Thèse de doctorat : Mathématiques : Lille 1 : 2001. / N° d'ordre (Lille) : 3085. Résumé en français et en anglais. Bibliogr. p. 115-119.

Thèse doctorat : Mathématiques : La Rochelle : 2006. / Bibliogr. p. 157-161.

Depuis septembre 2006, je suis maître de conférences à l'université Montesquieu Bordeaux IV en mathématiques appliquées. Je suis membre du GREThA (groupement de recherche en économie théorique et appliquée), de l'IMB (Institut de Mathématiques de Bordeaux, équipe probabilités et statistique) et de l'équipe Inria CQFD (contrôle de qualité et fiabilité dynamique). Depuis mon arrivée à Bordeaux, mes travaux de recherche se poursuivent dans deux directions principales : l'une concerne les processus auto-régressifs de bifurcation sur des arbres binaires et l'autre le développement d'outils numériques pour le contrôle des processus markoviens déterministes par morceaux. Il s'agit de processus en temps continu qui changent de régime de façon markovienne au cours du temps. Ce mémoire présente uniquement mes travaux réalisés à Bordeaux depuis 2006.

L'objectif de la th'ese est de d'evelopper des mod'eles math'ematiques et leurs analyses qui permettront de d'eterminer le potentiel de vie d'un produit en fonction de l''evolution des param'etres environnementaux (par exemple temp'erature ambiante), des grandeurs physiques trahissant l''etat de sant'e des produits (par exemple temps de mise 'a froid) et de proposer une politique de maintenance adapt'ee. A terme, un produit devra ˆetre capable d'indiquer 'a son utilisateur : - son capital de vie r'esiduel, - la probabilit'e de r'eussir une mission donn'ee compte tenu de son 'etat, - la date optimale de maintenance.

Thèse (Ph. D.)--Université Laval, 2007. / Titre de l'écran-titre (visionné le 5 mai 2008). Bibliogr.

Systems chemistry aims at studying and developing "smart" materials displaying reactivity to external stimuli, metabolism, self-repair abilities and self-replication properties. These features constitute the principal characteristics of living systems that smart materials tend to mimic. The synthesis strategies of these materials are still in their infancy, and identifying the mechanisms underlying emergent phenomena could lead to a better control and use of these behaviours in the synthesis of new materials. The complex dynamics of biological systems usually arises from the coupling of compartmentalised units in which nonlinear chemical reactions take place. In this thesis, we are interested in the complex dynamics emerging from such compartmentalisation of a reactive system. First, we analyse the impact of fluctuations of concentration on the dynamics of a chemical oscillatory reaction, namely the Belousov-Zhabotinsky reaction. We show that oscillations are more robust against fluctuations than other behaviours generated by the reaction (birhythmicity, chaos, ) and highlight different mechanisms by which oscillations can arise from fluctuations. Then, we study a model for chemical chaos, the so-called Willamowsky-Rössler model, in which we incorporate fluctuations and crowding effects. Fluctuations have a destructive effect on chaotic dynamics but when the reaction takes place on a surface where the different species can diffuse and react, a synergy develops between fluctuations, crowding effects and the mobility of the particles. This synergy enhances the re-emergence of chaos and the development of new behaviours. Finally, we show throughout different modelling approaches that compartmentalisation effects play a central role in the intracellular calcium dynamics and emphasise how microscopic properties of the system shape the global behaviour of this system. Compartmentalised nonlinear dynamics thus offer a wide range of future prospects for the synthesis of smart materials and fosters the development of nanoreactors based on these properties. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

This thesis is devoted to the study of different stochastic processes which have a common feature: they are Markov-modulated, which means that their evolution rules depend on the state occupied by an underlying Markov process. In the first part of this thesis, we analyse the stationary distribution and various first passage problems for Markov-modulated Brownian motions (MMBMs) as well as for two extensions: MMBMs with jumps and MMBMs modified by a temporary change of regime upon visits to level zero. The second part of this thesis is devoted to the use of Markov-modulated processes in mathematical finance, more precisely for the calculation of different option prices. We use a Fourier transform approach to price different European options (vanilla, exchange and quanto options) in the case where the value of the considered risky assets evolves like the exponential of a Markov-modulated Lévy process. The third part of this thesis is devoted to the study of some stochastic epidemic processes, namely the SIR processes. In our models, a Markov process is used to modulate the behaviour of the individuals who bring the disease. We use different martingale approaches as well as matrix analytic methods to obtain various information about the state of the population when the epidemic is over. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le travail est consacré aux questions de la statistique des processus stochastiques. Particulièrement, on considère deux problèmes d'estimation. Le premier chapitre se concentre sur le problème d'estimation non-paramétrique pour le processus de Poisson non-homogène. On estime la fonction moyenne de ce processus, donc le problème est dans le domaine d'estimation non-paramétrique. On commence par la définition de l'efficacité asymptotique dans les problèmes non-paramétriques et on procède à exploration de l'existence des estimateurs asymptotiquement efficaces. On prend en considération la classe des estimateurs à noyau. Dans la thèse il est démontré que sous les conditions sur les coefficients du noyau par rapport à une base trigonométrique, on a l'efficacité asymptotique dans le sens minimax sur les ensembles divers. Les résultats obtenus soulignent le phénomène qu'en imposant des conditions de régularité sur la fonction inconnue, on peut élargir la classe des estimateurs asymptotiquement efficaces. Pour comparer les estimateurs asymptotiquement efficaces (du premier ordre), on démontre une inégalité qui nous permet de trouver un estimateur qui est asymptotiquement efficace du second ordre. On calcule aussi la vitesse de convergence pour cet estimateur, qui dépend de la régularité de la fonction inconnue et finalement on calcule la valeur minimale de la variance asymptotique pour cet estimateur. Cette valeur joue le même rôle dans l'estimation du second ordre que la constantede Pinsker dans le problème d'estimation de la densité ou encore l'information de Fisher dans les problèmes d'estimation paramétrique.Le deuxième chapitre est dédié au problème de l’estimation de la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR). On observe un processus de diffusion qui est donnée par son équation différentielle stochastique dont le coefficient de la diffusion dépend d’un paramètre inconnu. Les observations sont discrètes. Pour estimer la solution de l’EDSR on a besoin d’un estimateur-processus pour leparamètre, qui, chaque instant n’utilise que la partie des observations disponible. Dans la littérature il existe une méthode de construction, qui minimise une fonctionnelle. On ne pouvait pas utiliser cet estimateur, car le calcul serait irréalisable. Dans le travail nous avons proposé un estimateur-processus qui a la forme simple et peut être facilement calculé. Cet estimateur-processus est un estimateur asymptotiquementefficace et en utilisant cet estimateur on estime la solution de l’EDSR de manière efficace aussi. / This work is devoted to the questions of the statistics of stochastic processes. Particularly, the first chapter is devoted to a non-parametric estimation problem for an inhomogeneous Poisson process. The estimation problem is non-parametric due to the fact that we estimate the mean function. We start with the definition of the asymptotic efficiency in non-parametric estimation problems and continue with examination of the existence of asymptotically efficient estimators. We consider a class of kernel-type estimators. In the thesis we prove that under some conditions on the coefficients of the kernel with respect to a trigonometric basis we have asymptotic efficiency in minimax sense over various sets. The obtained results highlight the phenomenon that imposing regularity conditions on the unknown function, we can widen the class ofasymptotically efficient estimators. To compare these (first order) efficient estimators, we prove an inequality which allows us to find an estimator which is asymptotically efficient of second order. We calculate also the rate of convergence of this estimator, which depends on the regularity of the unknown function, and finally the minimal value of the asymptotic variance for this estimator is calculated. This value plays the same role in the second order estimation as the Pinsker constant in the density estimation problem or the Fisher information in parametric estimation problems. The second chapter is dedicated to a problem of estimation of the solution of a Backward Stochastic Differential Equation (BSDE). We observe a diffusion process which is given by its stochastic differential equation with the diffusion coefficientdepending on an unknown parameter. The observations are discrete. To estimate the solution of a BSDE, we need an estimator-process for a parameter, which, for each given time, uses only the available part of observations. In the literature there exists a method of construction, which minimizes a functional. We could not use this estimator, because the calculations would not be feasible. We propose an estimator-process which has a simple form and can be easily computed. Using this estimator we estimate the solution of a BSDE in an asymptotically efficient way.

La plupart des systèmes non linéaires loin de l'équilibre sont sensibles aux fluctuations internes. Dans ce travail, les effets stochastiques dans des modèles génériques de réaction-diffusion sont étudiés à deux échelles différentes. Dans l'approche mésoscopique, l'évolution du système est gouvernée par une équation maîtresse résolue par des simulations de Monte Carlo cinétique. A l'échelle microscopique, des simulations de dynamique des particules sont réalisées. Ces approches stochastiques sont comparées à des équations macroscopiques, déterministes de réaction-diffusion. Dans l'introduction, les différentes échelles, les concepts concernant les systèmes non linéaires et les méthodes numériques utilisées sont présentés. La première partie du chapitre consacré aux résultats est dédiée à l'étude de la perturbation de la distribution des vitesses des particules induite par la réaction pour un système bistable et la propagation d'un front d'onde. Une équation maîtresse incluant cette perturbation est écrite et comparée à des simulations de la dynamique microscopique. La seconde partie concerne la formation de structures dans les systèmes réaction-diffusion dans le contexte de la biologie du développement. Une méthode pour simuler des structures de Turing à l'échelle microscopique est développée à partir de l'algorithme DSMC (direct simulation Monte Carlo). Ensuite, des expériences consistant à perturber la formation de la colonne vertébrale sont expliquées dans le cadre du mécanisme de Turing. Enfin, un modèle de réaction-diffusion associé à un mécanisme différent, connu sous le nom de "Clock and wavefront", est proposé pour rendre compte de la segmentation. / Many nonlinear systems under non-equilibrium conditions are highly sensitive to internal fluctuations. In this dissertation, stochastic effects in some generic reaction-diffusion models are studied using two approaches of different precision. In the mesoscopic approach, evolution of the system is governed by the master equation, which can be solved numerically or used to set up kinetic Monte Carlo simulations. On the microscopic level, particle computer simulations are used. These two stochastic approaches are compared with deterministic, macroscopic reaction-diffusion equations.In the Introduction, key information about the different approaches is presented, together with basics of nonlinear systems and a presentation of numerical algorithms used.The first part of the Results chapter is devoted to studies on reaction-induced perturbation of particle velocity distributions in models of bistability and wave front propagation. A master equation including this perturbation is presented and compared with microscopic simulations.The second part of the Results deals with pattern formation in reaction-diffusion systems in the context of developmental biology. A method for simulating Turing patternsat the microscopic level using the direct simulation Monte Carlo algorithm is developed. Then, experiments consisting of perturbing segmentation of vertebrate embryo’s bodyaxis are explained using the Turing mechanism. Finally, a different possible mechanism of body axis segmentation, the “clock and wavefront” model, is formulated as a reaction-diffusion model.

Durant cette thèse, une méthode d'analyse statistique sur la gerbe d'éclats d’une bombe, en particulier sur leurs masses, a été mise au point. Nous avions à disposition trois échantillons partiels de données expérimentales et un modèle mécanique simulant l'explosion d'un anneau. Dans un premier temps, un modèle statistique a été créé à partir du modèle mécanique fourni, pour générer des données pouvant être similaires à celles d'une expérience. Après cela, la distribution des masses a pu être étudiée. Les méthodes d'analyse classiques ne donnant pas de résultats suffisamment précis, une nouvelle méthode a été mise au point. Elle consiste à représenter la masse par une variable aléatoire construite à partir d'une base de polynômes chaos. Cette méthode donne de bons résultats mais ne permet pas de prendre en compte le lien entre les éclats d'une même charge. Il a donc été décidé ensuite de modéliser la masse par un processus stochastique, et non par une variable aléatoire. La portée des éclats, qui dépend en partie de la masse, a elle aussi été modélisée par un processus. Pour finir, une analyse de sensibilité a été effectuée sur cette portée avec les indices de Sobol. Ces derniers s'appliquant aux variables aléatoires, nous les avons adaptés aux processus stochastiques de manière à prendre en compte les liens entre les éclats. Dans la suite, les résultats de cette dernière analyse pourront être améliorés. Notamment, grâce à des indices présentés en dernière partie qui seraient adaptés aux variables dépendantes, et permettraient l'utilisation de processus stochastiques à accroissements non indépendants. / During this thesis, a method of statistical analysis on sheaf of bomb fragments, in particular on their masses, has been developed. Three samples of incomplete experimental data and a mechanical model which simulate the explosion of a ring were availables. First, a statistical model based on the mechanical model has been designed, to generate data similar to those of an experience. Then, the distribution of the masses has been studied. The classical methods of analysis being not accurate enough, a new method has been developed. It consists in representing the mass by a random variable built from a basis of chaos polynomials. This method gives good results however it doesn't allow to take into account the link between slivers. Therefore, we decided to model the masses by a stochastic process, and not a random variable. The range of fragments, which depends of the masses, has also been modeled by a process. Last, a sensibility analysis has been carried out on this range with Sobol indices. Since these indices are applied to random variables, it was necessary to adapt them to stochastic process in a way that take into account the links between the fragments. In the last part, it is shown how the results of this analysis could be improved. Specifically, the indices presented in the last part are adapted to dependent variables and therefore, they could be suitable to processes with non independent increases.