Contexte. Les problèmes inverses, qui font l'objet de nombreuses études aujourd'hui, apparaissent dans une large gamme d'applications : imagerie et tomographie, identification de propriétés matérielles, contrôle non destructif,... L'étude présentée s'inscrit dans le cadre de ce dernier exemple. Elle a pour objet la recherche de nouvelles méthodes, numériquement rapides, permettant une identification qualitative d'objets (inclusions, cavités, fissures,...) enfouis dans des milieux élastiques linéaires, en connaissant (au moins partiellement) la réponse en surface à une sollicitation dynamique. La plupart des méthodes classiquement utilisées pour traiter ce type de problèmes sont fondées sur des algorithmes itératifs de minimisation qui requièrent un grand nombre de simulations directes. Dans le contexte considéré pour cette étude (propagation d'ondes dans des solides élastiques tridimensionnels), ces simulations sont très coûteuses numériquement. L'émergence récente de techniques permettant de sonder, numériquement, de façon non-itérative un milieu donné, a permis d'aborder ces problèmes sous un nouveau jour. Un ensemble d'études a en particulier montré, dans le cadre des hypothèses adoptées pour cette thèse, l'intérêt de méthodes telles que la Sensibilité Topologique ou le Linear Sampling, pour une détection approchée mais rapide. Objectifs de la thèse. L'étude qui est présentée ici, s'inscrit dans la perspectives du développement des deux méthodes mentionnées, dans le contexte de la mécanique des solides déformables, c'est-à-dire pour des problèmes de diffraction inverse en acoustique et en élasticité. Les différents point abordés dans ce travail sont les suivants : • Appréciation des capacités et des performances respectives des deux méthodes, en particulier lorsqu'elles sont mises en œuvre dans des codes numériques usuels, fondés par exemple sur la méthode des éléments finis. • Utilisation de ces développements pour une identification qualitative combinant géométrie et propriétés matérielles des défauts diffractants inconnus. • Extension de ces méthodes, ainsi que démonstration de leurs pertinences, pour des problèmes de diffraction inverse dans le domaine temporel ou utilisation des mesures multi-fréquentielles des champs diffractés. • Etude de quelques problèmes théoriques fondamentaux pour la justification et la mise en œuvre rigoureuse de ces méthodes. • Compréhension des liens théoriques pouvant exister entre la méthode de sensibilité topologique et la méthode de ”linear sampling”.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux questions de stabilité et d'instabilité dans certains problèmes inverses classiques pour l'équation de Schrödinger et l'équation acoustique en dimension d>=2. Les problèmes considérés sont le problème inverse de Gel'fand de valeurs au bord et les problèmes inverses de diffusion en champ proche et en champ lointain. Les résultats de stabilité et d'instabilité présentés dans cette thèse se complètent mutuellement et contribuent à une meilleure compréhension de la nature des problèmes précités. En particulier, nous démontrons des nouvelles estimations de stabilité globale qui dépendent explicitement de la régularité du coefficient et de l'énergie. En outre, nous considérons le problème inverse de valeurs au bord pour l'équation de Schrödinger à l'énergie fixée avec des mesures frontières représentées comme l'opérateur frontière d'impédance (ou l'opérateur Robin-Robin). Nous démontrons des estimations de stabilité globale pour détermination du potentiel à partir de mesures frontières dans cette représentation d'impédance. De plus, des techniques similaires donnent aussi une procédure de reconstruction globale pour ce problème.

Nous nous intéressons ici aux problèmes inverses mal posés ainsi qu'à leur résolution dans un cadre bayésien. Dans un premier temps, nous décrirons la démarche que nous avons suivie lors de la résolution d'un problème inverse mal posé. Elle consiste à déterminer simultanément la paramétrisation de l'objet inconnu, le modèle " simplifié " décrivant le principe de formation des données, le choix du modèle de bruit et le choix de l'information a priori introduite. Ces différents choix sont souvent contraints par le temps de calcul nécessaire pour obtenir l'estimateur. On illustrera la démarche en résolvant des problèmes inverses variés dans le domaine de l'imagerie médicale (réduction des artéfacts métalliques) et de l'astrophysique (reconstruction 3D+T de la couronne solaire et reconstruction sur-résolue du rayonnement infra-rouge de l'univers). Dans deuxième temps, nous développerons un aspect plus méthodologique. En effet, nous avons constaté que les approches entièrement bayésiennes étaient difficilement applicables à des problèmes de grandes dimensions (plus d'un million d'inconnues) pour des raisons de coût calculatoire. Nous avons donc mis au point une nouvelle approche bayésienne variationnelle permettant de s'affranchir de ce problème. Pour obtenir notre algorithme, nous avons résolu un problème d'optimisation fonctionnelle dans l'espace des mesures à densité. Puis, nous avons appliqué notre approche sur l'inversion de problèmes linéaires de grandes tailles.

L'objectif de cette thèse est de proposer des méthodes fiables, efficaces et rapides pour minimiser des critères convexes apparaissant dans la résolution de problèmes inverses en imagerie. Ainsi, nous nous intéresserons à des problèmes de restauration/reconstruction lorsque les données sont dégradées par un opérateur linéaire et un bruit qui peut être non additif. La fiabilité de la méthode sera assurée par l'utilisation d'algorithmes proximaux dont la convergence est garantie lorsqu'il s'agit de minimiser des critères convexes. La quête d'efficacité impliquera le choix d'un critère adapté aux caractéristiques du bruit, à l'opérateur linéaire et au type d'image à reconstruire. En particulier, nous utiliserons des termes de régularisation basés sur la variation totale et/ou favorisant la parcimonie des coefficients du signal recherché dans une trame. L'utilisation de trames nous amènera à considérer deux approches : une formulation du critère à l'analyse et une formulation du critère à la synthèse. De plus, nous étendrons les algorithmes proximaux et leurs preuves de convergence aux cas de problèmes inverses multicomposantes. La recherche de la rapidité de traitement se traduira par l'utilisation d'algorithmes proximaux parallélisables. Les résultats théoriques obtenus seront illustrés sur différents types de problèmes inverses de grandes tailles comme la restauration d'images mais aussi la stéréoscopie, l'imagerie multispectrale, la décomposition en composantes de texture et de géométrie. Une application attirera plus particulièrement notre attention ; il s'agit de la reconstruction de l'activité dynamique en Tomographie par Emission de Positrons (TEP) qui constitue un problème inverse difficile mettant en jeu un opérateur de projection et un bruit de Poisson dégradant fortement les données observées. Pour optimiser la qualité de reconstruction, nous exploiterons les caractéristiques spatio-temporelles de l'activité dans les tissus / The objective of this work is to propose reliable, efficient and fast methods for minimizing convex criteria, that are found in inverse problems for imagery. We focus on restoration/reconstruction problems when data is degraded with both a linear operator and noise, where the latter is not assumed to be necessarily additive.The methods reliability is ensured through the use of proximal algorithms, the convergence of which is guaranteed when a convex criterion is considered. Efficiency is sought through the choice of criteria adapted to the noise characteristics, the linear operators and the image specificities. Of particular interest are regularization terms based on total variation and/or sparsity of signal frame coefficients. As a consequence of the use of frames, two approaches are investigated, depending on whether the analysis or the synthesis formulation is chosen. Fast processing requirements lead us to consider proximal algorithms with a parallel structure. Theoretical results are illustrated on several large size inverse problems arising in image restoration, stereoscopy, multi-spectral imagery and decomposition into texture and geometry components. We focus on a particular application, namely Positron Emission Tomography (PET), which is particularly difficult because of the presence of a projection operator combined with Poisson noise, leading to highly corrupted data. To optimize the quality of the reconstruction, we make use of the spatio-temporal characteristics of brain tissue activity

Ce travail est consacré à la résolution e?cace de problèmes d’optimisation de forme ou de contrôle d’écoulements. Le couplage entre la pénalisation, permettant d’imposer des conditions aux bords sur maillage cartésien, et la méthode Level-Set, autorisant une représentation d’obstacles non-paramétrique et un suivi d’interface précis, est implémenté. En première partie, un problème inverse modèle, puis une optimisation géométrique en régime de Stokes, sont traités itérativement. Une attention particulière est portée à la solution des EDP près des zones pénalisées, et une montée en ordre est réalisée. Divers préconditionnements du gradient de forme sont aussi discutés a?n d’améliorer la convergence. La seconde partie est dédiée à la simulation directe d’écoulements au voisinage d’un actionneur dans le cadre d’un contrôle par jets pulsés exercé sur le corps d’Ahmed. L’étude locale montre l'in?uence de paramètres comme la fréquence de pulsation ou l’allure des pro?ls de vitesse en sortie sur la qualité de l’action. En guise de synthèse, une optimisation de la forme de l’actionneur du chapitre deux est pratiquée sous contraintes topologiques et dans un cadre simpli?é, à l’aide du couplage Level-Set/pénalisation préalablement introduit. L’objectif du problème inverse posé est de modi?er la géométrie intérieure du MEMS pour obtenir un pro?l de vitesses désiré en sortie de jet. / This work deals with e?cient numerical solving of problems linked with shape optimization or ?ow control. The combination between penalization, that allows to impose boundary conditions while avoiding the use of body-?tted grids, and Level-Set methods, which enable a natural non-parametric representation of the geometries to be optimized, is implemented. In the ?rst part, a model inverse problem, and an application pertaining to optimal design in Stokes ?ows, are treated with an iterative algorithm. Special care is devoted to the solution of the PDE’s in the vicinity of the penalized regions. The discretization accuracy is increased. Various gradient preconditionings aiming at improving the convergence are also discussed. The second part is dedicated to direct numerical simulation of ?ows in the neighborhood of an actuator, in the context of active control by pulsed jets used on the Ahmed body. The local study emphasizes the in?uence of various parameters on the action quality, in particular the pulsation frequency, or the aspect of exit velocity pro?les. As a synthesis, shape optimization is performed on the actuator of chapter two, thanks to the previously introduced coupling between Level-Set and penalization. The framework is simpli?ed and topological constraints are imposed. The inverse problem we set intends to modify the MEMS inner geometry to retrieve a given jet pro?le on the exit section.

La recherche sur les méthodes bayésiennes non-paramétriques connaît un essor considérable depuis les vingt dernières années notamment depuis le développement d'algorithmes de simulation permettant leur mise en pratique. Il est donc nécessaire de comprendre, d'un point de vue théorique, le comportement de ces méthodes. Cette thèse présente différentes contributions à l'analyse des propriétés fréquentistes des méthodes bayésiennes non-paramétriques. Si se placer dans un cadre asymptotique peut paraître restrictif de prime abord, cela permet néanmoins d'appréhender le fonctionnement des procédures bayésiennes dans des modèles extrêmement complexes. Cela permet notamment de détecter les aspects de l'a priori particulièrement influents sur l’inférence. De nombreux résultats généraux ont été obtenus dans ce cadre, cependant au fur et à mesure que les modèles deviennent de plus en plus complexes, de plus en plus réalistes, ces derniers s'écartent des hypothèses classiques et ne sont plus couverts par la théorie existante. Outre l'intérêt intrinsèque de l'étude d'un modèle spécifique ne satisfaisant pas les hypothèses classiques, cela permet aussi de mieux comprendre les mécanismes qui gouvernent le fonctionnement des méthodes bayésiennes non-paramétriques. / Research on Bayesian nonparametric methods has received a growing interest for the past twenty years, especially since the development of powerful simulation algorithms which makes the implementation of complex Bayesian methods possible. From that point it is necessary to understand from a theoretical point of view the behaviour of Bayesian nonparametric methods. This thesis presents various contributions to the study of frequentist properties of Bayesian nonparametric procedures. Although studying these methods from an asymptotic angle may seems restrictive, it allows to grasp the operation of the Bayesian machinery in extremely complex models. Furthermore, this approach is particularly useful to detect the characteristics of the prior that are strongly influential in the inference. Many general results have been proposed in the literature in this setting, however the more complex and realistic the models the further they get from the usual assumptions. Thus many models that are of great interest in practice are not covered by the general theory. If the study of a model that does not fall under the general theory has an interest on its owns, it also allows for a better understanding of the behaviour of Bayesian nonparametric methods in a general setting.

Dans le domaine automobile, bien qu’assez élaborées, les approches actuellement mises en œuvre pour analyser et prédire l’état vibro-acoustique d’un véhicule ne sont pas encore représentatives de la complexité réelle des systèmes mis en jeu. Entre autres limitations, les spécifications pour la conception restent essentiellement basées sur des cas de chargement extrêmes, utiles pour la tenue des structures mais non représentatifs de l’usage client pour les prestations vibro-acoustiques. Un objectif principal est ainsi de construire des modèles probabilistes aptes à prendre en compte les usages client et les conditions de fonctionnement réelles, en même temps que les incertitudes structurelles du véhicule comme les dispersions en fabrication. Ces modèles sont destinés à maîtriser un domaine s’étendant jusqu’aux moyennes fréquences. Pour ce faire, quatre étapes sont proposées : (1) une modélisation générique du système mécanique constitué par un véhicule, cohérente avec les réponses dynamiques dont la prédiction est souhaitée par les ingénieurs automobile ; (2) l’estimation de l’ensemble des efforts qui s’appliquent sur ce système, pour une large plage de conditions de fonctionnement véhicule ; (3) l’analyse et la modélisation de ces efforts considérés comme fonctions des conditions de fonctionnement; (4) l’étude de l’application des efforts modélisés à une structure dont les fonctions de transfert ont été calculées par une méthode d’élément finis stochastique non-paramétrique. La réponse ainsi obtenue est une image bien plus fidèle des conditions de fonctionnement du véhicule et de ses incertitudes structurelles. Pour ces étapes, des algorithmes bayésiens ad hoc sont développés et mis en œuvre sur une importante base de données issue de projets automobiles. Le cadre bayésien est particulièrement utile dans ce travail pour prendre en compte toute connaissance a priori, notamment celle des experts véhicule, et pour facilement propager l’incertitude entre les différents niveaux du modèle probabilisé. Enfin, les méthodes d’analyse choisies ici se révèlent intéressantes non seulement pour la réduction effective des données, mais aussi pour aider la compréhension physique et l’identification des phénomènes dynamiquement dominants. / In the automotive domain, although already quite elaborate, the current approaches to predict and analyse the vibro-acoustic behaviour of a vehicle are still far from the complexity of the real system. Among other limitations, design specifications are still essentially based on extreme loading conditions, useful when verifying the mechanical strength, but not representative of the actual vehicle usage, which is instead important when addressing the vibro-acoustic performance. As a consequence, one main aim here is to build a prediction model able to take into account the loading scenarios representative of the actual vehicle usage, as well as the car structural uncertainty (due, for instance, to production dispersion). The proposed model shall cover the low and mid-frequency domain. To this aim, four main steps are proposed in this work: (1) the definition of a model for a general vehicle system, pertinent to the vibro-acoustic responses of interest; (2) the estimation of the whole set of loads applied to this system in a large range of operating conditions; (3) the statistical analysis and modelling of these loads as a function of the vehicle operating conditions; (4) the analysis of the application of the modelled loads to non-parametric stochastic transfer functions, representative of the vehicle structural uncertainty. To achieve the previous steps, ad hoc Bayesian algorithms have been developed and applied to a large industrial database. The Bayesian framework is considered here particularly valuable since it allows taking into account prior knowledge, namely from automotive experts, and since it easily enables uncertainty propagation between the layers of the probabilistic model. Finally, this work shows that the proposed algorithms, more than simply yielding a model of the vibro-acoustic response of a vehicle, are also useful to gain deep insights on the dominant physical mechanisms at the origin of the response of interest.

L'objectif de ce travail est de développer de nouvelles méthodes statistiques de reconstruction d'image spatiale (3D) et spatio-temporelle (3D+t) en Tomographie par Émission de Positons (TEP). Le but est de proposer des méthodes efficaces, capables de reconstruire des images dans un contexte de faibles doses injectées tout en préservant la qualité de l'interprétation. Ainsi, nous avons abordé la reconstruction sous la forme d'un problème inverse spatial et spatio-temporel (à observations ponctuelles) dans un cadre bayésien non paramétrique. La modélisation bayésienne fournit un cadre pour la régularisation du problème inverse mal posé au travers de l'introduction d'une information dite a priori. De plus, elle caractérise les grandeurs à estimer par leur distribution a posteriori, ce qui rend accessible la distribution de l'incertitude associée à la reconstruction. L'approche non paramétrique quant à elle pourvoit la modélisation d'une grande robustesse et d'une grande flexibilité. Notre méthodologie consiste à considérer l'image comme une densité de probabilité dans (pour une reconstruction en k dimensions) et à chercher la solution parmi l'ensemble des densités de probabilité de . La grande dimensionalité des données à manipuler conduit à des estimateurs n'ayant pas de forme explicite. Cela implique l'utilisation de techniques d'approximation pour l'inférence. La plupart de ces techniques sont basées sur les méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC). Dans l'approche bayésienne non paramétrique, nous sommes confrontés à la difficulté majeure de générer aléatoirement des objets de dimension infinie sur un calculateur. Nous avons donc développé une nouvelle méthode d'échantillonnage qui allie à la fois bonnes capacités de mélange et possibilité d'être parallélisé afin de traiter de gros volumes de données. L'approche adoptée nous a permis d'obtenir des reconstructions spatiales 3D sans nécessiter de voxellisation de l'espace, et des reconstructions spatio-temporelles 4D sans discrétisation en amont ni dans l'espace ni dans le temps. De plus, on peut quantifier l'erreur associée à l'estimation statistique au travers des intervalles de crédibilité. / The aim of this work is to develop new statistical methods for spatial (3D) and space-time (3D+t) Positron Emission Tomography (PET) reconstruction. The objective is to propose efficient reconstruction methods in a context of low injected doses while maintaining the quality of the interpretation. We tackle the reconstruction problem as a spatial or a space-time inverse problem for point observations in a \Bayesian nonparametric framework. The Bayesian modeling allows to regularize the ill-posed inverse problem via the introduction of a prior information. Furthermore, by characterizing the unknowns with their posterior distributions, the Bayesian context allows to handle the uncertainty associated to the reconstruction process. Being nonparametric offers a framework for robustness and flexibility to perform the modeling. In the proposed methodology, we view the image to reconstruct as a probability density in(for reconstruction in k dimensions) and seek the solution in the space of whole probability densities in . However, due to the size of the data, posterior estimators are intractable and approximation techniques are needed for posterior inference. Most of these techniques are based on Markov Chain Monte-Carlo methods (MCMC). In the Bayesian nonparametric approach, a major difficulty raises in randomly sampling infinite dimensional objects in a computer. We have developed a new sampling method which combines both good mixing properties and the possibility to be implemented on a parallel computer in order to deal with large data sets. Thanks to the taken approach, we obtain 3D spatial reconstructions without any ad hoc space voxellization and 4D space-time reconstructions without any discretization, neither in space nor in time. Furthermore, one can quantify the error associated to the statistical estimation using the credibility intervals.

La neuromodulation offre une possibilité de traitement pour des pathologies pharmoco-resistantes. Dans ce domaine, l'émergence de matrices d'électrodes à l'échelle microscopique ouvre la voie à des interfaces neurales sélectives. Cependant, leur fonctionnalité est réduite par le manque d'information sur l'anatomie fonctionnelle du nerf ciblé. L'objectif global de ce projet de thèse est d'explorer les possibilités d'imager un nerf de manière non-invasive par tomographie d'impédance électrique (EIT). Modalité d'imagerie des tissus mous, l'EIT déduit des cartes de conductivité à partir de mesures sur la frontière du domaine étudié. Une plateforme expérimentale a été mise en place et a permis de valider les développements des méthodes numériques effectués pour la prédiction des données et l'estimation des paramètres. Des tests in vivo ont été réalisés dans le contexte de la stimulation du nerf vague et du nerf sciatique. Des spécifications pour de futures expériences ont été déduites, avec l'utilisation d'électrodes plus robustes comprenant un plus grand nombre de contacts par section. / Neuromodulation offers treatments for drug resistant pathologies. In this field, the emergence of micro-scale multi-electrode arrays paves the way for selective neural interfaces. But they suffer from the lack of information on the nerve functional anatomy. The global aim of this PhD project is to explore the possibilities of imaging the inside of a nerve in a non-invasive way through electrical impedance tomography (EIT). As a soft-field imaging modality, EIT infers conductivity maps from boundary measurements. An experimental platform was built and allowed the validation of numerical methods developed for data prediction and parameter estimation. In vivo tests were performed in the context of vagus and sciatic nerve stimulation. Specifications were deduced for future experiments, with more reliable electrodes, embedding a higher number of contacts per cross-section.

La méthode de diffusion inverse est la plus efficace dans la théorie des systèmes intégrables. Introduite dans les années soixantes, d'importants résultats ont été obtenus pour les problèmes de dimension 1+1 et notamment sur l'interaction de solitons. Depuis quelques années, l'intérêt est porté sur des problèmes de dimensions supérieures comme les équations de Davey-Sterwartson, une généralisation de l'équation intégrable de Schrödinger cubique non linéaire en dimension 1+1. Des études numériques en limite semi-classique de l'équation de Davey-Stewartson II (DSII) défocalisant, font apparaître des points communs avec le cas réduit unidimensionnel, par exemple sur l'existence d'ondes de choc dispersives : des conditions initiales lisses mènent à une région d'oscillations rapides et modulées dans le voisinage des chocs des solutions des équations non dispersives dotées des mêmes conditions initiales.Cette thèse donne les premières étapes pour l'étude analytique de ce problème basée sur la méthode de la transformée de diffusion inverse. Les deux types de méthodes, directe et inverse, pour l'équation de DSII permettent de réécrire le problème sous la forme des équations D-bar. On considère la transformée spectrale directe pour l'équation DSII avec des conditions initiales lisses en limite semi-classique. La transformée spectrale directe mène à un système de Dirac elliptique singulièrement perturbé en deux dimensions. On introduit une méthode de type BKW pour ce problème et on montre qu'il est bien défini pour des paramètres spectraux k ∈ ℂ dont les modules sont suffisamment grands en controllant la solution d'une équation eikonale non linéaire. Aussi cette méthode donne des résultats numériques précis pour de tels k en limite semi-classique. Ces résultats reposent sur la solution numérique du système de Dirac singulièrement perturbé et la solution numérique du problème eikonal.On résout le problème eikonal de manière explicite pout tout k dans le cas d'un potentiel particulier. Ces calculs donnent une explication sur le fait que l'on ne puisse pas appliquer la méthode BKW pour des valeurs de |k| plus petites. On présente une nouvelle méthode numérique pour calculer la solution du problème eikonal avec des valeurs de |k| suffisamment grandes.Les calculs numériques de la transformée spectrale directe offrent une manière d'analyser le système de Dirac singulièrement perturbé pour des valeurs de |k| si petites qu'il n'y a pas de solution globale au problème eikonal. On donne une analyse semi-classique rigoureuse sur la solution pour des potentiels radiaux en k = 0, ce qui donne une expression asymptotique du coefficient de réflexion pour k = 0 et suggère une structure annulaire pour la solution, ce qui peut être utilisé quand |k| ≠ 0 est petit. L'étude numérique suggère aussi que pour certains potentiels, le coefficient de réflexion converge simplement, quand ε ↓ 0, vers une fonction limite définie pour des valeurs de k pour lesquelles le problème eikonal n'a pas de solution globale. On propose que les singularités de la fonction eikonale jouent un rôle aussi similaire que les points tournants de la théorie unidimensionelle. / Inverse scattering is the most powerful tool in theory of integrable systems. Starting in the late sixties resounding great progress was made in (1+1) dimensional problems with many break-through results as on soliton interactions. Naturally the attention in recent years turns towards higher dimensional problems as the Davey-Stewartson equations, an integrable generalisation of the (1+1)-dimensionalcubic nonlinear Schrödinger equation. The defocusing Davey-Stewartson II equation, in its semi-classical limit has been shown in numerical experiments to exhibit behavior that qualitatively resembles that of its one-dimensional reduction, namely the generation of a dispersive shock wave: smooth initial data develop a zone rapid modulated oscillations in the vicinity of shocks of solutions for the corresponding dispersionless equations for the same initial data. The present thesis provides a first step to study this problem analytically using the inverse scattering transform method. Both the direct and inverse scattering transform for DSII can be expressed as D-bar equations. We consider the direct spectral transform for the defocusing Davey-Stewartson II equation for smooth initial data in the semi-classical limit. The direct spectral transform involves a singularly perturbed elliptic Dirac system in two dimensions. We introduce a WKB-type method for this problem and prove that it is well defined for sufficiently large modulus of the spectral parameter k ∈ ℂ by controlling the solution of an associated nonlinear eikonal problem. Further, we give numerical evidence that the method is accurate for such k in the semiclassical limit. Producing this evidence requires both the numerical solution of the singularly perturbed Dirac system and the numerical solution of the eikonal problem. We present a new method for the numerical solution of the eikonal problem valid for sufficiently large |k|. For a particular potential we are able to solve the eikonal problem in a closed form for all k, acalculation that yields some insight into the failure of the WKB method for smaller values of |k|. The numerical calculations of the direct spectral transform indicate how to study the singularly perturbed Dirac system for values of |k| so small that there is no global solution of the eikonal problem. We provide a rigorous semiclassical analysis of the solution for real radial potentials at k=0, which yields an asymptotic formula for the reflection coefficient at k = 0 and suggests an annular structure for the solution that may be exploited when |k| ≠ 0 is small. The numerics also suggest that for some potentials the reflection coefficient converges point-wise as ε ↓ 0 to a limiting function that is supported in the domain of k-values on which the eikonal problem does not have a global solution. We suggest that singularities of the eikonal function play a role similar to that of turning points in the one-dimensional theory.