Nous sommes intéressés dans cette thèse par l'analyse de la diffraction directe et inverse des ondes par des couches infinies périodiques localement perturbées à une fréquence fixe. Ce problème a des connexions avec le contrôle non destructif des structures périodiques telles que des structures photoniques, des fibres optiques, des réseaux, etc. Nous analysons d'abord le problème direct et établissons certaines conditions sur l'indice de réfraction pour lesquelles il n'existe pas de modes guidés. Ce type de résultat est important car il montre les cas pour lesquels les mesures peuvent être effectuées par exemple sur une couche au dessus de la structure périodique sans perdre des informations importantes dans la partie propagative de l'onde. Nous proposons ensuite une méthode numérique pour résoudre le problème de diffraction basée sur l'utilisation de la transformée de Floquet-Bloch dans les directions de périodicité. Nous discrétisons le problème de manière uniforme dans la variable de Floquet-Bloch et utilisons une méthode spectrale dans la discrétisation spatiale. La discrétisation en espace exploite une reformulation volumétrique du problème dans une cellule (équation intégrale de Lippmann-Schwinger) et une périodisation du noyau dans la direction perpendiculaire à la périodicité. Cette dernière transformation permet d'utiliser des techniques de type FFT pour accélérer le produit matrice-vecteur dans une méthode itérative pour résoudre le système linéaire. On aboutit à un système d'équations intégrales couplées (à cause de la perturbation locale) qui peuvent être résolues en utilisant une décomposition de Jacobi. L'analyse de la convergence est faite seulement dans le cas avec absorption et la validation numérique est réalisées sur des exemples 2D. Pour le problème inverse, nous étendons l'utilisation de trois méthodes d'échantillonnage pour résoudre le problème de la reconstruction de la géométrie du défaut à partir de la connaissance de données mutistatiques associées à des ondes incidentes planes en champ proche (c.à.d incluant certains modes évanescents). Nous analysons ces méthodes pour le problème semi-discrétisée dans la variable Floquet-Bloch. Nous proposons ensuite une nouvelle méthode d'imagerie capable de visualiser directement la géométrie du défaut sans savoir ni les propriétés physiques du milieux périodique, ni les propriétés physiques du défaut. Cette méthode que l'on appelle imagerie-différentielle est basée sur l'analyse des méthodes d'échantillonnage pour un seul mode de Floquet-Bloch et la relation avec les solutions de problèmes de transmission intérieurs d'un type nouveau. Les études théoriques sont corroborées par des expérimentations numériques sur des données synthétiques. Notre analyse est faite d'abord pour l'équation d'onde scalaire où le contraste est sur le terme d'ordre inférieur de l'opérateur de Helmholtz. Nous esquissons ensuite l'extension aux cas où la le contraste est également présent dans l'opérateur principal. Nous complémentons notre travail par deux résultats sur l'analyse du problème de diffraction pour des matériaux périodiques ayant des indices négatifs. Nous établissons en premier le caractère bien posé du problème en 2D dans le cas d'un contraste est égal à -1. Nous montrons également le caractère Fredholm de la formulation Lipmann-Schwinger du problème en utilisant l'approche de T-coercivité dans le cas d'un contraste différent de -1. / We are interested in this thesis by the analysis of scattering and inverse scattering problems for locally perturbed periodic infinite layers at a fixed frequency. This problem has connexions with non destructive testings of periodic media like photonics structures, optical fibers, gratings, etc. We first analyze the forward scattering problem and establish some conditions under which there exist no guided modes. This type of conditions is important as it shows that measurements can be done on a layer above the structure without loosing substantial informations in the propagative part of the wave. We then propose a numerical method that solves the direct scattering problem based on Floquet-Bloch transform in the periodicity directions of the background media. We discretize the problem uniformly in the Floquet-Bloch variable and use a spectral method in the space variable. The discretization in space exploits a volumetric reformulation of the problem in a cell (Lippmann-Schwinger integral equation) and a periodization of the kernel in the direction orthogonal to the periodicity. The latter allows the use of FFT techniques to speed up Matrix-Vector product in an iterative to solve the linear system. One ends up with a system of coupled integral equations that can be solved using a Jacobi decomposition. The convergence analysis is done for the case with absorption and numerical validating results are conducted in 2D. For the inverse problem we extend the use of three sampling methods to solve the problem of retrieving the defect from the knowledge of mutistatic data associated with incident near field plane waves. We analyze these methods for the semi-discretized problem in the Floquet-Bloch variable. We then propose a new method capable of retrieving directly the defect without knowing either the background material properties nor the defect properties. This so-called differential-imaging functional that we propose is based on the analysis of sampling methods for a single Floquet-Bloch mode and the relation with solutions toso-called interior transmission problems. The theoretical investigations are corroborated with numerical experiments on synthetic data. Our analysis is done first for the scalar wave equation where the contrast is the lower order term of the Helmholtz operator. We then sketch the extension to the cases where the contrast is also present in the main operator. We complement our thesis with two results on the analysis of the scattering problem for periodic materials with negative indices. Weestablish the well posedness of the problem in 2D in the case of a contrast equals -1. We also show the Fredholm properties of the volume potential formulation of the problem using the T-coercivity approach in the case of a contrast different from -1.

Le Contrôle Non Destructif (CND) de matériaux composites multicouches pour des problèmes de qualité, viabilité, sécurité et disponibilité des systèmes qui impliquent des pièces fabriquées dans les industries aéronautiques et de l’automobile est devenu une tâche essentielle aujourd’hui. L'objectif visé par cette thèse est l’imagerie électromagnétique de structures complexes multicouches anisotropes, de plus en plus utilisées dans des applications, et encore source de sérieux défis à l'étape de leur modélisation et encore plus à l'étape souvent en enfance de leur imagerie. En utilisant une vaste gamme de fréquences, qui va des courants de Foucault jusqu’aux micro-ondes, il y a un fort besoin de rendre disponibles des procédures de modélisation et d'imagerie qui sont robustes, rapides, précises et utiles à la décision des utilisateurs finaux sur des défauts potentiels, tant donc en basse fréquence (BF) (matériaux conducteurs, type fibre de carbone) qu’en haute fréquence (HF) (matériaux diélectriques, type fibre de verre). De plus, il est important d'obtenir des résultats en des temps brefs. Cependant, cela nécessite la connaissance d’une réponse précise à des sources externes aux multicouches, en considérant les couches des composites comme non endommagées ou endommagées : on parle donc de solution du problème direct, avec le cas particulier de sources élémentaires conduisant aux dyades de Green (DGF). La modélisation et la simulation numérique du problème direct sont gérés principalement via une solution au premier ordre de la formulation intégrale de contraste de source impliquant le tenseur de dépolarisation des défauts, quand ceux-ci sont assez petits vis-à-vis de l’épaisseur de peau locale (cas BF) ou de la longueur d'onde locale (cas HF). La précision des DGF doit nécessairement être assurée alors, même si les sources se situent loin de l'origine, ce qui donne un spectre de dyades qui oscille très rapidement. La technique d'interpolation-intégration dite de Padua-Domínguez est ainsi introduite dans le but d'évaluer de façon efficace des intégrales fortement oscillantes.Néanmoins, les matériaux composites peuvent souffrir de divers défauts, lors du processus de fabrication ou pendant leurs utilisations. Vides d’air, cavités remplies de liquide, fissures, etc., peuvent affecter le fonctionnement correct des structures composites. Il est donc indispensable de pouvoir détecter la présence des défauts. Ici, l’insistance est sur la méthode bien connue d’imagerie dite MUltiple SIgnal Classification (MUSIC), qui est basée sur la décomposition en valeurs singulières (SVD) des DGF ; celle-ci est développée afin de localiser les positions de multiples petits défauts volumiques en interaction faible enfouis dans des milieux anisotropes uniaxiaux. Le principal inconvénient de la méthode MUSIC est cependant sa sensibilité par rapport au bruit. Par conséquent, des méthodes MUSIC avec une résolution améliorée et la Recursively Applied and Projected (RAP) MUSIC sont introduites afin de surmonter un tel inconvénient de l'algorithme standard et de fournir des résultats de qualité avec une meilleure résolution. De nombreuses simulations numériques illustrent ces investigations. / Non-Destructive Testing/Evaluation (NdT/E) of multi-layered composite materials for problems of quality, viability, safety and availability of systems involving manufactured parts (in aeronautics and in automotive industry, as a good example) has become an interesting and challenging task nowadays. The focus of the PhD thesis is on the electromagnetic (EM) imaging of complex anisotropic multi-slab composite panels as increasingly encountered in applications, yet source of strong challenges at modeling stage and even more at often-in-infancy imaging stage. From eddy-currents to microwaves, there is a strong need to make available modeling and imaging procedures that are robust, fast, accurate and useful to potential end-users’ decision about potential defects both at low-frequency (LF) (conductive materials, carbon-fiber like) and high-frequency (HF) (dielectric materials, glass-fiber like). Moreover, it is important to get the results in close-to-real-time. However, this requires an accurate response to external sources of the multilayers, considering the layers which these composite structures are made of as undamaged or damaged. The modeling at forward stage is managed via a first-order solution involving the dyadic Green’s functions (DGF) of the layers along with the depolarization tensor of the assumed defects when they are small enough vis-à-vis the skin depth (LF case) or the wavelength (HF case). The accuracy of the DGF has to be ensured even if the sources lie far away from the origin, which yields a fast-oscillating spectrum of the dyads. The Padua-Domínguez interpolation-integration technique is introduced herein in order to evaluate in an effective fashion fast-oscillating integrals.Damages or disorders, which these composite structures may suffer from, are of many kinds. One could mention voids, fluid-filled cavities or uniaxial defects with obvious impacts on the electromagnetic and geometric parameters of the multilayers. That is, the task to make available to end-users imaging algorithms tailored to detect the presence of defects. The well-known standard MUltiple SIgnal Classification (MUSIC) algorithm, which is based on the Singular Value Decomposition (SVD) of such DGF, is here applied to localize the positions of small multiple defects with weak interaction embedded in anisotropic uniaxial media. The main drawback of MUSIC is its sensitivity with respect to the noise. Therefore, MUSIC with enhanced resolution and Recursively Applied and Projected (RAP) MUSIC are introduced to overcome such a drawback of the standard algorithm and to provide quality results with better resolution.

Nous utilisons trois discrétisations connues pour leur localisation fréquentielle et spatiale: les bases d'ondelettes, les paquets d'ondelettes et les bases de cosinus locaux. Nous avons construit et programmé deux algorithmes: --- pour l'équation parabolique non-linéaire $\Delta(u)+\1e^(c*u)=f$ avec $f$ présentant une singularité, notre algorithme calcule la compression optimale en dimension 1 et 2, avec résultats numériques pour la dimension 1. --- pour l'équation intégrale oscillante correspondant à la Combined Integral Field Equation qui est en rapport avec le problème de diffraction des ondes (Helmholtz) par un obstacle régulier 2D, lorsque la longueur d'onde diminue vers $0$. Les trois discrétisations ci-dessus sont testées, et nous étudions sa bonne compressibité dans une analyse précise des obstacles à la compression menée de manière asymptotique. Des résultats originaux, montrant que N degrés de liberté par longueur d'onde suffisent à hautes fréquences, ont été démontrés, et les matrices résultant de ce seuillage ont été étudiées, illustrations et preuves à l'appui.

La caractérisation d’objets enfouis à partir de mesures d’ondes diffractées est un problème présent dans de nombreuses applications comme l’exploration géophysique, le contrôle non-destructif, l’imagerie médicale, etc. Elle peut être obtenue numériquement par la résolution d’un problème inverse. Néanmoins, c’est un problème non linéaire et mal posé, ce qui rend la tâche difficile. Une reconstruction précise nécessite un choix judicieux de plusieurs paramètres très différents, dépendant des données de la méthode numérique d’optimisation choisie.La contribution principale de cette thèse est une étude de la reconstruction complète d’obstacles élastiques immergés à partir de mesures du champ lointain diffracté. Les paramètres à reconstruire sont la frontière, les coefficients de Lamé, la densité et la position de l’obstacle. On établit tout d’abord des résultats d’existence et d’unicité pour un problème aux limites généralisé englobant le problème direct d’élasto-acoustique. On analyse la sensibilité du champ diffracté par rapport aux différents paramètres du solide, ce qui nous conduit à caractériser les dérivées partielles de Fréchet comme des solutions du problème direct avec des seconds membres modifiés. Les dérivées sont calculées numériquement grâce à la méthode de Galerkine discontinue avec pénalité intérieure et le code est validé par des comparaisons avec des solutions analytiques. Ensuite, deux méthodologies sont introduites pour résoudre le problème inverse. Toutes deux reposent sur une méthode itérative de type Newton généralisée et la première consiste à retrouver les paramètres de nature différente indépendamment, alors que la seconde reconstruit tous les paramètre en même temps. À cause du comportement différent des paramètres, on réalise des tests de sensibilité pour évaluer l’influence de ces paramètres sur les mesures. On conclut que les paramètres matériels ont une influence plus faible sur les mesures que les paramètres de forme et, ainsi, qu’une stratégie efficace pour retrouver des paramètres de nature distincte doit prendre en compte ces différents niveaux de sensibilité. On a effectué de nombreuses expériences à différents niveaux de bruit, avec des données partielles ou complètes pour retrouver certains paramètres, par exemple les coefficients de Lamé et les paramètres de forme, la densité, les paramètres de forme et la localisation. Cet ensemble de tests contribue à la mise en place d’une stratégie pour la reconstruction complète des conditions plus proches de la réalité. Dans la dernière partie de la thèse, on étend ces résultats à des matériaux plus complexes, en particulier élastiques anisotropes. / The characterization of hidden objects from scattered wave measurements arises in many applications such as geophysical exploration, non destructive testing, medical imaging, etc. It can be achieved numerically by solving an Inverse Problem. However, this is a nonlinear and ill-posed problem, thus a difficult task. A successful reconstruction requires careful selection of very different parameters depending on the data and the chosen optimization numerical method.The main contribution of this thesis is an investigation of the full reconstruction of immersed elastic scatterers from far-field pattern measurements. The sought-after parameters are the boundary, the Lamé coefficients, the density and the location of the obstacle. First, existence and uniqueness results of a generalized Boundary Value Problem including the direct elasto-acoustic problem are established. The sensitivity of the scattered field with respect to the different parametersdescribing the solid is analyzed and we end up with the characterization of the corresponding partial Fréchet derivatives as solutions to the direct problem with modified right-hand sides. These Fréchet derivatives are computed numerically thanks to the Interior Penalty Discontinuous Galerkin method and the code is validated thanks to comparison with analytical solutions. Then, two solution methodologies are introduced for solving the inverse problem. Both are based on an iterative regularized Newton-type methodology and the first one consists in retrieving the parameters of different nature independently, while the second one reconstructs all parameters together. Due to the different behavior of the parameters, sensitivity tests are performed to assess the impact of the parameters on the measurements. We conclude that material parameters have a weaker influence on the measurements than shape parameters, and therefore, a successful strategy to retrieve parameters of distinct nature should take into account these different levels of sensitivity. Various experiments at different noise levels and with full or limited aperture data are carried out to retrieve some of the physical properties, e.g. Lamé coefficients with shape parameters, density with shape parameters a, density, shape and location. This set of tests contributes to a final strategy for the full reconstruction and in more realistic conditions. In the final part of the thesis, we extend the results to more complex material parameters, in particular anisotropic elastic.

La détermination de la forme d'un obstacle élastique immergé dans un milieu fluide à partir de mesures du champ d'onde diffracté est un problème d'un vif intérêt dans de nombreux domaines tels que le sonar, l'exploration géophysique et l'imagerie médicale. A cause de son caractère non-linéaire et mal posé, ce problème inverse de l'obstacle (IOP) est très difficile à résoudre, particulièrement d'un point de vue numérique. De plus, son étude requiert la compréhension de la théorie du problème de diffraction direct (DP) associé, et la maîtrise des méthodes de résolution correspondantes. Le travail accompli ici se rapporte à l'analyse mathématique et numérique du DP élasto-acoustique et de l'IOP. En particulier, nous avons développé un code de simulation numérique performant pour la propagation des ondes associée à ce type de milieux, basé sur une méthode de type DG qui emploie des éléments finis d'ordre supérieur et des éléments courbes à l'interface afin de mieux représenter l'interaction fluide-structure, et nous l'appliquons à la reconstruction d'objets par la mise en oeuvre d'une méthode de Newton régularisée.

La détermination de la forme d'un obstacle élastique immergé dans un milieu fluide à partir de mesures du champ d'onde diffracté est un problème d'un vif intérêt dans de nombreux domaines tels que le sonar, l'exploration géophysique et l'imagerie médicale. A cause de son caractère non-linéaire et mal posé, ce problème inverse de l'obstacle (IOP) est très difficile à résoudre, particulièrement d'un point de vue numérique. De plus, son étude requiert la compréhension de la théorie du problème de diffraction direct (DP) associé, et la maîtrise des méthodes de résolution correspondantes. Le travail accompli ici se rapporte à l'analyse mathématique et numérique du DP élasto-acoustique et de l'IOP. En particulier, nous avons développé un code de simulation numérique performant pour la propagation des ondes associée à ce type de milieux, basé sur une méthode de type DG qui emploie des éléments finis d'ordre supérieur et des éléments courbes à l'interface afin de mieux représenter l'interaction fluide-structure, et nous l'appliquons à la reconstruction d'objets par la mise en oeuvre d'une méthode de Newton régularisée. / The determination of the shape of an elastic obstacle immersed in water from some measurements of the scattered field is an important problem in many technologies such as sonar, geophysical exploration, and medical imaging. This inverse obstacle problem (IOP) is very difficult to solve, especially from a numerical viewpoint, because of its nonlinear and ill-posed character. Moreover, its investigation requires the understanding of the theory for the associated direct scattering problem (DP), and the mastery of the corresponding numerical solution methods. The work accomplished here pertains to the mathematical and numerical analysis of the elasto-acoustic DP and of the IOP. More specifically, we have developed an efficient numerical simulation code for wave propagation associated to this type of media, based on a DG-type method using higher-order finite elements and curved edges at the interface to better represent the fluid-structure interaction, and we apply it to the reconstruction of objects with the implementation of a regularized Newton method.