Le but de cette thèse est d’étudier l’analyse sur les espaces hpc(Rd,M), la version locale des espaces de Hardy à valeurs opératorielles construits par Tao Mei. Les espaces de Hardy locaux à valeurs opératorielles sont définis par les g-fonctions de Littlewood-Paley tronquées et les fonctions intégrables de Lusin tronquées associées au noyau de Poisson. Nous développons la théorie de Calderón-Zygmund sur hpc(Rd,M); nous étudions la dualité hpcbmocq et l’interpolation. D’après ces résultats, nous obtenons la caractérisation générale de hpc(Rd,M) en remplaçant le noyau de Poisson par des fonctions tests raisonnables. Ceci joue un rôle important dans la décomposition atomique lisse de h1c(Rd,M). En même temps, nous étudions aussi les espaces de Triebel-Lizorkin inhomogènes à valeurs opératorielles Fpα,c(Rd,M). Comme dans le cas classique, ces espaces sont connectés avec des espaces de Hardy locaux à valeurs opératorielles par les potentiels de Bessel. Grâce à l’aide de la théorie de Calderón-Zygmund, nous obtenons les caractérisations de type LittlewoodPaley et de type Lusin par des noyaux plus généraux. Ces caractérisations nous permettent d’étudier différentes propriétés de Fpα,c(Rd,M), en particulier, la décomposition atomique lisse. Ceci est une extension et une amélioration de la décomposition atomique précédente de h1c(Rd,M). Comme une application importante de cette décomposition atomique lisse, nous montrons la bornitude d’opérateurs pseudo-différentiels avec les symboles réguliers à valeurs opératorielles sur des espaces de Triebel-Lizorkin Fpα,c(Rd,M), pour α ∈ R et 1 ≤ p ≤ ∞. Finalement, grâce à la transférence, nous obtenons aussi la Fpα,c-bornitude d’opérateurs pseudo-différentiels sur les tores quantiques / This thesis is devoted to the study of the analysis on the spaces hpc(Rd,M), the local version of operator-valued Hardy spaces studied by Tao Mei. The operator-valued local Hardy spaces are defined by the truncated Littlewood-Paley g-functions and the truncated Lusin square functions associated to the Poisson kernel. We develop the Calderón-Zygmund theory on hpc(Rd,M), and study the hpc-bmocq duality and the interpolation. Based on these results, we obtain general characterization of hpc(Rd,M) which states that the Poisson kernel can be replaced by any reasonable test function. This characterization plays an important role in the smooth atomic decomposition of h1c(Rd,M). We also investigate the operator-valued inhomogeneous Triebel-Lizorkin spaces Fpα,c(Rd,M). Like in the classical case, these spaces are connected with the operator-valued local Hardy spaces via Bessel potentials. Then by the aid of the Calderón-Zygmund theory, we obtain the Littlewood-Paley type and the Lusin type characterizations of Fpα,c(Rd,M) by more general kernels. These characterizations allow us to study various properties of Fpα,c(Rd,M), in particular, the smooth atomic decomposition. This is an extension and an improvement of the previous atomic decomposition of h1c(Rd,M). As an important application of this smooth atomic decomposition, we show the boundedness of pseudo-differential operators with regular operator-valued symbols on Triebel-Lizorkin spaces Fpα,c(Rd,M), for α ∈ R and 1 ≤ p ≤ ∞. Finally, by virtue of transference, we obtain the Fpα,c-boundedness of pseudo-differential operators on quantum tori

Les applications multimédia se composent généralement de blocs numériques exhibant des schémas de calcul flottant réguliers. Sur les processeurs sans support architectural pour l'arithmétique flottante, ils peuvent être profitablement transformés en opérateurs dédiés, s'ajoutant aux 5 opérateurs élémentaires (+, -, X, / et √) : en traitant plus d'opérations simultanément, ils permettent d'obtenir de meilleures performances. Cette thèse porte sur la conception de tels opérateurs, et les techniques de compilation mises en œuvre pour les sélectionner. Nous avons réalisé des implémentations optimisées pour un ensemble d'opérateurs dédiés : élévation au carré, mise à l'échelle, fused multiply-add, produit scalaire en dimension deux (DP2), addition/soustraction simultané et sinus/cosinus simultanés. En proposant de nouveaux algorithmes cherchant à maximiser le parallélisme d'instructions et détaillés ici, nous obtenons des accélérations d'un facteur allant jusqu'à 4.2 par appel. Nous détaillons également les changements apportés dans le compilateur pour effectuer la sélection. La plupart des opérateurs sont sélectionnés au niveau syntaxique. Cependant, pour certains opérateurs, nous avons dû améliorer l'analyse d'intervalles entiers pour prendre en compte les variables de type flottant, afin de prouver certaines conditions de positivité requises à leur sélection. Enfin, nous apportons la preuve en pratique de la pertinence de cette approche : sur des noyaux typiques du traitement du signal et sur certaines applications, nous mesurons une amélioration de performance allant jusqu'à 1.59x en comparaison avec la performance obtenue avec les seuls opérateurs élémentaires. / Media processing applications typically involve numerical blocks that exhibit regular floating-point computation patterns. For processors whose architecture supports only integer arithmetic, these patterns can be profitably turned into custom operators, coming in addition to the five basic ones (+, -, X, / and √), but achieving better performance by treating more operations. This thesis addresses the design of such custom operators as well as the techniques developed in the compiler to select them in application codes. We have designed optimized implementations for a set of custom operators which includes squaring, scaling, adding two nonnegative terms, fused multiply-add, fused square-add (x*x+z, with z>=0), two-dimensional dot products (DP2), sums of two squares, as well as simultaneous addition/subtraction and sine/cosine. With novel algorithms targeting high instruction-level parallelism and detailed here for squaring, scaling, DP2, and sin/cos, we achieve speedups of up to 4.2x for individual custom operators even when subnormal numbers are fully supported. Furthermore, we introduce the optimizations developed in the ST231 C/C++ compiler for selecting such operators. Most of the selections are achieved at high level, using syntactic criteria. However, for fused square-add, we also enhance the framework of integer range analysis to support floating-point variables in order to prove the required positivity condition z>= 0. Finally, we provide quantitative evidence of the benefits to support this selection of custom operations: on DSP kernels and benchmarks, our approach allows us to be up to 1.59x faster compared to the sole usage of basic ones.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutions. / This thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching".

L'utilisation de franges d'interférence en lumière blanche comme une sonde optique en microscopie interférométrique est d'une importance croissante dans la caractérisation des matériaux, la métrologie de surface et de l'imagerie médicale. L'Interférométrie en lumière blanche est une technique basée sur la détection de l'enveloppe de franges d'interférence. Il a été démontré antérieurement, la capacité des approches 2D à rivaliser avec certaines méthodes classiques utilisées dans le domaine de l'interférométrie, en termes de robustesse et de temps de calcul. En outre, alors que la plupart des méthodes tiennent compte seulement des données 1 D, il semblerait avantageux de prendre en compte le voisinage spatial utilisant des approches multidimensionnelles (2D/3D), y compris le paramètre de temps afin d'améliorer les mesures. Le but de ce projet de thèse est de développer de nouvelles approches n-D qui sont appropriées pour une meilleure caractérisation des surfaces plus complexes et des couches transparentes. / The use of white light interference fringes as an optical probe in microscopy is of growing importance in materials characterization, surface metrology and medical imaging. Coherence Scanning Interferometry (CSI, also known as White Light Scanning Interferometry, WSLI) is well known for surface roughness and topology measurement [1]. Full-Field Optical Coherence Tomography (FF-OCT) is the version used for the tomographic analysis of complex transparent layers. Both techniques generally make use of some sort of fringe scanning along the optical axis and the acquisition of a stack of xyz images. Image processing is then used to identify the fringe envelopes along z at each pixel in order to measure the positions of either a single surface or of multiple scattering objects within a layer.In CSI, the measurement of surface shape generally requires peak or phase extraction of the mono dimensional fringe signal. Most of the methods are based on an AM-FM signal model, which represents the variation in light intensity measured along the optical axis of an interference microscope [2]. We have demonstrated earlier [3, 4] the ability of 2D approaches to compete with some classical methods used in the field of interferometry, in terms of robustness and computing time. In addition, whereas most methods only take into account the 1D data, it would seem advantageous to take into account the spatial neighborhood using multidimensional approaches (2D, 3D, 4D), including the time parameter in order to improve the measurements.The purpose of this PhD project is to develop new n-D approaches that are suitable for improved characterization of more complex surfaces and transparent layers. In addition, we will enrich the field of study by means of heterogeneous image processing from multiple sensor sources (heterogeneous data fusion). Applications considered will be in the fields of materials metrology, biomaterials and medical imaging.

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La dynamique semi-classique d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété est l'analogue quantique du flot classique de son symbole principal sur la variété . Cette dynamique semi-classique est décrite par l'équation de Schrödinger de l'opérateur ; alors que le flot classique hamiltonien est, lui, donné par les équations d'Hamilton associées a la fonction . Le spectre de l'opérateur pseudo-différentiel permet donc de pouvoir décrire les solutions générales en fonction du temps de l'équation de Schrödinger associée. Le comportement en temps long de la dynamique semi-classique donnée par ces solutions reste cependant sur bien des points mystérieux. La dynamique semi-classique dépend donc directement du spectre de l'opérateur et aussi par conséquent de la géométrie sous jacente dans induite par la fonction symbole classique . Dans cette thèse, on décrit d'abord la dynamique semi-classique en temps long dans le cas de la dimension 1 avec une fonction symbole n'ayant pas de singularité ou bien avec une singularité non-dégénérée de type elliptique : le feuilletage dans de est alors elliptique. Les règles de Bohr-Sommerfeld régulières fournissent alors le spectre d'un tel opérateur. On traite aussi le cas de la dimension 2 qui nous amène à quelques discussions de théorie de nombres. Pour finir, on s'intéresse au cas d'un opérateur pseudo-différentiel avec une singularité non-dégénérée de type hyperbolique : le feuilletage dans de est alors un ”huit hyperbolique ” (modèle difféomorphe au Schrödinger avec un potentiel double puits).

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

Dans cette thèse, nous considérons le problème d'Euler surface libre sur un domaine à fond non plat, dans le cadre du régime d'ondes longues de faible amplitude. L'objectif est de construire, justifier et comparer de nouveaux modèles asymptotiques pour ce problème, permettant de prendre en compte les effets liés aux variations bathymétriques. En premier lieu, nous construisons rigoureusement deux classes de modèles de Boussinesq symétriques dans le cadre de deux régimes topographiques distincts, celui de faible variations bathymétriques et celui de fortes variations. Dans un second temps, nous retrouvons et discutons dans le cas de faibles variations topographiques l'approximation classique de Korteweg-de Vries, et proposons une nouvelle approximation via l'ajout de termes bathymétriques. Dans une troisième partie, ces deux modèles, ainsi que les modèles de Boussinesq construits dans la première partie, sont simulés numériquement et comparés sur des cas tests de topographie. Enfin, il est présenté une étude numérique des équations de Green-Naghdi, dont le domaine de validité physique est plus étendu, ainsi qu'une comparaison numérique de ce modèle avec les modèles précédents sur des bathymétries spécifiques.

Dans cette thèse je présente mes travaux sur la transition de Bose-Einstein dans un gaz dilué, où l'interaction entre les bosons est caractérisée par la longueur de diffusion a. Au début j'étudie la température critique de la condensation dans un gaz homogène. En mettant en oeuvre des approches diverses - analytiques et numériques —, je montre la linéarité en a de la correction dominante à la température critique du gaz parfait. En utilisant une approche perturbative dans un calcul de Monte-Carlo quantique, la valeur de la température critique est obtenue dans la limite d'un gaz très dilué. Ensuite je présente mes calculs de Monte-Carlo quantique adaptés à une situation expérimentale avec N = 10 000 atomes piégés dans un potentiel harmonique. Je détermine la fraction condensée et la fonction d'onde du condensat dans ce système inhomogène, partant du concept de l'ordre non-diagonal à longue portée. La comparaison quantitative du calcul de Monte-Carlo quantique avec des approximations simples montre les limites d'une approximation de champ moyen et permet d'estimer les effets de corrélation dans un gaz piégé.

Le présent mémoire porte sur l'étude des interféromètres à ondes de matière. Il comporte des développements théoriques et des parties plus pratiques (modélisations). En matière de modélisation, le résultat principal est l'obtention d'une expression analytique très générale du signal de franges, qui rend notamment compte de l'action simultanée de tous les champs inertiels et gravitationnels dont le potentiel représentatif est de degré au plus deux en position et impulsion (rotations, accélérations, gradients d'accélération, ondes gravitationnelles...), ainsi que de la structuration dispersive due aux séparatrices atomiques en présence de tels champs extérieurs (sélectivité en vitesse, dispersion anormale et effet Borrmann). Au plan théorique, ce mémoire développe de nouveaux outils d'optique atomique, concernant aussi bien la propagation d'ondes matérielles dans des champs inertiels et gravitationnels quelconques (généralisation du formalisme ABCD par la théorie des opérateurs intégrales premières), que l'étude des séparatrices laser en présence de certains de ces champs (schéma ttt généralisé, modélisations ttt champs forts , effet Borrmann généralisé...), ou encore la mise en évidence d'invariants symplectiques utiles à l'interprétation et à la simplification de l'expression des déphasages (notion de chemins homologues et théorème des quatre points finaux).