filtrage, basés sur les transformations morphologiques résiduelles, assez puissants et adaptés au cas des images de fragments de roches sont introduits et évalués. Dans un second temps, les surfaces des fragments sont extraites grâce une segmentation de l'image, basée sur une ligne de partage des eaux contrôlée par les marqueurs extraits des filtrages. La robustesse et l'automatisation de la démarche sont validées sur plusieurs cas d'images de fragments de roches. Le second problème abordé dans cette recherche est celui de la reconstruction de la courbe granulométrique en volume à partir des surfaces extraites par traitement d'images. Afin d'éviter l'occurrence de nombreux biais liés à cette étape, nous proposons un découpage en deux sous-problèmes, et ce, en fonction de la disposition des matériaux analysés (tas abattu, camion, convoyeur à bande) : - dans le cas de faible recouvrement et chevauchement : un modèle expérimental de reconstruction volumique mettant en jeu les données des refus matériels (surface et volumes), et basé d'emblée sur les résultats de référence est développé. Les deux lois des tailles et des épaisseurs (lois de reconstruction) permettant d'attribuer une taille et un volume aux surfaces sont validées expérimentalement. - dans le cas complexe de présence de masquage entre fragments : nous commençons par émettre des hypothèses essentielles à l'adaptation de la théorie des modèles de structures aléatoires à notre cas de fragments de roches. L'analyse des limites d'une application directe du modèle aléatoire de feuilles mortes (hypothèse du schéma booléen) nous a amené à élaborer une nouvelle méthode d'acquisition basée sur une incidence à éclairement variable. S'inspirant de la technique du «shape-from-shading», elle permet d'obtenir une information supplémentaire sur le recouvrement (ombre portée entre fragments) pour l'application de la statistique des grains intacts. Enfin, les résultats obtenus dans cette recherche pour les fragments en vrac mais aussi pour d'autres types d'images d'éléments granulaires, nous ont permis d'envisager d'ores et déjà une valorisation aussi bien auprès de l'industrie minérale et aussi dans d'autres domaines tels que l'agroalimentaire, pharmaceutique, cimenteries,...