This thesis investigates a technique to estimate the risk of the mean-variance (MV) portfolio optimization problem. We call this technique the Scaling technique. It provides a better estimator of the risk of the MV optimal portfolio. We obtain this result for a general estimator of the covariance matrix of the returns which includes the correlated sampling case as well as the independent sampling case and the exponentially weighted moving average case. This gave rise to the paper, [CMcS]. Our result concerning the Scaling technique relies on the moments of the inverse of compound Wishart matrices. This is an open problem in the theory of random matrices. We actually tackle a much more general setup, where we consider any random matrix provided that its distribution has an appropriate invariance property (orthogonal or unitary) under an appropriate action (by conjugation, or by a left-right action). Our approach is based on Weingarten calculus. As an interesting byproduct of our study - and as a preliminary to the solution of our problem of computing the moments of the inverse of a compound Wishart random matrix, we obtain explicit moment formulas for the pseudo-inverse of Ginibre random matrices. These results are also given in the paper, [CMS]. Using the moments of the inverse of compound Wishart matrices, we obtain asymptotically unbiased estimators of the risk and the weights of the MV portfolio. Finally, we have some numerical results which are part of our future work.

This thesis investigates a technique to estimate the risk of the mean-variance (MV) portfolio optimization problem. We call this technique the Scaling technique. It provides a better estimator of the risk of the MV optimal portfolio. We obtain this result for a general estimator of the covariance matrix of the returns which includes the correlated sampling case as well as the independent sampling case and the exponentially weighted moving average case. This gave rise to the paper, [CMcS]. Our result concerning the Scaling technique relies on the moments of the inverse of compound Wishart matrices. This is an open problem in the theory of random matrices. We actually tackle a much more general setup, where we consider any random matrix provided that its distribution has an appropriate invariance property (orthogonal or unitary) under an appropriate action (by conjugation, or by a left-right action). Our approach is based on Weingarten calculus. As an interesting byproduct of our study - and as a preliminary to the solution of our problem of computing the moments of the inverse of a compound Wishart random matrix, we obtain explicit moment formulas for the pseudo-inverse of Ginibre random matrices. These results are also given in the paper, [CMS]. Using the moments of the inverse of compound Wishart matrices, we obtain asymptotically unbiased estimators of the risk and the weights of the MV portfolio. Finally, we have some numerical results which are part of our future work.

Três ensembles, respectivamente relacionados com as distribuições Gaussiana, Lognormal e de Levy, são abordados neste trabalho primordialmente do ponto de vista da termodinâmica de seus espectros. Novas expressões para as grandezas termodinâmicas sao encontradas para os ensembles de Stieltjes e de Bertuola-Pato, e a conexão destes com os ensembles Gaussianos e estabelecida. Esta tese também se compromete com a continuação do desenvolvimento e aprimorarão do ensemble generalizado de Bertuola-Pato, estendendo alguns resultados para os ensembles simplifico e unitário generalizados, alem do ortogonal generalizado já introduzido anteriormente por A. C. Bertuola e M. P. Pato. / Three ensembles, related to the Gaussian, the Lognormal and the L´evy distributions respectively, have been studied in this work and were investigated most of all in what concerns their spectral thermodynamics. New expressions for the thermodynamics quantities were found for the Stieltjes and the Bertuola-Pato ensembles, and the connection with the gaussian ensembles is established. This work concerned with the development continuity and with the improvement of Bertuola-Pato generalized ensemble, extending some of the results to the simplectic and unitary generalized ensembles, besides the orthogonal generalized ensemble introduced before by A. C. Bertuola and M. P. Pato.

This thesis investigates a technique to estimate the risk of the mean-variance (MV) portfolio optimization problem. We call this technique the Scaling technique. It provides a better estimator of the risk of the MV optimal portfolio. We obtain this result for a general estimator of the covariance matrix of the returns which includes the correlated sampling case as well as the independent sampling case and the exponentially weighted moving average case. This gave rise to the paper, [CMcS]. Our result concerning the Scaling technique relies on the moments of the inverse of compound Wishart matrices. This is an open problem in the theory of random matrices. We actually tackle a much more general setup, where we consider any random matrix provided that its distribution has an appropriate invariance property (orthogonal or unitary) under an appropriate action (by conjugation, or by a left-right action). Our approach is based on Weingarten calculus. As an interesting byproduct of our study - and as a preliminary to the solution of our problem of computing the moments of the inverse of a compound Wishart random matrix, we obtain explicit moment formulas for the pseudo-inverse of Ginibre random matrices. These results are also given in the paper, [CMS]. Using the moments of the inverse of compound Wishart matrices, we obtain asymptotically unbiased estimators of the risk and the weights of the MV portfolio. Finally, we have some numerical results which are part of our future work.

La prévision d'événements extrêmes est une question cruciale dans des domaines divers allant de la météorologie à la finance. Trois classes d'universalité (Gumbel, Fréchet et Weibull) ont été identifiées pour des variables aléatoires indépendantes et de distribution identique (i.i.d.).La modélisation par des variables aléatoires i.i.d., notamment avec le modèle d'énergie aléatoire de Derrida, a permis d'améliorer la compréhension des systèmes désordonnés. Cette hypothèse n'est toutefois pas valide pour de nombreux systèmes physiques qui présentent de fortes corrélations. Dans cette thèse, nous étudions trois modèles physiques de variables aléatoires fortement corrélées : des fermions piégés,des matrices aléatoires et des marches aléatoires. Dans la première partie, nous montrons plusieurs correspondances exactes entre l'état fondamental d'un gaz de Fermi piégé et des ensembles de matrices aléatoires. Le gaz Fermi est inhomogène dans le potentiel de piégeage et sa densité présente un bord fini au-delà duquel elle devient essentiellement nulle. Nous développons une description précise des statistiques spatiales à proximité de ce bord, qui va au-delà des approximations semi-classiques standards (telle que l'approximation de la densité locale). Nous appliquons ces résultats afin de calculer les statistiques de la position du fermion le plus éloigné du centre du piège, le nombre de fermions dans un domaine donné (statistiques de comptage) et l'entropie d'intrication correspondante. Notre analyse fournit également des solutions à des problèmes ouverts de valeurs extrêmes dans la théorie des matrices aléatoires. Nous obtenons par exemple une description complète des fluctuations de la plus grande valeur propre de l'ensemble complexe de Ginibre.Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les questions de valeurs extrêmes pour des marches aléatoires. Nous considérons les statistiques d'écarts entre positions maximales consécutives (gaps), ce qui nécessite de prendre en compte explicitement le caractère discret du processus. Cette question ne peut être résolue en utilisant la convergence du processus avec son pendant continu, le mouvement Brownien. Nous obtenons des résultats analytiques explicites pour ces statistiques de gaps lorsque la distribution de sauts est donnée par la loi de Laplace et réalisons des simulations numériques suggérant l'universalité de ces résultats. / Predicting the occurrence of extreme events is a crucial issue in many contexts, ranging from meteorology to finance. For independent and identically distributed (i.i.d.) random variables, three universality classes were identified (Gumbel, Fréchet and Weibull) for the distribution of the maximum. While modelling disordered systems by i.i.d. random variables has been successful with Derrida's random energy model, this hypothesis fail for many physical systems which display strong correlations. In this thesis, we study three physically relevant models of strongly correlated random variables: trapped fermions, random matrices and random walks.In the first part, we show several exact mappings between the ground state of a trapped Fermi gas and ensembles of random matrix theory. The Fermi gas is inhomogeneous in the trapping potential and in particular there is a finite edge beyond which its density vanishes. Going beyond standard semi-classical techniques (such as local density approximation), we develop a precise description of the spatial statistics close to the edge. This description holds for a large universality class of hard edge potentials. We apply these results to compute the statistics of the position of the fermion the farthest away from the centre of the trap, the number of fermions in a given domain (full counting statistics) and the related bipartite entanglement entropy. Our analysis also provides solutions to open problems of extreme value statistics in random matrix theory. We obtain for instance a complete description of the fluctuations of the largest eigenvalue in the complex Ginibre ensemble.In the second part of the thesis, we study extreme value questions for random walks. We consider the gap statistics, which requires to take explicitly into account the discreteness of the process. This question cannot be solved using the convergence of the process to its continuous counterpart, the Brownian motion. We obtain explicit analytical results for the gap statistics of the walk with a Laplace distribution of jumps and provide numerical evidence suggesting the universality of these results.

L'objet principal de cette thèse est l'étude de plusieurs modèles de polynômes aléatoires. Il s'agit de comprendre le comportement macroscopique des racines de polynômes aléatoires dont le degré tend vers l'infini. Nous explorerons la connexion existant entre les racines de polynômes aléatoires et les gaz de Coulomb afin d'obtenir des principes de grandes déviations pour la mesure empiriques des racines. Nous revisitons l'article de Zeitouni et Zelditch qui établit un principe de grandes déviations pour un modèle général de polynômes aléatoires à coefficients gaussiens complexes. Nous étendons ce résultat au cas des coefficients gaussiens réels. Ensuite, nous démontrons que ces résultats restent valides pour une large classe de lois sur les coefficients, faisant des grandes déviations un phénomène universel pour ces modèles. De plus, nous démontrons tous les résultats précédents pour le modèle des polynômes de Weyl renormalisés. Nous nous intéressons aussi au comportement de la racine de plus grand module des polynômes de Kac. Celle-ci a un comportement non-universel et est en général une variable aléatoire à queues lourdes. Enfin, nous démontrons un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des ensembles biorthogonaux. / The main topic of this thesis is the study of the roots of random polynomials from several models. We seek to understand the behavior of the roots as the degree of the polynomial tends to infinity. We explore the connexion between the roots of random polynomials and Coulomb gases to obtain large deviations principles for the empirical measures of the roots of random polynomials. We revisit the article of Zeitouni and Zelditch which establishes the large deviations for a rather general model of random polynomials with independent complex Gaussian coefficients. We extend this result to the case of real Gaussian coefficients. Then, we prove that those results are also valid for a wide class of distributions on the coefficients, which means that those large deviations principles are a universal property. We also prove all of those results for renormalized Weyl polynomials. study the largest root in modulus of Kac polynomials. We show that this random variable has a non-universal behavior and has heavy tails. Finally, we establish a large deviations principle for the empirical measures of biorthogonal ensembles.

La théorie des matrices aléatoires a des applications dans des domaines variés : mathématiques, physique, finance, ... En physique, le concept de matrices aléatoires a été utilisé pour l'étude du transport électronique dans des structures mésoscopiques, de systèmes désordonnés, de l'intrication quantique, de modèles d'interfaces 1D fluctuantes en physique statistique, des atomes froids, ... Dans cette thèse, on s'intéresse au transport AC cohérent dans un point quantique, à des propriétés d'interfaces fluctuantes 1D sur un substrat et aux propriétés topologiques de fils quantiques multicanaux. La première partie commence par une introduction générale a la théorie des matrices aléatoires ainsi qu'a la principale méthode utilisée dans cette thèse : le gaz de Coulomb. Cette technique permet entre autres d'étudier la distribution d'observables qui prennent la forme de statistiques linéaires des valeurs propres, qui représentent beaucoup de quantités physiques pertinentes. Cette méthode est ensuite appliquée à des exemples concrets pour étudier le transport cohérent et les problèmes d'interfaces fluctuantes en physique statistique. La seconde partie se concentre sur un modèle de fil désordonné : l'équation de Dirac multicanale avec masse aléatoire. Nous étendons le puissant formalisme utilisé pour l'étude de systèmes unidimensionnels au cas quasi-1D, et établissons une connexion avec un modèle de matrices aléatoires. Nous utilisons ce résultat pour obtenir la densité d'états et les propriétés de localisation. Nous montrons également que ce système présente une série de transitions de phases topologiques (changement d'un nombre quantique de nature topologique, sans changement de symétrie), contrôlées par le désordre. / Random matrix theory has applications in various fields: mathematics, physics, finance, ... In physics, the concept of random matrices has been used to study the electronic transport in mesoscopic structures, disordered systems, quantum entanglement, interface models in statistical physics, cold atoms, ... In this thesis, we study coherent AC transport in a quantum dot, properties of fluctuating 1D interfaces on a substrate and topological properties of multichannel quantum wires. The first part gives a general introduction to random matrices and to the main method used in this thesis: the Coulomb gas. This technique allows to study the distribution of observables which take the form of linear statistics of the eigenvalues. These linear statistics represent many relevant physical observables, in different contexts. This method is then applied to study concrete examples in coherent transport and fluctuating interfaces in statistical physics. The second part focuses on a model of disordered wires: the multichannel Dirac equation with a random mass. We present an extension of the powerful methods used for one dimensional system to this quasi-1D situation, and establish a link with a random matrix model. From this result, we extract the density of states and the localization properties of the system. Finally, we show that this system exhibits a series of topological phase transitions (change of a quantum number of topological nature, without changing the symmetries), driven by the disorder.

L'objectif de cette thèse est d'investiguer le comportement de la localisation d'Anderson en grande dimension. Dans la première partie nous étudions les Matrices de Lévy, un modèle de matrices aléatoires avec interactions à longue portée qui présente une forte analogie avec le problème de la localisation d'Anderson sur des structures en arbre, représentatives du comportement en dimension infinie. Nous établissons l'équation qui détermine la transition de localisation et nous obtenons le diagramme de phase. Nous investiguons en suite le comportement inhabituel de la phase délocalisée. Avec des arguments basés sur la méthode supersymmétrique et sur le mouvement brownien de Dyson, nous montrons que la distribution des écarts entre valeurs propres est la même que dans le cas GOE dans toute la phase délocalisée et elle est de type Poisson dans la phase localisée. Notre analyse numérique confirme ce résultat, valable dans la limite thermodynamique, et fournit des informations sur le comportement d'autres quantités comme la statistique des vecteurs propres. De plus, les résultats numériques révèlent que l'échelle caractéristique qui gouverne les effets de taille finie diverge beaucoup plus vite qu'une loi de puissance quand on s'approche de la transition, et elle est déjà très grande loin du point critique. Dans la seconde partie nous étudions numériquement le comportement du modèle d'Anderson en dimension de 3 à 6 en utilisant la méthode de la matrice de transfert, la diagonalisation exacte, et une technique approximée de Groupe de Renormalisation pour fort désordre. Les résultats suggèrent que la dimension critique supérieure de la localisation d'Anderson est infinie. Nous discutons aussi les implications possibles de ce scénario sur le comportement inhabituel de la phase délocalisée des modèles représentatifs de la limite de dimension infinie, comme les matrices de Lévy et le modèle d'Anderson sur des structures en arbre. / In this thesis, we investigate the behavior of Anderson Localization in high dimension. In the first part we study Lévy Matrices (LMs), a Random Matrix model with long-range hopping presenting strong analogy with the problem of Anderson Localization on tree-like structure, representative of the limit of infinite dimensionality. We establish the equation determining the localization transition and obtain the phase diagram. We investigate then the unusual behavior of the delocalized phase. Using arguments based on supersymmetric field theory and Dyson Brownian motion we show that the eigenvalue statistics is the same one as of the Gaussian orthogonal ensemble in the whole delocalized phase and is Poisson-like in the localized phase. Our numerical analysis confirms this result, valid in the limit of infinitely large LMs, and provides information on the behavior of other observables like the wave-functions statistics. At the same time, numerical results also reveal that the characteristic scale governing finite size effects diverges much faster than a power law approaching the transition and is already very large far from it. This leads to a very wide crossover region in which the system looks as if it were in a mixed phase. In the second part we study numerically the behavior of the Anderson Model in dimension from 3 to 6 through exact diagonalization, Transfer Matrix method and an approximate Strong Disorder Renormalization Group technique. The results we find suggest that the upper critical dimension of Anderson Localization is infinite. Finally, we discuss the possible implications of this scenario on the anomalous behavior of the delocalized phase of models representative of the limit of infinite dimension, like Lévy Matrices and the Anderson model on tree-like structures.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude de la distribution spectrale limite de grandes matrices aléatoires dont les entrées sont corrélées et traite également d'inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes et géométriquement absolument réguliers. On s'intéresse au comportement asymptotique de grandes matrices de covariances et de matrices de type Wigner dont les entrées sont des fonctionnelles d'une suite de variables aléatoires à valeurs réelles indépendantes et de même loi. On montre que dans ce contexte la distribution spectrale empirique des matrices peut être obtenue en analysant une matrice gaussienne ayant la même structure de covariance. Cette approche est valide que ce soit pour des processus à mémoire courte ou pour des processus exhibant de la mémoire longue, et on montre ainsi un résultat d'universalité concernant le comportement asymptotique du spectre de ces matrices. Notre approche consiste en un mélange de la méthode de Lindeberg par blocs et d'une technique d'interpolation Gaussienne. Une nouvelle inégalité de concentration pour la transformée de Stieltjes pour des matrices symétriques ayant des lignes $m$-dépendantes est établie. Notre méthode permet d'obtenir, sous de faibles conditions, l'équation intégrale satisfaite par la transformée de Stieltjes de la distribution spectrale limite. Ce résultat s'applique à des matrices associées à des fonctions de processus linéaires, à des modèles ARCH ainsi qu'à des modèles non-linéaires de type Volterra. On traite également le cas des matrices de Gram dont les entrées sont des fonctionnelles d'un processus absolument régulier (i.e. $beta$-mélangeant).On établit une inégalité de concentration qui nous permet de montrer, sous une condition de décroissance arithmétique des coefficients de $beta$-mélange, que la transformée de Stieltjes se concentre autour de sa moyenne. On réduit ensuite le problème à l'étude d'une matrice gaussienne ayant une structure de covariance similaire via la méthode de Lindeberg par blocs. Des applications à des chaînes de Markov stationnaires et Harris récurrentes ainsi qu'à des systèmes dynamiques sont données. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on étudie des inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes. Plus précisément, on établit une inégalité de type Bernstein pour la plus grande valeur propre de la somme de matrices auto-ajointes, centrées et géométriquement $beta$-mélangeantes dont la plus grande valeur propre est bornée. Ceci étend d'une part le résultat de Merlevède et al. (2009) à un cadre matriciel et généralise d'autre part, à un facteur logarithmique près, les résultats de Tropp (2012) pour des sommes de matrices indépendantes / In this thesis, we investigate mainly the limiting spectral distribution of random matrices having correlated entries and prove as well a Bernstein-type inequality for the largest eigenvalue of the sum of self-adjoint random matrices that are geometrically absolutely regular. We are interested in the asymptotic spectral behavior of sample covariance matrices and Wigner-type matrices having correlated entries that are functions of independent random variables. We show that the limiting spectral distribution can be obtained by analyzing a Gaussian matrix having the same covariance structure. This approximation approach is valid for both short and long range dependent stationary random processes just having moments of second order. Our approach is based on a blend of a blocking procedure, Lindeberg's method and the Gaussian interpolation technique. We also develop new tools including a concentration inequality for the spectral measure for matrices having $K$-dependent rows. This method permits to derive, under mild conditions, an integral equation of the Stieltjes transform of the limiting spectral distribution. Applications to matrices whose entries consist of functions of linear processes, ARCH processes or non-linear Volterra-type processes are also given.We also investigate the asymptotic behavior of Gram matrices having correlated entries that are functions of an absolutely regular random process. We give a concentration inequality of the Stieltjes transform and prove that, under an arithmetical decay condition on the absolute regular coefficients, it is almost surely concentrated around its expectation. The study is then reduced to Gaussian matrices, with a close covariance structure, proving then the universality of the limiting spectral distribution. Applications to stationary Harris recurrent Markov chains and to dynamical systems are also given.In the last chapter, we prove a Bernstein type inequality for the largest eigenvalue of the sum of self-adjoint centered and geometrically absolutely regular random matrices with bounded largest eigenvalue. This inequality is an extension to the matrix setting of the Bernstein-type inequality obtained by Merlev`ede et al. (2009) and a generalization, up to a logarithmic term, of Tropp's inequality (2012) by relaxing the independence hypothesis

<p>In 1989 Jun Kigami made an analytic construction of a Laplacian on the Sierpiński gasket, a construction that he extended to post critically finite fractals. Since then, this field has evolved into a proper theory of analysis on fractals. The new results obtained in this thesis are all in the setting of Kigami's theory. They are presented in three papers.</p><p>Strichartz recently showed that there are first order linear differential equations, based on the Laplacian, that are not solvable on the Sierpiński gasket. In the first paper we give a characterization on the polynomial p so that the differential equation p(Δ)u=f is solvable on any open subset of the Sierpiński gasket for any f continuous on that subset. For general p we find the open subsets on which p(Δ)u=f is solvable for any continuous f.</p><p>In the second paper we describe the infinitesimal geometric behavior of a large class of smooth functions on the Sierpiński gasket in terms of the limit distribution of their local eccentricity, a generalized direction of gradient. The distribution of eccentricities is codified as an infinite dimensional perturbation problem for a suitable iterated function system, which has the limit distribution as an invariant measure. We extend results for harmonic functions found by Öberg, Strichartz and Yingst to larger classes of functions.</p><p>In the third paper we define and study intrinsic first order derivatives on post critically finite fractals and prove differentiability almost everywhere for certain classes of fractals and functions. We apply our results to extend the geography is destiny principle, and also obtain results on the pointwise behavior of local eccentricities. Our main tool is the Furstenberg-Kesten theory of products of random matrices.</p>