Wird der Äquator-Pol-Energietransfer als Wärmediffusion berücksichtigt, so gehen Energiebilanzmodelle in Reaktions-Diffusionsgleichungen über, deren Modellfall die (deterministische) Chafee-Infante-Gleichung darstellt. Ihre Lösung besitzt zwei stabile Zustände und mehrere instabile auf der separierenden Mannigfaltigkeit (Separatrix) der stabilen Anziehungsgebiete. Es wird bewiesen, dass die Lösung auf geeignet verkleinerten Anziehungsgebieten mit Minimalabstand zur Separatrix innerhalb von Zeitskalen relaxiert, die höchstens logarithmisch darin anwachsen. Motiviert durch statistische Belege aus grönländischen Zeitreihen wird diese partielle Differentialgleichung unter Störung mit unendlichdimensionalem, Hilbertraum-wertigen, regulär variierenden Lévy''schen reinen Sprungrauschen mit index alpha und Intensität epsilon untersucht. Ein kanonisches Beispiel dieses Rauschens ist alpha-stabiles Rauschen im Hilbertraum. Durch Erweiterung einer Methode von Imkeller und Pavlyukevich auf stochastische partielle Differentialgleichungen wird unter milden Bedingungen bewiesen, dass im Gegensatz zu Gauß''schem Rauschen die erwarteten Austritts- und übertrittszeiten zwischen Anziehungsgebieten polynomiell mit Ordnung in der inversen Intensität für kleine Rauschintensität anwachsen. In Kapitel 6 wird eine zusätzliche natürliche “Separatrixhypothese” über das Sprungmaß, eingeführt, die eine obere Schranke für die Austrittszeiten aus einer Umgebung der Separatrix impliziert. Dies ermöglicht den Nachweis einer oberen Schranke für die Austrittszeiten, welche gleichmäßig für Anfangsbedingungen in dem ganzen Anziehungsgebiet gilt. Es folgen zwei Lokalisierungsergebnisse. Schließlich wird gezeigt, dass die Lösung metastabiles Verhalten aufweist. Unter der “Separatrixhypothese” wird dies auf ein Ergebnis erweitert, welches gleichmäßig im Raum gilt. / If equator-to-pole energy transfer by heat diffusion is taken into account, Energy Balance Models turn into reaction-diffusion equations, whose prototype is the (deterministic) Chafee-Infante equation. Its solution has two stable states and several unstable ones on the separating manifold (separatrix) of the stable domains of attraction. We show, that on appropriately reduced domains of attraction of a minimal distance to the separatrix the solution relaxes in time scales increasing only logarithmically in it. Motivated by the statistical evidence from Greenland ice core time series, we consider this partial differential equation perturbed by an infinite-dimensional Hilbert space-valued regularly varying (pure jump) Lévy noise of index alpha and intensity epsilon. A proto-type of this noise is alpha-stable noise in the Hilbert space. Extending a method developed by Imkeller and Pavlyukevich to the SPDE setting we prove under mild conditions that in contrast to Gaussian perturbations the expected exit and transition times between the domains of attraction increase polynomially in the inverse intensity. In Chapter 6 we introduce an additional natural separatrix hypothesis on the jump measure that implies an upper bound on the exit time of a neighborhood of the separatrix. This allows to obtain an upper bound for the asymptotic exit time uniform for the initial positions inside the entire domain of attraction. It is followed by two localization results. Finally we prove that the solution exhibits metastable behavior. Under the separatrix hypothesis we can extend this to a result that holds uniformly in space.

Das Verstehen der elektronischen Prozesse in Nano-Hybridsystemen, bestehend aus Molekülen und Halbleiterstrukturen, eröffnet neue Möglichkeiten für optoelektronische Bauteile. Dafür benötigt es nanoskopische und gleichzeitig atomare Modelle und somit angepasste Rechenmethoden. Insbesondere "Standard"-Ansätze für die Dynamik offener Quantensysteme werden mit zunehmender Systemgröße jedoch sehr ineffizient. In dieser Arbeit wird eine neue Methode basierend auf einer stochastischen Schrödinger-Gleichung etablieren. Diese umgeht die numerischen Limits der Quanten-Mastergleichung und ermöglicht Simulationen von imposanter Größe. Ihr enormes Potenzial wird hier in Studien zu Anregungsenergietransfer und Ladungsseparation an zwei realistischen Nano-Hybridsystemen demonstriert: para-sexiphenyl Moleküle auf einer flachen ZnO Oberfläche (6P/ZnO), und ein tubuläres C8S3 Farbstoffaggregat gekoppelt an einen CdSe Nanokristall (TFA/NK). Im 6P/ZnO System findet nach optischer Anregung Energietransfer vom 6P Anteil zum ZnO statt. Direkt an der Grenzfläche können Frenkel-Exzitonen zusätzlich Ladungsseparation initiieren, wobei Elektronen ins ZnO transferiert werden und Löcher im 6P Anteil verbleiben. Beide Mechanismen werden mittels laserpulsinduzierter ultraschneller Wellenfunktionsdynamik simuliert. Danach wird die langsamere dissipative Lochkinetik im 6P Anteil studiert. Hierfür wird die eigene Simulationstechnik der stochastischen Schrödinger-Gleichung verwendet. Die Studie an der TFA/NK Grenzfläche basiert auf einer gigantischen equilibrierten Aggregatstruktur aus 4140 Molekülen. Ein generalisiertes Frenkel-Exzitonenmodell wird benutzt. Der Ansatz der stochastischen Schrödinger-Gleichung ermöglicht bemerkenswerte Einblicke in die Aggregat-interne Exzitonenrelaxation. Danach werden inkohärente Raten des Exzitonentransfers zum NK berechnet. Unterschiedliche räumliche Konfigurationen werden untersucht und es wird diskutiert, warum das Förster-Modell hier keine Gültigkeit besitzt. / Understanding the electronic processes in hybrid nano-systems based on molecular and semiconductor elements opens new possibilities for optoelectronic devices. Therefore, it requires for models which are both nanoscopic and atomistic, and so for adapted computational methods. In particular, "standard" methods for open quantum system dynamics however become very inefficient with increasing system size. In this regard, it is a key challenge of this thesis, to establish a new stochastic Schrödinger equation technique. It bypasses the computational limits of the quantum master equation and enables dissipative simulations of imposing dimensionality. Its enormous potential is demonstrated in studies on excitation energy transfer and charge separation processes in two realistic nanoscale hybrid systems: para-sexiphenyl molecules deposited on a flat ZnO surface (6P/ZnO), and a tubular dye aggregate of C8S3 cyanines coupled to a CdSe nanocrystal (TDA/NC). After optical excitation, the 6P/ZnO system exhibits exciton transfer from the 6P part to the ZnO. Close to the interface, Frenkel excitons may further initiate charge separation where electrons enter the ZnO and holes remain in the 6P part. Both mechanisms are simulated in terms of laser-pulse induced ultrafast wave packet dynamics. Afterwards, slower dissipative hole motion in the 6P part is studied. For this purpose, the own stochastic Schrödinger equation simulation technique is applied. The study on the TDA/NC interface is based on a gigantic equilibrated nuclear structure of the aggregate including 4140 dyes. A generalized Frenkel exciton model is employed. Thanks to the stochastic Schrödinger equation approach, energy relaxation in the exciton band of the TDA is simulated in outstanding quality and extend. Then, incoherent rates for exciton transfer to the NC are computed. Different spatial configurations are studied and it is discussed why the Förster model possesses no validity here.

Die Anwenung von Operator-Splitting-Methoden auf gewöhnliche Differentialgleichungen ist gut etabliert. Für Differential-algebraische Gleichungen und partielle Differential-algebraische Gleichungen unterliegt sie jedoch vielen Einschränkungen aufgrund des Vorhandenseins von Nebenbedingungen. Die räumliche Diskretisierung reduziert PDAEs und lenkt unseren Fokus auf das Konzept der DAEs. Um eine reibungslose Übertragung des Operator-Splittings von ODEs auf DAEs durchzuführen, ist es wichtig, eine geeignete entkoppelte Struktur für das gewünschte Differential-algebraische System zu haben. In dieser Arbeit betrachten wir ein Modell, das partielle Differentialgleichungen für elektromagnetische Bauelemente - modelliert durch die Maxwell-Gleichungen - mit Differential-algebraischen Gleichungen koppelt, die die elementaren Schaltungselemente beschreiben. Nach der räumlichen Diskretisierung der klassischen Formulierung der Maxwell-Gleichungen mit Hilfe der finiten Integrationstechnik formulieren wir das resultierende gekoppelte System als Differential-algebraische Gleichung. Um eine geeignete Entkopplung zu bekommen, verwenden wir den zweigorientierten Loop-Cutset-Ansatz für die Schaltungsmodellierung. Daraus folgt, dass wir in der Lage sind, eine geeignete Operatorzerlegung so zu konstruieren, dass wir eine natürliche topologisch entkoppelte Port-Hamiltonsche DAE-Struktur erhalten. Wir schlagen einen Operator-Splitting-Ansatz für die Schaltungs-DAEs und gekoppelten Feld-Schaltungs-DAEs in entkoppelter Form vor und analysieren seine numerischen Eigenschaften. Darüber hinaus nutzen wir das Hamiltonsche Verhalten der inhärenten gewöhnlichen Differentialgleichung durch die Verwendung expliziter und energieerhaltender Zeitintegrations-methoden. Schließlich führen wir numerische Tests, um das mathematische Modell zu illustrieren und die Konvergenzergebnisse für das vorgeschlagene DAE-Operator-Splitting zu demonstrieren. / Le equazioni algebriche differenziali e algebriche alle derivate parziali hanno avuto un enorme successo come modelli di sistemi dinamici vincolati. Nella modellazione matem- atica, spesso si desidera catturare diversi aspetti di una situazione come le leggi di conservazione della fisica, il trasporto convettivo o la diffusione. Queste aspetti si riflettono nel sistema di equazioni del modello come operatori diversi. La tecnica dell’Operator Splitting si è rivelata una strategia di successo per affrontare problemi così complicati. L’applicazione dei metodi di Operator Splitting alle equazioni differenziali ordinarie (ODE) è ormai una tecnologia ben consolidata. Tuttavia, per equazioni algebriche differenziali (DAE) e algebriche differenziali parziali (PDAE), l’approccio è soggetto a molte restrizioni dovute alla presenza di vincoli e alla proprietà di indice. La discretizzazione spaziale riduce le PDAE e indirizza la nostra attenzione al concetto di DAE. Le DAE emergono in problemi dinamici vincolati come circuiti elettrici o reti di trasporto di energia. Al fine di generalizzare agevolmente la tecnica dell’Operator Splitting dalle ODE alle DAE, è importante avere una struttura disaccoppiata adeguata per il sistema algebrico differenziale desiderato. In questa tesi, consideriamo un modello che accoppia equazioni differenziali alle derivate parziali per dispositivi elettromagnetici -modellati dalle equazioni di Maxwell- con equazioni algebriche differenziali che descrivono gli elementi base del circuito. Dopo aver discretizzato spazialmente la formulazione classica delle equazioni di Maxwell usando la tecnica di integrazione finita, formuliamo il sistema accoppiato risultante come una equazione algebrica differenziale. Interpretando il dispositivo elettromagnetico come un elemento capacitivo, l’indice dell’intero sistema di circuito e campo accoppiato può essere specificato utilizzando le proprietà topologiche del circuito e non supera il valore di due. Per eseguire un disaccoppiamento appropriato, utilizziamo l’approccio loop-cutset per la modellazione dei circuiti. In tal modo siamo in grado di costruire una opportuna decomposizione dell’operatore tale da ottenere una naturale struttura disaccoppiata port-Hamiltonian DAE. Proponiamo un approccio di suddivisione dell’operatore per i DAE a circuito disaccoppiato e a circuito di campo accoppiato utilizzando gli algoritmi di divisione Lie-Trotter e Strang e per analizzare le proprietà numeriche di questi sistemi. Inoltre, sfruttiamo il comportamento hamiltoniano del sistema di equazioni differenziali ordinarie mediante l’utilizzo di metodi di integrazione temporale con esatta conservazione dell’energia. Poggiando sull’analisi di convergenza del metodo di suddivisione dell’operatore ODE, deriviamo i risultati di convergenza per l’approccio proposto che dipendono dall’indice delsistema e quindi dalla sua struttura topologica. Infine, eseguiamo prove numeriche di sistemi circuitali, nonchè sistemi accoppiati a circuito di campo, per testare il modello matematico e dimostrare i risultati di convergenza per la proposta Operator Splitting DAE. / The application of operator splitting methods to ordinary differential equations (ODEs) is well established. However, for differential-algebraic equations (DAEs) and partial differential-algebraic equations (PDAEs), it is subjected to many restrictions due to the presence of constraints. In constrained dynamical problems as electrical circuits or energy transport networks, DAEs arise. In order to perform a smooth transfer of the operator splitting from ODEs to DAEs, it is important to have a suitable decoupled structure for the desired differential-algebraic system. In this thesis, we consider a model which couples partial differential equations for electro- magnetic devices -modeled by Maxwell’s equations- with differential-algebraic equations describing the basic circuit elements. After spatially discretizing the classical formulation of Maxwell’s equations using the finite integration technique, we formulate the resulting coupled system as a differential-algebraic equation. To perform an appropriate decoupling, we use the branch oriented loop-cutset approach for circuit modeling. It follows that we are able to construct a suitable operator decomposition such that we obtain a natural topologically decoupled port-Hamiltonian DAE structure. We propose an operator splitting approach for the decoupled circuit and coupled field- circuit DAEs using the Lie-Trotter and Strang splitting algorithms and analyze its numerical properties. Furthermore, we exploit the Hamiltonian behavior of the system’s inherent ordinary differential equation by the utilization of explicit and energy-preserving time integration methods. Based on the convergence analysis of the ODE operator splitting method, we derive convergence results for the proposed approach that depends on the index of the system and thus on its topological structure. Finally, we perform numerical tests, to underline the mathematical model and to demonstrate the convergence results for the proposed DAE operator splitting.

Quasi-Variationsungleichungen (QVIs) treten in einer Vielzahl mathematischer Modelle auf, welche komplexe Equilibrium-artige Phänomene aus den Natur- oder Sozialwissenschaften beschreiben. Obgleich ihrer vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in Bereichen wie der Biologie, Kontinuumsmechanik, Physik, Geologie und Ökonomie sind Ergebnisse zur allgemeinen theoretischen und algorithmischen Lösung von QVIs in der Literatur eher rar gesät – insbesondere im unendlich-dimensionalen Kontext. Zentraler Gegenstand dieser Dissertation sind elliptische QVIs vom Hindernis-Typ mit einer zusätzlichen Volumen-Nebenbedingung, die durch ein vereinfachtes Modell eines nachgiebigen Hindernisses aus der Biomedizin motiviert werden. Aussagen zur Existenz von Lösungen werden durch die Charakterisierung der QVI als eine Fixpunkt Gleichung ermöglicht. Zur Lösung der betrachteten QVI selbst wird im Allgemeinen auf eine sequentielle Minimierungsmethode zurückgegriffen und eine Folge von Minimierungs- oder Variationsproblemen vom Hindernis-Typ betrachtet. In diesem Sinne ist für die numerische Behandlung der QVI die effiziente Lösung der auftretenden sequentiellen Probleme maßgeblich. Bei der Entwicklung geeigneter Lösungsmethoden wird insbesondere den Aspekten gitterunabhängige Verfahren sowie adaptive Diskretisierung des kontinuierlichen Problems mittels Finiter Elemente Rechnung getragen: Nach Anwendung der sequentiellen Minimierungsmethode auf die QVI werden die Hindernisprobleme durch eine Folge von Moreau–Yosida-regularisierten Problemen approximiert und anschliessend mit der nichtglatten (semismooth) Newton Methode und einer Pfadverfolgungsstrategie hinsichtlich des Yosida-Parameters gelöst. Die numerische Lösung erfolgt mittels einer adaptiver Finite Elemente Methode (AFEM), wobei die lokale Gitterverfeinerung auf a posteriori Residuen-basierten Schätzern des Approximierungsfehlers beruht. Numerische Experimente schließen die Arbeit ab. / Quasi-variational inequalities (QVIs) are used to describe complex equilibrium-type phenomena in many models in the natural and social sciences. Despite the abundance of different applications of QVIs—e.g., in biology, continuum mechanics, physics, geology, economics—there is only scarce literature on general theoretical and algorithmic approaches to solve problems involving QVIs particularly in infinite dimensions. This thesis focuses on elliptic obstacle-type QVIs with an additional volume constraint that are motivated by the simplified model of a compliant obstacle-type situation stemming from biomedicine. The first part of the thesis establishes existence of solutions to this type of QVIs under different sets of assumptions upon converting the problem to a fixed point equation. Unless the compliant obstacle map exhibits differentiability properties—in which case the problem can be regularised and solved directly in function space—the QVI can only be solved using a sequential variational or minimisation technique that leads to a sequence of obstacle-type problems. The ensuing parts of the thesis cover the efficient (numerical) solution of the emerging sequential problems where a major focus is on the aspects of mesh-independent performance of the solution method and the adaptive discretisation of the continuous problem based on finite elements. The obstacle-type problems resulting from using the sequential minimisation technique on the QVI are solved resorting to Moreau–Yosida-based approximation along with a semismooth Newton solver and a path-following regime for the sake of mesh-independence, which is subject of the second part. The corresponding discretised problems are solved with an adaptive finite element method (AFEM) that uses a posteriori residual-based error estimation techniques for Moreau–Yosida-based approximations of obstacle-type problems, the latter which are explored in the third part. The thesis concludes with numerical experiments.