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Reaction-diffusion models have been widely successful in explaining a large variety of patterning phenomena in biology ranging from embryonic development to cancer growth and angiogenesis. Firstly proposed by Alan Turing in 1952 and applied to a simple two-component system, reaction-diffusion models describe spontaneous spatial pattern formation, driven purely by interactions of the system components and their diffusion in space. Today, access to unprecedented amounts of quantitative biological data allows us to build and test biochemically accurate reaction-diffusion models of intracellular processes. However, any increase in model complexity increases the number of unknown parameters and thus the computational cost of model analysis. To efficiently characterize the behavior and robustness of models with many unknown parameters is, therefore, a key challenge in systems biology. Here, we propose a novel computational framework for efficient high-dimensional parameter space characterization of reaction-diffusion models. The method leverages the $L_p$-Adaptation algorithm, an adaptive-proposal statistical method for approximate high-dimensional design centering and robustness estimation. Our approach is based on an oracle function, which describes for each point in parameter space whether the corresponding model fulfills given specifications. We propose specific oracles to estimate four parameter-space characteristics: bistability, instability, capability of spontaneous pattern formation, and capability of pattern maintenance. We benchmark the method and demonstrate that it allows exploring the ability of a model to undergo pattern-forming instabilities and to quantify model robustness for model selection in polynomial time with dimensionality. We present an application of the framework to reconstituted membrane domains bearing the small GTPase Rab5 and propose molecular mechanisms that potentially drive pattern formation.

Ziel dieser Arbeit ist es zwei verschiedene Klassen von Systemen nichtlinearer parabolischer Gleichungen zu homogenisieren, und zwar Reaktions-Diffusions-Systeme mit verschiedenen Diffusionslängenskalen und Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard. Wir betrachten parabolische Gleichungen mit periodischen Koeffizienten, wobei die Periode dem Verhältnis der charakteristischen mikroskopischen zu der makroskopische Längenskala entspricht. Unser Ziel ist es, effektive Gleichungen rigoros herzuleiten, um die betrachteten Systeme besser zu verstehen und den Simulationsaufwand zu minimieren. Wir suchen also einen Konvergenzbegriff, mit dem die Lösung des Ausgangsmodells im Limes der Periode gegen Null gegen die Lösung des effektiven Modells konvergiert. Um die periodische Mikrostruktur und die verschiedenen Diffusivitäten zu erfassen, verwenden wir die Zwei-Skalen Konvergenz mittels periodischer Auffaltung. Der erste Teil der Arbeit handelt von Reaktions-Diffusions-Systemen, in denen einige Spezies mit der charakteristischen Diffusionslänge der makroskopischen Skala und andere mit der mikroskopischen diffundieren. Die verschiedenen Diffusivitäten führen zu einem Verlust der Kompaktheit, sodass wir nicht direkt den Grenzwert der nichtlinearen Terme bestimmen können. Wir beweisen mittels starker Zwei-Skalen Konvergenz, dass das effektive Modell ein zwei-skaliges Modell ist, welches von der makroskopischen und der mikroskopischen Skale abhängt. Unsere Methode erlaubt es uns, explizite Raten für die Konvergenz der Lösungen zu bestimmen. Im zweiten Teil betrachten wir Gleichungen vom Typ Cahn-Hilliard, welche ortsabhängige Mobilitätskoeffizienten und allgemeine Potentiale beinhalten. Wir beweisen evolutionäre Gamma-Konvergenz der zugehörigen Gradientensysteme basierend auf der Gamma-Konvergenz der Energien und der Dissipationspotentiale. / The aim of this thesis is to derive homogenization results for two different types of systems of nonlinear parabolic equations, namely reaction-diffusion systems involving different diffusion length scales and Cahn-Hilliard-type equations. The coefficient functions of the considered parabolic equations are periodically oscillating with a period which is proportional to the ratio between the charactersitic microscopic and macroscopic length scales. In view of greater structural insight and less computational effort, it is our aim to rigorously derive effective equations as the period tends to zero such that solutions of the original model converge to solutions of the effective model. To account for the periodic microstructure as well as for the different diffusion length scales, we employ the method of two-scale convergence via periodic unfolding. In the first part of the thesis, we consider reaction-diffusion systems, where for some species the diffusion length scale is of order of the macroscopic length scale and for other species it is of order of the microscopic one. Based on the notion of strong two-scale convergence, we prove that the effective model is a two-scale reaction-diffusion system depending on the macroscopic and the microscopic scale. Our approach supplies explicit rates for the convergence of the solution. In the second part, we consider Cahn-Hilliard-type equations with position-dependent mobilities and general potentials. It is well-known that the classical Cahn-Hilliard equation admits a gradient structure. Based on the Gamma-convergence of the energies and the dissipation potentials, we prove evolutionary Gamma-convergence, for the associated gradient system such that we obtain in the limit of vanishing periods a Cahn-Hilliard equation with homogenized coefficients.

Die Forschung an der Hefe Saccharomyces cerevisiae – auch als Bäckerhefe bekannt – hat sich für die biologische Grundlagenforschung als unentbehrlich erwiesen und führte zu wichtigen Erkenntnissen in der Erforschung von Krankheiten wie Krebs. Am Beispiel der Paarung von Hefezellen werden in dieser Arbeit wesentliche Aspekte der eukaryotischen Zellbiologie untersucht. In der Haplophase des Lebenszyklus der Hefe, treten haploide Zellen als Paarungstyp MATa oder MATα auf. Diese Paarungstypen kommunizieren über Pheromone, die in ein extrazelluläres Medium abgesondert werden und von Zelloberflächenrezeptoren des komplementären Paarungstyps erkannt werden. Hefezellen wachsen in die Richtung eines möglichen Paarungspartners, da sie sich nicht aktiv bewegen können. Die Auswertung von empirischen Daten aus der Fluoreszenzmikroskopie und Rasterkraftmikroskopie (AFM) mit mathematischen Modellen ermöglichte die Rekonstruktion wesentlicher Prozesse der Hefepaarung: (i) Interzelluläre Kommunikation über die Sezernierung und Rezeption von Pheromonen, (ii) Aufbau der Zellpolarität als Reaktion auf die Pheromonantwort, (iii) Induktion und Mechanik der Zellformänderung. Folgende Modelle wurden dazu entwickelt: (i) Die interzelluläre Kommunikation wurde unter Verwendung von zellulären Automaten mit Hilfe von Reaktions-Diffusions (RD) Gleichungen modelliert. Das Modell zeigte, dass die gegenseitige Stimulierung und erhöhte Pheromonabsonderung zu einer verbesserten Abstimmung in der Paarung in der Zellpopulation führt. (ii) Ein Turing- und ein Phasenseparations- Mechanismus wurden als Modelle zum Aufbau der Zellpolarität verwendet. Volumen-Oberflächen gekoppelte RD Gleichungen wurden analytisch und numerisch mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) untersucht. (iii) Die Zellwandveränderung wurde mit klassischer Kontinuumsmechanik und der FEM Methode modelliert. Dies ermöglichte eine Beschreibung der reversiblen elastischen und der irreversiblen plastischen Verformungen der Zellwand. / Research on the yeast Saccharomyces cerevisiae – also known as baker’s yeast – has been essential not only for fostering basic biological knowledge but even more so for contributing towards understanding diseases such as cancer. In this thesis, general biological phenomena occurring in eukaryotic cells are investigated, exemplified by the mating process of yeast. In the haploid phase of their life cycle, yeast cells occur as mating type MATa or MATα, both of which communicate via pheromones that are secreted in an extracellular medium and can be sensed by cell-surface receptors of the complementary mating type. In order to mate, yeast cells grow towards a potential mating partner, since they are not able to actively move. Mathematical models on the basis of fluorescence and atomic force microscopy (AFM) data were developed. The key aspects of the yeast mating process that I examined were (i) intercellular communication of cells via pheromones, (ii) the initial symmetry break and implementation of cell polarity, and (iii) subsequent morphogenetic changes. The methods used and findings were as follows: (i) Pheromone secretion and sensing motifs were modelled using cellular automata models based on reaction-diffusion (RD) equations. My models show that mutual stimulation and increased pheromone secretion between cells improves mating efficiency in cell populations. (ii) To explain yeast mating decisions, two possible model types for cell polarity were tested: a Turing-type and a phase-separation mechanism. Bulk-surface RD equations were investigated analytically and numerically using the finite element method (FEM). Typical cell shapes were reconstructed in 2D and 3D. (iii) The cell wall was modelled using classical continuum mechanics that allows for reversible elastic and irreversible plastic cell wall deformation. Mathematical modelling demonstrated that all three processes investigated are precisely orchestrated and interlocked during yeast mating.