Ces travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre $alpha+2$ où $0 < alpha < 2$. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour $alpha = 1$. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$. Dans les deux cas on démontre que la solution est positive si la condition initiale l'est. Le quatrième chapitre concerne une équation des milieux poreux fractionnaire. On montre la régularité Hölder de solutions faibles positives satisfaisant des estimées d'énergie. D'abord, on montre l'existence de solutions faibles qui satisfont des estimées d'énergie. On distingue deux cas $0 <alpha < 1$ et $1 leq alpha < 2$ à cause de problème de divergence. Puis on démontre les lemmes de De Giorgi qui sont des lemmes de réduction de l'oscillation d'en dessus et d'au-dessous. Ces deux lemmes ne suffisent pas pour montrer la régularité Hölder. On a besoin d'améliorer le résultat du lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus. Donc, on passe par un lemme des valeurs intermédiaires et on montrer un lemme de réduction de l'oscillation d'en dessus amélioré. Enfin, on montre la régularité Hölder des solutions en utilisant la propriété scaling de ces solutions / In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order $alpha + 2$ where $0 < alpha < 2$. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for $alpha = 1$. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev embedding theorem, that's why we distinguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases $0 < alpha < 1$ and $1 leq alpha < 2$ because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling property

La simulation numérique de la propagation des ondes électromagnétiques sur de longues distances et au-dessus de terrain a ces dernières années reçu une attention particulière du fait de son fort impact sur les systèmes radar et de télécommunications. Habituellement, il est considéré une modélisation bidimensionnelle pour traiter ces problématiques, cependant par une telle approche il est impossible de considérer les effets transverses au plan vertical passant par l'émetteur et le récepteur ainsi que la dépolarisation de l'onde. Pour pallier ces problèmes, une approche tridimensionnelle doit obligatoirement être considérée.<br /><br />La méthode de modélisation proposée est basée sur l'Equation Parabolique 3D (EP3D). Deux résolutions de celle-ci ont été considérées : nommées Split-Step Fourier (SSF) et Différences Finies (DF). La résolution SSF est basée sur une décomposition en un spectre angulaire d'ondes planes par l'intermédiaire d'une transformée de Fourier. La résolution de l'EP3D par DF développée utilise quant à elle un algorithme dit de Crank-Nicholson. Afin d'optimiser le temps de calcul et l'espace mémoire nécessaire, la méthode des directions alternées a été appliquée pour résoudre cette équation de propagation. Toutes deux ont été couplées avec la condition aux limites de Léontovich pour pouvoir prendre en compte le relief 3D.<br /><br />Ces deux méthodes ont été implémentées et validées sur différents cas tests canoniques. On a ainsi pu constater la capacité de ces méthodes à modéliser les phénomènes de réflexion, diffraction et réfraction. Celles-ci ont ensuite été appliquées au-dessus de scènes tridimensionnelles réalistes. Ces applications ont permis de comparer les deux méthodes développées ainsi que de mettre en relief les effets 3D dus au terrain et souligné les avantages d'une résolution tridimensionnelle.

L'objectif de ce travail est d'étudier un modèle décrivant les évolutions spatiale et temporelle des concentrations de différentes espèces chimiques sous forme gazeuse et de la température dans un canal cylindrique et sur sa paroi extérieure. Il s'agit d'un système couplant des équations aux dérivées partielles paraboliques décrivant l'évolution spatiale des espèces chimiques et de la température dans le cylindre avec une équation aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires décrivant l'évolution temporelle des mêmes espèces chimiques et de la température sur la paroi. Ce système présente la particularité supplémentaire de coupler les équations sur la paroi entre elles.<br /> Nous établissons l'existence et l'unicité de la solution, ainsi que quelques propriétés qualitatives de cette solution, en particulier l'existence de bornes supérieures et inférieures. Nous étudions également le comportement limite de la solution quand le temps tend vers l'infini.<br /> Nous mettons ensuite en oeuvre une méthode numérique permettant d'obtenir des courbes décrivant le comportement de la solution.

La propagation à grande distance du bang sonique (onde de choc) est sensible aux caractéristiques de l'atmosphère terrestre, notamment dans la couche turbulente située entre 0 et environ 1 km d'altitude. Des expériences de propagation d'une onde de choc dans un milieu aléatoire (avec des fluctuations de température et de vitesse) ont déjà été réalisées pour tenter de comprendre les mécanismes physiques expliquant la distorsion des formes d'ondes mesurées au sol. Or, la nature aléatoire de ces expériences ne permet pas de discriminer l'importance de chaque effet (focalisation, hétérogénéité, non-linéarité). Nous avons donc tout d'abord réalisé des expériences déterministes à l'échelle 1 : 100 000 dans l'eau ainsi que des simulations numériques pour étudier l'interaction entre une onde de choc et un milieu hétérogène. Les hétérogénéités sont modélisées par des tubes cylindriques en caoutchouc siliconé de diamètre de l'ordre de la longueur d'onde. Toutes les caractéristiques du milieu sont mesurées (atténuation, taille, vitesse du son). Ces expériences nous permettent de comprendre le lien entre le repliement du front d'onde (" wave front folding ") et l'augmentation du temps de montée ainsi que la distorsion des formes d'ondes. L'influence de la taille des hétérogénéités est aussi étudiée expérimentalement et nous renseigne sur la sensibilité d'un signal non-linéaire à des tailles d'hétérogénéités différentes. Ensuite, un modèle théorique et numérique en régime non-linéaire dans l'approximation paraxiale est validé grâce au caractère déterministe de nos expériences. Les simulations numériques démontrent l'influence de la propagation non-linéaire et son effet sur la perception auditive du bang sonique. Une extension du modèle théorique est proposée pour mieux prendre en compte la propagation des ondes acoustique aux angles plus élevés. Les simulations numériques de ce modèle montrent l'amélioration des comparaisons entre les résultats numériques et les résultats expérimentaux notamment dans le cas de la propagation des ondes acoustiques dans un milieu comportant plusieurs hétérogénéités.

On s'intéresse à l'écoulement d'un mélange d'eau et d'huile dans une matrice poreuse supposée hétérogène, et plus particulièrement apposition de différentes sous-matrices poreuses supposées homogènes. Si la modélisation et l'analyse des écoulements diphasiques dans des milieux poreux homogènes a fait l'objet de nombreuses études préalables, ce travail s'intéresse aux phénomènes liés aux forces provenant de la pression capillaire au niveau des interfaces entre des milieux différents.<br />Dans un premier temps, on suppose que l'on peut connecter les pressions au niveau des interfaces. Cela nécessite des hypothèses sur les profils de pression capillaire, afin que les raccords soient possibles. On démontre l'existence d'une solution faible du problème parabolique dégénéré obtenu par convergence d'une famille de solutions approchées obtenues à l'aide d'un schéma Volumes Finis. L'unicité est garantie, sous hypothèse sur les dégénérescence, par une méthode de dédoublement de variable aboutissant à un principe de contraction $L^1$.<br />La modélisation ne garantit pas forcément que le raccord des pressions capillaires aux interfaces soit possible. Dans le chapitre 3, on donne une condition de raccord graphique des pressions capillaires aux interfaces qui permet de traiter des cas beaucoup plus généraux. On montre que de le problème avec raccords graphiques admet une solution. Un résultat d'unicité et de contraction $L^1$ est donné dans le cas unidimensionnel.<br />Dans le chapitre 4, on montre la convergence d'une approximation Volumes Finis vers l'unique solution du problème unidimensionnel. Ce résultat utilise une borne uniforme sur les flux discrets, analogie discrète de la preuve dans le cas continue faite au chapitre précédent.<br />On étudie dans les chapitres 5 et 6 la limite des solutions lorsque la dépendance de la pression capillaire par rapport à l'inconnue saturation devient très faible, et que la pression capillaire ne dépend plus que du sous milieux poreux homogène. Il apparaît alors des phénomènes différents selon l'orientation des forces de gravité et de capillarité. Soit la solution su problème est la solution entropique d'une équation hyperbolique à flux discontinus, soit une solution faible, entropique à l'intérieur des sous-domaines homogènes, et laissant apparaître un choc non classique à l'interface.

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de solutions d'une classe d'équations aux dérivées partielles avec des coefficients fortement oscillants. Dans un premier temps, on s'intéresse à une famille d'équations non linéaires, des lois de conservation scalaires hétérogènes, qui interviennent dans divers problèmes de la mécanique des fluides ou de l'électromagnétisme non linéaire. On suppose que le flux de cette équation est périodique en espace, et que la période des oscillations tend vers zéro. On identifie alors les profils asymptotiques microscopique et macroscopique de la solution, et on démontre un résultat de convergence forte; en particulier, on montre que lorsque la condition initiale ne suit pas le profil microscopique dicté par l'équation, il se forme une couche initiale en temps durant laquelle les solutions s'adaptent à celui-ci. Dans un second temps, on considère une équation de transport linéaire, qui modélise l'évolution de la densité d'un ensemble de particules chargées dans un potentiel électrique aléatoire et très oscillant. On établit l'apparition d'oscillations microscopiques en temps et en espace dans la densité, en réponse à l'excitation par le potentiel électrique. On donne également des formules explicites pour l'opérateur de transport homogénéisé lorsque la dimension de l'espace est égale à un.

Cette thèse a pour objet l'analyse mathématique de lois de conservation scalaires dont la fonction flux présente une discontinuité par rapport à la variable d'espace. Nous nous intéressons plus particulèrement au problème du raccord le long d'une interface commune des solutions de deux équations quasi linéaires hyperboliques du premier ordre, posées dans deux ouverts disjoints. <br /> En premier lieu nous considérons un problème couplé hyperbolique/hyperbolique. Sous une condition de non dégénérescence du flux, nous avons obtenu un résultat d'existence et d'unicité d'une solution faible entropique d'abord en dimension 1 d'espace puis en dimension quelconque. La preuve de l'unicité est basée sur la méthode de dédoublement des variables due à S.N. Kruzkov puis sur un raisonnement presque partout à l'interface. Dans le cas particulier de la dimension 1 l'existence s'obtient par une régularisation adéquate du coefficient discontinu dans le terme de convection alors que nous utilisons la méthode de viscosité artificielle dans le cas général. <br />En second lieu nous traitons le cas de termes de convection qui apparaissent dans l'ingénierie pétrolière pour lesquels la condition de non dégénérescence de la non linéarité n'est pas vérifiée. Nous ne pouvons donc pas adapter les méthodes précédemment utilisées. Nous nous sommes donc intéressés à un problème couplé perturbé où sur l'un des deux ouverts un terme de diffusion est ajouté. Sous l'hypothèse que les caractéristiques provenant de la zone hyperbolique sont sortantes à l'interface, l'unicité d'une solution faible entropique est établie. La méthode de viscosité artificielle et la notion de processus entropique nous permettent de prouver le résultat d'existence .

L’objectif essentiel de cette thèse est de développer un système industriel de réfrigération ou de climatisation qui permet la conversion du potentiel de l’énergie solaire en production du froid. Ce système de réfrigération est basé sur la technologie de l’éjecto-compression qui propose la compression thermique comme alternative économique à la compression mécanique coûteuse. Le sous-système de réfrigération utilise un appareil statique fiable appelé éjecteur actionné seulement par la chaleur utile qui provient de l’énergie solaire. Il est combiné à une boucle solaire composée entre autres de capteurs solaires cylindro-paraboliques à concentration. Cette combinaison a pour objectif d’atteindre des efficacités énergétiques et exergétiques globales importantes. Le stockage thermique n’est pas considéré dans ce travail de thèse mais sera intégré au système dans des perspectives futures. En première étape, un nouveau modèle numérique et thermodynamique d’un éjecteur monophasique a été développé. Ce modèle de design applique les conditions d’entrée des fluides (pression, température et vitesse) et leur débit. Il suppose que le mélange se fait à pression constante et que l’écoulement est subsonique à l’entrée du diffuseur. Il utilise un fluide réel (R141b) et la pression de sortie est imposée. D’autre part, il intègre deux innovations importantes : il utilise l'efficacité polytropique constante (plutôt que des efficacités isentropiques constantes utilisées souvent dans la littérature) et n’impose pas une valeur fixe de l'efficacité du mélange, mais la détermine à partir des conditions d'écoulement calculées. L’efficacité polytropique constante est utilisée afin de quantifier les irréversibilités au cours des procédés d’accélérations et de décélération comme dans les turbomachines. La validation du modèle numérique de design a été effectuée à l’aide d’une étude expérimentale présente dans la littérature. La seconde étape a pour but de proposer un modèle numérique basé sur des données expérimentales de la littérature et compatible à TRNSYS et un autre modèle numérique EES destinés respectivement au capteur solaire cylindro-parabolique et au sous-système de réfrigération à éjecteur. En définitive et après avoir développé les modèles numériques et thermodynamiques, une autre étude a proposé un modèle pour le système de réfrigération solaire à éjecteur intégrant ceux de ses composantes. Plusieurs études paramétriques ont été entreprises afin d’évaluer les effets de certains paramètres (surchauffe du réfrigérant, débit calorifique du caloporteur et rayonnement solaire) sur sa performance. La méthodologie proposée est basée sur les lois de la thermodynamique classique et sur les relations de la thermodynamique aux dimensions finies. De nouvelles analyses exergétiques basées sur le concept de l’exergie de transit ont permis l'évaluation de deux indicateurs thermodynamiquement importants : l’exergie produite et l’exergie consommée dont le rapport exprime l’efficacité exergétique intrinsèque. Les résultats obtenus à partir des études appliquées à l’éjecteur et au système global montrent que le calcul traditionnel de l’efficacité exergétique selon Grassmann n’est désormais pas un critère pertinent pour l'évaluation de la performance thermodynamique des éjecteurs pour les systèmes de réfrigération.

Ce travail de thèse est constitué de l'étude de deux problèmes inverses associés à des équations paraboliques à coefficients périodiques. Dans la première partie, on a considéré une équation parabolique à coefficients et condition initiale périodiques. Notre travail a consisté à aborder le cas de coefficient à régularité faible et à minimiser les contraintes d'observations requises pour établir notre résultat de reconstruction du potentiel. On a commencé par établir un résultat d'existence et d'unicité de la solution dans un espace d'énergie adéquat. Ensuite, on a énoncé un principe du maximum adapté aux hypothèses du problème étudié et on a travaillé avec des coefficients mesurables et bornés. Enfin, on a reconstruit le potentiel en établissant une inégalité de Carleman. Le résultat d'identification a été obtenu via une inégalité de stabilité de type Lipschitz. Dans le second travail, on s'est intéressé à la détermination d'un coefficient périodique en espace du terme de réaction dans une équation de réaction-diffusion définie dans l'espace entier $mathbb{R}$. On établit un résultat d'unicité en utilisant un nouveau type d'observations. La nature du problème étudié, posé dans l'espace $mathbb{R}$, nous a permis d'utiliser la notion de vitesse asymptotique de propagation. On a prouvé l'existence de cette vitesse et on l'a caractérisé. On a surdéterminé le problème inverse en choisissant une famille de conditions initiales à décroi-ssance exponentielle. Notre principal résultat est que ce coefficient est déterminé de façon unique, à une symétrie près, par l'observation d'un continuum de vitesses asymptotiques de propagation. / This thesis consists in the study of two problems associated to inverse para-bolic equations with periodic coefficients. We are interested in identifying one coefficient by using two different methods. In the first part, we consider a parabolic equation with periodic coefficients and periodic initial condition. Our work consists to consider the case of coefficient with weak regularity and to minimize the constraints of observations which are required to establish our reconstruction result. We establish a result of existence and uniqueness of the solution in adequate energy space. Then we prove a maximum principle adapted to the hypothesis of the problem studied and we work with measurable and bounded coefficients. Finally, we reconstruct the potential by establishing a Carleman estimate. The identification result was achieved via an inequality of stability. In the second work, we are interested to determine a periodic coefficient of the reaction term defined in the whole space $mathbb{R}$. We establish a uniqueness result by using a new type of observations. The nature of the studied problem allowed us to use the notion of asymptotic speed of propagation. We prove the existence of this speed and we give its characterization. We overdetermin the inverse problem by choosing a family of initial conditions exponentially decaying. Our main result is that the coefficient is uniquely determined up to a symmetry, by the observation of a continuum of asymptotic speed of propagation.

Nous revisitons la méthode classique des paramétrices pour en déduire une minoration et une majoration gaussiennes, pour la solution fondamentale d'un opérateur parabolique général sous forme non divergentielle. Nous utilisons ensuite le fait que la fonction de Neumann Green, d'un opérateur parabolique général sur un ouvert borné régulier, peut être construite comme somme de la solution fondamentale et d'une intégrale de type simple couche parabolique pour établir une minoration gaussienne pour cette fonction de Neumann Green. Le point clef de la preuve réside dans l'effet régularisant, en temps, de l'intégrale de type simple couche. Nous démontrons aussi que cette approche peut être adaptée pour démontrer une minoration gaussienne pour la fonction de Green-Neumann correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert régulier d'une variété riemannienne compacte sans bord. Nous démontrons ensuite une nouvelle majoration gaussienne pour la fonction de Neumann Green correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert Lipschitz d'une variété riemannienne complète. L'intérêt de cette nouvelle majoration est qu'elle ne contient pas le terme habituel d'une exponentielle en temps. Finalement, comme application des estimations gaussiennes, nous donnons un résultat de compacité des potentiels isospectraux en relation avec une formule asymptotique pour les noyaux de la chaleur / We revisit the parametrix method in order to obtain a gaussian two-sided bound for the fundamental solution of a general parabolic operator which is not in a divergence form. Then we use the fact that the Neumann Green function of a general parabolic operator on a regular bounded domain can be constructed as a perturbation of the fundamental solution by a simple-layer potential in order to establish a Gaussian lower bound for this Neumann Green function. The key point of the proof lies in the time-regularising effect of the single-layer potential. We also prove that this method can be adapted to get a lower Gaussian bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on an open subset of a compact Riemannian manifold. In a second part, we prove a new Gaussian upper bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on a Lipschitz domain of a complete Riemannian manifold. The principal interest of this new upper bound is that we do not have the usual exponentiel terme in time in this upper bound. In a last part, as an application of the Gaussian estimates, we give a compactness result of isospectral potentials which is in relation to an asymptotic formule for the heat kernels