Les techniques dédiées aux évènements rares sont d'un grand intérêt pour l'industrie aérospatiale en raison des larges sommes qui peuvent être perdues à cause des risques associés à des probabilités infimes. Cette thèse se concentre la recherche d'outils probabilistes capables d'estimer les probabilités d'évènements rares et les quantiles extrêmes associés à un système boîte noire dont les entrées sont des variables aléatoires. Cette étude est faite au travers de deux cas issus de l'industrie. Le premier est l'estimation de la probabilité de collision entre les satellites Iridium et Cosmos. La Cross-Entropy (CE), le Non-parametric Adaptive Importance Sampling (NAIS) et une technique de type Adaptive Splitting (AST) sont comparés. Au cours de la comparaison, une version améliorée de NAIS est conçue. Au contraire du NAIS qui doit être initialisé avec une variable aléatoire qui génère d'emblée des événements rares, le NAIS adaptatif (ANAIS) peut être initialisé avec la variable aléatoire d'origine du système et n'exige donc pas de connaissance a priori. Le second cas d'étude est l'estimation de la zone de sécurité vis-à-vis de la chute d'un booster de fusée. Bien que les quantiles extrêmes puissent être estimés par le bais de ANAIS ou AST, ils apparaissent comme inadaptés à une distribution spatiale. A cette fin, le Minimum Volume Set (MVS) est choisi dans la littérature. L'estimateur Monte Carlo (MC) de MVS n'étant pas adapté à l'estimation d'un MVS de niveau extrême, des estimateurs dédiés sont conçus à partir d'ANAIS et d'AST. Ces deux derniers surpassent l'estimateur de type MC.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'asymptotique des collisions rasantes pour les équations de Kac et de Boltzmann ainsi que l'étude de la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique à l'aide d'équations différentielles stochastiques non linéaires. Le premier chapitre est consacré à l'équation de Kac avec un potentiel Maxwellien. Nous commençons par donner une vitesse de convergence explicite (que l'on pense être optimale) dans le cadre de l'asymptotique des collisions rasantes. Puis nous approchons la solution de l'équation de Kac dans le cadre général, ce qui nous permet de montrer la propagation du chaos pour un système de particules vers cette dernière de manière quantitative. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l'asymptotique des collisions rasantes pour l'équation de Boltzmann avec des potentiels mous et de Coulomb. Nous donnons là encore des vitesses de convergence explicites (mais non optimales). Enfin dans le troisième et dernier chapitre, nous montrons la propagation du chaos pour l'équation de Keller-Segel dans un cadre sous-critique. Pour cela, nous utilisons des arguments de compacité (tension du système de particules).

Nous présentons d'abord les problématiques liées à l'utilisation des processus pour la modélisation des modèles d'histoire de vie et de survie, écriture de vraisemblance, définition d'indépendance locale entre processus et interprétation causale. De manière indépendante, nous présentons ensuite des modèles de processus de bifurcation, les méthodes d'estimation associées avec application à la division cellulaire. Enfin nous regardons des problèmes liés aux PDMP : modélisation de propagation de fissures, de HUMS et estimation du taux de saut. Quelques exemples de collaborations avec des chercheurs d'autres disciplines sont donnés dans le dernier chapitre.

Cette thèse est une contribution à la résolution du problème d'optimisation sous contrainte de fiabilité. Cette méthode de dimensionnement probabiliste vise à prendre en compte les incertitudes inhérentes au système à concevoir, en vue de proposer des solutions optimales et sûres. Le niveau de sûreté est quantifié par une probabilité de défaillance. Le problème d'optimisation consiste alors à s'assurer que cette probabilité reste inférieure à un seuil fixé par les donneurs d'ordres. La résolution de ce problème nécessite un grand nombre d'appels à la fonction d'état-limite caractérisant le problème de fiabilité sous-jacent. Ainsi,cette méthodologie devient complexe à appliquer dès lors que le dimensionnement s'appuie sur un modèle numérique coûteux à évaluer (e.g. un modèle aux éléments finis). Dans ce contexte, ce manuscrit propose une stratégie basée sur la substitution adaptative de la fonction d'état-limite par un méta-modèle par Krigeage. On s'est particulièrement employé à quantifier, réduire et finalement éliminer l'erreur commise par l'utilisation de ce méta-modèle en lieu et place du modèle original. La méthodologie proposée est appliquée au dimensionnement des coques géométriquement imparfaites soumises au flambement.

Le but de cette synthèse est de présenter mon activité de recherche couvrant la période de temps écoulée à partir de l'année terminale de ma thèse (c'est à dire, la période octobre 2008 - février 2013). Mes thèmes de recherche correspondent, en majeure partie, à trois directions principales, chacune présentée dans une section dédiée : - méthodes de programmation linéaire dans l'étude des problèmes de contrôle déterministe ou stochastique ; - méthodes de contrôle des processus Markoviens déterministes par morceaux et leurs applications dans la théorie des réseaux stochastiques de gènes. - propriétés de contrôlabilité des systèmes linéaires stochastiques et sujets connexes. Dans le premier chapitre, nous étudions plusieurs classes de problèmes de contrôle déterministe ou stochastique à coût discontinu. Dans le contexte stochastique, nous considérons le problème de type Mayer et l'arrêt optimal des diffusions contrôlées (correspondant à l'article [G10]), les principes de la programmation dynamique (correspondant à l'article [G6]), ainsi qu'une classe de problèmes de contrôle impliquant des contraintes d'état (correspondant à l'article [G2]). Nous étudions également : des problèmes de contrôle à coût escompté et en horizon infini, ainsi que la moyennisation en temps long (correspondant à [G12]), des systèmes régis par des inégalités variationnelles stochastiques (dans [G3]) et une caractérisation de type Zubov pour les domaines de stabilité asymptotique (toujours dans [G3]). Nous investiguons l'existence d'une fonction valeur limite pour une classe de problèmes de contrôle stochastique sous des hypothèses de non-expansivité, ainsi que des théorèmes Tauberiennes uniformes (correspondant à [G19]). Dans le cadre déterministe, nous considérons la linéarisation et les principes de la programmation dynamique pour des problèmes de type coût supremum (ce qui correspond à [G9]) et pour des systèmes à contraintes d'état (dans [G1]). Nous proposons une méthode de linéarisation pour des problèmes de type min-max (correspondant à [G18]). Le point commun entre ces articles réside dans la méthode employée basée sur des formulation linéaires et des techniques de viscosité. Nous présentons également des résultats de viabilité pour les perturbations singulières des systèmes contrôlés (correspondant à [G13]). Le deuxième chapitre est axé sur quelques contributions à la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP, acronyme anglais de "piecewise deterministic Markov process"). Nous investiguons des conditions géométriques pour la viabilité et l'invariance des ensembles fermés par rapport aux dynamiques PDMP contrôlées (correspondant à l'article [G5]). Nous proposons également des formulations linéaires pour certains problèmes de contrôle dans ce contexte (correspondant aux articles [G8] et [G4]). Ces résultats permettent d'en inférer certaines conditions d'atteignabilité (dans l'article [G5]) ainsi que de caractériser les domaines de stabilité asymptotique en généralisant la méthode de Zubov (dans l'article [G4]). Les résultats théoriques sont appliqués à une classe de systèmes associés à des réseaux stochastiques de gènes (des modèles On/Off, le modèle proposé par Cook pour l'haploinsuffisance, ainsi que le modèle de Hasty pour la bistabilité du phage lambda). Le dernier chapitre présente l'étude de différentes classes de contrôlabilité pour des systèmes linéaires de type diffusion à sauts (correspondant à l'article [G7]) ou des systèmes linéaires de contrôle à dynamique champs-moyen (correspondant à l'article [G20]). Les arguments font intervenir des techniques de viabilité ainsi que des équations différentielles de type Riccati. Une première étape dans l'étude des propriétés de contrôlabilité des systèmes ayant comme espace d'état un espace d'Hilbert est franchie dans l'article [G11]. Nous y proposons une approche de type quasi-tangence dans l'étude de la propriété de (presque)viabilité des systèmes semi-linéaires dans un cadre infini-dimensionnel. Nous avons essayé de rendre le manuscrit aussi autonome que possible. Pour en assurer la lisibilité, nous avons également essayé de garder l'indépendance des chapitres. Afin de garder une dimension raisonnable du manuscrit, nous avons fait le choix de limitation de la redondance. Pour cette raison, les problèmes de contrôle sous contraintes d'état ont été présentés uniquement dans le contexte stochastique. Aussi, les détails précis de la méthode de Zubov ont été spécifiés uniquement dans le cas des processus Markoviens déterministes par morceaux et les contributions aux diffusions Browniennes ont été seulement mentionnées.

Ce mémoire est un recueil et une synthèse de plusieurs études en analyse en moyenne d'algorithmes et en bioinformatique. Il y est présenté des travaux allant de l'étude de problèmes sur les séquences à l'étude de systèmes biologiques, en gardant un fil conducteur fort: quelles que soient les applications, l'objet d'étude central est une source probabiliste qui produit des mots. Ces travaux trouvent des applications en bioinformatique qui se concrétisent par la mise au point d'algorithmes dédiés de recherche de motifs et la définition de tests statistiques et en biologie des systèmes biologiques avec des développements qui ont été appliqués, en collaboration étroite avec des équipes de biologistes, à des modèles biologiques réels.

Ce mémoire présente une synthèse de mes activités de recherche depuis mon doctorat. Ces travaux sont organisés en trois parties distinctes. Les deux premières parties ont pour point commun l'inférence statistique de quelques processus stochastiques. Les processus centraux en question sont respectivement le mouvement Brownien fractionnaire (et quelques unes de ses extensions) et les processus ponctuels spatiaux de Gibbs. Comme, nous le verrons par la suite, bien que ces processus soient de nature très diff érente, ils s'inscrivent dans la modélisation de données dépendantes qu'elles soient temporelles ou spatiales. Nos travaux ont pour objectifs communs d'établir des propriétés asymptotiques de méthodes d'estimation ou de méthodes de validation, classiques ou originales. Par ailleurs, une autre similitude est la mise en perspective de ces processus avec des applications faisant intervenir des systèmes complexes (modélisation de signaux issus d'Imagerie par Résonance Magnétique Fonctionnelle et modélisation de taches solaires). La troisième partie, quant à elle, regroupe des thèmes satellites regroupés sous la dénomination contributions à la statistique appliquée.

Dans les domaines de la modélisation et de la simulation numérique, les simulateurs développés prennent parfois en compte de nombreux paramètres dont l'impact sur les sorties n'est pas toujours bien connu. L'objectif principal de l'analyse de sensibilité est d'aider à mieux comprendre comment les sorties d'un modèle sont sensibles aux variations de ces paramètres. L'approche la mieux adaptée pour appréhender ce problème dans le cas de modèles potentiellement complexes et fortement non linéaires repose sur la décomposition ANOVA et les indices de Sobol'. En particulier, ces derniers permettent de quantifier l'influence de chacun des paramètres sur la réponse du modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'estimation des indices de Sobol'. Dans une première partie, nous réintroduisons de manière rigoureuse des méthodes existantes au regard de l'analyse harmonique discrète sur des groupes cycliques et des tableaux orthogonaux randomisés. Cela nous permet d'étudier les propriétés théoriques de ces méthodes et de les généraliser. Dans un second temps, nous considérons la méthode de Monte Carlo spécifique à l'estimation des indices de Sobol' et nous introduisons une nouvelle approche permettant de l'améliorer. Cette amélioration est construite autour des hypercubes latins et permet de réduire le nombre de simulations nécessaires pour estimer les indices de Sobol' par cette méthode. En parallèle, nous mettons en pratique ces différentes méthodes sur un modèle d'écosystème marin.

Les dispositifs de protection de sites sensibles doivent permettre de détecter des menaces potentielles suffisamment à l'avance pour pouvoir mettre en place une stratégie de défense. Dans cette optique, les méthodes de détection et de reconnaissance d'aéronefs se basant sur des images infrarouge multispectrales doivent être adaptées à des images faiblement résolues et être robustes à la variabilité spectrale et spatiale des cibles. Nous mettons au point dans cette thèse, des méthodes statistiques de détection et de reconnaissance d'aéronefs satisfaisant ces contraintes. Tout d'abord, nous spécifions une méthode de détection d'anomalies pour des images multispectrales, combinant un calcul de vraisemblance spectrale avec une étude sur les ensembles de niveaux de la transformée de Mahalanobis de l'image. Cette méthode ne nécessite aucune information a priori sur les aéronefs et nous permet d'identifier les images contenant des cibles. Ces images sont ensuite considérées comme des réalisations d'un modèle statistique d'observations fluctuant spectralement et spatialement autour de formes caractéristiques inconnues. L'estimation des paramètres de ce modèle est réalisée par une nouvelle méthodologie d'apprentissage séquentiel non supervisé pour des modèles à données manquantes que nous avons développée. La mise au point de ce modèle nous permet in fine de proposer une méthode de reconnaissance de cibles basée sur l'estimateur du maximum de vraisemblance a posteriori. Les résultats encourageants, tant en détection qu'en classification, justifient l'intérêt du développement de dispositifs permettant l'acquisition d'images multispectrales. Ces méthodes nous ont également permis d'identifier les regroupements de bandes spectrales optimales pour la détection et la reconnaissance d'aéronefs faiblement résolus en infrarouge.

Cette thèse a pour objet l'étude expérimentale et numérique de l'écoulement de particules dans un empilement de sphères plus grosses. <br />Un dispositif expérimental a été mis au point pour étudier la dispersion latérale et le temps moyen de séjour d'un paquet de particules dans un milieu poreux. Nous avons en particulier déterminé la dépendance du temps moyen de transit en fonction du nombre de particules en écoulement, de la taille des particules et de la hauteur du milieu poreux. Nous avons également caractérisé la dépendance du coefficient de dispersion latéral vis-à-vis du nombre de particules transitant dans la structure poreuse.<br />Dans un deuxième temps, nous avons développé des modèles de simulations numériques basés sur les méthodes "Event-Driven" et "dynamique moléculaire de sphères molles". Ceux-ci nous ont permis de compléter l'étude expérimentale en analysant l'influence de divers paramètres supplémentaires. L'accès à l'intérieur du milieu poreux a permis une analyse plus fine de la dispersion des particules. <br />Enfin, nous avons abordé la possibilité d'utiliser le phénomène de percolation spontanée pour réaliser un mélangeur. Grâce à l'outil numérique, nous avons réalisé et caractérisé des mélanges de particules de tailles différentes. Nous avons alors montré que ce procédé s'avère être un moyen simple et efficace pour obtenir des mélanges homogènes de particules.