Cette thèse présente un ensemble de solutions pour une métrologie efficace de l'Internet. La métrologie de l'Internet est un domaine en pleine évolution étant donnée la croissance exponentielle du réseau en termes de machines, réseaux, et applications, couplée à l'absence de solutions standard pouvant répondre à tous les besoins des utilisateurs et des opérateurs. Notre objectif le long de cette recherche a été le développement des solutions qui passent à l'échelle et qui réduisent la charge sur le réseau sans pour autant compromettre la précision des résultats obtenus. Nous avons agi pour cela sur deux fronts. Sur le front des mesures passives, nous avons proposé une solution pour la capture du trafic à travers un réseau d'opérateur. Au lieu de collecter tout le trafic et de l'analyser ultérieurement, notre solution permet aux opérateurs de définir une tâche de mesure et de programmer les routeurs de telle sorte que chacun d'eux collecte la quantité de trafic nécessaire sans que le volume total du trafic collecté dépasse un certain seuil. Cette réduction du volume du trafic collecté s'effectue par le biais de l'échantillonnage spatiale et temporelle. L'échantillonnage a un impact négatif sur la précision de la mesure, un impact qui peut être réduit par des techniques de filtrage et des solutions protocolaires. Nous avons illustré ceci sur deux exemples concrets, le premier celui de la détection des gros flots utilisateurs et le deuxième celui de la métrologie des grandes populations variant au cours du temps. Pour les deux exemples nous avons mené une étude pour évaluer l'impact de l'échantillonnage suivi par des solutions réduisant l'erreur lors de l'inversion des informations échantillonnées. Ensuite nous avons abordé l'approche active dans la métrologie et avons présenté une solution appelée TICP qui permet de contrôler le débit des paquets sondes à injecter dans le réseau et d'assurer la fiabilité quand il s'agit d'une application sondant un grand nombre de machines distribuées à travers le réseau. TICP peut être vu comme un multiplexage d'un grand de connexions TCP partant d'une même machine et destinées à des machines différentes en une seule connexion. Toutes nos solutions ont été validées par des simulations et des traces réelles.

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Nous étudions des champs aléatoires sur le réseau Z^d. Ils sont supposés stationnaires, du second ordre et à longue mémoire, propriété due à la non sommabilité de leur fonction de covariance. Contrairement aux travaux antérieurs, leur longue mémoire peut être non isotrope. Lorsque ces champs sont linéaires, nous obtenons la convergence fonctionnelle de leurs sommes partielles. A partir de ce résultat, nous proposons une procédure pour tester la faible dépendance contre la forte dépendance d'un champ. Nous montrons par ailleurs la dégénérescence asymptotique du processus empirique de champs à longue mémoire ; les applications concernent notamment la convergence des U-statistiques. Nous étudions enfin certaines formes quadratiques de champs à longue mémoire. Cela nous permet d'obtenir en application la loi limite des covariances empiriques et constitue une première étape dans l'étude de l'estimateur de Whittle des paramètres de longue mémoire d'un champ.

On introduit un formalisme de mecanique statistique pour l'etude des processus stochastiques discrets (chaines) pour lesquels on prouve : (i) des proprietes generales de chaines extremales, incluant la trivialite de la tribu queue, les correlations a courtes portees, la realisation via des limites a volumes infinis et l'ergodicite, (ii) deux nouvelles conditions pour l'unicite de la chaine coherante, (iii) des resultats de perte de memoire et des proprietes de melange pour des chaines sous le regime de Dobrushin. On considere des systemes a alphabet fini, pouvant avoir une grammaire. On etablit des conditions pour qu'une chaine definisse une mesure de Gibbs et vice-versa. On discute de l'equivalence des criteres d'unicite pour les chaines et les champs et on etablit des bornes pour les taux de continuite des systemes respectifs de probabilites conditionnelles. On prouve un theoreme de (re)construction pour les specifications en partant de conditionnement sur un site.

Nous presentons un modele de systemes de ressources partagees sur lequel nous definissons un parametre de performances fondamental : $\gamma$. Nous cherchons ensuite a etudier ce parametre de performances pour une classe de systemes stochastiques. Apres avoir presente quelques proprietes analytiques de $\gamma$, nous nous interessons a son evaluation. Les calculs exacts etant rarement possibles, nous recherchons des bornes. Plusieurs approches sont presentees. Les resultats mettent en valeur une notion importante : celle de graphe d'exclusion d'un systeme de ressources partagees. En effet, les bornes obtenues sont fonctions de quantites simples definies sur ce graphe, telles que le degre moyen ou le nombre chromatique. Nous montrons ensuite les resultats qu'apportent les bornes que nous avons trouvees pour l'estimation d'exposants de Lyapunov de matrices stochastiques dans l'algebre (max,+).

En utilisant le calcul de Malliavin et la théorie des formes de Dirichlet à travers la propriété de densité de l'énergie image, nous menons une étude de la régularité des mesures invariantes. Les cas discret et continu sont traités. Nous en déduisons des vitesses de convergence à l'équilibre, grace à un renforcement "quantitatif" de la propriété de densité de l'énergie image, qui permet d'établir des convergences en variation totale de mesures. De nombreuses conséquences sont déduites de cette propriété, comme le caractère Rajchman des variables non dégénérées au sens de l'opérateur carré du champ, ceci va dans le sens de la conjecture de Bouleau-Hirsch.

Ce document de synthèse présente différents travaux de recherche centrés sur le comportement asymptotique de processus stochastiques. Ces travaux analysent des équations différentielles stochastiques ou des systèmes d'EDS dirigés par des mouvements browniens. Ils font effectivement appel au calcul asymptotique: dans les questions posées, il s'agit bien souvent de considérer la limite d'un paramètre du système dynamique. Cela peut être: le coefficient de diffusion qui tend vers $0$, le temps qui croît à l'infini, le nombre de particules dans un système de particules en interaction qui tend vers l'infini, le pas de temps d'une marche aléatoire qui tend vers $0$. Les techniques utilisées sont donc spécifiques à ces passages à la limite: grandes déviations, estimation d'intégrales par la méthode de Laplace, limite de McKean-Vlasov, propagation du chaos, critère de tension des lois de processus, décomposition spectrale des semi-groupes.

Cette thèse présente des contributions originales pour la conception et la vérification de systèmes non-déterministes et stochastiques. Nos résultats sont divisés selon trois lignes directrices. Premièrement, nous généralisons la théorie des interfaces au cas stochastique, en s'appuyant sur le formalisme classique des chaînes de Markov à intervalles pour construire la première théorie de spécification compositionnelle pour systèmes stochastiques : les chaînes de Markov à contraintes. Deuxièmement, nous étendons la notion de contrats hypothèse-garantie et développons une théorie compositionnelle à base de contrats pour systèmes stochastiques, pour laquelle nous proposons des notions quantitatives de raffinement et de satisfaction. Finalement, nous proposons une méthodologie pour la vérification de systèmes complexes, basée sur une abstraction stochastique. Cette méthodologie, combinée avec le model-checking statistique, est appliquée avec succès à un cas d'étude industriel.

Ce document pr\ésente une synthèse de mes travaux sur des problématiques de mathématiques appliquées à l'actuariat. La théorie du risque, également appelée théorie de la ruine, concerne d'une manière générale l'évaluation de probabilités de réalisations d'événements défavorables pour des compagnies d'assurances. Au-delà de ces calculs de probabilités dans un modèle fixé, des branches de cette théorie s'intéressent aussi à différents problèmes d'optimisation: d'allocation de réserve, de stratégie de versement de dividendes ou d'imposition (au sens de la fiscalité), d'investissement dans des actifs risqués, de programme de réassurance...

Nous présentons dans ce mémoire un résumé des travaux concernant tout d'abord les discrétisations de processus stochastiques: processus de diffusion stoppés, équation différentielles stochastiques rétrogrades, développement d'erreur pour les densités d'EDS dirigées par des processus stables symétriques approchées par leur schéma d'Euler. Nous abordons ensuite les estimées de densité pour une certaine classe de processus dégénérés (processus de Langevin et théorème limite local associé, chaine d'oscillateurs bruités) ainsi que quelques applications (bornes de Monte Carlo non asymptotiques).