Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.

Diese Dissertation behandelt nicht-holomorphe Diese Dissertation behandelt nicht-holomorphe Eisensteinreihen und Dessins d''Enfants. Nicht-holomorphe Eisensteinreihen entstehen aus Untergruppen der Modulgruppe, indem man über alle Elemente der Gruppe modulo dem Stabilisator einer Spitze aufsummiert. Die zweite Struktur, Dessins d''Enfants, sind bipartite Graphen die in topologische Flächen eingebettet sind. Dessins d''Enfants stehen in Korrespondenz zu Belyi-Paaren und Untergruppen der Modulgruppe von endlichem Index. Deshalb bestehen zwischen Eisensteinreihen und Dessins d''Enfants Verbindungen und ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist es, Informationen und Wissen über das eine Objekt in das andere zu übertragen. Bezüglich Dessins d''Enfants beschäftigen wir uns mit Symmetrien. Wir waren in der Lage, Automorphismen von algebraischen Kurven im assoziierten Dessin, in der zugehörigen Untergruppe sowie insbesondere auf den Spitzen zu interpretieren. Außerdem beschreiben wir die Zusammenhänge zwischen Dessins für Untergruppen, dadurch können wir für zwei Untergruppen anhand ihres Dessins entscheiden, ob sie in einander enthalten sind. In Kombination mit hier erbrachten Resultaten zu den Hauptkongruenzuntergruppen führt dies zu einem implementierten Algorithmus, der prüft, ob eine Gruppe eine Kongruenzuntergruppe ist oder nicht. Auf der Seite der Eisensteinreihen untersucht dieser Text Streukonstanten, Greensche Funktionen und Kroneckergrenzformeln. In der Streumatrix fanden wir Symmetrien (für bestimmte Gruppen). Für Greensche Funktionen wurde eine Spurformel bewiesen. Wir zeigten, dass Eisensteinreihen eine Identität erfüllen, die wir Kroneckergrenzformel nennen; sie vergleicht den konstanten Term der Eisensteinreihe mit Funktionen, die von ausgezeichneten Modulformen kommen. Die Dissertation gipfelt in der Berechnung der Streukonstanten für die Untergruppen assoziiert zu den Fermatkurven, die fast alle Nichtkongruenzuntergruppen sind. / In this dissertation non-holomorphic Eisenstein series and Dessins d''Enfants are considered. Non-holomorphic Eisenstein series are created out of subgroups of the modular group by summing up over all elements modulo the stabilizer of a cusp. The second main object, Dessins d''Enfants, are bipartite graphs that are embedded into topological surfaces. There is a correspondence between Dessins D''Enfants, Belyi pairs and subgroups of the modular group of finite index. Therefore Eisenstein series and Dessins d''Enfants are related and a focus of this work is how to use the one to find information about the other. The main results concerning Dessins d''Enfants in this thesis are investigations of symmetries of Dessins. We have been able to interpret automorphisms of algebraic curves on the associated Dessin, the subgroups and in particular the set of cusps. Furthermore, we describe the relation of Dessins for subgroups. Therefore, with help of the Dessins we can decide if two subgroups are contained in each other. Together with our results on the Dessins for principal congruence subgroups this leads to an implemented algorithm that checks if a subgroup is a congruence subgroup or not. On the side of Eisenstein series we consider scattering constants, Green''s functions and Kronecker limit formulas. We found symmetries in the scattering matrix for certain groups. For Green''s functions we established a trace formula. We showed that Eisenstein series fulfill an identity we call Kronecker limit formula in which they are compared with functions coming from certain modular forms. Most of the work done in this thesis culminates in the calculation of the scattering constants for the subgroups associated to Fermat curves; most of these groups are non-congruence.

Das Ziel dieser Dissertation ist die Erforschung einer gewissen Invariante von Singularitäten über einem Grundkörper k von positiver Charakteristik. Sei x \in X ein singulärer Punkt auf einem k-Schema. Dann ist die lokale rigide Kohomologie im Grad i definiert als H^i_{rig, {x}}(X), also als die rigide Kohomologie von X mit Träger in der Teilmenge {x}. In Kapitel 2 zeigen wir, dass die lokale rigide Kohomologie tatsächlich eine Invariante ist. Das heißt: Sind x'' \in X'' und x \in X kontaktäquivalente singuläre Punkte auf k-Schemata, dann sind die Vektorräume H_{rig, {x}}(X) und H_{rig, {x''}}(X'') zueinander isomorph. Dieser Isomorphismus ist kompatibel mit der Wirkung des Frobenius auf der rigiden Kohomologie. In den Kapiteln 3 und 4 beschäftigen wir uns mit gewichtet homogenen Singularitäten von Hyperflächen. Der Hauptsatz des dritten Kapitels besagt, dass die lokale rigide Kohomologie einer solchen Singularität isomorph ist zu dem G-invarianten Teil von H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Hier bezeichnet \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k eine gewisse glatte projektive Hyperfläche und G ist eine endliche Gruppe, die auf der rigiden Kohomologie des Komplements wirkt. Dank einem Algorithmus von Abbott, Kedlaya und Roe ist es möglich, den Frobenius-Automorphismus auf H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}) annähernd zu berechnen. In Kapitel 4 formulieren wir eine Anpassung dieses Algorithmus, mithilfe derer Berechnungen auf dem G-invarianten Teil gemacht werden können. Der angepasste Algorithmus kann vollständig mithilfe gewichtet homogener Polynome formuliert werden, was für unsere Anwendungen sehr natürlich scheint. In Kapitel 5 formulieren wir einige Vermutungen und offene Probleme, die mit den Ergebnissen der früheren Kapitel zusammenhängen. / The goal of this thesis is to study a certain invariant of isolated singularities over a base field k of positive characteristic. This invariant is called the local rigid cohomology. For a singular point x \in X on a k-scheme, the i-th local rigid cohomology is defined as H^i_{rig, {x}}(X), the i-th rigid cohomology of X with supports in the subset {x}. In chapter 2 we show that the local rigid cohomology is indeed an invariant. That is: if x'' \in X'' and x \in X are contact-equivalent singularities on k-schemes, then the local rigid cohomology spaces H_{rig, {x}}(X) and H_{rig, {x''}}(X'') are isomorphic. The isomorphism that we construct is moreover compatible with the Frobenius action on rigid cohomology. In chapters 3 and 4 we focus our attention on weighted homogeneous hypersurface singularities. Our goal in chapter 3 is to show that for such a singularity, the local rigid cohomology may be identified with the G-invariants of a certain rigid cohomology space $H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Here \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k is a smooth projective hypersurface, and G is a certain finite group acting on the rigid cohomology of its complement. It is known that the rigid cohomology of a smooth projective hypersurface is amenable to direct computation. Indeed, an algorithm by Abbott, Kedlaya and Roe allows one to approximate the Frobenius on such a rigid cohomology space. In chapter 4 we will modify this algorithm to deal with the G-invariant part of cohomology. The modified algorithm can be formulated entirely in terms of weighted homogeneous polynomials, which seems natural for our applications. Chapter 5 is a collection of conjectures and open problems that are related to the earlier chapters.

In dieser Arbeit untersuchen wir Varietäten singulärer, quadratischer Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, und effektive Divisoren im Modulraum von Kurven, die mittels verschiedener Eigenschaften von quadratischen Hyperflächen definiert werden. In Kapitel 2 berechnen wir die Klasse des effektiven Divisors im Modulraum von Kurven mit Geschlecht g und n markierten Punkten, der als der Ort von solchen markierten Kurven definiert ist, dass das Projektion der kanonischen Abbildung der Kurve von den markierten Punkten auf einer quadratischen Hyperfläche liegt. Mithilfe dieser Klasse zeigen wir, dass die Modulräume mit Geschlecht 16, 17 und 8 markierten Punkten Varietäten von allgemeinem Typ sind. In Kapitel 3 stratifizieren wir den Raum von quadratischen Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, mithilfe des Rangs dieser Hyperflächen. Wir zeigen, dass jedes Stratum die erwartete Dimension hat, falls die Kurve ein allgemeines Element des Hilbertschemas ist. Mit Rücksicht auf Rang von quadratischen Hyperflächen, eine ähnliche Konstruktion wie in Kapitel 2 ergibt neue Divisoren im Modulraum von Kurven. Wir berechnen die Klasse von diesen Divisoren und zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 15 und 9 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. In Kapitel 4 präsentieren wir unterschiedliche Resultate, die mit Themen von vorigen Kapiteln im Zusammenhang stehen. Zum Ersten berechnen wir die Klasse von Divisoren im Modulraum von Kurven, die als die Orte von Kurven definiert sind, wo die maximale Rang Vermutung nicht gilt. Zweitens zeigen wir, dass jedes Geradenbündel als Tensorprodukt von zwei Geradenbündeln mit zwei Schnitten geschrieben werden kann, falls die Kurve allgemein ist und eine gewisse numerische Bedingung erfüllt ist. Zuletzt benutzen wir bekannte Divisorklassen zu zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 12 und 10 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. / In this thesis, we study varieties of singular quadrics containing a projective curve and effective divisors in the moduli space of pointed curves defined via various constructions involving quadric hypersurfaces. In Chapter 2, we compute the class of the effective divisor in the moduli space of n-pointed genus g curves, which is defined as the locus of pointed curves such that the projection of the canonical model of the curve from the marked points lies on a quadric hypersurface. Using this class, we show that the moduli spaces of 8-pointed genus 16 and 17 curves are varieties of general type. In Chapter 3, we stratify the space of quadrics that contain a given curve in the projective space, using the ranks of the quadrics. We show, in a certain numerical range, that each stratum has the expected dimension if the curve is general in its Hilbert scheme. By incorporating the datum of the rank of quadrics, a similar construction as the one in Chapter 2 yields new divisors in the moduli space of pointed curves. We compute the class of these divisors and show that the moduli space of 9-pointed genus 15 curves is a variety of general type. In Chapter 4, we present miscellaneous results, which are related with our main work in the previous chapters. Firstly, we consider divisors in the moduli space of genus g curves, which are defined as the failure locus of maximal rank conjecture for hypersurfaces of degree greater than two. We illustrate three examples of such divisors and compute their classes. Secondly, using the classical correspondence between rank 4 quadrics and pencils on curves, we show that the map that associates to a pair of pencils their tensor product in the Picard variety is surjective, when the curve is general and obvious numerical assumptions are satisfied. Finally, we use divisor classes, that are already known in the literature, to show that the moduli space of 10-pointed genus 12 curves is a variety of general type.

Das erste Thema dieser Dissertation ist der Defekt projektiver Hyperflächen. Es scheint, dass Hyperflächen mit Defekt einen verhältnismäßig großen singulären Ort besitzen. Diese Aussage wird im ersten Kapitel der Dissertation präzisiert und für Hyperflächen mit beliebigen isolierten Singularitäten über einem Körper der Charakteristik null, sowie für gewisse Klassen von Hyperflächen in positiver Charakteristik bewiesen. Darüber hinaus lässt sich die Dichte von Hyperflächen ohne Defekt über einem endlichen Körper abschätzen. Schließlich wird gezeigt, dass eine nicht-faktorielle Hyperfläche der Dimension drei mit isolierten Singularitäten stets Defekt besitzt. Das zweite Kapitel der Dissertation behandelt Bertini-Sätze über endlichen Körpern, aufbauend auf Poonens Formel für die Dichte glatter Hyperflächenschnitte in einer glatten Umgebungsvarietät. Diese wird auf quasiglatte Hyperflächen in simpliziellen torischen Varietäten verallgemeinert. Die Hauptanwendung ist zu zeigen, dass Hyperflächen mit einem in Relation zum Grad großen singulären Ort die Dichte null haben. Weiterhin enthält das Kapitel einen Bertini-Irreduzibilitätssatz, der auf einer Arbeit von Charles und Poonen beruht. Im dritten Kapitel werden ebenfalls Dichten über endlichen Körpern untersucht. Zunächst werden gewisse Faserungen über glatten projektiven Basisvarietäten in einem gewichteten projektiven Raum betrachtet. Das erste Resultat ist ein Bertini-Satz für glatte Faserungen, der Poonens Formel über glatte Hyperflächen impliziert. Der letzte Abschnitt behandelt elliptische Kurven über einem Funktionskörper einer Varietät der Dimension mindestens zwei. Die zuvor entwickelten Techniken ermöglichen es, eine untere Schranke für die Dichte solcher Kurven mit Mordell-Weil-Rang null anzugeben. Dies verbessert ein Ergebnis von Kloosterman. / The first topic of this dissertation is the defect of projective hypersurfaces. It is indicated that hypersurfaces with defect have a rather large singular locus. In the first chapter of this thesis, this will be made precise and proven for hypersurfaces with arbitrary isolated singularities over a field of characteristic zero, and for certain classes of hypersurfaces in positive characteristic. Moreover, over a finite field, an estimate on the density of hypersurfaces without defect is given. Finally, it is shown that a non-factorial threefold hypersurface with isolated singularities always has defect. The second chapter of this dissertation deals with Bertini theorems over finite fields building upon Poonen’s formula for the density of smooth hypersurface sections in a smooth ambient variety. This will be extended to quasismooth hypersurfaces in simplicial toric varieties. The main application is to show that hypersurfaces admitting a large singular locus compared to their degree have density zero. Furthermore, the chapter contains a Bertini irreducibility theorem for simplicial toric varieties generalizing work of Charles and Poonen. The third chapter continues with density questions over finite fields. In the beginning, certain fibrations over smooth projective bases living in a weighted projective space are considered. The first result is a Bertini-type theorem for smooth fibrations, giving back Poonen’s formula on smooth hypersurfaces. The final section deals with elliptic curves over a function field of a variety of dimension at least two. The techniques developed in the first two sections allow to produce a lower bound on the density of such curves with Mordell-Weil rank zero, improving an estimate of Kloosterman.

In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

Ziel dieser Arbeit ist die explizite Berechnung gewisser geometrischer Zykel in Modulräumen von Kurven. In den letzten Jahren wurden Divisoren auf $\Mbar_{g,n}$ ausgiebig untersucht. Durch die Berechnung von Klassen in Kodimension 1 konnten wichtige Ergebnisse in der birationalen Geometrie der Räume $\Mbar_{g,n}$ erzielt werden. In Kapitel 1 geben wir einen Überblick über dieses Thema. Im Gegensatz dazu sind Klassen in Kodimension 2 im Großen und Ganzen unerforscht. In Kapitel 2 betrachten wir den Ort, der im Modulraum der Kurven vom Geschlecht 2k durch die Kurven mit einem Büschel vom Grad k definiert wird. Da die Brill-Noether-Zahl hier -2 ist, hat ein solcher Ort die Kodimension 2. Mittels der Methode der Testflächen berechnen wir die Klasse seines Abschlusses im Modulraum der stabilen Kurven. Das Ziel von Kapitel 3 ist es, die Klasse des Abschlusses des effektiven Divisors in $\Mbar_{6,1}$ zu berechnen, der durch punktierte Kurven [C, p] gegeben ist, für die ein ebenes Modell vom Grad 6 existiert, bei dem p auf einen Doppelpunkt abgebildet wird. Wie Jensen gezeigt hat, erzeugt dieser Divisor einen extremalen Strahl im pseudoeffektiven Kegel von $\Mbar_{6,1}$. Ein allgemeines Ergebnis über gewisse Familien von Linearsystemen mit angepasster Brill-Noether-Zahl 0 oder -1 wird eingeführt, um die Berechnung zu vervollständigen. / The aim of this thesis is the explicit computation of certain geometric cycles in moduli spaces of curves. In recent years, divisors of $\Mbar_{g,n}$ have been extensively studied. Computing classes in codimension one has yielded important results on the birational geometry of the spaces $\Mbar_{g,n}$. We give an overview of the subject in Chapter 1. On the contrary, classes in codimension two are basically unexplored. In Chapter 2 we consider the locus in the moduli space of curves of genus 2k defined by curves with a pencil of degree k. Since the Brill-Noether number is equal to -2, such a locus has codimension two. Using the method of test surfaces, we compute the class of its closure in the moduli space of stable curves. The aim of Chapter 3 is to compute the class of the closure of the effective divisor in $\M_{6,1}$ given by pointed curves [C,p] with a sextic plane model mapping p to a double point. Such a divisor generates an extremal ray in the pseudoeffective cone of $\Mbar_{6,1}$ as shown by Jensen. A general result on some families of linear series with adjusted Brill-Noether number 0 or -1 is introduced to complete the computation.