Dans cette thèse, je reporte les résultats d'études développées durant ces trois dernières années à l'Institut Non-Linéaire de Nice. Premièrement, je présente des résultats sur l'application de perturbation à un système excitable, obtenus à partir d'un simple laser à signal injecté. L'excitabilité, qui vient dans ce cas de la proximité d'une bifurcation noeudselle sur un cercle, et est définit comme une réponse tout-ou-rien à une perturbation. La réponse excitable, présente pour des perturbations supérieures à un certain seuil, correspond au décrochage des deux lasers pour une période. Le déclenchement de tels réponses excitable, dont la forme ne dépend pas de la perturbation (type, amplitude), est démontré par l'application de perturbation. Dans un deuxième temps, j'analyse l'influence de la connexion entre un neurone et son propre axone. Expérimentalement nous ajoutons un miroir de rétroaction fabriquant ainsi un laser injecté et réinjecté. Sous certaines conditions, la précédente réponse excitable se régénère dans la cavité externe, exhibant une propriété de mémorisation, où l'information est codée dans la phase du faisceau. Analytiquement, cela correspond à l'addition d'un terme de retard linéaire qui joue le rôle d'un "quasi-espace" permettant la coexistence de plusieurs "réponse excitable", et leur interprétation en terme de solitons topologique de Sine-Gordon. L'application de perturbations appropriées peut mener au contrôle de l'information présente. De nombreux comportements ont ainsi été observés et reproduits numériquement avec des modèles appropriés, comme les collisions, le groupement, la diffusion, l'accrochage à une modulation périodique, ... / In this thesis, I report the results of studies performed during these last three years at Institut Non Linéaire de Nice. First, I present results on perturbing a neuron-like excitable system build from a simple laser with an injected signal experiment. Excitability, that comes in this case from the proximity of a Saddle-node bifurcation, is defined as an all or-nothing response to an external perturbation. The excitable response, that arises from perturbation larger than a certain threshold, corresponds to the unlocking between the two lasers for one period. Triggering of such excitable responses, that shape do not dependent on the perturbation (kind, strength), is demonstrated applying perturbations. In a second part, I analyze the influence of the connection between one of this neuron and its own axon. Experimentally we add a feedback mirror building a laser submitted to injection and feedback. Under certain conditions, the previous excitable response is found to regenerate in the external cavity, exhibiting a memory behavior where the information is coded in the time spiking pattern. Analytically, this corresponds to the addition of a linear delay term that acts as a space-like coordinate allowing the storage of many "excitable responses", and their interpretation in terms of Sine-Gordon topological solitons. Application of appropriate perturbations could lead to the control of "information" present. Many interesting behaviors of this new structures are observed and analyzed numerically with appropriate models, like collisions, clustering, particle-like diffusion, locking to periodic additional forcing...

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects du comportement en temps longs des solutions de deux équations de Schrödinger non-linéaires en dimension trois dans des régimes perturbatives convenables. Le premier modèle consiste en une équation de Schrödinger avec une non-linéarité concentrée obtenue en considérant une interaction ponctuelle de force $alpha$, c'est-à-dire une perturbation singulière du Laplacien décrite par un opérateur autoadjoint $H_{alpha}$, où la force $alpha$ dépend de la fonction d'onde : $ifrac{du}{dt}= H_alpha u$, $alpha=alpha(u)$. Il est bien connu que les éléments du domaine d'une interaction ponctuelle en trois dimensions peuvent être décrits comme la somme d'une fonction régulière et d'une fonction ayant une singularité proportionnelle à $|x - x_0|^{-1}$, où $x_0$ est l'emplacement du point d'interaction. Si $q$ est la charge d'un élément du domaine $u$, c'est-à-dire le coefficient de sa partie singulière, alors pour introduire une non-linéarité, on fait dépendre la force $alpha$ de $u$ selon la loi $alpha=-nu|q|^sigma$, avec $nu > 0$. Ce modèle est défini comme une équation de Schrödinger non-linéaire focalisant de type puissance avec une non-linéarité concentrée en $x_0$. Notre étude regarde la stabilité orbitale et asymptotique des ondes stationnaires de ce modèle. Nous prouvons l'existence d'ondes stationnaires de la forme $u (t)=e^{iomega t}Phi_{omega}$, qui soient orbitalement stables pour $sigma in (0,1)$ et orbitalement instables quand $sigma geq 1.$ De plus nous montrons que si $sigma in (0,frac{1}{sqrt 2}) cup (frac{1}{sqrt 2}, 1)$, alors chaque onde stationnaire est asymptotiquement stable, à savoir que pour des données initiales proches d'un état stationnaire dans la norme d'énergie et appartenant à un espace $L^p$ pondéré où les estimations dispersives sont valides, l'affirmation suivante est vérifiée : il existe $omega_{infty} > 0$ et $psi_{infty} in L^2(R^3)$ tel que $psi_{infty} = O_{L^2}(t^{-p})$ quand $t rightarrow +infty$, tel que $u(t) = e^{iomega_{infty} t +il(t)} Phi_{omega_{infty}} +U_t*psi_{infty} +r_{infty}$, où $U_t$ est le propagateur de Schrödinger libre, $p = frac{5}{4}$, $frac{1}{4}$ respectivement en fonction de $sigma in (0, 1/sqrt{2})$, $sigma in left( frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right)$, et $l(t)$ est une fonction à croissance logarithmique qui apparaît quand $sigma in (frac{1}{sqrt{2}}, sigma^*)$, où $sigma^* in left( frac{1}{sqrt{2}},frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right]$. Notons que dans ce modèle les non-linéarités pour lesquelles on a la stabilité asymptotique sont sous-critiques dans le sens où quelle que soit la donnée initiale il n'y a pas de solutions explosives. Quant au deuxième modèle, il s'agit de l'équation de Schrödinger non-linéaire focalisant à énergie critique : $i frac{du}{dt}=-Delta u-|u|^4 u$. Pour ce cas, nous prouvons, pour tout $nu$ et $alpha_0$ suffisamment petits, l'existence de solutions radiales à énergie finie de la forme $u(t,x)=e^{ialpha(t)}lambda^{1/2}(t)W(lambda(t)x)+e^{iDelta t}zeta^*+o_{dot H^1} (1)$ tout $trightarrow +infty$, où $alpha(t)=alpha_0ln t$, $lambda(t)=t^{nu}$, $W(x)=(1+frac13|x|^2)^{-1/2}$ est l'état stationnaire et $zeta^*$ est arbitrairement petit en $dot H^1$ / The present thesis is devoted to the investigation of certain aspects of the large time behavior of the solutions of two nonlinear Schrödinger equations in dimension three in some suitable perturbative regimes. The first model consist in a Schrödinger equation with a concentrated nonlinearity obtained considering a {point} (or contact) interaction with strength $alpha$, which consists of a singular perturbation of the Laplacian described by a self adjoint operator $H_{alpha}$, and letting the strength $alpha$ depend on the wave function: $ifrac{du}{dt}= H_alpha u$, $alpha=alpha(u)$.It is well-known that the elements of the domain of a point interaction in three dimensions can be written as the sum of a regular function and a function that exhibits a singularity proportional to $|x - x_0|^{-1}$, where $x_0$is the location of the point interaction. If $q$ is the so-called charge of the domain element $u$, i.e. the coefficient of itssingular part, then, in order to introduce a nonlinearity, we let the strength $alpha$ depend on $u$ according to the law $alpha=-nu|q|^sigma$, with $nu > 0$. This characterizes the model as a focusing NLS with concentrated nonlinearity of power type. In particular, we study orbital and asymptotic stability of standing waves for such a model. We prove the existence of standing waves of the form $u (t)=e^{iomega t}Phi_{omega}$, which are orbitally stable in the range $sigma in (0,1)$, and orbitally unstable for $sigma geq 1.$ Moreover, we show that for $sigma in(0,frac{1}{sqrt 2}) cup left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right)$ every standing wave is asymptotically stable, in the following sense. Choosing an initial data close to the stationary state in the energy norm, and belonging to a natural weighted $L^p$ space which allows dispersive stimates, the following resolution holds: $u(t) =e^{iomega_{infty} t +il(t)} Phi_{omega_{infty}}+U_t*psi_{infty} +r_{infty}$, where $U_t$ is the free Schrödinger propagator,$omega_{infty} > 0$ and $psi_{infty}$, $r_{infty} inL^2(R^3)$ with $| r_{infty} |_{L^2} = O(t^{-p}) quadtextrm{as} ;; t right arrow +infty$, $p = frac{5}{4}$,$frac{1}{4}$ depending on $sigma in (0, 1/sqrt{2})$, $sigma in (1/sqrt{2}, 1)$, respectively, and finally $l(t)$ is a logarithmic increasing function that appears when $sigma in (frac{1}{sqrt{2}},sigma^*)$, for a certain $sigma^* in left(frac{1}{sqrt{2}}, frac{sqrt{3} +1}{2sqrt{2}} right]$. Notice that in the present model the admitted nonlinearities for which asymptotic stability of solitons is proved, are subcritical in the sense that it does not give rise to blow up, regardless of the chosen initial data. The second model is the energy critical focusing nonlinear Schrödinger equation $i frac{du}{dt}=-Delta u-|u|^4 u$. In this case we prove, for any $nu$ and $alpha_0$ sufficiently small, the existence of radial finite energy solutions of the form$u(t,x)=e^{ialpha(t)}lambda^{1/2}(t)W(lambda(t)x)+e^{iDeltat}zeta^*+o_{dot H^1} (1)$ as $tright arrow +infty$, where$alpha(t)=alpha_0ln t$, $lambda(t)=t^{nu}$,$W(x)=(1+frac13|x|^2)^{-1/2}$ is the ground state and $zeta^*$is arbitrarily small in $dot H^1$

Ce travail est consacré à l'étude des fluides quantiques de polaritons de microcavités semi-conductrices et en particulier à la génération de solitons, de demi-solitons et de réseaux de vortex. Nous avons développé un dispositif expérimental permettant la génération et l'observation de solitons sombres dans un fluide de polaritons. Nous observons les profils de densité et de phase caractéristiques des solitons, et étudions leurs propriétés de stabilité. Nous montrons expérimentalement que l'utilisation d'une pompe polarisée linéairement mène à la formation de demi-solitons, grâce au champ magnétique effectif existant en présence des deux populations de spin. Après avoir caractérisé les demi-solitons en densité et en phase, une tomographie complète du système est effectuée pour extraire l'information stockée dans le pseudospin. Ces études nous permettent de formuler une analogie formelle entre les demi-solitons et les monopoles magnétiques. Enfin, nous nous intéressons à des techniques de piégeage de vortex. Nous mettons à profit l'utilisation de masques métalliques pour créer des puits de potentiels piégeant les vortex générés hydrodynamiquement lors de l'écoulement du fluide sur un défaut à basse densité de polaritons. Nous utilisons ces masques pour réaliser des réseaux géométriques de vortex et d'antivortex à basse densité de polaritons dont la forme et la taille sont contrôlables. L'étude des effets d'interaction polariton-polariton à haute densité menée grâce à un dispositif expérimental à plusieurs faisceaux d'excitations nous permet d'observer la déformation et la destruction du réseau dues à l'annihilation des paires vortex-antivortex.

Made available in DSpace on 2016-08-18T18:19:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Nivea Fernanda Correa.pdf: 9488427 bytes, checksum: d432cb6753ed95396a5af400756eea91 (MD5) Previous issue date: 2009-02-27 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / in chains of coupled guides. These chains can serve of model for the propagation of solitons optics in directional couplers or micro-structuralized optics fibers. Systems of linearly coupled non linear Schrödinger equations had been used as theoretical model for these chains. The used numerical methods had been the split- step Fourier method and the orthogonal collocation method. The process of transference of energy between guides was characterized by the transmittance in function of the coupling factor, length of the guide and the power of entrance. In the mapping of the transmittance the diverse regions of parameters with its different behaviors had been identified. The threshold of power and the length of coupling had been gotten. The conclusions on the chains had been made on the basis of the analysis of the results in function of the total number of guides, the number of intermediate and peripheral guides and of the arrangement of couplings. For coupling arrangement the changes in the transmittances had the same been significant when the total number of guides varies, therefore it diminished the coupling length and the power threshold increased with the number of guides. Chains with same total number of guides, but with arrangements of distinct couplings had presented transmittances with clear differences in the chains of the type opened in relation to too many. The increase of the number of couplings between the guides led to an increase of the value of the power threshold, while the values of coupling length had not presented significant variations. / ópticos em cadeias de guias acoplados. Essas cadeias podem servir de modelo para a propagação de solitons ópticos em acopladores direcionais ou fibras ópticas micro-estruturadas. Sistemas de equações não lineares de Schrödinger acopladas linearmente foram utilizados como modelo teórico para essas cadeias. Os métodos numéricos utilizados foram o método de Fourier com passo dividido e o método da colocação ortogonal. O processo de transferência de energia entre guias foi caracterizado pela transmitância em função do fator de acoplamento, comprimento do guia e da potência de entrada. No mapeamento da transmitância foram identificadas as diversas regiões de parâmetros com seus diferentes comportamentos. O limiar de potência e o comprimento de acoplamento foram obtidos. As conclusões sobre as cadeias foram feitas com base na análise dos resultados em função do número total de guias, do número de guias intermediários e periféricos e do arranjo de acoplamentos. Para o mesmo arranjo de acoplamento as mudanças nas transmitâncias foram significativas quando o número total de guias varia, pois diminuiu o comprimento de acoplamento e o limiar de potência aumentou com o número de guias. Cadeias com mesmo número total de guias, mas com arranjos de acoplamentos distintos apresentaram transmitâncias com nítidas diferenças nas cadeias do tipo aberta em relação às demais. O aumento do número de acoplamentos entre os guias levou a um aumento do valor do limiar de potência, enquanto os valores de comprimento de acoplamento não apresentaram variações significativas.

Ce mémoire présente des travaux portant sur les ondes aux statistiques extrêmes qui représentent un sujet extrêmement attractif en optique depuis qu’une comparaison avec les vagues scélérates océaniques a été proposée fin 2007. Nous décrivons donc les mécanismes de formations de ces structures extrêmes dans le cadre de la propagation guidée de la lumière dans les fibres optiques. Dans une première partie, nous commençons par explorer les ondes scélérates optiques dans les supercontinuums générés par instabilité modulationnelle d’ordre 4 et proposons une méthode de stabilisation basée sur l’utilisation de deux germes continus. Puis, nous continuons avec une étude approfondie sur les amplificateurs Raman à fibre où des conditions d’apparitions des structures géantes sont déterminées. En effet, en présence d’une pompe partiellement incohérente comme le laser Raman fibré, un gain quasi-instantané et un faible walk-off mènent à des statistiques extrêmes. Cela a pu être vérifié que le signal soit continu ou impulsionnel et dans le cadre d’un amplificateur paramétrique basé sur l’instabilité modulationnelle d’ordre 2 incohérente. Dans la dernière partie, un système turbulent est étudié en fonction de l’incohérence ce qui nous a permis d’identifier trois régimes avec, en particulier, le second où il existe des quasi-solitons intermittents. Enfin, nous nous intéressons à des structures non-linéaires appelées Breathers d’Akhmediev, qui présentent des cycles de compression-décompression, et portons notre attention sur leur limite asymptotique : le soliton de Peregrine. Ce dernier est vu comme un prototype très intéressant des vagues scélérates. Nos études expérimentales, menées aux longueurs d’ondes des communications optiques et utilisant différentes méthodes de caractérisations spectro-temporelles, sont complétées par des études numériques et analytiques. / This thesis deals with extremes statistics which has become an attractive subject in optics since a comparison with oceanic rogue waves has been proposed at the end of 2007. We report some potential mechanisms stimulating the rogue wave formation in the context of guided propagation of light in optical fibers. In a first part, we explore optical rogue waves in supercontinuums generated by fourth-order modulation instability and we propose a stabilization method based on the use of two continuous seeds. Then, we present a detailed study on Raman fiber amplifiers where we determine the conditions of emergence of giant structures : in presence of a partially incoherent pumping wave, a quasi-instantaneous gain combined with a low walk-off lead to extremes statistics. We have validated these conditions for a continuous wave as well as a pulse train. Conclusions have also been successfully extended to a parametric amplifier based on incoherent second-order modulation instability. In the last part, a turbulent system is studied as a function of incoherence and we identify three regimes. In one of these regimes, we highlight the existence of intermittent quasi-solitons. Finally, we are interested in nonlinear structures called Akhmediev Breathers which present compression-decompression cycles and we focus our attention on its asymptotic limit: the Peregrine soliton. It corresponds to a very interesting prototype of rogue waves. Our experimental work, performed at optical communication wavelength and using several methods of spectro-temporal characterization, is complemented by numerical and analytical studies.

Dans cette thèse, nous étudions la dynamique à temps long des solutions des équations de KdV généralisées (gKdV) critiques et surcritiques pour la masse.La première partie de cette thèse est consacrée à la construction d’une dynamique explosive auto-similaire stable pour des équations de gKdV légèrement L2 surcritique dans l’espace d’énergie H1. La preuve repose sur le profil auto-similaire construit par H. Koch. Nous donner une escription précise de la formation des singularité près du temps d’explosion.La deuxième partie est consacrée à la construction de solutions explosive aux équations de gKdV légèrement L2 surcritiques avec plusieurs points d’explosion. L’idée clé est d’envisager des solutions qui se comportent comme une somme de bulles découplée, chaque bulle se comportent comme un solution auto-similaire explosent en un seul point. Nous utilisons les argument topologique classique pour s’assurer que chaque bulle explose en même temps. Ici, nous avons besoin de données initiales plus grande régularité pour contrôler la solution entre les différents points d’explosion.Enfin, dans la troisième partie, nous considérons les équations de gKdV L2 critiques avec une perturbation saturée. Dans ce cas, toute solution avec des données initiales dans H1 est toujours globale en le temps et bornée dans H1. Nous donner une classification explicite de la dynamique près du solitons. Sous certaines hypothèses de décroissance, il n’y a que trois possibilités : (i) la solution converge asymptotiquement vers une onde solitaire ; (ii) la solution reste dans un petit voisinage de la famille modulée de l’état fondamental, en s’étalant par de temps infiniment grande (Blow down) ; (iii) la solution quitte tout petit voisinage de la famille modulée de solitons. / In this thesis, we deal with the long time dynamics for solutions of the L2 critical and supercritical generalized KdV equations.The first part of this work is devoted to construct a stable self-similar blow up dynamics for slightly L2 supercritical gKdV equations in the energy space H1. The proof relies on the self-similar profile constructed by H. Koch. We will also give a specific description of the formation of singularity near the blow up time.The second part is devoted to construct blow up solutions to the slightly L2 supercritical gKdV equations with multiple blow up points. The key idea is to consider solutions which behaves like a decoupled sum of bubbles. And each bubble behaves like a self-similar blow up solutions with a single blow up point. Then we can use a classic topological argument to ensure that each bubble blows up at the same time. Here, we require a higher regularity of the initial data to control the solution between the different blow up points.Finally, in the third part, we consider the L2 critical gKdV equations with a saturated perturbation. In this case, any solution with initial data in H1 is always global in time and bounded in H1. We will give a explicit classification of the flow near the ground states. Under some suitable decay assumptions, there are only three possibilities: (i) the solution converges asymptotically to a solitary wave; (ii) the solution is always in some small neighborhood of the modulated family of the ground state, but blows down at infinite time; (iii) the solution leaves any small neighborhood of the modulated family of the ground state.

Ce manuscrit a pour sujet principal la diffraction par rayons X des matériaux ondes de densité de charges (ODC). Nous avons étudié le cristal quasi-1D NbSe3 ainsi que le quasi-2D TbTe3. Plusieurs grands instruments ont été utilisés pour cette étude, le synchrotron ESRF de Grenoble sur la ligne ID01 ainsi que le laser à électron libre LCLS à Stanford. Premièrement, grâce à la cohérence du faisceau X à LCLS, nous avons pu observer une perte de cohérence transverse dans NbSe3 lors de l’application d’un courant électrique au-dessus d’un certain seuil ainsi qu’une compression longitudinale de l’ODC. Ensuite, à l’ESRF, nous avons utilisé un faisceau X focalisé au micromètre par une Fresnel zone plate pour scanner l’ODC localement par diffraction sur NbSe3 puis ensuite sur TbTe3. Lorsqu’un courant est appliqué sur l’échantillon, nous avons observé une déformation transverse indiquant que l’ODC est bloquée au niveau de la surface de l’échantillon dans NbSe3. Dans le cas de TbTe3, l’ODC tourne sous courant présentant un cycle d’hystérésis lorsque le courant passe continument de positif à négatif. Nous avons aussi pu constater dans plusieurs régions, toujours pour TbTe3, la création de défauts d’irradiation localisés induisant une compression-dilatation de l’ODC. Dans une dernière partie théorique, nous montrons comment la théorie du transport électrique de l’ODC par un train de solitons portants chacun une charge ainsi que la prise en compte du blocage de l’ODC sur la surface de l’échantillon que nous avons vu expérimentalement permet de comprendre plusieurs mesures de résistivité en fonction des dimensions de l’échantillon trouvées dans la littérature. Nous présentons ensuite plusieurs idées pour expliquer du blocage de l’ODC sur les surfaces au niveau microscopique et proposons l’hypothèse d’une ODC commensurable en surface (et incommensurable dans le volume). / The main subject of this manuscript is the X-ray diffraction of charge density wave (CDW) materials. We studied the quasi-1D NbSe3 crystal and the quasi-2D TbTe3. Several large instruments facilities were used for this study, the ESRF synchrotron in Grenoble on the ID01 line and the LCLS free electron laser in Stanford. First, thanks to the coherence of the X-beam at LCLS, we were able to observe a loss of transverse coherence in NbSe3 when applying an electrical current above a certain threshold as well as a longitudinal compression of the CDW. Then, at the ESRF, we used an X-ray beam focused on the micrometer scale by a Fresnel zone plate to scan the CDW locally by diffraction on NbSe3 and on TbTe3. When a current is applied to the sample, we observed a transverse deformation indicating that the CDW is pinned on the sample surface in NbSe3. In the case of TbTe3, the CDW rotates under current showing a hysteresis cycle when one is continuously changing from positive to negative current. We have also observed in several regions, in TbTe3, the creation of localized irradiation defects inducing a compression-dilation of the CDW. In a last theoretical part, we show how the theory of electric transport in the CDW state by a train of charged solitons, as well as taking into account the CDW pinning on the surface of the sample that we have seen experimentally, allows us to understand several resistivity measurements, found in the literature, made on samples with different dimensions. Finally, we present several ideas for an explanation of the CDW pinning at the surfaces on a microscopic level and propose the hypothesis of a commensurate CDW on the surface (and incommensurate in volume).

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Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2012. / ENGLISH ABSTRACT: Crossing symmetry relates scattering and annihilation processes to each other. Its derivation is straightforward in perturbative approaches to quantum field theory: it merely reflects the exchange of in- and outgoing states in Feynman diagram computations. In soliton models, the situation is much more complicated because the scattering and the annihilation processes concern distinct topological sectors that are not related by any continuous transformation. In this thesis a simple soliton model will be employed to address this problem numerically. First, in the unit topological sector we extract asymptotically the phase shift of the scattering process of a wave packet off the kink-solution. To this end we solve the time-dependent equation of motion of the non-integrable '4 field model in (1+1) spacetime dimensions for two distinct initial conditions: the wave packet in a trivial vacuum background and in the background of the kink-solution. Second, in the topologically trivial sector we present numerical solutions of the kink– antikink interaction in the same model. We find that the final state of this interaction varies dramatically with the impact velocity. As result, we analyze our numerical solutions for the kink–antikink collisions system in two regimes. For the initial velocity of the system less than some critical velocity, vc 0:26, the kink and the antikink either annihilate or inelastically scatter. On the other hand, the kink and the antikink always inelastically scatter when the initial velocity of the system is higher than this critical velocity. However, the scattering processes of the kink–antikink with initial velocity below and above the critical velocity are different. Below the critical velocity the kink and the antikink collide and always undergo n-bounces (n 2) before they depart to infinity. When the initial velocity of the system is higher than vc, the kink and the antikink depart to infinity after only one bounce. We present a qualitative description for these bounce effects between the kink and the antikink motivated by earlier studies as well as our numerical simulations. We utilize collective coordinates to study the dynamics of the kink–antikink system in two degrees of freedom. In this regime, we modify the ansätze of the kink–antikink system from earlier studies to account for relativistic effects. We perform a comparison between this approximation and the full system. We end our discussion of this sector by discussing the scattering data for the inelastic scattering and the annihilation processes of the kink–antikink. Third, we compare the extracted scattering data for the scattering process of a wave packet off the kink-solution and the annihilation process of the kink–antikink to each other. Finally, these studies of different sectors allow us to make a conjecture about the validity of crossing symmetry within the non-integrable '4 field model. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Kruising-simmetrie beskryf ’n verband tussen verstrooiings- en vernietigingsprosesse. Die afleiding daarvan binne die raamwerk van steuringsteorie is eenvoudig: dit behels bloot die omruil van ingaande en uitgaande toestande in die Feynman-diagram. In soliton-modelle is die situasie egter meer ingewikkeld aangesien die verstrooiings- en vernietigingsprosesse in verskillende topologiese sektore plaasvind wat nie deur kontinue transformasies aan mekaar gekoppel is nie. In hierdie tesis word daar van ’n eenvoudige soliton-model gebruik gemaak om hierdie probleem numeries te ondersoek. Eerstens word die faseverskuiwing van die verstrooiingsproses van ’n golfpakkie vanaf ’n kinkoplossing asimptoties in die topologiese eenheidssektor bepaal. Vir hierdie doel word die tydafhanklike bewegingsvergelykings van die klassieke, nie-integreerbare 4-veldeteorie in (1+1) dimensionele ruimte-tyd opgelos. Twee beginkondisies word ondersoek: ’n golfpakkie in die triviale vakuum agtergrond asook in die kinkoplossing agtergrond. Tweedens ondersoek ons ook numeriese oplossings vir die kink-antikink wisselwerking binne die triviale topologiese sektor van dieselfde model. Hier vind ons dat die finale toestand van hierdie wisselwerkingsproses op ’n uiters sensitiewe wyse van die impaksnelheid afhang. Ons ondersoek gevolglik die numeriese oplossings vir die kink-antikink botsings in twee gebiede. Vir beginsnelhede onder die kritieke snelheid vc 0:26 sal die kink en antikink mekaar óf vernietig óf nie-elasties verstrooi. In teenstelling hiermee sal die kink-antikink altyd nie-elastiese verstrooiing ondergaan as die beginsnelheid die kritieke snelheid oorskry. Die aard van die verstrooiingsprosesse vir beginsnelhede bo en onder die kritieke snelheid is egter verskillend. Onder die kritieke snelheid sal die kink en antikink ’n n-bots proses (n 2) ondergaan voor hulle finaal van mekaar weg beweeg. Bo die kritieke snelheid sal die kink-antikink egter net ’n enkele botsing ondergaan en dan uitmekaar beweeg. Ons lewer ’n kwalitatiewe beskrywing vir die bons-effek tussen die kink en antikink wat deur vorige studies asook ons numeriese resultate gemotiveer word. Ons maak gebruik van ’n kollektiewe koördinaatstelsel om die dinamika van die kink-antikink in terme van twee vryheidsgrade te bestudeer. In hierdie gebied pas ons ook die ansatz vir die kink-antikink stelsel aan om relatiwistiese effekte in ag te neem. Ons vergelyk dan hierdie benadering met die oplossing van die volle sisteem. Die bespreking van hierdie sektor word afgesluit met ’n analise van die verstrooiingsdata vir die verstrooiing- en vernietingsprosesse van die kink-antikink. Derdens vergelyk ons die verstrooiingsdata vir die verstrooiing van ’n golfpakkie vanaf ’n kinkoplossing met die van die vernietigingsproses van die kink-antikink. Ons studie van die verskillende sektore laat ons dan toe om ’n vermoede te formuleer oor die geldigheid van kruissing-simmetrie binne die nie-integreerbare 4-model.