Cette thèse propose une étude de trois grands problèmes de mathématiques financières dans les marchés financiers avec coûts de transactions proportionnels. La première partie est consacrée à l'étude des conditions de non arbitrage dans un marché avec information incomplete. La seconde partie résoud le problème de recouvrement d'option américaine dans le cas continue et introduit le concept de système de prix cohérent. Enfin, la troisième partie traite du problème de consommation - investissement de Merton dans un marché où le processus des prix est dirigé par un processus de Lévy.

Cette thèse étudie la valorisation des prêts en fonction du risque de crédit, du coût de liquidité et de l’option de prépaiement. Un prêt émis par une banque pour un de ses clients corporate est un accord financier qui est souvent plus flexible qu’un prêt au particulier. Ces options permettent ainsi de répondre aux attentes de leur client, par exemple avec l’option de prépaiement qui permet au client, s’il le souhaite, rembourser par anticipation une partie ou l’intégralité de son emprunt.Le prépaiement est la principale option et il fait l’objet d’une étude dans cette thèse. Afin de décider si l’exercice de l’option est profitable l’emprunteur compare les paiements restants avec le montant restant dû de son prêt. Si la somme des paiements restants est supérieure au montant nominal alors il est optimal pour l’emprunteur de refinancer sa dette à un taux d’intérêt inférieur. Pour une banque, l’option de prépaiement est essentiellement un risque de réinvestissement, ie. le risque qu’un emprunteur décide de prépayer et que la banque ne puisse pas réinvestir son excès de liquidité dans un nouveau prêt avec les mêmes caractéristiques.La résolution du problème de l’option de prépaiement peut être modélisée comme une option américaine sur la dette de l’emprunteur. Nous avons choisi dans cette thèse de valoriser le prix d’un prêt et de son option de prépaiement par une résolution d’un modèle EDP plutôt qu’un modèle d’arbres binomiaux (chronophage) ou que des techniques de Monte-Carlo (problème de convergence). / This PhD thesis investigates the pricing of a corporate loan according to the credit risk, the liquidity cost and the embedded prepayment option. A loan contract issued by a bank for its corporate clients is a financial agreement that often comes with more flexibility than a retail loan contract. These options are designed to meet clients’ expectations and can include e.g., a prepayment option (which entitles the client, if he desires so, to pay all or a fraction of its loan earlier than the maturity). The prepayment is the main option and it will be study in this thesis. In order to decide whether the exercise of the option is worthwhile the borrower compares the remaining payments with the outstanding amount of the loan. If the remaining payments exceed the nominal value then it is optimal for the borrower to refinance his debt at a lower rate. For a bank, the prepayment option is essentially a reinvestment risk, i.e. the risk that the borrower decides to repay earlier his/her loan and that the bank cannot reinvest his/her excess of cash in a new loan with same characteristics.The valuation problem of the prepayment option can be modelled as an embedded compound American option on a risky debt owned by the borrower. We choose in this thesis to price a loan and its prepayment option by resolving the associated PDE instead of binomial trees (time-consuming) or Monte Carlo techniques (slow to converge).

Nous développons une approche de résolution numérique du filtrage par méthode de grille, en utilisant des résultats de quantification optimale de variables aléatoires. Nous mettons en oeuvre deux algorithmes de calcul de filtres utilisant les techniques d'approximation du type ordre 0 et ordre 1. Nous proposons les versions implémentables de ces algorithmes et étudions le comportement de l'erreur des approximations en fonction de la taille des quantifieurs en s'appuyant sur la propriété de stationnarité des quantifieurs optimaux. Nous positionnons cette approche par grille par rapport à l'approche particulaire du type Monte Carlo à travers la comparaison des deux méthodes et leur expérimentation sur différents modèles d'états. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à l'avantage qu'offre la quantification pour le prétraitement des données offline pour développer un algorithme de filtrage par quantification des observations (et du signal). L'erreur est là aussi étudiée et un taux de convergence est établi en fonction de la taille des quantifieurs. Enfin, la quantification du filtre en tant que variable aléatoire est étudiée dans le but de la résolution d'un problème d'évaluation d'option américaine dans un marché à volatilité stochastique non observée. Tous les résultats sont illustrés à travers des exemples numériques.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des noeuds critiques du calcul du risque de contrepartie, la valorisation rapide des produits dérivées et de leurs sensibilités. Nous proposons plusieurs méthodes mathématiques et informatiques pour répondre à cette problématique. Nous contribuons à quatre domaines différents: une extension de la méthode Vibrato et l'application des méthodes multilevel Monte Carlo pour le calcul des grecques à ordre élevé n>1 avec une technique de différentiation automatique. La troisième contribution concerne l'évaluation des produits Américain, ici nous nous servons d'un schéma pararéel pour l'accélération du processus de valorisation et nous faisons également une application pour la résolution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. La quatrième contribution est la conception d'un moteur de calcul performant à architecture parallèle. / In this thesis, we will focus on the critical node of the computation of counterparty credit risk, the fast evaluation of financial derivatives and their sensitivities. We propose several mathematical and computer-based methods to address this issue. We have contributed to four areas: an extension of the Vibrato method and an application of the weighted multilevel Monte Carlo for the computation of the greeks for high order derivatives n>1 with automatic differentiation. The third contribution concerns the evaluation of American style option, here we use a parareal scheme to speed up the assessing process and we made an application for solving backward stochastic differential equations. The last contribution is the conception of an efficient computation engine for financial derivatives with a parallel architecture.

Le travail de recherche décrit dans cette thèse a pour objectif d'accélérer le temps de calcul pour valoriser des instruments financiers complexes, tels des options américaines sur panier de taille réaliste (par exemple de 40 sousjacents), en tirant partie de la puissance de calcul parallèle qu'offrent les accélérateurs graphiques (Graphics Processing Units). Dans ce but, nous partons d'un travail précédent, qui avait distribué l'algorithme de valorisation de J.Picazo, basé sur des simulations de Monte Carlo et l'apprentissage automatique. Nous en proposons une adaptation pour GPU, nous permettant de diviser par 2 le temps de calcul de cette précédente version distribuée sur un cluster de 64 cœurs CPU, expérimentée pour valoriser une option américaine sur 40 actifs. Cependant, le pricing de cette option de taille réaliste nécessite quelques heures de calcul. Nous étendons donc ce premier résultat dans le but de cibler un cluster de calculateurs, hétérogènes, mixant GPUs et CPUs, via OpenCL. Ainsi, nous accélérons fortement le temps de valorisation, même si les entrainements des différentes méthodes de classification expérimentées (AdaBoost, SVM) sont centralisés et constituent donc un point de blocage. Pour y remédier, nous évaluons alors l'utilisation d'une méthode de classification distribuée, basée sur l'utilisation de forêts aléatoires, rendant ainsi notre approche extensible. La dernière partie réutilise ces deux contributions dans le cas de calcul de la Value at Risk d’un portefeuille d'options, sur cluster hybride hétérogène. / The research work described in this thesis aims at speeding up the pricing of complex financial instruments, like an American option on a realistic size basket of assets (e.g. 40) by leveraging the parallel processing power of Graphics Processing Units. To this aim, we start from a previous research work that distributed the pricing algorithm based on Monte Carlo simulation and machine learning proposed by J. Picazo. We propose an adaptation of this distributed algorithm to take advantage of a single GPU. This allows us to get performances using one single GPU comparable to those measured using a 64 cores cluster for pricing a 40-assets basket American option. Still, on this realistic-size option, the pricing requires a handful of hours. Then we extend this first contribution in order to tackle a cluster of heterogeneous devices, both GPUs and CPUs programmed in OpenCL, at once. Doing this, we are able to drastically accelerate the option pricing time, even if the various classification methods we experiment with (AdaBoost, SVM) constitute a performance bottleneck. So, we consider instead an alternate, distributable approach, based upon Random Forests which allow our approach to become more scalable. The last part reuses these two contributions to tackle the Value at Risk evaluation of a complete portfolio of financial instruments, on a heterogeneous cluster of GPUs and CPUs.

Cette thèse examine les décisions financières à travers la théorie des options Américaines et Exotiques. Dans un premier temps, nous avons présenté une revue de la littérature sur les options de type Américain. La tarification de l’option Américaine standard d’achat est revisitée en vue de fournir les pré-requis. Dans l’étape suivante, un nouveau type de contrat d’option, appelé Strangle Euro-American ou Strangle Hybride, a été introduit. Des formules analytiques ont été fournies pour leurs prix ainsi que leurs paramètres de gestion. Une nouvelle méthode est proposée pour calculer les intégrales qui définissent les bornes d’exercice anticipé. Il a été démontré que cette méthode est efficiente, précise et rapide pour la tarification de tous les types de Strangle voir au delà. Puis, nous avons examiné les options Step de type Américain. Nous avons démontré que les propriétés des options d’achat "vanille" ne s’appliquent pas aux Step dans certaines situations. Les formules d’évaluation et des paramètres de gestion ont été déterminés. Et enfin, nous avons considéré l’évaluation d’une firme détenant simultanément une option d’abandon et une option d’expansion de ses activités selon des conditions du marché (favorables ou défavorables). Les seuils critiques de décision ont été obtenus. Des formules analytiques pour la valeur de la firme ont été obtenues. Des simulations illustrent le comportement de ces seuils critiques de décisions anticipées. / This thesis investigates the financial decisions through the theory of American and Exotic options. First, the literature on American-style derivatives is surveyed. The pricing of standard American call option in the early exercise premium representation is addressed in order to provide prerequisites for what follows. Second, a new variant of Strangle contracts, called Euro-American or Hybrid Strangles, is introduced and priced. Analytical formulas are provided for the prices of all these option contracts as well as their hedging parameters. A new quadrature is proposed to account for the systems of coupled integral equations that locate the early exercise boundaries. It is shown to be efficient, accurate, and fast for pricing all types of early exercisable strangles and more. Third, we examines the valuation of American Step options contract. The structures of the immediate exercise regions of the various contracts are identified. Typical properties of American vanilla calls are shown to fail in some cases. Formulas for prices and hedging parameters, for the American Step options, are derived. Finally, we consider the valuation of a firm holding simultaneously an option to expand and to abandon productions depending on the state of the market (good or bad) in a real option framework. Optimal decision levels are obtained. Analytical formulas for the firm’s value are provided. Numerical results document the behavior of the firm’s value and optimal exercise boundaries levels.