Este trabalho tem como objetivo estudar as origens dos estudos ligados à gestão do risco e suas aplicações no mercado de capitais, incluindo o mercado brasileiro. São destacadas importantes características estatísticas desses estudos, algumas premissas probabilísticas básicas e o questionamento do uso indiscriminado dos modelos matemáticos desenvolvidos para Finanças. Apresentamos alguns tipos de distribuições estatísticas que podem ser aplicadas ao mercado de capitais. Esta pesquisa apresenta, também, características de sistemas complexos, da Teoria da Utilidade de Bernoulli, da Teoria da Utilidade Esperada (TUE) de Von Neumann e Morgenstern (1944), da Hipótese de Mercados Eficientes (HME) organizado/sistematizado por Eugene Fama (1970), da Racionalidade Limitada, estudada por Simon (1959), das Finanças Comportamentais, tratada por Kahneman e Tverski (1979) e do uso de modelos, apresentado por Merton, (1994). É feito um estudo empírico, a título de ilustração, contemplando o mercado brasileiro, representado pelo índice BOVESPA (Ibovespa), comparado com resultados obtidos por Gabaix (2003), em estudo realizado no mercado americano, a fim de verificar a distribuição de probabilidade do retorno. Esta realização empírica é realizada no intento de reforçar a importância da reflexão acerca do uso indiscriminado dos modelos e das quebras de suas premissas. / The objective of this work is to study the origins of the research related to risk and its implications to capital markets, including the Brazilian market. Important statistical characteristics, several basic probabilistic premises and the questioning of indiscriminate use of mathematical models developed by accountants and analysts in finances had been highlighted. There had been shown some kinds of statistical distribution which can be applied to capital markets. This research also presents characteristics of complex systems, Utility Theory, studied by Von Neumann and Morgenstern (1944), Efficient Markets Hypothesis (EMH), organized/systematized by Eugene Fama (1970), Limited Rationality, studied by Simon (1959), Behavioral Finance, dealt by Kahneman and Tveski (1979) and model\'s use by Merton (1994). In order to illustrate the work, there had been made an empirical study, contemplating Brazilian market and comparing it to Garbaix\'s (2003) results, obtained by American market study. This was made in order to verify the market return probability distribution to reinforce the importance of reflection in indiscriminate usage of models and its premises crack.

A dissertação tem por cerne dois textos complementares, ambos refletindo o histórico de um programa de exploração mineral no distrito ferrífero de Curral Novo do Piauí. Como trabalho executado por empresa, a discussão sobre os custos e a definição de prioridades foram aspectos continuamente considerados. Assim os textos referidos refletem essas preocupações e se referem à proposição de métodos voltados à definição dos ambientes geológicos propícios à ocorrência de formações ferríferas à magnetita e à definição de probabilidade de ocorrências destes ambientes na fase de reconaissance da pesquisa. Na contextualização geológica do tema apresenta-se aspectos da geologia e uma discussão dos tipos e origens das formações ferríferas bandadas. Nos trabalhos foram aplicadas diversas técnicas, incluindo estatística multivariada, processamento digital de imagens, mapeamento geológico sistemático de superfície e subsuperfície em testemunhos de sondagens, caracterização petrográfica de rochas, geofísica de exploração a partir da utilização de métodos potenciais (magnetometria e radiometria). / This dissertation presents two complementary manuscripts, both reflecting the history of an exploration program in the Ferriferous Mineral District of Curral Novo do Piauí. As a research performed by a company, the discussion about the costs and prioritization aspects were continuously considered. The manuscripts reflects these concerns, referring to the proposition of methods aimed at defining the geological environments conducive to the occurrence of magnetite iron formations and the definition of probability of occurrence of these environments during the research reconnaissance phase. In the introductory chapter are presented the geological context and also a discussion of types and genesis of banded iron formations. In these studies were applied several techniques, including multivariate statistics, digital image processing, systematic geological surface mapping, diamond drill surveys, petrographic characterization of rocks and exploration geophysics methods (magnetometric and radiometric).

Em diversas análises estatísticas, nos deparamos com dados multinomiais, dos quais precisamos analisar o comportamento ao longo do tempo e sua relação com fatores determinantes. Os métodos clássicos para modelos de regressão multinomiais consistem em utilizar a estrutura de modelos lineares generalizados para desenvolver tais modelos McCullagh & Nelder (1989). No entanto, este enfoque apresenta algumas desvantagens como não admiter a incidência de zeros em nenhuma categoria, a hipótese da proporcionalidade da razão de chances e o fato de não serem modelos adequados para análise de dados censurados. Com o objetivo de analisar dados multinomiais com essas características propomos um modelo que é uma extensão do modelo de intensidade multiplicativo desenvolvido por Aalen (1978) e apresentado em Fleming & Harrington (2005), para variáveis aleatórias multinomiais. Com isso, ao invés de modelarmos as probabilidades associadas às categorias, como nos métodos clássicos, modelamos a função intensidade associada à variável aleatória multinomial. Através do critério martingale, estimamos os parâmetros do modelo ajustado e propomos testes de hipóteses para estes parâmetros para uma e duas populações. O teste para comparação de duas populações é baseado na estatística de logrank / In several applications, we want to analyze the behavior of multinomial datas over the time and its relationship with important factors. The classic methods commonly used for multinomial regression models are based in the generalized linear model framework. However, this models presents some disadvantages such that: it does not admit the incidence of zeros in any category, the assumption of proportionality of odds ratio and the fact that they are not appropriate models to analyze censored data. For multinomial data analyses with this characteristics, we propose a model that it is an extension of the multiplicative intensity model developed by Aalen to random multinomial variables. Therefore, instead of modeling the categorical probabilities, as in the classics methods, we modeled the intensity fuction associated with the multinomial variable. Using the martingale criterion, we estimate the models parameters and propose hypothesis testing for these parameters for one and two populations. The test for comparing two populations is based in the logrank statistics

A distribuição simplex, proposta por Barndor-Nielsen e Jørgensen (1991) é útil para a modelagem de dados contínuos no intervalo (0,1). Nesse trabalho, desenvolve-se o modelo de regressão simplex considerando-se ´ = h(X; ¯), sendo h(:; :) uma função arbitr ária. Denem-se os resíduos para o modelo considerado e obtêm-se correções assintóticas para resíduos do tipo Ri. A primeira correção proposta baseou-se na obtenção da expressão assintótica para a densidade dos resíduos de Pearson, corrigidos até ordem O(n¡1). Esses resíduos foram denidos de forma a terem a mesma distribuição dos resíduos verdadeiros de Pearson. Estudos de simulação mostraram que a distribuição empírica dos resíduos corrigidos pela densidade encontra-se mais próxima da distribuição dos verdadeiros resíduos de Pearson do que para o resíduo não corrigido de Pearson. A segunda correção proposta considera o método dos momentos. Geralmente, E(Ri) e Var(Ri) são diferentes de zero e um, respectivamente, por termos de ordem O(n¡1). Usando-se os resultados de Cox e Snell (1968), obtiveram-se as expressões aproximadas de ordem O(n¡1) para E(Ri) e Var(Ri). Um estudo de simulação está sendo realizado para avaliação da técnica proposta. A técnica desenvolvida no primeiro estudo, foi aplicada a dois conjuntos de dados, sendo o primeiro deles, dados sobre oxidação de amônia, considerando-se preditor linear e o outro sobre porcentagem de massa seca (MS) em grãos de milho, considerando-se preditor linear e não linear. Os resultados obtidos para os dados de oxidação de amônia, indicaram que o modelo com preditor linear está bem ajustado aos dados, considerando-se a exclusão de alguns possíveis pontos inuentes, sendo que a correção proposta, para a densidade dos resíduos, apresenta os melhores resultados. Observando-se os resultados para os dados de massa seca, os melhores resultados foram obtidos, considerando-se um dos modelos com preditor não linear. / The simplex distribution, proposed by Barndor-Nielsen e Jørgensen (1991) is useful for modeling continuous data in the (0,1) interval. In this work, we developed the simplex regression model, considering ´ = h(X; ¯), where h(:; :) is an arbitrary function. We dened the residuals to this model and obtained asymptotic corrections to residuals of the type Ri. The rst correction proposed, was based in obtaining the asymptotic expression for the density of Pearson residuals, corrected to order O(n¡1). These residuals were dened in order to have the same distribution of true Pearson residuals. Simulation studies showed that the empirical distribution of the modied residuals is closer to the distribution of the true Pearson residuals than the unmodied Pearson residuals. The second one, considers the method of moments. Generally E(Ri) and Var(Ri) are dierent from zero and one, respectively, by terms of order O(n¡1). Using the results of Cox and Snell (1968), we obtained the approximate expressions of order O(n¡1) for E(Ri) and Var(Ri). A simulation study is being conducted to evaluate the proposed technique. We applied the techniques in two data sets, the rst one, is a dataset of ammonia oxidation, considering linear predictor and the other one was the percentage of dry matter in maize, considering linear predictor and nonlinear. The results obtained for the oxidation ammonia data indicated that the model considering linear predictor, tted well to the data, if we consider the exclusion of some possible inuential points. The proposed correction for the density of Pearson residuals, showed better results. Observing the results for the dry matter data, the best results were obtained for a model with a specied nonlinear predictor.

Em diversas análises estatísticas, nos deparamos com dados multinomiais, dos quais precisamos analisar o comportamento ao longo do tempo e sua relação com fatores determinantes. Os métodos clássicos para modelos de regressão multinomiais consistem em utilizar a estrutura de modelos lineares generalizados para desenvolver tais modelos McCullagh & Nelder (1989). No entanto, este enfoque apresenta algumas desvantagens como não admiter a incidência de zeros em nenhuma categoria, a hipótese da proporcionalidade da razão de chances e o fato de não serem modelos adequados para análise de dados censurados. Com o objetivo de analisar dados multinomiais com essas características propomos um modelo que é uma extensão do modelo de intensidade multiplicativo desenvolvido por Aalen (1978) e apresentado em Fleming & Harrington (2005), para variáveis aleatórias multinomiais. Com isso, ao invés de modelarmos as probabilidades associadas às categorias, como nos métodos clássicos, modelamos a função intensidade associada à variável aleatória multinomial. Através do critério martingale, estimamos os parâmetros do modelo ajustado e propomos testes de hipóteses para estes parâmetros para uma e duas populações. O teste para comparação de duas populações é baseado na estatística de logrank / In several applications, we want to analyze the behavior of multinomial datas over the time and its relationship with important factors. The classic methods commonly used for multinomial regression models are based in the generalized linear model framework. However, this models presents some disadvantages such that: it does not admit the incidence of zeros in any category, the assumption of proportionality of odds ratio and the fact that they are not appropriate models to analyze censored data. For multinomial data analyses with this characteristics, we propose a model that it is an extension of the multiplicative intensity model developed by Aalen to random multinomial variables. Therefore, instead of modeling the categorical probabilities, as in the classics methods, we modeled the intensity fuction associated with the multinomial variable. Using the martingale criterion, we estimate the models parameters and propose hypothesis testing for these parameters for one and two populations. The test for comparing two populations is based in the logrank statistics

A dissertação tem por cerne dois textos complementares, ambos refletindo o histórico de um programa de exploração mineral no distrito ferrífero de Curral Novo do Piauí. Como trabalho executado por empresa, a discussão sobre os custos e a definição de prioridades foram aspectos continuamente considerados. Assim os textos referidos refletem essas preocupações e se referem à proposição de métodos voltados à definição dos ambientes geológicos propícios à ocorrência de formações ferríferas à magnetita e à definição de probabilidade de ocorrências destes ambientes na fase de reconaissance da pesquisa. Na contextualização geológica do tema apresenta-se aspectos da geologia e uma discussão dos tipos e origens das formações ferríferas bandadas. Nos trabalhos foram aplicadas diversas técnicas, incluindo estatística multivariada, processamento digital de imagens, mapeamento geológico sistemático de superfície e subsuperfície em testemunhos de sondagens, caracterização petrográfica de rochas, geofísica de exploração a partir da utilização de métodos potenciais (magnetometria e radiometria). / This dissertation presents two complementary manuscripts, both reflecting the history of an exploration program in the Ferriferous Mineral District of Curral Novo do Piauí. As a research performed by a company, the discussion about the costs and prioritization aspects were continuously considered. The manuscripts reflects these concerns, referring to the proposition of methods aimed at defining the geological environments conducive to the occurrence of magnetite iron formations and the definition of probability of occurrence of these environments during the research reconnaissance phase. In the introductory chapter are presented the geological context and also a discussion of types and genesis of banded iron formations. In these studies were applied several techniques, including multivariate statistics, digital image processing, systematic geological surface mapping, diamond drill surveys, petrographic characterization of rocks and exploration geophysics methods (magnetometric and radiometric).

O presente estudo discorre sobre o uso de atividades lúdicas como alternativa no processo de ensino-aprendizagem de Matemática, em destaque, um jogo de cartas como atividade de revisão no ensino de Análise Combinatória e Probabilidade. Atividades como jogos, desafios e outros são fundamentais para que o discente possa aprender de forma efetiva e satisfatória alguns conteúdos de Matemática, uma vez que o gosto por essa disciplina não é unânime entre os discentes. Atividades com jogos é uma importante ferramenta para motivar e auxiliar no estudo desta matéria. Objetivando esclarecer a influência desse jogo matemático no desenvolvimento do discente durante o processo de ensino-aprendizagem, neste estudo utilizamos um jogo de cartas na Escola Estadual Hercília Carvalho da Silva, localizada no Município de Gurupi – TO. Esse trabalho relata a aplicação de um jogo envolvendo cartas que foi aplicado no 2o ano do ensino médio, em um período de 2 meses, como uma forma de demonstrar a potencialidade da atividade lúdica enquanto metodologia inovadora das ações pedagógicas, buscando aulas mais diversificadas para conduzir os discentes envolvidos neste grupo a uma aprendizagem significativa nos conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade. Posteriormente foi aplicado um questionário ao grupo de discentes, este com 11 questões de múltipla escolha, a atividade (questionário) fora realizada no dia 14 de março de 2017, durante a aula de Matemática. Pelos dados coletados, fora possível verificar que a aplicação do jogo de cartas facilita o entendimento dos discentes em referência às matérias de Análise Combinatória e Probabilidade, o que não seria integralmente possível apenas com a exposição teórica e listas de exercícios. A pesquisa, quanto aos procedimentos, delineia como uma de campo e levantamento de dados. Quanto aos objetivos, teve como base o estudo descritivo e exploratório, focalizando em identificar a percepção que o discente possui acerca do conteúdo de Análise Combinatória e Probabilidade por meio de um jogo de cartas como atividade para revisar, aprofundar ou motivar o estudo destes conteúdos. / The present study discusses the use of play activities as a facilitator in the teachinglearning process of Mathematics, in particular, a game of cards as a review activity in the teaching of Combinatorial Analysis and Probability. Activities such as games, challenges and others are fundamental so that the student can learn effectively and satisfactorily some contents of Mathematics, since the taste for this discipline is not unanimous for the students. For this, the use of games activities is an important tool to motivate and assist in the study of this matter. In order to clarify the influence of this mathematical game on the student’s development during the teaching-learning process, in this study we used a game of cards at the Hercília Carvalho da Silva State School, located in the Municipality of Gurupi-TO. This paper reports on the application of a game involving letters that was applied in the second year of high school in a period of two months as a way of demonstrating the potential of playful activity as an innovative methodology of pedagogical actions, seeking more diversified classes to conduct The students involved in this group to a significant learning in the contents of Combinatorial Analysis and Probability. Later, a questionnaire was applied to the group of students, with eleven multiple choice questions, activity (research - questionnaire) was performed on March 14, 2017, during the Mathematics class. From the collected data, it was possible to verify that the application of the card game facilitates the understanding of the students in reference to the Matters of Combinatorial Analysis and Probability, which would not be entirely possible only with theoretical exposition and lists of exercises. The research, regarding the procedures, delineates as a field and data collection. Regarding the objectives, it was based on the descriptive and exploratory study, focusing on identifying the perception that the student has about the content of Combinatorial Analysis and Probability through a game of cards as an activity to review, deepen or motivate the study of these contents.

Made available in DSpace on 2016-07-27T14:21:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Reginaldo Pedroso.pdf: 430869 bytes, checksum: a8bf7234236f302fa236cff6c8e57ee5 (MD5) Previous issue date: 2008-02-01 / In most of the time, people tend to describe frequency or probability of events with words instead of numbers. The description of an event with words may lead to misunderstanding its actual probability. These descriptions have been used in several psychological instruments, but there are no systematic investigations on how different individuals may be affected by them. The aim of present work was to estimate equivalent numerical probabilities to the chances to receive a probable hypothetical amount of money presented with nominal descriptions for 33 undergraduate students. The task consisted in choices between a large amount of money and small amounts, which was adjusted up and down. The experiment was divided in two phases: in one the chances to receive the large amount was presented with percentage (10% to 90%), and in the other, the chances were presented with words. A power function showed to be a better description of individual indifference values than a hyperbolic one. The free parameters calculated from linear regression obtained with numerical probabilities were used to estimate the equivalent probabilities to nominal descriptions. The results showed that both estimated probabilities and indifference values were variable among participants. Some differences came from conditions as well as adjusting exposition order. These results reinforce the necessity to use quantitative measures in psychological evaluation instruments, so it can be more sensitive to these differences. / Na maioria das vezes as pessoas tendem a descrever a freqüência ou probabilidade dos eventos do cotidiano através de descrições nominais. Descrever a ocorrência de um dado fenômeno de forma nominal pode levar a má compreensão do mesmo. Descrições como estas têm sido utilizadas em diversos instrumentos psicológicos, mas não há investigações sistemáticas de como elas afetam diferentes indivíduos. O objetivo do presente estudo foi estimar as probabilidades equivalentes a cinco descrições nominais das chances de ganho de uma quantia hipotética provável, com 33 estudantes universitários. A tarefa consistiu em escolher entre uma quantia maior provável e outra quantia menor certa que era aumentada e diminuída. O experimento foi dividido em duas fases: em uma era apresentada quantia provável com a descrição das chances de ganho apresentada numericamente através de porcentagem (10% a 90%) e, na outra fase, a descrição das chances de ganho da quantia provável foi descrita nominalmente (pouquíssimas chances, poucas chances, chances médias, muitas chances e muitíssimas chances). A partir dos dados obtidos na fase com descrição numérica das probabilidades, uma função potência se demonstrou mais adequada que a hipérbole na descrição das curvas de desconto probabilístico. Os dados das constantes da função potência foram utilizados para estimar as probabilidades equivalentes às descrições nominais para cada participante separadamente. Os resultados demonstraram que tanto as probabilidades estimadas quanto os valores de indiferença apresentaram uma grande variabilidade entre participantes. Diferenças foram encontradas quando comparadas as ordens de exposição, tanto das condições (numérica e nominal) quanto dos ajustes (ascendente e descente). Os presentes resultados reforçam a necessidade de se utilizar medidas quantitativas em instrumentos de avaliação psicológica que permitem uma avaliação mais clara dessas diferenças individuais.

O Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) é o índice utilizado pelo Banco Central do Brasil ao estabelecer suas metas inflacionárias. Por servir como uma referência de inflação, o IPCA é atentamente monitorado, tanto por investidores estrangeiros e brasileiros, quanto por gestores públicos. Sabe-se que uma inflação alta e descontrolada causa distorções e perdas econômicas no país, assim há um interesse por parte de administradores e gestores financeiros em prever a inflação máxima para um determinado período de tempo. Dessa forma, o objetivo do trabalho foi modelar os níveis máximos de IPCA, que podem ocorrer em um quadrimestre. A escolha de quadrimestres visa equiparar a análise com os intervalos entre as apresentações dos demonstrativos de cumprimento das metas fiscais por parte do Poder Executivo. Foi utilizada a distribuição Generalizada de Valores Extremos (do inglês Generalized Extreme Values - GEV) para modelagem. Para a estimação dos parâmetros da distribuição GEV utilizou-se o método da Máxima Verossimilhança e a Inferência Bayesiana. Na elicitação de informação para construção das distribuições a priori, foram utilizados dados de países economicamente semelhantes ao Brasil, a Rússia, China e Índia, os quais pertencem ao BRICS. Além disso, foram criadas diferentes combinações de distribuição a priori, usando informações desses países com diferentes estruturas de variância. Para avaliar qual melhor metodologia de estimação foram analisadas a acurácia e precisão das estimativas dos níveis máximos de inflação para determinados tempos de retorno. Os resultados permitiram observar que a abordagem Bayesiana, que utilizou como informação a média de dados dos países do BRICS para construção da distribuição a priori Normal Trivariada, levou a predições mais precisas e acuradas. / The Brazilian Consumer Price Index (CPI) is the index used by the Central Bank of Brazil in establishing its inflation targets. By serving as an inflation reference, the Brazilian CPI is closely monitored by foreign and Brazilian investors as well as by public managers. It is known that high and uncontrolled inflation causes distortions and economic losses in the country, so there is an interest on the part of managers and financial managers to predict maximum inflation for a certain period of time. Thus, the objective of the work was to model the maximum Brazilian CPI levels, which can occur in a four-month period. The choice of four-month periods aims to equate the analysis with the intervals between the presentations of the statements of compliance with the fiscal targets by the government. The Generalized Extreme Values (GEV) distribution was used for modeling. For the estimation of the parameters of the GEV distribution the maximum likelihood method and the Bayesian Inference were used. In the elicitation of information for the construction of the prior distributions, we used data from countries economically similar to Brazil: Russia, China and India, which belong to BRICS. In addition, different combinations of prior distribution were created, using information from these countries with different variance structures. In order to evaluate the best estimation methodology, the accuracy and precision of the estimates of the maximum inflation levels for certain return times were analyzed. The results showed that the Bayesian approach, which used as information the mean data of the BRICS countries for construction of the Normal Trivariate prior distribution, led to more accurate and accurate predictions. / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - FAPEMIG

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:57:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Estevao_MSc2013.pdf: 798745 bytes, checksum: 3a737b306d09e12a7beaa6d3f396c369 (MD5) Previous issue date: 2013-06-17 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico / We address the theory of no-arbitrage pricing of derivatives and hedging strategies. The continuous-time model of the underlying stock price that we consider is the Geometric Brownian Motion, which parameters (mean rate of return and volatility) are initially set as stochastic processes and, in the sequel, specified as deterministic functions of time or constant values. With a view to providing self-sufficiency for the text, we have included the necessary fundamental theory and derived the Partial Differential Equation (PDE) for the price of derivatives with payoffs that are functions of the time and of the stock price at maturity, while the stock is now governed by the local volatility model (in which the parameters are functions of time and of the stock price at each moment). Focusing the particular niche where parameters are, except for very mild constraints, arbitrary deterministic functions of time, we develop explicit formulae for both the price and the hedging strategy for an European call option, as well as the particular shape of the associated PDEs. The generalization of the above scenario corresponds to the main result of this thesis which, to the best of our knowledge, is new: we assume (as above) the model where parameters are arbitrary deterministic functions of time and an European call option with a moving barrier of a special sort - which we name discounted barrier. Still, we obtain explicit formulas for both the exact price and hedging strategy. The shape of the barrier option under consideration is attractive from the point of view of the dealer, since it is in fact constant if tested against the discounted risky asset price. Moreover, the riskless asset - which accounts for discounting - is the dealers reference for profit evaluation. Some tools employed in this work are the risk-neutral (or martingale) measure and an extension of the Reflection Principle for Brownian Motion. / Nós abordamos a teoria de preços livres de arbitragem de derivativos e estratégias de hedging. O modelo a tempo contínuo que consideramos para o preço das ações é o Movimento Browniano Geométrico, cujos parâmetros (taxa média de retorno e volatilidade) são inicialmente definidos como processos estocásticos, para daí serem especificados por funções determinísticas do tempo ou valores constantes. Com vistas a dar um cunho autossuficiente à dissertação, desenvolvemos a teoria de base e a Equação Diferencial Parcial (EDP) para o preço de derivativos cujos payoffs são funções do tempo e do preço da ação, ambos na expiração, enquanto que a ação é governada pelo modelo de volatilidade local (no qual os parâmetros são funções do tempo e do preço da ação a cada instante). No caso particular onde os parâmetros são, salvo restrições brandas, funções determinísticas arbitrárias do tempo, desenvolvemos fórmulas explícitas para o preço e para a estratégia de hedging para uma opção de compra Europeia, bem como a forma particular das EDPs associadas. A generalização do cenário acima constitui o resultado principal desta dissertação, novo na literatura: assumimos (como acima) o modelo onde os parâmetros são funções determinísticas arbitrárias do tempo e uma opção de compra Europeia com uma barreira móvel de um tipo específico - a qual chamamos barreira descontada. Ainda assim, obtemos fórmulas explícitas tanto para o preço quanto para a estratégia de hedging. O formato da barreira móvel considerada é atrativo do ponto de vista prático de mercado, uma vez que é, de fato, constante se testada contra o preço descontado do ativo de risco. Ademais, é em relação ao ativo sem risco - que dita o desconto - que os dealers aferem seus lucros. Algumas ferramentas empregadas neste trabalho são a medida risco-neutro (medida martingale) e uma extensão do Princípio da Reflexão para o Movimento Browniano.