Submitted by Jean Medeiros (jeanletras@uepb.edu.br) on 2017-07-17T12:46:42Z No. of bitstreams: 1 PDF - José Alexandre Ramos Vieira.pdf: 8487714 bytes, checksum: 7269a58a442aaf003f4fe818fa165ca6 (MD5) / Approved for entry into archive by Secta BC (secta.csu.bc@uepb.edu.br) on 2017-07-18T20:54:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 PDF - José Alexandre Ramos Vieira.pdf: 8487714 bytes, checksum: 7269a58a442aaf003f4fe818fa165ca6 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-07-18T20:54:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PDF - José Alexandre Ramos Vieira.pdf: 8487714 bytes, checksum: 7269a58a442aaf003f4fe818fa165ca6 (MD5) Previous issue date: 2017-03-24 / The presentworkshows a brief history regarding thenumber π. Let’s look atsome ideas developed from the quest to understand and calculate this important number that has fascinated mathematicians since antiquity. We begin by approaching the irra- tionality of π, and then recall the classic Greek problem of Circle Quadrature and how this problem was needed to calculate this constant as accurately as possible. We will also comment on the historical attempts to calculate it, with emphasis on the methods developed by Archimedes, Nicholas of Cusa, Leibniz, Machin and Wallis, through which we can calculate thenumber π very quickly and accurately. Finally, we will do a comparative analysis of the methods seen, displaying some charts and approximation tables calculated with the support of the Geogebra Educational Software. / O presente trabalho mostra um breve histórico a respeito do número π. Vamos ver algumas ideias desenvolvidas a partir da busca de compreender e calcular este importante número que tem fascinado os matemáticos desde a antiguidade. Começaremos abordando a irracionalidade de π e, em seguida, recordaremos o clássico problema grego da Quadratura do Círculo e como este problema contribuiu para o cálculo dessa constante da maneira mais exata possível. Comentaremos,também, sobre as tentativas históricas de calculá-lo, dando ênfase aos métodos desenvolvidos por Arquimedes, Nicholas de Cusa, Leibniz,Machin eWallis, através dos quais podemos calcular o número π com muita rapidez e exatidão. Finalmente, faremos uma análise comparativa dos métodos vistos, exibindo alguns gráficos e tabelas de aproximações calculadas com o apoio do Software Educacional Geogebra.

Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2017-03-29T14:11:57Z No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-29T14:11:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) Previous issue date: 2015-08-14 / The constant π will be presented in this work since its origin, in length and area problems particularly the problem of squaring a circle -, to the most recent researches on algorithms used for the calculus of its decimal expansion. Using the exhaustion method we calculate the length and area of a circle of radius r. We demonstrate the irrationality of π . We also generalize the constant for π convex, simple and closed curves. At last we suggest some educational activities related to the concepts in study. / A constante π será apresentada desde a sua origem, nos problemas de medidas de comprimento, área, em particular o problema da quadratura do círculo, até as pesquisas mais recentes sobre os algoritmos usados para o cálculo, de sua expansão decimal. Usando o método da exaustão calculamos o comprimento e a área de um círculo de raio r. Mostramos a irracionalidade de π . Apresentamos uma generalização de π para curvas fechadas, simples e convexas. Finalmente, sugerimos algumas atividades didáticas envolvendo os conceitos estudados.

Made available in DSpace on 2015-04-09T12:28:28Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-09-22Bitstream added on 2015-04-09T12:47:22Z : No. of bitstreams: 1 000809291.pdf: 454961 bytes, checksum: 3231045e46f133324a8aaaf81e96ab6f (MD5) / Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente ativo da matemática no mundo grego. Aproximadamente neste período, têm início o estudo dos três problemas clássicos da matemática grega, os quais iremos abordar como tema principal. Esses problemas ficaram conhecidos como duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo. Aparentemente de enunciados simples, são problemas geométricos que envolvem construções utilizando unicamente régua não graduada e compasso. O estudo destes três problemas geométricos desafiaram o poder inventivo de inúmeros matemáticos e intelectuais durante mais de dois mil anos, e somente no século XIX demonstrou-se a impossibilidade dessas construções utilizando-se apenas régua não graduada e compasso. Em suma, a concepção fundamental que este trabalho tem a proporcionar é que a magia da Matemática não se restringe apenas nas respostas dos problemas, antigos ou atuais, mas nas novas descobertas, estratégias e métodos empregados advindos dos caminhos que conduzem às resoluções. O objetivo deste trabalho é apresentar estes três problemas, a impossibilidade da resolução dos mesmos utilizando-se apenas régua não graduada e compasso, resoluções possíveis utilizando-se outros instrumentos e uma aplicação da duplicação do cubo em sala de aula, utilizando origami / The fifth and fourth centuries BC were an extremely active period of mathematics in the Greek world. About this period, begin the study of three classical problems of Greek mathematics, which we will address as the main theme. These problems were known as duplicating the cube, trisection of the angle and squaring the circle. Apparently simple statements are geometric problems involving constructions using only not graduate ruler and compass. The study of these three geometric problems challenged the inventive power of numerous mathematicians and intellectuals for over two thousand years, and only in the nineteenth century demonstrated the impossibility of such constructions using only not graduate ruler and compass. In short, the fundamental conception that this work has to provide is the magic of mathematics is not only restricted in the responses of former and current problems, but the new findings, strategies and methods employed arising out of the paths that lead to resolutions. The objective of this paper is to present these three problems, the impossibility of solving them using only not graduated ruler and compass, possible resolutions using other instruments and an application of the doubling cube in the classroom, using origami

Orientador: Clotilzio Moreira dos Santos / Banca: Marcio de Jesus Soares / Banca: Antonio Aparecido de Andrade / Resumo: Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente ativo da matemática no mundo grego. Aproximadamente neste período, têm início o estudo dos três problemas clássicos da matemática grega, os quais iremos abordar como tema principal. Esses problemas ficaram conhecidos como duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo. Aparentemente de enunciados simples, são problemas geométricos que envolvem construções utilizando unicamente régua não graduada e compasso. O estudo destes três problemas geométricos desafiaram o poder inventivo de inúmeros matemáticos e intelectuais durante mais de dois mil anos, e somente no século XIX demonstrou-se a impossibilidade dessas construções utilizando-se apenas régua não graduada e compasso. Em suma, a concepção fundamental que este trabalho tem a proporcionar é que a magia da Matemática não se restringe apenas nas respostas dos problemas, antigos ou atuais, mas nas novas descobertas, estratégias e métodos empregados advindos dos caminhos que conduzem às resoluções. O objetivo deste trabalho é apresentar estes três problemas, a impossibilidade da resolução dos mesmos utilizando-se apenas régua não graduada e compasso, resoluções possíveis utilizando-se outros instrumentos e uma aplicação da duplicação do cubo em sala de aula, utilizando origami / Abstract: The fifth and fourth centuries BC were an extremely active period of mathematics in the Greek world. About this period, begin the study of three classical problems of Greek mathematics, which we will address as the main theme. These problems were known as duplicating the cube, trisection of the angle and squaring the circle. Apparently simple statements are geometric problems involving constructions using only not graduate ruler and compass. The study of these three geometric problems challenged the inventive power of numerous mathematicians and intellectuals for over two thousand years, and only in the nineteenth century demonstrated the impossibility of such constructions using only not graduate ruler and compass. In short, the fundamental conception that this work has to provide is the magic of mathematics is not only restricted in the responses of former and current problems, but the new findings, strategies and methods employed arising out of the paths that lead to resolutions. The objective of this paper is to present these three problems, the impossibility of solving them using only not graduated ruler and compass, possible resolutions using other instruments and an application of the doubling cube in the classroom, using origami / Mestre

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / At this study, we review some of the main geometric solutions in squaring the circle, having a free translation into Portuguese of some articles related to the squaring of the circle second Hobson[5] e analyzing their in uence throughout history in the evolution of mathematics. In this work we try to understand how the problem of squaring the circle is presented throughout history, began reviewing the main registers of the problem, from the century V a-C. Then we wrote a theoretical foundation of squaring the circle and the determination of , displaying ancient accounts of quadrature in dependence on the transcendence of this irrational number. Next, we write some contributions of ancient civilizations, which is cited the work of the Greeks, before and after Archimedes, as well as approximations determined by Indian, Chinese and Arabic. In the Renaissance period we nd mathematicians such as Leonardo Pisano, George Purbach and Cardinal Nicholas of Cusa, which they used the Archimedes method and obtained better results for approach . In the fteenth and sixteenth centuries, with advances in trigonometry introduced by Copernicus, Rheticus, Pitiscus and Johannes Kepler allowed the problem of squaring the circle had a better approach. In this period we reviewed the studies of Snellius and Huygens, the theorems of Huygens and Gregory's work. In the nal part of this work we selected some constructions of recti cation and squaring the circle. Among them stand out: the squaring the circle by Descartes and another by Ramanujan, both with intereszing results. / No seguinte estudo, revisamos algumas das principais soluções geométricas referentes a quadratura do círculo, apresentando uma tradução livre para o português de alguns artigos relacionados como a quadratura do círculo segundo Hobson[5] e analisando suas in uências ao longo da história na evolução da Matemática. Neste trabalho tentamos compreender como o problema da quadratura do círculo apresentou-se ao longo da histó- ria. Iniciamos revisando os principais registros do problema, desde do século V a.C. Em seguida, escrevemos uma fundamentação teórica da quadratura do círculo e da determina ção de , exibindo relatos antigos da quadratura em dependência com a transcendência deste número irracional. Na sequência, escrevemos algumas contribuições de civilizações da antiguidade, onde são citados os trabalhos dos gregos, antes e depois de Arquimedes, assim como aproximações determinadas pelos indianos, chineses e árabes. No período do Renascimento encontramos matemáticos como Leonardo Pisano, George Purbach e Cardeal Nicolau de Cusa, os quais usaram o método de Arquimedes e obtiveram resultados melhores para aproximação de . Nos séculos XV e XVI, os avanços na trigonometria introduzidos por Copérnico, Rheticus, Pitiscus e Johannes Kepler permitiram que o problema da quadratura do círculo tivesse uma melhor abordagem. Ainda neste período revisamos os estudos de Snellius e Huyghens, os Teoremas de Huyghens e a obra de Gregory. Na parte nal deste trabalho selecionamos algumas construções da reti cação e da quadratura do círculo . Entre elas destacarmos: as construções da quadratura do círculo feitas por Descartes e outra por Ramanujan, ambas com resultados interesantes.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aloisio Daniel Vendeniatti.pdf: 1272014 bytes, checksum: 1262d89ac2880970c73eca396d22ca43 (MD5) Previous issue date: 2009-04-24 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this essay is to show aspects of genesis of number π, inherent to the question of squaring the circle, which consists in constructing a square which has the same area as a given circle. This problem does not refer to a practical application of mathematics, but to the theoretic question that involves the distinction between a valid approach and thinking accuracy. The first attempt to squaring the circle dates back in the fifth century before Christ. After that, it was established that this construction should be carried through using a finite number of times, also the non-graduated ruler and the drawing compass itself. In the constructions with ruler and drawing compass we are referring to the first three postulates of Euclides Elements: 1) It´s possible to join two points by a straight line, 2) to expand a straight line until the necessary point, and 3) to draw a circumference around any point and with any radius. These postulates are the base of these constructions, sometimes called euclidean´s constructions. A real number α is constructible, if feasible building a segment of legth α with ruler and drawing compass, since a segment is taken as a unity. We show the idea of translating the geometrical problem of constructions made with ruler and drawing compass to the algebraic language and this allowed us to solve the problem of squaring the circle. We exposed that all constructible numbers are algebraic, over the rational numbers, establishing the impossibility of squaring the circle, with Lindemann´s demonstration, in 1882, of the number π transcendence. This problem has been fascinating people for more than twenty centuries. We tried to supply all mathematical tools needed for this demonstration. Demonstrations play a fundamental role in the development of this essay, which purpose is not only to contribute to the math teacher formation, but also to detail the resolution of the problem of squaring the circle / O objetivo deste trabalho é apresentar aspectos da gênese do número π, inerentes à questão da quadratura do círculo, a qual consiste em construir um quadrado de área igual à área de um círculo de raio r dado. Esse problema não diz respeito a uma aplicação prática da matemática, mas sim a uma questão teórica que envolve uma distinção entre uma boa aproximação e a exatidão do pensamento. O registro da primeira tentativa de se quadrar o círculo remonta a Anaxágoras, no século V a.C. Posteriormente, ficou estabelecido que essa construção deveria ser realizada utilizando-se, um número finito de vezes, a régua não graduada e o compasso. Nas construções com régua e compasso, estamos nos referindo aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides: 1) é possível unir dois pontos por uma reta, 2) prolongar uma linha reta até onde seja necessário e 3) traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. Esses postulados são a base dessas construções, muitas vezes chamadas de construções euclidianas. Um número real α é construtível, se for possível "construir com régua e compasso um segmento de comprimento igual a α, a partir de um segmento tomado como unidade". Apresentamos a idéia de traduzir o problema geométrico das construções com régua e compasso para a linguagem algébrica, e isso permitiu solucionar o problema da quadratura do círculo. Expomos que todo número construtível é algébrico sobre os racionais, estabelecendo a impossibilidade de quadrar o círculo com a demonstração de Lindemann, em 1882, da transcendência do número π. Vemos que esse problema fascinou estudiosos por mais de 20 séculos. Procuramos fornecer todas as ferramentas matemáticas necessárias para essa demonstração. As demonstrações desempenham um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho, que tem por finalidade não só contribuir para a formação do professor de matemática, mas também detalhar a resolução do problema da quadratura do círculo

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-21T14:25:51Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-24T10:17:57Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-24T10:17:57Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Túlio Guimarães Marques - 2013.pdf: 3490137 bytes, checksum: a39789fad1b421e22443faee08545072 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2013-03-01 / Outras / This paper aims at introducing the science which is behind the most intriguing number known to history, the number . It has challenged generations of researchers who have tried to determine its value and articulate several areas of Mathematics such as Geometry, Algebra and Analysis. The quotient of ratio between the measure of the length of a circumference and the measure of its diameter are what de ne . Some historical references such as Archimedes, Euler, Leibniz and Lindemann have signi cantly contributed with the methods to precise . The rst real academic approach to this ratio was studied by the greatest mathematician of antiquity, Archimedes, when he created an instructive process for the study of the limits. With the unsolvable problem of the quadrature of the circle, ingenious geometrical constructions are born, in order to allow the drawing, with a ruler and compass, of a square having the same area as a previous given circle. The evolution of the forms employed in order to calculate have become more evident with the introduction of Analysis applied under the foundations of Calculus. At that time, the Series come to life, indispensable tools allowing the study of the behaviour of its decimal places. Along with the advances brought by them, the investigations turned towards the classi cation concerning the rationality or the irrationality of the number. In the end, we will present some contextualization and propose exercises with the aim of stimulating the search for knowledge. / O trabalho a seguir apresenta a ciência por trás do número mais intrigante da história, o número . Ele tem desa ado gerações de pesquisadores a determinar o seu valor e articular as várias áreas da matemática, como a Geometria, a Álgebra e a Análise. O quociente da razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro de ne . Algumas referências históricas, entre eles, Arquimedes, Euler, Leibniz e Lindemann, contribuíram signi cantemente nos métodos para precisar . A primeira abordagem realmente acadêmica dessa razão foi estudada pelo maior matemático da antiguidade, Arquimedes, quando ele criou um processo instrutivo no estudo dos limites. Com o insolúvel problema da quadratura do círculo, surgem construções geométricas engenhosas na tentativa de desenhar, com régua e compasso, um quadrado de mesma área de um círculo dado. A evolução das formas utilizadas para o cálculo do tornou-se mais evidente com a introdução da Análise aplicada nos fundamentos do Cálculo. Neste momento, surgem as Séries, ferramentas indispensáveis para estudar o comportamento de suas casas decimais. Com os avanços obtidos por estas, as investigações voltaram-se para classi cação quanto a racionalidade ou irracionalidade do número . Inicialmente a irracionalidade foi provada e mais tarde sua transcendência. Por m, são apresentadas algumas contextualizações e propostas de exercícios com a tentativa de estimular a busca por conhecimento.

Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-08-07T13:59:57Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:09:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) Previous issue date: 2015-04-30 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work bears the purpose of setting up the course of the circle quadrature solution attempts, as well as to mention its influences, contributions for the mathematics development until now and to incentive the geometry dynamics use. In it we produce a possible explanation of how geometry has been created besides of a brief study on the number followed of the production GeoGebra software, the too we have utilized to build up the figures and the work implementations. We will utilize the areas equivalence based on Euclides elements to solve an initial problem: that of constructing a quadrilateral equivalent to a given pentagon and, for such, it will be necessary the demonstration of some propositions. We will utilize the square to relate its areas with those of the polygonal figures through the âquadratureâ method. With such we will execute the rectangle, triangle, pentagon quadrature, and that of the convex n sides polygon. We will utilize Pitagoras theorem to sum up the squares areas by bringing up brief comments about its use. Afterward this method will also the utilized in the attempt of squaring the curvelin figures such as the circle which has later on originated the problem of the circle quadrature. For explain such a problem we will utilize the geometric construction along with the demonstration of two methods for obtaining the circle quadrature and its respective results and comparisons. In the sequence, we will know what the are constructive numbers, algebraic and transcendent, which will enable us to reach to a classification of the number and its relation to the circle quadrature problem, reaching out the answer to our problem. While defining the geometrical average we will demonstrate how to obtain some quadrature utilized in such an average in the proposed activities. In other words, we can say that this work aims to produce the circle quadrature problem, the investigation of the methods developed by mathematicians for the solution of this problem in the course of history and, finally, an ascertainment on the answer these methods point us. / Este trabalho tem o intuito de traçar o percurso das tentativas de solução da quadratura do círculo, bem como citar suas influências, contribuições para o desenvolvimento da matemática até os dias de hoje e incentivar o uso da geometria dinâmica. Nele apresentamos uma possível explicação de como surgiu a geometria, além de um breve estudo sobre o número , seguido de uma apresentação do software GeoGebra, ferramenta que utilizamos para construção das figuras e das implementações do trabalho. Utilizaremos a equivalência de áreas baseada na obra dos elementos de Euclides para resolvermos um problema inicial: o de construir um quadrilátero equivalente a um pentágono dado e, para isso, será necessária a demonstração de algumas proposições. Utilizaremos o quadrado para relacionarmos a sua área com as das demais figuras poligonais pelo método da "quadratura". Com isso, executaremos as quadraturas do retângulo, triângulo, pentágono e do polígono convexo de n lados. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para somarmos áreas de quadrados, tecendo breves comentários acerca de seu uso. Posteriormente esse método também foi utilizado na tentativa de quadrar-se áreas de figuras curvilíneas, como o círculo, no que mais tarde originou o problema da quadratura do círculo. Para a exposição deste problema mostraremos a construção geométrica e a demonstração de dois métodos para obtermos a quadratura do círculo e seus respectivos resultados e comparações. Em seguida, definiremos o que são números construtíveis, algébricos e transcendentes, o que nos possibilitará chegar a uma classificação do número e sua relação com o problema da quadratura do círculo, chegando à resposta do nosso problema. Ao definirmos a média geométrica, mostraremos como obter algumas quadraturas utilizando essa média nas atividades propostas. Em outras palavras, podemos dizer que este trabalho objetiva apresentar o problema da quadratura do círculo, a investigação de métodos desenvolvidos por matemáticos para resolução deste problema ao longo da história e finalmente uma constatação acerca da resposta que estes métodos nos apontam.