The main emphasis of this thesis is to study a posteriori error analysis of discontinuous Galerkin (DG) methods for the elliptic variational inequalities. The DG methods have become very pop-ular in the last two decades due to its nature of handling complex geometries, allowing irregular meshes with hanging nodes and different degrees of polynomial approximation on different ele-ments. Moreover they are high order accurate and stable methods. Adaptive algorithms refine the mesh locally in the region where the solution exhibits irregular behaviour and a posteriori error estimates are the main ingredients to steer the adaptive mesh refinement. The solution of linear elliptic problem exhibits singularities due to change in boundary con-ditions, irregularity of coefficients and reentrant corners in the domain. Apart from this, the solu-tion of variational inequality exhibits additional irregular behaviour due to occurrence of the free boundary (the part of the domain which is a priori unknown and must be found as a component of the solution). In the lack of full elliptic regularity of the solution, uniform refinement is inefficient and it does not yield optimal convergence rate. But adaptive refinement, which is based on the residuals ( or a posteriori error estimator) of the problem, enhance the efficiency by refining the mesh locally and provides the optimal convergence. In this thesis, we derive a posteriori error estimates of the DG methods for the elliptic variational inequalities of the first kind and the second kind. This thesis contains seven chapters including an introductory chapter and a concluding chap-ter. In the introductory chapter, we review some fundamental preliminary results which will be used in the subsequent analysis. In Chapter 2, a posteriori error estimates for a class of DG meth-ods have been derived for the second order elliptic obstacle problem, which is a prototype for elliptic variational inequalities of the first kind. The analysis of Chapter 2 is carried out for the general obstacle function therefore the error estimator obtained therein involves the min/max func-tion and hence the computation of the error estimator becomes a bit complicated. With a mild assumption on the trace of the obstacle, we have derived a significantly simple and easily com-putable error estimator in Chapter 3. Numerical experiments illustrates that this error estimator indeed behaves better than the error estimator derived in Chapter 2. In Chapter 4, we have carried out a posteriori analysis of DG methods for the Signorini problem which arises from the study of the frictionless contact problems. A nonlinear smoothing map from the DG finite element space to conforming finite element space has been constructed and used extensively, in the analysis of Chapter 2, Chapter 3 and Chapter 4. Also, a common property shared by all DG methods allows us to carry out the analysis in unified setting. In Chapter 5, we study the C0 interior penalty method for the plate frictional contact problem, which is a fourth order variational inequality of the second kind. In this chapter, we have also established the medius analysis along with a posteriori analy-sis. Numerical results have been presented at the end of every chapter to illustrate the theoretical results derived in respective chapters. We discuss the possible extension and future proposal of the work presented in the Chapter 6. In the last chapter, we have documented the FEM codes used in the numerical experiments.

<p> A self-synchronized echo ranging system with optimum utilization of signal estimation and detection strategies has been designed and simulated. A binary convolution code has been utilized to modulate the transmitter signal. The random medium is modelled by a vector sum of a fixed and a random component; the medium fading process has a Rician distribution density. A channel estimator has been derived using a maximum a posteriori probability criterion. The estimator is an adaptive processor whereby the variance of the medium fading process is recomputed during each updating cycle. The estimator attempts to provide a coherent input to the correlator. An optimum processor for the signalling described is an ordered serial estimator-correlator combination. It is conjectured that the estimator offers an improvement in signal processing gain of approximately 5 dB over and above the non-optimized system. Accompanying this is an improvement in peak-to -sidelobe ratio and in false alarm probability. A 3 bit (8 level) quantized system is conjectured to be a 'good' trade-off between degradation in system performance and simplification in system implementation.</p> / Thesis / Master of Engineering (MEngr)

In this thesis, we present new superconvergence properties of discontinuous Galerkin (DG) methods for two-dimensional hyperbolic problems. We investigate the superconvergence properties of the DG method applied to scalar first-order hyperbolic partial differential equations on triangular meshes. We study the effect of finite element spaces on the superconvergence properties of DG solutions on three types of triangular elements. Superconvergence is described for structured and unstructured meshes. We show that the DG solution is O(hp+1) superconvergent at Legendre points on the outflow edge on triangles having one outflow edge using three p- degree polynomial spaces. For triangles having two outflow edges the finite element error is O(hp+1) superconvergent at the end points of the inflow edge for an augmented space of degree p. Furthermore, we discovered additional mesh-orientation dependent superconvergence points in the interior of triangles. The dependence of these points on orientation is explicitly given. We also established a global superconvergence result on meshes consisting of triangles having one inflow and one outflow edges. Applying a local error analysis, we construct simple, efficient and asymptotically correct a posteriori error estimates for discontinuous finite element solutions of hyperbolic problems on triangular meshes. A posteriori error estimates are needed to guide adaptive enrichment and to provide a measure of solution accuracy for any numerical method. We develop an inexpensive superconvergence-based a posteriori error estimation technique for the DG solutions of conservation laws. We explicitly write the basis functions for the error spaces corresponding to several finite element solution spaces. The leading term of the discretization error on each triangle is estimated by solving a local problem where no boundary conditions are needed. The computed error estimates are shown to converge to the true error under mesh refinement in smooth solution regions. We further present a numerical study of superconvergence properties for the DG method applied to time-dependent convection problems. We also construct asymptotically correct a posteriori error estimates by solving local hyperbolic problems with no boundary conditions on general unstructured meshes. The global superconvergence results are numerically confirmed. Finally, the a posteriori error estimates are tested on several linear and nonlinear problems to show their efficiency and accuracy under mesh refinement. / Ph. D.

We propose a new discontinuous finite element method for higher-order initial value problems where the finite element solution exhibits an optimal convergence rate in the L2- norm. We further show that the q-degree discontinuous solution of a differential equation of order m and its first (m-1)-derivatives are strongly superconvergent at the end of each step. We also establish that the q-degree discontinuous solution is superconvergent at the roots of (q+1-m)-degree Jacobi polynomial on each step. Furthermore, we use these results to construct asymptotically correct a posteriori error estimates. Moreover, we design a new discontinuous Galerkin method to solve the wave equation by using a method of lines approach to separate the space and time where we first apply the classical finite element method using p-degree polynomials in space to obtain a system of second-order ordinary differential equations which is solved by our new discontinuous Galerkin method. We provide an error analysis for this new method to show that, on each space-time cell, the discontinuous Galerkin finite element solution is superconvergent at the tensor product of the shifted roots of the Lobatto polynomials in space and the Jacobi polynomial in time. Then, we show that the global L2 error in space and time is convergent. Furthermore, we are able to construct asymptotically correct a posteriori error estimates for both spatial and temporal components of errors. We validate our theory by presenting several computational results for one, two and three dimensions. / Ph. D.

Simulation and optimization of complex physical systems are an integral part of modern science and engineering. The systems of interest in many fields have a multiphysics nature, with complex interactions between physical, chemical and in some cases even biological processes. This dissertation seeks to advance forward and adjoint numerical time integration methodologies for the simulation and optimization of semi-discretized multiphysics partial differential equations (PDEs), and to estimate and control numerical errors via a goal-oriented a posteriori error framework. We extend exponential propagation iterative methods of Runge-Kutta type (EPIRK) by [Tokman, JCP 2011], to build EPIRK-W and EPIRK-K time integration methods that admit approximate Jacobians in the matrix-exponential like operations. EPIRK-W methods extend the W-method theory by [Steihaug and Wofbrandt, Math. Comp. 1979] to preserve their order of accuracy under arbitrary Jacobian approximations. EPIRK-K methods extend the theory of K-methods by [Tranquilli and Sandu, JCP 2014] to EPIRK and use a Krylov-subspace based approximation of Jacobians to gain computational efficiency. New families of partitioned exponential methods for multiphysics problems are developed using the classical order condition theory via particular variants of T-trees and corresponding B-series. The new partitioned methods are found to perform better than traditional unpartitioned exponential methods for some problems in mild-medium stiffness regimes. Subsequently, partitioned stiff exponential Runge-Kutta (PEXPRK) methods -- that extend stiffly accurate exponential Runge-Kutta methods from [Hochbruck and Ostermann, SINUM 2005] to a multiphysics context -- are constructed and analyzed. PEXPRK methods show full convergence under various splittings of a diffusion-reaction system. We address the problem of estimation of numerical errors in a multiphysics discretization by developing a goal-oriented a posteriori error framework. Discrete adjoints of GARK methods are derived from their forward formulation [Sandu and Guenther, SINUM 2015]. Based on these, we build a posteriori estimators for both spatial and temporal discretization errors. We validate the estimators on a number of reaction-diffusion systems and use it to simultaneously refine spatial and temporal grids. / Doctor of Philosophy / The study of modern science and engineering begins with descriptions of a system of mathematical equations (a model). Different models require different techniques to both accurately and effectively solve them on a computer. In this dissertation, we focus on developing novel mathematical solvers for models expressed as a system of equations, where only the initial state and the rate of change of state as a function are known. The solvers we develop can be used to both forecast the behavior of the system and to optimize its characteristics to achieve specific goals. We also build methodologies to estimate and control errors introduced by mathematical solvers in obtaining a solution for models involving multiple interacting physical, chemical, or biological phenomena. Our solvers build on state of the art in the research community by introducing new approximations that exploit the underlying mathematical structure of a model. Where it is necessary, we provide concrete mathematical proofs to validate theoretically the correctness of the approximations we introduce and correlate with follow-up experiments. We also present detailed descriptions of the procedure for implementing each mathematical solver that we develop throughout the dissertation while emphasizing on means to obtain maximal performance from the solver. We demonstrate significant performance improvements on a range of models that serve as running examples, describing chemical reactions among distinct species as they diffuse over a surface medium. Also provided are results and procedures that a curious researcher can use to advance the ideas presented in the dissertation to other types of solvers that we have not considered. Research on mathematical solvers for different mathematical models is rich and rewarding with numerous open-ended questions and is a critical component in the progress of modern science and engineering.

Les problèmes d'optimisation continue sont nombreux, en économie, en traitement de signal, en réseaux de neurones, etc. L'une des solutions les plus connues et les plus employées est l'algorithme évolutionnaire, métaheuristique basée sur les théories de l'évolution qui emprunte des mécanismes stochastiques et qui a surtout montré de bonnes performances dans la résolution des problèmes d'optimisation continue. L’utilisation de cette famille d'algorithmes est très populaire, malgré les nombreuses difficultés qui peuvent être rencontrées lors de leur conception. En effet, ces algorithmes ont plusieurs paramètres à régler et plusieurs opérateurs à fixer en fonction des problèmes à résoudre. Dans la littérature, on trouve pléthore d'opérateurs décrits, et il devient compliqué pour l'utilisateur de savoir lesquels sélectionner afin d'avoir le meilleur résultat possible. Dans ce contexte, cette thèse avait pour objectif principal de proposer des méthodes permettant de remédier à ces problèmes sans pour autant détériorer les performances de ces algorithmes. Ainsi nous proposons deux algorithmes :- une méthode basée sur le maximum a posteriori qui utilise les probabilités de diversité afin de sélectionner les opérateurs à appliquer, et qui remet ce choix régulièrement en jeu,- une méthode basée sur un graphe dynamique d'opérateurs représentant les probabilités de passages entre les opérateurs, et en s'appuyant sur un modèle de la fonction objectif construit par un réseau de neurones pour mettre régulièrement à jour ces probabilités. Ces deux méthodes sont détaillées, ainsi qu'analysées via un benchmark d'optimisation continue / The problems of continuous optimization are numerous, in economics, in signal processing, in neural networks, and so on. One of the best-known and most widely used solutions is the evolutionary algorithm, a metaheuristic algorithm based on evolutionary theories that borrows stochastic mechanisms and has shown good performance in solving problems of continuous optimization. The use of this family of algorithms is very popular, despite the many difficulties that can be encountered in their design. Indeed, these algorithms have several parameters to adjust and a lot of operators to set according to the problems to solve. In the literature, we find a plethora of operators described, and it becomes complicated for the user to know which one to select in order to have the best possible result. In this context, this thesis has the main objective to propose methods to solve the problems raised without deteriorating the performance of these algorithms. Thus we propose two algorithms:- a method based on the maximum a posteriori that uses diversity probabilities for the operators to apply, and which puts this choice regularly in play,- a method based on a dynamic graph of operators representing the probabilities of transitions between operators, and relying on a model of the objective function built by a neural network to regularly update these probabilities. These two methods are detailed, as well as analyzed via a continuous optimization benchmark

O trabalho aborda a questão das estimativas a posteriori dos erros de discretização e particularmente a recuperação dos gradientes de soluções numéricas obtidas com o método dos elementos finitos (MEF) e com o método dos elementos finitos generalizados (MEFG). Inicialmente, apresenta-se, em relação ao MEF, um resumido estado da arte e conceitos fundamentais sobre este tema. Em seguida, descrevem-se os estimadores propostos para o MEF denominados Estimador Z e \"Superconvergent Patch Recovery\" (SPR). No âmbito do MEF propõe-se de modo original a incorporação do \"Singular Value Decomposition\" (SVD) ao SPR aqui mencionada como SPR Modificado. Já no contexto do MEFG, apresenta-se um novo estimador do erro intitulado EPMEFG, estendendo-se para aquele método as idéias do SPR Modificado. No EPMEFG, a função polinomial local que permite recuperar os valores nodais dos gradientes da solução tem por suporte nuvens (conjunto de elementos finitos que dividem um nó comum) e resulta da aplicação de um critério de aproximação por mínimos quadrados em relação aos pontos de superconvergência. O número destes pontos é definido a partir de uma análise em cada elemento que compõe a nuvem, considerando-se o grau da aproximação local do campo de deslocamentos enriquecidos. Exemplos numéricos elaborados com elementos lineares triangulares e quadrilaterais são resolvidos com o Estimador Z, o SPR Modificado e o EPMEFG para avaliar a eficiência de cada estimador. Essa avaliação é realizada mediante o cálculo dos índices de efetividade. / The paper addresses the issue of a posteriori estimates of discretization errors and particularly the recovery of gradients of numerical solutions obtained with the finite element method (FEM) and the generalized finite element method (GFEM). Initially, it is presented, for the MEF, a brief state of the art and fundamental concepts about this topic. Next, it is described the proposed estimators for the FEM called Z-Estimator and Superconvergent Patch Recovery (SPR). It is proposed, originally, in the ambit of the FEM, the incorporation of the \"Singular Value Decomposition (SVD) to SPR mentioned here as Modified SPR. On the other hand, in the context of GFEM, it is presented a new error estimator entitled EPMEFG in order to expand the ideas of Modified SPR to that method. In EPMEFG, the local polynomial function that allows to recover the nodal values of the gradients of the solution has for support clouds (set of finite elements that share a common node) and results from the applying of a criterion of least squares approximation in relation to the superconvergent points. The number of these points is defined from an analysis of each cloud\'s element, considering the degree of local approximation of the displacement field enriched. Numerical examples elaborated with linear triangular and quadrilateral elements are solved with the Z-Estimator, the Modified SPR and the EPMEFG to evaluate the efficiency of each estimator. This evaluation is done calculating the effectivity indexes.

L'objectif de la thèse est l'étude mathématique et l'analyse numérique du problème non linéaire de Sobolev. Un premier chapitre est consacré à l'analyse a priori pour le problème de Sobolev où on utilise des méthodes de semi-discrétisation explicite en temps. Des estimations d'erreurs ont été obtenues assurant que les schémas numériques utilisés convergent lorsque le pas de discrétisation en temps et le pas de discrétisation en espace tendent vers zéro. Dans le second chapitre, on s'intéresse au problème de Sobolev singulièrement perturbé. En vue de la stabilité des schémas numériques, on utilise dans cette partie des méthodes numériques implicites (la méthode d'Euler et la méthode de Crank- Nicolson) pour discrétiser le problème par rapport au temps. Dans le troisième chapitre, on présente des applications et des illustrations où on utilise le logiciel "FreeFem++". Dans le dernier chapitre, on considère une équation de type Sobolev et on s'intéresse à la dérivation d'estimations d'erreur a posteriori pour la discrétisation de cette équation par la méthode des éléments finis conforme en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. La borne supérieure est globale en espace et en temps et permet le contrôle effectif de l'erreur globale. A la fin du chapitre, on propose un algorithme adaptatif qui permet d'atteindre une précision relative fixée par l'utilisateur en raffinant les maillages adaptativement et en équilibrant les contributions en espace et en temps de l'erreur. On présente également des essais numériques. / The purpose of this work is the mathematical study and the numerical analysis of the nonlinear Sobolev problem. A first chapter is devoted to the a priori analysis for the Sobolev problem, where we use an explicit semidiscretization in time. A priori error estimates were obtained ensuring that the used numerical schemes converge when the time step discretization and the spatial step discretization tend to zero. In a second chapter, we are interested in the singularly perturbed Sobolev problem. For the stability of numerical schemes, we used in this part implicit semidiscretizations in time (the Euler method and the Crank-Nicolson method). Our estimates of Chapters 1 and 2 are confirmed in the third chapter by some numerical experiments. In the last chapter, we consider a Sobolev equation and we derive a posteriori error estimates for the discretization of this equation by a conforming finite element method in space and an implicit Euler scheme in time. The upper bound is global in space and time and allows effective control of the global error. At the end of the chapter, we propose an adaptive algorithm which ensures the control of the total error with respect to a user-defined relative precision by refining the meshes adaptively, equilibrating the time and space contributions of the error. We also present numerical experiments.

La qualité des mesures permettant de suivre l'évolution de procédés chimiques ou pétrochimiques peut affecter de manière significative leur conduite. Malheureusement, toute mesure est entachée d'erreur. Les erreurs présentes dans les données mesurées peuvent mener à des dérives significatives dans la conduite du procédé, ce qui peut avoir des effets néfastes sur la sécurité du procédé ou son rendement. La validation de données est une tâche très importante car elle transforme l'ensemble des données disponibles en un jeu cohérent de valeurs définissant l'état du procédé. La validation de données permet de corriger les mesures, d'estimer les valeurs des variables non mesurées et de calculer les incertitudes a posteriori de toutes les variables. À l'échelle industrielle, elle est régulièrement appliquée à des procédés fonctionnant en continu, représentés par des modèles stationnaires. Cependant, pour le suivi de phénomènes transitoires, les algorithmes de validation stationnaires ne sont plus efficaces. L'étude abordée dans le cadre de cette thèse est l'application de la validation de données dynamiques au suivi des performances des procédés chimiques. L'algorithme de validation de données dynamiques développé dans le cadre de cette thèse, est basé sur une résolution simultanée du problème d'optimisation et des équations du modèle. Les équations différentielles sont discrétisées par une méthode des résidus pondérés : les collocations orthogonales. L'utilisation de la méthode des fenêtres de temps mobiles permet de conserver un problème de dimension raisonnable. L'algorithme d'optimisation utilisé est un algorithme "Successive Quadratic Programming" à point intérieur. L'algorithme de validation de données dynamiques développé a permis la réduction de l'incertitude des estimées. Les exemples étudiés sont présentés du plus simple au plus complexe. Les premiers modèles étudiés sont des cuves de stockages interconnectées. Ce type de modèle est composé uniquement de bilans de matière. Les modèles des exemples suivants, des réacteurs chimiques, sont composés des bilans de matière et de chaleur. Le dernier modèle étudié est un ballon de séparation liquide vapeur. Ce dernier est composé de bilans de matière et de chaleur couplés à des phénomènes d'équilibre liquide-vapeur. L'évaluation de la matrice de sensibilité et du calcul des variances a posteriori a été étendue aux procédés représentés par des modèles dynamiques. Son application a été illustrée par plusieurs exemples. La modification des paramètres de fenêtre de validation influence la redondance dans celle-ci et donc le facteur de réduction de variances a posteriori. Les développements proposés dans ce travail offrent donc un critère rationnel de choix de la taille de fenêtre pour les applications de validation de données dynamiques. L'intégration d'estimateurs alternatifs dans l'algorithme permet d'en augmenter la robustesse. En effet, ces derniers permettent l'obtention d'estimées non-biaisées en présence d'erreurs grossières dans les mesures. Organisation de la thèse : La thèse débute par un chapitre introductif présentant le problème, les objectifs de la recherche ainsi que le plan du travail. La première partie de la thèse est consacrée à l'état de l'art et au développement théorique d'une méthode de validation de données dynamiques. Elle est organisée de la manière suivante : -Le premier chapitre est consacré à la validation de données stationnaires. Il débute en montrant le rôle joué par la validation de données dans le contrôle des procédés. Les différents types d'erreurs de mesure et de redondances sont ensuite présentés. Différentes méthodes de résolution de problèmes stationnaires linéaires et non linéaires sont également explicitées. Ce premier chapitre se termine par la description d'une méthode de calcul des variances a posteriori. -Dans le deuxième chapitre, deux catégories des méthodes de validation de données dynamiques sont présentées : les méthodes de filtrage et les méthodes de programmation non-linéaire. Pour chaque type de méthode, les principales formulations trouvées dans la littérature sont exposées avec leurs principaux avantages et inconvénients. -Le troisième chapitre est consacré au développement théorique de l'algorithme de validation de données dynamiques mis au point dans le cadre de cette thèse. Les différents choix stratégiques effectués y sont également présentés. L'algorithme choisi se base sur une formulation du problème d'optimisation comprenant un système d'équations algébro-différentielles. Les équations différentielles sont discrétisées au moyen d'une méthode de collocations orthogonales utilisant les polynômes d'interpolation de Lagrange. Différentes méthodes de représentation des variables d'entrée sont discutées. Afin de réduire les coûts de calcul et de garder un problème d'optimisation résoluble, la méthode des fenêtres de temps mobiles est utilisée. Un algorithme "Interior Point Sucessive Quadratic Programming" est utilisé afin de résoudre de manière simultanée les équations différentielles discrétisées et les équations du modèle. Les dérivées analytiques du gradient de la fonction objectif et du Jacobien des contraintes sont également présentées dans ce chapitre. Pour terminer, un critère de qualité permettant de comparer les différentes variantes de l'algorithme est proposé. -Cette première partie se termine par le développement d'un algorithme original de calcul des variances a posteriori. La méthode développée dans ce chapitre est similaire à la méthode décrite dans le premier chapitre pour les procédés fonctionnant de manière stationnaire. Le développement est réalisé pour les deux représentations des variables d'entrée discutées au chapitre 3. Pour terminer le chapitre, cette méthode de calcul des variances a posteriori est appliquée de manière théorique sur un petit exemple constitué d'une seule équation différentielle et d'une seule équation de liaison. La seconde partie de la thèse est consacrée à l'application de l'algorithme de validation de données dynamiques développé dans la première partie à l'étude de plusieurs cas. Pour chacun des exemples traités, l'influence des paramètres de l'algorithme sur la robustesse, la facilité de convergence et la réduction de l'incertitude des estimées est examinée. La capacité de l'algorithme à réduire l'incertitude des estimées est évaluée au moyen du taux de réduction d'erreur et du facteur de réduction des variances. -Le premier chapitre de cette deuxième partie est consacré à l'étude d'une ou plusieurs cuves de stockage à niveau variable, avec ou sans recyclage de fluide. Ce premier cas comporte uniquement des bilans de matière. - Le chapitre 6 examine le cas d'un réacteur à cuve agitée avec échange de chaleur. L'exemple traité dans ce chapitre est donc constitué de bilans de matière et d'énergie. -L'étude d'un ballon flash au chapitre 7 permet de prendre en compte les équilibres liquide-vapeur. - Le chapitre 8 est consacré aux estimateurs robustes dont la performance est comparée pour les exemples étudiés aux chapitres 5 et 6. La thèse se termine par un chapitre consacré à la présentation des conclusions et de quelques perspectives futures.

Cette thèse comprend deux parties principales:La première partie est une étude du problème d'élasticité linéaire en temps par une méthode de Galerkin discontinue (SIPG). Dans cette partie, nous avons toutd'abord obtenu un estimateur a posteriori pour la formulation semi-discrète. En utilisant une technique de reconstruction et des résultats montrés dans le cas stationnaire, on a établi un estimateur a posteriori d'erreur pour le problème d'onde élastique dépendant du temps. Afin de calculer l'estimateur d'erreur lié au cas stationnaire, nous avons présenté deux méthodes, l'une utilisant la technique de la dualité ce qui nous a donné un calcul d'erreur en norme L^2 et l'autre en calculant l'erreur en norme énergie. Pour la discrétisation en temps l'équation, nous utilisons un schéma numérique d'Euler. En utilisant une technique et de reconstruction spatio-temporelle, on propose un nouvel estimateur a posteriori.La deuxième partie a pour but l'établissement d'un développement asymptotiquepour la solution de problème résolvant Stokes avec une petite perturbation dudomaine. Dans ce travail, nous avons appliqué la théorie du potentiel. On a écrit la solution du problème non perturbé et du problème perturbé sous forme d'opérateurs intégraux. En calculant la différence, et en utilisant des propriétés liées aux noyaux des opérateurs on a établi un développement asymptotique de la solution. / This thesis contains two main parts:The first part concerning the discontinuous Galerkin method for the timedependentlinear elasticity problem. In this part, we have derived the a posteriorierror bounds for semi-discrete and fully discrete formulation, by makinguse of the SE reconstruction technique which allows to estimate the errorbound for time-dependent problem through the error estimation of the ascociatedstationary elasticity problem. Then to derive the error bound for thestationary problem, we have presented two methods to obtain two different aposteriori bounds, by L2 duality technique and via energy norm. For fully discretescheme, we make use of the backward-Euler scheme and an appropiatespace-time reconstruction which has the zero-mean value in time.The second part concerning the derivation of an asymptotic expansionfor the solution of Stokes resolvent problem with a small perturbation of thedomain. In this work, we have applied the potential theory, boundary integralequation method and geometric properties of perturbed boundary. Thederivation is rigorous, and this method allows to derive high-order terms inasymptotic expansion. Also, it can be used for many other boundary valueproblems, whenever a suitable potential theory is available.