In dieser Arbeit untersuchen wir Varietäten singulärer, quadratischer Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, und effektive Divisoren im Modulraum von Kurven, die mittels verschiedener Eigenschaften von quadratischen Hyperflächen definiert werden. In Kapitel 2 berechnen wir die Klasse des effektiven Divisors im Modulraum von Kurven mit Geschlecht g und n markierten Punkten, der als der Ort von solchen markierten Kurven definiert ist, dass das Projektion der kanonischen Abbildung der Kurve von den markierten Punkten auf einer quadratischen Hyperfläche liegt. Mithilfe dieser Klasse zeigen wir, dass die Modulräume mit Geschlecht 16, 17 und 8 markierten Punkten Varietäten von allgemeinem Typ sind. In Kapitel 3 stratifizieren wir den Raum von quadratischen Hyperflächen, die eine projektive Kurve enthalten, mithilfe des Rangs dieser Hyperflächen. Wir zeigen, dass jedes Stratum die erwartete Dimension hat, falls die Kurve ein allgemeines Element des Hilbertschemas ist. Mit Rücksicht auf Rang von quadratischen Hyperflächen, eine ähnliche Konstruktion wie in Kapitel 2 ergibt neue Divisoren im Modulraum von Kurven. Wir berechnen die Klasse von diesen Divisoren und zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 15 und 9 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. In Kapitel 4 präsentieren wir unterschiedliche Resultate, die mit Themen von vorigen Kapiteln im Zusammenhang stehen. Zum Ersten berechnen wir die Klasse von Divisoren im Modulraum von Kurven, die als die Orte von Kurven definiert sind, wo die maximale Rang Vermutung nicht gilt. Zweitens zeigen wir, dass jedes Geradenbündel als Tensorprodukt von zwei Geradenbündeln mit zwei Schnitten geschrieben werden kann, falls die Kurve allgemein ist und eine gewisse numerische Bedingung erfüllt ist. Zuletzt benutzen wir bekannte Divisorklassen zu zeigen, dass der Modulraum von Kurven mit Geschlecht 12 und 10 markierten Punkten eine Varietät von allgemeinem Typ ist. / In this thesis, we study varieties of singular quadrics containing a projective curve and effective divisors in the moduli space of pointed curves defined via various constructions involving quadric hypersurfaces. In Chapter 2, we compute the class of the effective divisor in the moduli space of n-pointed genus g curves, which is defined as the locus of pointed curves such that the projection of the canonical model of the curve from the marked points lies on a quadric hypersurface. Using this class, we show that the moduli spaces of 8-pointed genus 16 and 17 curves are varieties of general type. In Chapter 3, we stratify the space of quadrics that contain a given curve in the projective space, using the ranks of the quadrics. We show, in a certain numerical range, that each stratum has the expected dimension if the curve is general in its Hilbert scheme. By incorporating the datum of the rank of quadrics, a similar construction as the one in Chapter 2 yields new divisors in the moduli space of pointed curves. We compute the class of these divisors and show that the moduli space of 9-pointed genus 15 curves is a variety of general type. In Chapter 4, we present miscellaneous results, which are related with our main work in the previous chapters. Firstly, we consider divisors in the moduli space of genus g curves, which are defined as the failure locus of maximal rank conjecture for hypersurfaces of degree greater than two. We illustrate three examples of such divisors and compute their classes. Secondly, using the classical correspondence between rank 4 quadrics and pencils on curves, we show that the map that associates to a pair of pencils their tensor product in the Picard variety is surjective, when the curve is general and obvious numerical assumptions are satisfied. Finally, we use divisor classes, that are already known in the literature, to show that the moduli space of 10-pointed genus 12 curves is a variety of general type.

Die Schätzung von Quantilen und verwandten Funktionalen wird in zwei inversen Problemen behandelt: dem klassischen Dekonvolutionsmodell sowie dem Lévy-Modell in dem ein Lévy-Prozess beobachtet wird und Funktionale des Sprungmaßes geschätzt werden. Im einem abstrakteren Rahmen wird semiparametrische Effizienz im Sinne von Hájek-Le Cam für Funktionalschätzung in regulären, inversen Modellen untersucht. Ein allgemeiner Faltungssatz wird bewiesen, der auf eine große Klasse von statistischen inversen Problem anwendbar ist. Im Dekonvolutionsmodell beweisen wir, dass die Plugin-Schätzer der Verteilungsfunktion und der Quantile effizient sind. Auf der Grundlage von niederfrequenten diskreten Beobachtungen des Lévy-Prozesses wird im nichtlinearen Lévy-Modell eine Informationsschranke für die Schätzung von Funktionalen des Sprungmaßes hergeleitet. Die enge Verbindung zwischen dem Dekonvolutionsmodell und dem Lévy-Modell wird präzise beschrieben. Quantilschätzung für Dekonvolutionsprobleme wird umfassend untersucht. Insbesondere wird der realistischere Fall von unbekannten Fehlerverteilungen behandelt. Wir zeigen unter minimalen und natürlichen Bedingungen, dass die Plugin-Methode minimax optimal ist. Eine datengetriebene Bandweitenwahl erlaubt eine optimale adaptive Schätzung. Quantile werden auf den Fall von Lévy-Maßen, die nicht notwendiger Weise endlich sind, verallgemeinert. Mittels äquidistanten, diskreten Beobachtungen des Prozesses werden nichtparametrische Schätzer der verallgemeinerten Quantile konstruiert und minimax optimale Konvergenzraten hergeleitet. Als motivierendes Beispiel von inversen Problemen untersuchen wir ein Finanzmodell empirisch, in dem ein Anlagengegenstand durch einen exponentiellen Lévy-Prozess dargestellt wird. Die Quantilschätzer werden auf dieses Modell übertragen und eine optimale adaptive Bandweitenwahl wird konstruiert. Die Schätzmethode wird schließlich auf reale Daten von DAX-Optionen angewendet. / The estimation of quantiles and realated functionals is studied in two inverse problems: the classical deconvolution model and the Lévy model, where a Lévy process is observed and where we aim for the estimation of functionals of the jump measure. From a more abstract perspective we study semiparametric efficiency in the sense of Hájek-Le Cam for functional estimation in regular indirect models. A general convolution theorem is proved which applies to a large class of statistical inverse problems. In particular, we consider the deconvolution model, where we prove that our plug-in estimators of the distribution function and of the quantiles are efficient. In the nonlinear Lévy model based on low-frequent discrete observations of the Lévy process, we deduce an information bound for the estimation of functionals of the jump measure. The strong relationship between the Lévy model and the deconvolution model is given a precise meaning. Quantile estimation in deconvolution problems is studied comprehensively. In particular, the more realistic setup of unknown error distributions is covered. Under minimal and natural conditions we show that the plug-in method is minimax optimal. A data-driven bandwidth choice yields optimal adaptive estimation. The concept of quantiles is generalized to the possibly infinite Lévy measures by considering left and right tail integrals. Based on equidistant discrete observations of the process, we construct a nonparametric estimator of the generalized quantiles and derive minimax convergence rates. As a motivating financial example for inverse problems, we empirically study the calibration of an exponential Lévy model for asset prices. The estimators of the generalized quantiles are adapted to this model. We construct an optimal adaptive quantile estimator and apply the procedure to real data of DAX-options.

Diese Dissertation befasst sich mit Fragen über den Modulraum M_{0,n} der stabilen punktierten rationalen Kurven, die durch das Mori-Programm motiviert sind. Insbesondere studieren wir den nef-Kegel (Chapter 2), den Cox-Ring (Chapter 3), und den Kegel der beweglichen Kurven (Chapter 4). In Kapitel 2 beweisen wir Fultons Vermutung für M_{0,n}, n / We investigate questions motivated by Mori''s program for the moduli space of stable pointed rational curves, M_{0,n}. In particular, we study its nef cone (Chapter 2), its Cox ring (Chapter 3), and its cone of movable curves (Chapter 4). In Chapter 2, we prove Fulton''s conjecture for M_{0,n} for n less than or equal to 7, which states that any divisor on these moduli spaces non-negatively intersecting all so-called F-curves is linearly equivalent to an effective sum of boundary divisors. As a corollary, it follows that a divisor is nef if and only if the divisor intersects all F-curves non-negatively. By duality, we thus recover Keel and McKernan''s result that the F-curves generate the closed cone of curves when n is less than or equal to seven, but with methods that do not rely on negativity properties of the canonical bundle that fail for higher n. Chapter 3 initiates a study of relations among generators of the Cox ring of M_{0,n}. We first prove a `relation-free'' result that exhibits polynomial subrings of the Cox ring in boundary section variables. In the opposite direction, we exhibit multidegrees such that the corresponding graded parts meet the ideal of relations non-trivially. In Chapter 4, we study the so-called complete intersection cone for the three-fold M_{0,6}. For a smooth projective variety X, this cone is defined as the closure of curve classes obtained as intersections of the dimension of X minus one very ample divisors. The complete intersection cone is contained in the cone of movable curves, which is dual to the cone of pseudoeffective divisors. We show that, for a series of toric birational models for M_{0,6}, the complete intersection and movable cones coincide, while for M_{0,6}, there is strict containment.

In dieser Dissertation entwickeln wir eine Schnittheorie von torischen bzw. toroidalen b-Divisoren auf torischen bzw. toroidalen Einbettungen. Motiviert wird dies durch das Ziel, eine arithmetische Schnittheorie auf gemischten Shimura- Varietäten von nicht-kompaktem Typ zu begründen. Die bisher zur Verfügung stehenden Werkzeuge definieren keine numerischen Invarianten, die birational invariant sind. Zuerst definieren wir torische b-Divisoren auf torischen Varietäten und einen Integrabilitätsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass torische b-Divisoren unter geeigneten Annahmen an die Positivität integrierbar sind und dass ihr Grad als das Volumen einer konvexen Menge gegeben ist. Außerdem zeigen wir, dass die Dimension des Vektorraums der globalen Schnitte eines torischen b-Divisors, der nef ist, gleich der Anzahl der Gitterpunkte in besagter konvexer Menge ist und wir geben eine Hilbert–Samuel-Formel für das asymptotische Wachstum dieser Dimension. Dies verallgemeinert klassische Resultate für klassische torische Divisoren auf torischen Varietäten. Als ein zusätzliches Resultat setzen wir konvexe Mengen, die von torischen b-Divisoren kommen, mit Newton–Okounkov- Körpern in Beziehung. Anschließend definieren wir toroidale b-Divisoren auf toroidalen Varietäten und einen Integrierbarkeitsbegriff für solche Divisoren. Wir zeigen, dass unter geeigneten Positivitätsannahmen toroidale b-Divisoren integrierbar sind und ihr Grad als ein Integral bezüglich eines Grenzmaßes aufgefasst werden kann. Dieses Grenzmaß ist ein schwacher Grenzwert von diskreten Maßen, deren Gewichte über tropische Schnittheorie auf rationalen konischen polyedrischen Komplexen definiert sind, welche zu der toroidalen Varietät gehören. Wir setzen dieses Grenzmaß ebenfalls in Beziehung zum zu einem konvexen Körper assoziierten Flächeninhaltsmaß. Diese Beziehung erlaubt es uns, Integrale bezüglich des Grenzmaßes explizit auszurechnen. Zusätzlich erhalten wir eine kanonische Zerlegung der Differenz zweier konvexer Mengen und eine Beziehung zwischen das Volumen von den Teilen und tropische Schnittheoretische Mengen. Schließlich berechnen wir als Anwendung den Grad des b-Divisors von Jacobiformen vom Gewicht k und Index m bezüglich der Hauptkongruenzuntergruppe zum Level N >= 3 auf der verallgemeinerten universellen elliptischen Kurve und wir zeigen, dass der b-divisoriale Ansatz gegenüber lediglich einer kanonischen Kompaktifizierung Vorteile bietet. / In this thesis we develop an intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings, respectively. Our motivation comes from wanting to establish an arithmetic intersection theory on mixed Shimura varieties of non- compact type. The tools available until now do not define numerical invariants which are birationally invariant. First, we define toric b-divisors on toric varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toric b- divisors are integrable and that their degree is given as the volume of a convex set. Moreover, we show that the dimension of the space of global sections of a nef toric b-divisor is equal to the number of lattice points in this convex set and we give a Hilbert-Samuel type formula for its asymptotic growth. This generalizes classical results for classical toric divisors on toric varieties. As a by-product, we relate convex sets arising from toric b-divisors with Newton-Okounkov bodies. Then, we define toroidal b-divisors on toroidal varieties and an integrability notion of such divisors. We show that under suitable positivity assumptions toroidal b-divisors are integrable and that their degree is given as an integral with respect to a limit measure, which is a weak limit of discrete measures whose weights are defined via tropical intersection theory on the rational con- ical polyhedral complex attached to the toroidal variety. We also relate this limit measure with the surface area measure associated to a convex body. This relation enables us to compute integrals with respect to these limit measures ex- plicitly. Additionally, we give a canonical decomposition of the difference of two convex sets and we relate the volume of the pieces to tropical top intersection numbers. Finally, as an application, we compute the degree of the b-divisor of Jacobi forms of weight k and index m with respect to the principal congruence subgroup of level N >= 3 on the generalized universal elliptic curve and we show that it is meaningful to consider the b-divisorial approach instead of just fixing one canonical compactification.

Das erste Thema dieser Dissertation ist der Defekt projektiver Hyperflächen. Es scheint, dass Hyperflächen mit Defekt einen verhältnismäßig großen singulären Ort besitzen. Diese Aussage wird im ersten Kapitel der Dissertation präzisiert und für Hyperflächen mit beliebigen isolierten Singularitäten über einem Körper der Charakteristik null, sowie für gewisse Klassen von Hyperflächen in positiver Charakteristik bewiesen. Darüber hinaus lässt sich die Dichte von Hyperflächen ohne Defekt über einem endlichen Körper abschätzen. Schließlich wird gezeigt, dass eine nicht-faktorielle Hyperfläche der Dimension drei mit isolierten Singularitäten stets Defekt besitzt. Das zweite Kapitel der Dissertation behandelt Bertini-Sätze über endlichen Körpern, aufbauend auf Poonens Formel für die Dichte glatter Hyperflächenschnitte in einer glatten Umgebungsvarietät. Diese wird auf quasiglatte Hyperflächen in simpliziellen torischen Varietäten verallgemeinert. Die Hauptanwendung ist zu zeigen, dass Hyperflächen mit einem in Relation zum Grad großen singulären Ort die Dichte null haben. Weiterhin enthält das Kapitel einen Bertini-Irreduzibilitätssatz, der auf einer Arbeit von Charles und Poonen beruht. Im dritten Kapitel werden ebenfalls Dichten über endlichen Körpern untersucht. Zunächst werden gewisse Faserungen über glatten projektiven Basisvarietäten in einem gewichteten projektiven Raum betrachtet. Das erste Resultat ist ein Bertini-Satz für glatte Faserungen, der Poonens Formel über glatte Hyperflächen impliziert. Der letzte Abschnitt behandelt elliptische Kurven über einem Funktionskörper einer Varietät der Dimension mindestens zwei. Die zuvor entwickelten Techniken ermöglichen es, eine untere Schranke für die Dichte solcher Kurven mit Mordell-Weil-Rang null anzugeben. Dies verbessert ein Ergebnis von Kloosterman. / The first topic of this dissertation is the defect of projective hypersurfaces. It is indicated that hypersurfaces with defect have a rather large singular locus. In the first chapter of this thesis, this will be made precise and proven for hypersurfaces with arbitrary isolated singularities over a field of characteristic zero, and for certain classes of hypersurfaces in positive characteristic. Moreover, over a finite field, an estimate on the density of hypersurfaces without defect is given. Finally, it is shown that a non-factorial threefold hypersurface with isolated singularities always has defect. The second chapter of this dissertation deals with Bertini theorems over finite fields building upon Poonen’s formula for the density of smooth hypersurface sections in a smooth ambient variety. This will be extended to quasismooth hypersurfaces in simplicial toric varieties. The main application is to show that hypersurfaces admitting a large singular locus compared to their degree have density zero. Furthermore, the chapter contains a Bertini irreducibility theorem for simplicial toric varieties generalizing work of Charles and Poonen. The third chapter continues with density questions over finite fields. In the beginning, certain fibrations over smooth projective bases living in a weighted projective space are considered. The first result is a Bertini-type theorem for smooth fibrations, giving back Poonen’s formula on smooth hypersurfaces. The final section deals with elliptic curves over a function field of a variety of dimension at least two. The techniques developed in the first two sections allow to produce a lower bound on the density of such curves with Mordell-Weil rank zero, improving an estimate of Kloosterman.

Diese Arbeit untersucht verschiedene Fragen hinsichtlich der birationalen Geometrie der Modulräume $\Mbar_g$ und $\Mbar_{g,n}$, mit besonderem Augenmerk auf der Berechnung effektiver Divisorklassen. In Kapitel 2 definieren wir für jedes $n$-Tupel ganzer Zahlen $\d$, die sich zu $g-1$ summieren, einen geometrisch bedeutsamen Divisor auf $\Mbar_{g,n}$, der durch Zurückziehen des Thetadivisors einer universellen Jacobi-Varietät mittels einer Abel-Jacobi-Abbildung erhalten wird. Er ist eine Verallgemeinerung verschiedener in der Literatur verwendeten Arten von Divisoren. Wir berechnen die Klasse dieses Divisors und zeigen, dass er für bestimmte $\d$ irreduzibel und extremal im effektiven Kegel von $\Mbar_{g,n}$ ist. Kapitel 3 beschäftigt sich mit einem birationalen Modell $X_6$ von $\Mbar_6$, das durch quadrische Hyperebenenschnitte auf der del-Pezzo-Fläche vom Grad $5$ erhalten wird. Wir berechnen die Klasse des großen Divisors, der die birationale Abbildung $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ induziert, und erhalten so eine obere Schranke an die bewegliche Steigung von $\Mbar_6$. Wir zeigen, dass $X_6$ der letzte nicht-triviale Raum im log-minimalen Modellprogramm für $\Mbar_6$ ist. Weiterhin geben wir einige Resultate bezüglich der Unirationalität der Weierstraßorte auf $\Mbar_{g,1}$. Für $g = 6$ hängen diese mit der del-Pezzo-Konstruktion zusammen, die benutzt wurde, um das Modell $X_6$ zu konstruieren. Kapitel 4 konzentriert sich auf den Fall $g = 0$. Castravet and Tevelev führten auf $\Mbar_{0,n}$ kombinatorisch definierte Hyperbaumdivisoren ein, die für $n = 6$ zusammen mit den Randdivisoren den effektiven Kegel erzeugen. Wir berechnen die Klasse des Hyperbaumdivisors auf $\Mbar_{0,7}$, der bis auf Permutation der markierten Punkte eindeutig ist. Wir geben eine geometrische Charakterisierung für ihn an, die zu der von Keel und Vermeire für den Fall $n = 6$ gegebenen analog ist. / This thesis investigates various questions concerning the birational geometry of the moduli spaces $\Mbar_g$ and $\Mbar_{g,n}$, with a focus on the computation of effective divisor classes. In Chapter 2 we define, for any $n$-tuple $\d$ of integers summing up to $g-1$, a geometrically meaningful divisor on $\Mbar_{g,n}$ that is essentially the pullback of the theta divisor on a universal Jacobian variety under an Abel-Jacobi map. It is a generalization of various kinds of divisors used in the literature, for example by Logan to show that $\Mbar_{g,n}$ is of general type for all $g \geq 4$ as soon as $n$ is big enough. We compute the class of this divisor and show that for certain choices of $\d$ it is irreducible and extremal in the effective cone of $\Mbar_{g,n}$. Chapter 3 deals with a birational model $X_6$ of $\Mbar_6$ that is obtained by taking quadric hyperplane sections of the degree $5$ del Pezzo surface. We compute the class of the big divisor inducing the birational map $\Mbar_6 \dashrightarrow X_6$ and use it to derive an upper bound on the moving slope of $\Mbar_6$. Furthermore we show that $X_6$ is the final non-trivial space in the log minimal model program for $\Mbar_6$. We also give a few results on the unirationality of Weierstraß loci on $\Mbar_{g,1}$, which for $g = 6$ are related to the del Pezzo construction used to construct the model $X_6$. Finally, Chapter 4 focuses on the case $g = 0$. Castravet and Tevelev introduced combinatorially defined hypertree divisors on $\Mbar_{0,n}$ that for $n = 6$ generate the effective cone together with boundary divisors. We compute the class of the hypertree divisor on $\Mbar_{0,7}$, which is unique up to permutation of the marked points. We also give a geometric characterization of it that is analogous to the one given by Keel and Vermeire in the $n = 6$ case.

Ziel dieser Arbeit ist die explizite Berechnung gewisser geometrischer Zykel in Modulräumen von Kurven. In den letzten Jahren wurden Divisoren auf $\Mbar_{g,n}$ ausgiebig untersucht. Durch die Berechnung von Klassen in Kodimension 1 konnten wichtige Ergebnisse in der birationalen Geometrie der Räume $\Mbar_{g,n}$ erzielt werden. In Kapitel 1 geben wir einen Überblick über dieses Thema. Im Gegensatz dazu sind Klassen in Kodimension 2 im Großen und Ganzen unerforscht. In Kapitel 2 betrachten wir den Ort, der im Modulraum der Kurven vom Geschlecht 2k durch die Kurven mit einem Büschel vom Grad k definiert wird. Da die Brill-Noether-Zahl hier -2 ist, hat ein solcher Ort die Kodimension 2. Mittels der Methode der Testflächen berechnen wir die Klasse seines Abschlusses im Modulraum der stabilen Kurven. Das Ziel von Kapitel 3 ist es, die Klasse des Abschlusses des effektiven Divisors in $\Mbar_{6,1}$ zu berechnen, der durch punktierte Kurven [C, p] gegeben ist, für die ein ebenes Modell vom Grad 6 existiert, bei dem p auf einen Doppelpunkt abgebildet wird. Wie Jensen gezeigt hat, erzeugt dieser Divisor einen extremalen Strahl im pseudoeffektiven Kegel von $\Mbar_{6,1}$. Ein allgemeines Ergebnis über gewisse Familien von Linearsystemen mit angepasster Brill-Noether-Zahl 0 oder -1 wird eingeführt, um die Berechnung zu vervollständigen. / The aim of this thesis is the explicit computation of certain geometric cycles in moduli spaces of curves. In recent years, divisors of $\Mbar_{g,n}$ have been extensively studied. Computing classes in codimension one has yielded important results on the birational geometry of the spaces $\Mbar_{g,n}$. We give an overview of the subject in Chapter 1. On the contrary, classes in codimension two are basically unexplored. In Chapter 2 we consider the locus in the moduli space of curves of genus 2k defined by curves with a pencil of degree k. Since the Brill-Noether number is equal to -2, such a locus has codimension two. Using the method of test surfaces, we compute the class of its closure in the moduli space of stable curves. The aim of Chapter 3 is to compute the class of the closure of the effective divisor in $\M_{6,1}$ given by pointed curves [C,p] with a sextic plane model mapping p to a double point. Such a divisor generates an extremal ray in the pseudoeffective cone of $\Mbar_{6,1}$ as shown by Jensen. A general result on some families of linear series with adjusted Brill-Noether number 0 or -1 is introduced to complete the computation.