Orientador: Igor Leirte Freire / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC. Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2013

Submitted by Diogo Barreiros (diogo.barreiros@ufba.br) on 2016-06-14T14:59:20Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao Felipe Moscozo.pdf: 987997 bytes, checksum: 06d91cffa57c16769bb3aee35f257fe1 (MD5) / Approved for entry into archive by Alda Lima da Silva (sivalda@ufba.br) on 2016-06-14T15:33:04Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao Felipe Moscozo.pdf: 987997 bytes, checksum: 06d91cffa57c16769bb3aee35f257fe1 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-14T15:33:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Felipe Moscozo.pdf: 987997 bytes, checksum: 06d91cffa57c16769bb3aee35f257fe1 (MD5) / O presente trabalho tem como objetivo o estudo de métodos geométricos úteis na integração por quadraturas de uxos geodésicos. Além de discutir a abordagem simplética, tradicionalmente adotada neste tipo de problema, apresentamos também uma nova abordagem baseada na noção de estrutura solúvel. A aplicação destes métodos é ilustrada através de alguns exemplos.

Orientador: Yuri Dimitrov Bozhkov / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-27T01:04:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SilvaJunior_ValterAparecido_M.pdf: 1356319 bytes, checksum: e64224c844e48a46487c6d387ec0f3e7 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nesta dissertação, obteremos as soluções exatas do Problema de Liouville-Gelfand (em uma e em duas dimensões) via grupos de Lie de simetrias / Abstract: In this dissertation, we shall obtain the exact solutions of the Liouville-Gelfand Problem (in one and in two dimensions) via Lie groups of symmetries / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestre em Matemática Aplicada

Since the 1980s, much progress has been done in completely determining which functions share a Julia set. The polynomial case was completely solved in 1995, and it was shown that the symmetries of the Julia set play a central role in answering this question. The rational case remains open, but it was already shown to be much more complex than the polynomial one. In this thesis, we review existing results on rational maps sharing a Julia set, and offer results of our own on the symmetry group of such maps. / Desde a década de oitenta, um enorme progresso foi feito no problema de determinar quais funções têm o mesmo conjunto de Julia. O caso polinomial foi completamente respondido em 1995, e mostrou-se que as simetrias do conjunto de Julia têm um papel central nessa questão. O caso racional permanece aberto, mas já se sabe que ele é muito mais complexo do que o polinomial. Nesta dissertação, nós revisamos resultados existentes sobre aplicações racionais com o mesmo conjunto de Julia e apresentamos nossos próprios resultados sobre o grupo de simetrias de tais aplicações.

O objetivo desta tese é oferecer um arcabouço que permita a modelagem de simetrias em fibrados suaves, que possuam um bom comportamento local. Para tanto, usa-se ferramentas de grupoides de Lie e correlatas, com a finalidade de reduzir, quando possível, simetrias dadas pela ação de um grupo diferenciável, possivelmente de dimensão infinita, sobre um fibrado suave, a problemas em dimensão finita. Uma definição de invariância de uma forma diferencial, definida no espaço total de um fibrado suave, sob a ação de um grupoide de Lie, é apresentada e desenvolvida. A seguir, discute-se estas ferramentas no contexto da formulação lagrangiana da teoria clássica de campos com o objetivo de descrever, simultaneamente, simetrias internas e no espaço-tempo, de maneira unificada. Obtém-se então, nesta linguagem, alguns objetos de estudo centrais da teoria, como os teoremas de Noether e, no caso das teorias de calibre, os teoremas de acoplamento mínimo e Utiyama. Por fim, discute-se brevemente o caso de simetrias a menos de elementos de contato e divergências totais. / The aim of this thesis is to provide a framework that allows the modelling of symmetries in smooth fibre bundles which have good local behaviour. For that, we use Lie groupoids and related tools in order to reduce, whenever possible, symmetries given by the action of a possibly infinite dimensional differentiable group on a smooth fibre bundle to finite dimensional problems. We give a definition of invariance of a differential form, defined on the total space of a fibre bundle, by the action of a Lie groupoid. Then, we discuss these tools in the case of a Lagrangian classical field theory to describe internal and space-time symmetries simultaneously, in a unified way. With this language, we get some central objects of the theory such as Noether\'s theorems and, in the case of gauge theories, the minimal coupling and Utiyama\'s theorems. Lastly, we briefly discuss the case of symmetries up to contact elements and a total divergence.

O objetivo desta tese é oferecer um arcabouço que permita a modelagem de simetrias em fibrados suaves, que possuam um bom comportamento local. Para tanto, usa-se ferramentas de grupoides de Lie e correlatas, com a finalidade de reduzir, quando possível, simetrias dadas pela ação de um grupo diferenciável, possivelmente de dimensão infinita, sobre um fibrado suave, a problemas em dimensão finita. Uma definição de invariância de uma forma diferencial, definida no espaço total de um fibrado suave, sob a ação de um grupoide de Lie, é apresentada e desenvolvida. A seguir, discute-se estas ferramentas no contexto da formulação lagrangiana da teoria clássica de campos com o objetivo de descrever, simultaneamente, simetrias internas e no espaço-tempo, de maneira unificada. Obtém-se então, nesta linguagem, alguns objetos de estudo centrais da teoria, como os teoremas de Noether e, no caso das teorias de calibre, os teoremas de acoplamento mínimo e Utiyama. Por fim, discute-se brevemente o caso de simetrias a menos de elementos de contato e divergências totais. / The aim of this thesis is to provide a framework that allows the modelling of symmetries in smooth fibre bundles which have good local behaviour. For that, we use Lie groupoids and related tools in order to reduce, whenever possible, symmetries given by the action of a possibly infinite dimensional differentiable group on a smooth fibre bundle to finite dimensional problems. We give a definition of invariance of a differential form, defined on the total space of a fibre bundle, by the action of a Lie groupoid. Then, we discuss these tools in the case of a Lagrangian classical field theory to describe internal and space-time symmetries simultaneously, in a unified way. With this language, we get some central objects of the theory such as Noether\'s theorems and, in the case of gauge theories, the minimal coupling and Utiyama\'s theorems. Lastly, we briefly discuss the case of symmetries up to contact elements and a total divergence.

This thesis is about some extensions of the ideas and techniques used in integrable field theories to deal with non-integrable theories. It is presented in two parts. The first part deals with gauge theories in 3 and 4 dimensional space-time; we propose what we call the integral formulation of them, which at the end give us a natural way of defining the conserved charges that are gauge invariant and do not depend on the parametrisation of space-time. The definition of gauge invariant conserved charges in non-Abelian gauge theories is an open issue in physics and we think our solution might be a first step into its full understanding. The integral formulation shows a deeper connection between different gauge theories: they share the same basic structure when written in the loop space. Moreover, in our construction the arguments leading to the conservation of the charges are dynamical and independent of the particular solution. In the second part we discuss the recently introduced concept called quasi-integrability: one observes soliton-like configurations evolving through non-integrable equations having properties similar to those expected for integrable theories. We study the case of a model which is a deformation of the non-linear Schr¨odinger equation consisting of a more general potential, connected in a way with the integrable one. The idea is to develop a mathematical approach to treat more realistic theories, which is in particular very important from the point of view of applications; the NLS model appears in many branches of physics, specially in optical fibres and Bose-Einstein condensation. The problem was treated analytically and numerically, and the results are interesting. Indeed, due to the fact that the model is not integrable one does not find an infinite number of conserved charges but, instead, a set of infinitely many charges that are asymptotically conserved, i.e., when two solitons undergo a scattering process the charges they carry before the collision change, but after the collision their values are recovered. / Essa tese discute algumas extensões de ideias e técnicas usadas em teorias de campos integráveis para tratar teorias que não são integráveis. Sua apresentação é feita em duas partes. A primeira tem como tema teorias de calibre em 3 e 4 dimensões; propomos o que chamamos de equação integral para uma tal teoria, o que nos permite de maneira natural a construção de suas cargas invariantes de calibre, e independentes da parametrização do espaço-tempo. A definição de cargas conservadas in variantes de calibre em teorias não-Abelianas ainda é um assunto em aberto e acreditamos que a nossa solução pode ser um primeiro passo em seu entendimento. A formulação integral mostra uma conexão profunda entre diferentes teorias de calibre: elas compartilham da mesma estrutura básica quando formuladas no espaço dos laços. Mais ainda, em nossa construção os argumentos que levam `a conservação das cargas são dinâmicos e independentes de qualquer solução particular. Na segunda parte discutimos o recentemente introduzido conceito de quasi-integrabilidade: em (1 + 1) dimensões existem modelos não integráveis que admitem soluções solitonicas com propriedades similares `aquelas de teorias integráveis. Estudamos o caso de um modelo que consiste de uma deformação (não-integrável) da equação de Schrödinger não-linear (NLS), proveniente de um potencial mais geral, obtido a partir do caso integrável. O que se busca é desenvolver uma abordagem matemática sistemática para tratar teorias mais realistas (e portanto não integráveis), algo bastante relevante do ponto de vista de aplicações; o modelo NLS aparece em diversas áreas da física, especialmente no contexto de fibra ótica e condensação de Bose-Einstein. O problema foi tratado de maneira analítica e numérica, e os resultados se mostram interessantes. De fato, sendo a teoria não integrável não é encontrado um conjunto com infinitas cargas conservadas, mas, pode-se encontrar um conjunto com infinitas cargas assintoticamente conservadas, i.e., quando dois solitons colidem as cargas que eles tinham antes tem os seus valores alterados, mas após a colisão, os valores inicias, de antes do espalhamento, são recobrados.

Uma análise da estabilidade não-linear de feixes com seção transversal circular considerando perturbações sem simetria axial é executada. Mostra-se que as oscilações simétricas oficialmente circulares de um feixe podem induzir oscilações não-lineares do tipo anti-simétrica(elípticas), com um conseqüente aumento do tamanho do feixe ao logo de uma direção preferencial. O mecanismo da instabilidade e sua relevância às perdas de partícula no feixe são discutidos.

Uma análise da estabilidade não-linear de feixes com seção transversal circular considerando perturbações sem simetria axial é executada. Mostra-se que as oscilações simétricas oficialmente circulares de um feixe podem induzir oscilações não-lineares do tipo anti-simétrica(elípticas), com um conseqüente aumento do tamanho do feixe ao logo de uma direção preferencial. O mecanismo da instabilidade e sua relevância às perdas de partícula no feixe são discutidos.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2016. / Submitted by Albânia Cézar de Melo (albania@bce.unb.br) on 2016-08-25T16:04:06Z No. of bitstreams: 1 2016_WendsonMedeirosdaSilva.pdf: 750785 bytes, checksum: a93e62a172247a17344422d7f76d55c2 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-09-20T19:51:42Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_WendsonMedeirosdaSilva.pdf: 750785 bytes, checksum: a93e62a172247a17344422d7f76d55c2 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-20T19:51:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_WendsonMedeirosdaSilva.pdf: 750785 bytes, checksum: a93e62a172247a17344422d7f76d55c2 (MD5) / Neste trabalho utilizamos as ferramentas matemáticas da teoria das simetrias de Lie e simetrias não-clássicas e suas soluções invariantes. Antes de utilizar tais ferramentas para poder encontrar as simetrias de equações diferenciais e então tentar resolvê-las, precisamos dominar os conceitos matemáticos para o tratamento das simetrias. A mais importante forma de estudar simetrias é utilizando a teoria de grupos, esta álgebra é adaptada para o tratamento de um conjunto de transformações. Por possuir tal característica ela é importante para físicos e matemáticos. A ideia principal desse trabalho é mostrar através do estudo de conceitos básicos de simetrias de Lie como obter simetrias não-clássicas de equações diferenciais a derivadas fracionárias, e como a partir destas encontrar soluções analíticas particulares para estas equações. _________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we use the mathematical tools of the theory of Lie symmetries and nonclassical symmetries and their invariant solutions. Before using such tools in order to find the symmetries of differential equations and then try to solve them, we need to master the mathematical concepts for the treatment of symmetries. The most important way to study symmetries is using the theory of groups, this algebra is adapted for the treatment of a number of transformations. By having such a feature it is important to physicists and mathematicians. The main idea of this work is to show through the study of basic concepts of Lie symmetries getting nonclassical symmetries of differential equations with fractional derivatives, and how from these individuals find analytical solutions to these equations.