Une des applications des équations de réaction-diffusion est leur utilisation pour la génération de motifs, analogues en particulier à ceux sur le pelage de certains animaux. L'utilisation à cette fin de ce type d'équations remontent aux travaux d'Alan Turing dans les années 50. Dans ce mémoire nous considérons un système simple d'équations de réaction-diffusion pour étudier la formation de motifs. Nous approchons ces solutions en utilisant une discrétisation spatiale par éléments finis. Nous montrons comment choisir les paramètres pour atteindre un motif choisi sur un domaine rectangulaire fixe. Après avoir validé les méthodes numériques utilisées dans nos simulations, nous nous intéressons à l'évolution de motifs sur des domaines qui croissent dans le temps. En particulier, nous examinons l'influence de la condition initiale et de la vitesse de croissance du domaine sur les motifs apparaissant au terme de la croissance.

Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques issus de modèles de cinétique chimique, de dynamique des populations et de la théorie de l'électromigration. On s'intéresse à des questions d'existence de solutions globales en temps, à l'unicité de solutions faibles, ainsi qu'à la limite de réaction rapide dans un système de réaction-diffusion. Dans un premier chapitre, on étudie deux systèmes aux diffusions croisées. On commence par s'intéresser à un modèle de dynamique des populations, où les effets croisés dans les interactions entre les différentes espèces sont modélisés par des opérateurs non locaux. Pour toute dimension d'espace, on prouve l'existence et l'unicité de solutions globales régulières. On s'intéresse ensuite à un système aux diffusions croisées qui apparait comme la limite de réaction rapide d'un système classique associé à la réaction chimique C1+C2=C3. On prouve alors la convergence lorsque k tend vers l'infini de la solution du système avec une vitesse de réaction finie k vers une solution globale du système limite. Le second chapitre contient de nouveaux résultats d'existence globale pour des systèmes de réaction-diffusion. Pour des réseaux de réactions chimiques élémentaires du type Ci+Cj=Ck qui suivent la loi d'Action de Masse, on montre l'existence et l'unicité de solutions globales fortes, pour des dimensions en espace N<6 dans le cas semi-linéaire et N<4 dans le cas quasi-linéaire. On montre aussi l'existence de solutions globales faibles pour une classe de systèmes paraboliques quasi-linéaires dont les non-linéarités sont au plus quadratiques et dont les données initiales sont seulement supposées positives et intégrables. Dans le dernier chapitre, on généralise un résultat d'existence globale de solutions fortes pour des systèmes de réaction-diffusion dont les non-linéarités ont une structure "triangulaire", pour lesquels on prend désormais en compte des termes d'advection et des coefficients de diffusion dépendant du temps et de la variable d'espace. Ce résultat est ensuite utilisé dans un argument de point fixe de Leray-Schauder pour prouver l'existence en toute dimension de solutions globales à un problème d'électromigration-diffusion. / This thesis is devoted to the study of parabolic systems of partial differential equations arising in mass action kinetics chemistry, population dynamics and electromigration theory. We are interested in the existence of global solutions, uniqueness of weak solutions, and in the fast-reaction limit in a reaction-diffusion system. In the first chapter, we study two cross-diffusion systems. We are first interested in a population dynamics model, where cross effects in the interactions between the different species are modeled by non-local operators. We prove the well-posedness of the corresponding system for any space dimension. We are then interested in a cross-diffusion system which arises as the fast-reaction limit system in a classical system for the chemical reaction C1+C2=C3. We prove the convergence when k goes to infinity of the solution of the system with finite reaction speed k to a global solution of the limit system. The second chapter contains new global existence results for some reaction-diffusion systems. For networks of elementary chemical reactions of the type Ci+Cj=Ck and under Mass Action Kinetics assumption, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions, for space dimensions N<6 in the semi-linear case, and N<4 in the quasi-linear case. We also prove the existence of global weak solutions for a class of parabolic quasi-linear systems with at most quadratic non-linearities and with initial data that are only assumed to be nonnegative and integrable. In the last chapter, we generalize a global well-posedness result for reaction-diffusion systems whose nonlinearities have a "triangular" structure, for which we now take into account advection terms and time and space dependent diffusion coefficients. The latter result is then used in a Leray-Schauder fixed point argument to prove the existence of global solutions in a diffusion-electromigration system.

Les systèmes de réaction-diffusion interviennent pour décrire les transitions de phase dans de nombreux champs d'application. Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de propagation dans des milieux diffusifs, non bornés et hétérogènes, et s'inscrit ainsi dans la lignée d'une recherche particulièrement active. La première partie concerne l'équation simple: on s'y intéressera à la structure interne des fronts, mais on exhibera aussi de nouvelles dynamiques où la vitesse d'un profil de propagation n'est pas unique. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux systèmes à deux équations, pour lesquels l'absence de principe du maximum pose de nombreuses difficultés. Ces travaux, en portant sur un vaste éventail de situations, offrent une meilleure compréhension des phénomènes de propagation, et mettent en avant de nouvelles propriétés des problèmes de réaction-diffusion, aidant ainsi à améliorer l'analyse théorique comme alternative à l'approche empirique. / Reaction-diffusion systems arise in the description of phase transitions in various fields of natural sciences. This thesis is concerned with the mathematical analysis of propagation models in some diffusive, unbounded and heterogeneous media, which comes within the scope of an active research subject. The first part deals with the single equation, by looking at the inside structure of fronts, or by exhibiting new dynamics where the profile of propagation may not have a unique speed. In a second part, we take interest in some systems of two equations, where the lack of maximum principles raises many theoretical issues. Those works aim to provide a better understanding of the underlying processes of propagation phenomena. They highlight new features for reaction-diffusion problems, some of them not known before, and hence help to improve the theoretical approach as an alternative to empirical analysis.

L’ADN est reconnu depuis longtemps comme une des molécules fondamentales des organismes vivants.Support de l’information génétique, la molécule d’ADN possède aussi des propriétés qui en font unmatériel de choix pour construire à l’échelle nanométrique. Deux simples brins d’ADN complémentaireset antiparallèles (c.à.d. de directivité opposée) peuvent, par exemple, s’hybrider s’ils se rencontrent ensolution, c’est à dire s’associer l’un à l’autre. La cohésion de la molécule « double-brin » ainsi forméeest maintenue par une série de liaisons faibles entre les bases complémentaires de chaque brin. Cetteréaction d’hybridation de l’ADN est réversible : un double-brin stable à basse température retrouveral’état simple-brin à plus haute température.Notre capacité à lire (séquencer) et écrire (synthétiser) l’ADN est à l’origine de l’émergence dudomaine des nanotechnologies ADN. Cette capacité à prévoir quantitativement les interactions (cinétiqueset thermodynamiques) entre deux partenaires moléculaires quels qu’ils soient est propre à l’ADN: on peut facilement synthétiser deux molécules de même taille et nature, de manière à ce qu’elles interagissent– ou non – selon la séquence qui leur est propre. Il existe aussi toute une batterie d’enzymescapables de catalyser différentes réactions au sein d’un brin d’ADN ou entre deux brins d’ADN, parexemple : une polymérase catalyse la synthèse d’un brin d’ADN à partir de son complémentaire ; unenickase coupe un seul des deux brins d’une molécule double-brin à un emplacement spécifique ; uneexonucléase hydrolyse un brin d’ADN en fragments plus courts, tandis qu’une ligase lie deux brinscourts en un brin unique, plus long. Dans cette thèse, nous commençons par vérifier que les trois modules de l’oligator (activation,autocatalyse et inhibition) peuvent être réarrangés de manière arbitraire, afin de créer différents circuitsde réactions dynamiques. Nous appellerons cette collection de réactions catalysées par trois enzymes(polymérase, nickase et exonucléase) la boite à outils ADN. La construction et le contrôle de circuitscomplexes nécessitent de pouvoir observer les modules désirés de manière spécifique et en temps réel.A cette fin, nous mettons au point une nouvelle technique de fluorescence utilisant une interaction– souvent négligée – entre les bases d’ADN et un fluorophore qui y est attaché : celui-ci émet unefluorescence dont l’intensité dépend de l’état (simple ou double brin) et de la séquence à proximité dufluorophore. / Biological organisms process information through the use of complex reaction networks. These can bea great source of inspiration for the tailoring of dynamic chemical systems. Using basic DNA biochemistry–the DNA-toolbox– modeled after the cell regulatory processes, we explore the construction ofspatio-temporal dynamics from the bottom-up.First, we design a monitoring technique of DNA hybridization by harnessing a usually neglectedinteraction between the nucleobases and an attached fluorophore. This fluorescence technique –calledN-quenching– proves to be an essential tool to monitor and troubleshoot our dynamic reaction circuits.We then go on a journey to the roots of the DNA-toolbox, aiming at defining the best design rulesat the sequence level. With this experience behind us, we tackle the construction of reaction circuitsdisplaying bistability. We link the bistable behavior to a topology of circuit, which asks for specificDNA sequence parameters. This leads to a robust bistable circuit that we further use to explore themodularity of the DNA-toolbox. By wiring additional modules to the bistable function, we make twolarger circuits that can be flipped between states: a two-input switchable memory, and a single-inputpush-push memory. Because all the chemical parameters of the DNA-toolbox are easily accessible,these circuits can be very well described by quantitative mathematical modeling. By iterating thismodular approach, it should be possible to construct even larger, more complex reaction circuits: eachsuccess along this line will prove our good understanding of the underlying design rules, and eachfailure may hide some still unknown rules to unveil.Finally, we propose a simple method to bring DNA-toolbox made reaction circuits from zerodimensional,well-mixed conditions, to a two-dimensional environment allowing both reaction anddiffusion. We run an oscillating reaction circuit in two-dimensions and, by locally perturbing it, areable to provoke the emergence of traveling and spiral waves. This opens up the way to the building ofcomplex, tailor-made spatiotemporal patterns.

Le travail de cette thèse a porté sur l'étude mathématique et numérique de quelques modèles multi-échelles issus de la physique des matériaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'homogénéisation mathématique d'un problème elliptique avec une petite échelle. Nous étudions le cas particulier d'un matériau présentant une structure périodique avec un défaut. En adaptant la théorie classique d'Avellaneda et Lin pour les milieux périodiques, on démontre qu'on peut approximer finement la solution d'un tel problème, notamment à l'échelle microscopique. Nous obtenons des taux de convergence dépendant de l'étalement du défaut. On démontre aussi quelques propriétés des fonctions de Green d'un problème elliptique périodique avec conditions de bord périodiques. Les dislocations sont des lignes de défaut de la matière responsables du phénomène de plasticité. Les deuxième et troisième parties de ce mémoire portent sur la simulation de dislocations, d'abord en régime stationnaire puis en régime dynamique. Nous utilisons le modèle de Peierls, qui couple échelle atomique et échelle mésoscopique. Dans le cadre stationnaire, on obtient une équation intégrodifférentielle non-linéaire avec un laplacien fractionnaire: l'équation de Weertman. Nous en étudions les propriétés mathématiques et proposons un schéma numérique pour en approximer la solution. Dans le cadre dynamique, on obtient une équation intégrodifférentielle à la fois en temps et en espace. Nous en faisons une brève étude mathématique, et comparons différents algorithmes pour la simuler. Enfin, dans la quatrième partie, nous étudions la limite macroscopique d'une chaîne d'atomes soumis à la loi de Newton. Des arguments formels suggèrent que celle-ci devrait être décrite par une équation des ondes non-linéaires. Or, nous démontrons --sous certaines hypothèses-- qu'il n'en est rien lorsque des chocs apparaissent / In this thesis we study mathematically and numerically some multi-scale models from materials science. First, we investigate an homogenization problem for an oscillating elliptic equation. The material under consideration is described by a periodic structure with a defect at the microscopic scale. By adapting Avellaneda and Lin's theory for periodic structures, we prove that the solution of the oscillating equation can be approximated at a fine scale. The rates of convergence depend upon the integrability of the defect. We also study some properties of the Green function of periodic materials with periodic boundary conditions. Dislocations are lines of defects inside materials, which induce plasticity. The second part and the third part of this manuscript are concerned with simulation of dislocations, first in the stationnary regime then in the dynamical regime. We use the Peierls model, which couples atomistic and mesoscopic scales and involves integrodifferential equations. In the stationary regime, dislocations are described by the so-called Weertman equation, which is nonlinear and involves a fractional Laplacian. We study some mathematical properties of this equation and propose a numerical scheme for approximating its solution. In the dynamical regime, dislocations are described by an equation which is integrodifferential in time and space. We compare some numerical methods for recovering its solution. In the last chapter, we investigate the macroscopic limit of a simple chain of atoms governed by the Newton equation. Surprisingly enough, under technical assumptions, we show that it is not described by a nonlinear wave equation when shocks occur

Cette thèse porte sur l'étude de deux systèmes critiques hors-équilibre par les outils du groupe de renormalisation non-perturbatif (NPRG).Le premier système est le processus de diffusion épidémique, qui modèle la propagation d'une épidémie avec guérison sans immunisation. Ce modèle exhibe une transition de phase continue lorsque l'épidémie subit une extinction. Nous avons utilisé une approximation du NPRG nommée l'approximation du potentiel local modifiée pour l'étude cette transition de phase. Nous avons été conduit à nous interroger sur les résultats antérieurs, obtenus dans le cadre du groupe de renormalisation perturbatif. En particulier, l'appartenance de cette transition de phase à la classe d'universalité de la percolation dirigée avec quantité conservée en basse dimension est remise en question.Le second système est la turbulence pleinement développée isotrope et homogène, décrite par l'équation de Navier-Stokes. L'état stationnaire de ce système dissipatif possède une cascade d'énergie dont la phénoménologie est typique des systèmes invariants d'échelle, tel qu'un spectre d'énergie en loi de puissance. Une examen plus approfondie révèle que l'invariance d'échelle est brisée de manière subtile, ce qui donne lieu à des phénomènes d'intermittence. Nous avons utilisé un développement à grand nombre d'onde du NPRG pour étudier la dépendance temporelle des fonctions de corrélations dans ce système et la possibilité d''intermittence dans la cascade directe en turbulence bidimensionnelle. / This thesis focus on the study of two critical systems out of equilibrium using the tools of the non-perturbative renormalization group (NPRG).The first system is the diffusive epidemic process. This stochastic process models the propagation of an epidemic within a population, where the infected individuals recover without immunization. This model exhibit a phase transition when the epidemic goes extinct. The study consisted in applied an approximate form of the NPRG named the modified local potential approximation to this transition. It led us to take a new look at the standard lore for this model, obtained through a perturbative renormalization group analysis. In particular, whether the phase transition belongs to the universality class of the directed percolation with a conserved quantity is called into question.The second system is fully developed homogeneous isotropic turbulence, as described by the Navier-Stokes equation. The stationary state of this driven-dissipative system shows a energy cascade whose phenomenology is typical of scale-invariant systems. A more in depth examination disclose that scale invariance is broken in a subtle way. This is the origin of intermittence phenomena in turbulence. We used a large wave-number expansion of the NPRG to study the temporal dependency of correlation functions in this system and whether the direct cascade in bidimensional turbulence could develop intermittency.

L'objectif général de cette thèse est d'analyser les processus de diffusion et les processus de réaction-diffusion dans plusieurs types de conditions non-idéales, et d'identifier dans quelle mesure ces conditions non idéales influencent la mobilité des particules et les réactions entre les molécules. Dans la première partie de la thèse, nous nous concentrons sur les effets de l'encombrement macromoléculaire sur la mobilité, ainsi élaborant une description des processus de diffusion dans des milieux densément peuplés. Tous les processus sont analysés à partir de la description microscopique du mouvement des agents individuels sous forme de marche aléatoire, tenant compte de l'espace occupé par les particules voisines. La deuxième partie de la thèse vise à caractériser le rôle de la géométrie de l'environnement et de la réactivité des corps qui y sont contenus sur la réaction entre des molécules sélectionnées. La théorie classique de Smoluchowski, formulée pour les réactions contrôlées par la diffusion dans un milieu dilué, est ainsi adaptée à des domaines arbitrairement décorés par des obstacles, dont certains réactifs, et l'équation stationnaire de diffusion est résolue avec des techniques d’analyse harmonique. Finalement, le calcul explicit de la constante de réaction et la dérivation des formules approximées sont utilisés pour étudier des applications biologiques et nano-technologiques. / The overall purpose of this thesis is to analyze diffusion processes and diffusion-reaction processes in different types of non-ideal conditions, and to identify to which extent these non-ideal conditions influence the mobility of particles and the rate of the reactions occurring between molecules. In the first part of the thesis we concentrate on the effects of macromolecular crowding on the mobility of the agents, providing therefore a description of various diffusion processes in densely populated media. All the processes are analyzed by modeling the dynamics of the single agents as microscopic stochastic processes that keep track of the macromolecular crowding. The second part of the thesis aims at characterizing the role of the environment’s geometry (obstacles, compartmentalization) and distributed reactivity (competitive reactants, traps) on the reaction between selected molecules. The Smoluchowski theory for diffusion influenced reactions is thus adapted to domains arbitrarily decorated with obstacles and reactive boundaries, and the stationary diffusion equation is explicitly solved through harmonic-based techniques. The explicit calculation of the reaction rate constant and the derivation of simple approximated formulas are used for investigating nano-technological applications and naturally occurring reactions.

Nous abordons le développement d'une nouvelle génération de méthodes numériques pour la résolution des EDP évolutives qui modélisent des phénomènes multi-échelles en temps et en espace issus de divers domaines applicatifs. La raideur associée à ce type de problème, que ce soit via le terme source chimique qui présente un large spectre d'échelles de temps caractéristiques ou encore via la présence de fort gradients très localisés associés aux fronts de réaction, implique en général de sévères difficultés numériques. En conséquence, il s'agit de développer des méthodes qui garantissent la précision des résultats en présence de forte raideur en s'appuyant sur des outils théoriques solides, tout en permettant une implémentation aussi efficace. Même si nous étendons ces idées à des systèmes plus généraux par la suite, ce travail se focalise sur les systèmes de réaction-diffusion raides. La base de la stratégie numérique s'appuie sur une décomposition d'opérateur spécifique, dont le pas de temps est choisi de manière à respecter un niveau de précision donné par la physique du problème, et pour laquelle chaque sous-pas utilise un intégrateur temporel d'ordre élevé dédié. Ce schéma numérique est ensuite couplé à une approche de multirésolution spatiale adaptative permettant une représentation de la solution sur un maillage dynamique adapté. L'ensemble de cette stratégie a conduit au développement du code de simulation générique 1D/2D/3D académique MBARETE de manière à évaluer les développements théoriques et numériques dans le contexte de configurations pratiques raides issue de plusieurs domaines d'application. L'efficacité algorithmique de la méthode est démontrée par la simulation d'ondes de réaction raides dans le domaine de la dynamique chimique non-linéaire et dans celui de l'ingénierie biomédicale pour la simulation des accidents vasculaires cérébraux caractérisée par un terme source "chimique complexe''. Pour étendre l'approche à des applications plus complexes et plus fortement instationnaires, nous introduisons pour la première fois une technique de séparation d'opérateur avec pas de temps adaptatif qui permet d'atteindre une précision donnée garantie malgré la raideur des EDP. La méthode de résolution adaptative en temps et en espace qui en résulte, étendue au cas convectif, permet une description consistante de problèmes impliquant une très large palette d'échelles de temps et d'espace et des scénarios physiques très différents, que ce soit la propagation des décharges répétitives pulsées nanoseconde dans le domaine des plasmas ou bien l'allumage et la propagation de flammes dans celui de la combustion. L'objectif de la thèse est l'obtention d'un solveur numérique qui permet la résolution des EDP raides avec contrôle de la précision du calcul en se basant sur des outils d'analyse numérique rigoureux, et en utilisant des moyens de calculs standard. Quelques études complémentaires sont aussi présentées comme la parallélisation temporelle, des techniques de parallélisation à mémoire partagée et des outils de caractérisation mathématique des schémas de type séparation d'opérateur. / We tackle the development of a new generation of numerical methods for the solution of time dependent PDEs modeling general time/space multi-scale phenomena issued from various application fields. This type of problem induces well-known numerical restrictions and potentially large stiffness, which stem from the broad spectrum of time scales in the nonlinear chemical terms as well as from steep, spatially very localized, spatial gradients in the reaction fronts. Therefore, dedicated numerical strategies are needed to ensure the accuracy of the numerical approximations from a theoretical point of view, taking also into account adequate practical implementations to reduce computational costs. In order to cope with these problems, this study introduces a few mathematical and numerical elements for the solution of stiff reaction-diffusion systems, extensible in practice to more general configurations. The core of the numerical strategy is thus based on a specially conceived operator splitting method with dedicated high order time integration schemes for each subproblem. An appropriate choice of splitting time steps allows us the simulation of the solution within a prescribed accuracy, according to the overall physics of the problem. The resulting numerical scheme is properly coupled with an adaptive multiresolution technique for dynamic spatial mesh representations of the solution. Such an approach has led to the conception of the academic, generic 1D/2D/3D MBARETE code in order to evaluate the proposed theoretical and numerical developments in practical stiff configurations arising in several research fields. The algorithmic efficiency of the method is assessed by the simulation of propagating stiff reaction waves issued from nonlinear chemical dynamics and from biomedical engineering applications for a brain stroke model with "detailed chemical mechanisms''. Moreover, in order to extend the applicability of the method to more complex and unsteady problems, we consider for the first time a time adaptive splitting scheme for stiff PDEs, that yields dynamic time stepping within the prescribed accuracy. The fully time/space adaptive method allows us then a consistent description of reaction-diffusion-convection problems disclosing a broad spectrum of time/space scales as well as different physical scenarios, such as highly nanosecond repetitively pulsed discharges or self-ignition and propagation of flames for, respectively, plasma and combustion applications. The main goal of this work is hence to numerically solve stiff PDEs with reasonable, standard computational resources and based on a mathematical background that ensures robust, general and accurate numerical schemes. Further studies are also presented that include time parallelization strategies, parallel computing techniques for shared memory architectures and complementary mathematical characterization of splitting schemes.

betaLorsque des réactions chimiques non-linéaires évoluent loin de leur état d'équilibre thermodynamique et sont couplées au processus de transport par diffusion moléculaire, des instabilités spatiales et spatio-temporelles peuvent apparaître. Dans un réacteur chimique entretenu par des flux de réactifs, nous étudions de tels systèmes de réaction-diffusion mis en oeuvre dans des gels de polyélectrolytes. Les variations volumiques du gel induites par les changements d'état chimique de la réaction génèrent une grande variété de structures morphologiques stationnaires ou dynamiques. Les changements de tailles du gel support contribuent à faire naître de nouvelles instabilités. Nous tentons de comprendre la contribution apportée par les différents processus (réaction-diffusion, changement de taille) sur la dynamique résultante du système. Ces études participent à la conception de nouveaux systèmes "intelligents" autonomes.

Nous étudions mathématiquement et numériquement des problèmes de réaction-diffusion avec convection. Dans la première partie, nous montrons sous certaines conditions que les opérateurs considérés ont la propriété de Fredholm, sont propres, et nous construisons un degré topologique pour ces opérateurs. Nous utilisons le degré pour étudier les bifurcations pour un problème d'ondes progressives de réaction-diffusion-convection, et nous montrons l'existence de fronts de réaction modifiés par la convection naturelle. Nous nous intéressons également aux instabilités convectives pour ces solutions. Nous étudions dans la deuxième partie l'influence de la tension de surface sur la stabilité des fronts. Dans le cas de liquides non miscibles, nous montrons que l'interaction de la tension de surface et de la réaction chimique peut conduire à une instabilité nouvelle. Dans le cas de liquides miscibles, nous modélisons la tension transitoire par une contrainte supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Nous montrons que le problème mathématique correspondant a une solution unique, et nous observons numériquement que les gradients de concentration peuvent engendrer des courants convectifs. Nous simulons l'évolution d'une goutte miscible sous l'influence de ces courants~: elle est comparable à celle d'une goutte non miscible sous l'action de la tension de surface, avec une tendance à s'arrondir ou à se scinder en gouttelettes. Nous montrons numé\-ri\-quement que la tension transitoire peut amplifier de petites déformations de fronts plans.