Chaque année lors de la période hivernale, des phénomènes épidémiques affectent l’organisation des services d’urgences pédiatriques et dégradent la qualité de la réponse fournie. Ces phénomènes présentent une forte variabilité qui rend leur analyse difficile. Nous nous proposons d’étudier cette volatilité pour apporter une vision nouvelle et éclairante sur le comportement de ces épidémies. Pour ce faire, nous avons adopté une vision géométrique et topologique originale directement issue d’une application de la théorie de la dilation: le processus de variabilité étant périodiquement corrélé, cette théorie fournit un ensemble de matrices dites de dilations qui portent toute l’information utile sur ce processus. Cet ensemble de matrices nous permet de représenter les processus stochastiques comme des éléments d’un groupe de Lie particulier, à savoir le groupe de Lie constitué de l’ensemble des courbes sur une variété. Il est alors possible de comparer des processus par ce biais. Pour avoir une perception plus intuitive du processus de variabilité, nous nous sommes ensuite concentrés sur le nuage de points formé par l’ensemble des matrices de dilations. En effet, nous souhaitons mettre en évidence une relation entre la forme temporelle d’un processus et l’organisation de ces matrices de dilations. Nous avons utilisé et développé des outils d’homologie persistante et avons établi un lien entre la désorganisation de ce nuage de points et le type de processus sous-jacents. Enfin nous avons appliqué ces méthodes directement sur le processus de variabilité pour pouvoir détecter le déclenchement de l’épidémie. Ainsi nous avons établi un cadre complet et cohérent, à la fois théorique et appliqué pour répondre à notre problématique. / Each year emergency department are faced with epidemics that affect their organisation and deteriorate the quality of the cares. The analyse of these outbreak is tough due to their huge variability. We aim to study these phenomenon and to bring out a new paradigm in the analysis of their behavior. With this aim in mind, we propose to tackle this problem through geometry and topology: the variability process being periodically correlated, the theory of dilation exhibit a set of matrices that carry all the information about this process. This set of matrices allow to map the process into a Lie group, defined as the set of all curves on a manifold. Thus, it is possible to compare stochastic processes using properties of Lie groups. Then, we consider the point cloud formed by the set of dilation matrices, to gain more intuitions about the underlying process. We proved a relation between the temporal aspect of the signal and the structure of the set of its dilation matrices. We used and developped persistent homology tools, and were able to classify non-stationary processes. Eventually, we implement these techniques directly on the process of arrivals to detect the trigger of the epidemics. Overall we established a complete and a coherent framework, both theoretical and practical.

The increasing complexity of heterogeneous cellular networks (HetNets) due to the irregular deployment of small cells demands significant rethinking in the way cellular networks are perceived, modeled and analyzed. In addition to threatening the relevance of classical models, this new network paradigm also raises questions regarding the feasibility of state-of-the-art simulation-based approach for system design. This dissertation proposes a fundamentally new approach based on random spatial models that is not only tractable but also captures current deployment trends fairly accurately. First, this dissertation presents a general baseline model for HetNets consisting of K different types of base stations (BSs) that may differ in terms of transmit power, deployment density and target rate. Modeling the locations of each class of BSs as an independent Poisson Point Process (PPP) allows the derivation of surprisingly simple expressions for coverage probability and average rate. One interpretation of these results is that adding more BSs or tiers does not necessarily change the coverage probability, which indicates that fears of "interference overload" in HetNets are probably overblown. Second, a flexible notion of BS load is incorporated by introducing a new idea of conditionally thinning the interference field. For this generalized model, the coverage probability is shown to increase when lightly loaded small cells are added to the existing macrocellular networks. This is due to the fact that owing to the smaller loads, small cells typically transmit less often than macrocells, thus contributing less to the interference power. The same idea of conditional thinning is also shown to be useful in modeling the non-uniform user distributions, especially when the users lie closer to the BSs. Third, the baseline model is extended to study multi-antenna HetNets, where BSs across tiers may additionally differ in terms of the number of transmit antennas, number of users served and the multi-antenna transmission strategy. Using novel tools from stochastic orders, a tractable framework is developed to compare the performance of various multi-antenna transmission strategies for a fairly general spatial model, where the BSs may follow any general stationary distribution. The analysis shows that for a given total number of transmit antennas in the network, it is preferable to spread them across many single-antenna BSs vs. fewer multi-antenna BSs. Fourth, accounting for the load on the serving BS, downlink rate distribution is derived for a generalized cell selection model, where shadowing, following any general distribution, impacts cell selection while fading does not. This generalizes the baseline model and all its extensions, which either ignore the impact of channel randomness on cell selection or lumps all the sources of randomness into a single random variable. As an application of these results, it is shown that in certain regimes, shadowing naturally balances load across various tiers and hence reduces the need for artificial cell selection bias. Fifth and last, a slightly futuristic scenario of self-powered HetNets is considered, where each BS is powered solely by a self-contained energy harvesting module that may differ across tiers in terms of the energy harvesting rate and energy storage capacity. Since a BS may not always have sufficient energy, it may not always be available to serve users. This leads to a notion of availability region, which characterizes the fraction of time each type of BS can be made available under variety of strategies. One interpretation of this result is that the self-powered BSs do not suffer performance degradation due to the unreliability associated with energy harvesting if the availability vector corresponding to the optimal system performance lies in the availability region. / text

Device-to-device (D2D) networking enables direct discovery and communication between cellular subscribers that are in proximity, thus bypassing the base stations (BSs). In principle, exploiting direct communication between nearby mobile devices will improve spectrum utilization, overall throughput, and energy consumption, while enabling new peer-to-peer and location-based applications and services. D2D-enabled broadband communication technology is also required by public safety networks that must function when cellular networks are not available. Integrating D2D into cellular networks, however, poses many challenges and risks to the long-standing cellular architecture, which is centered around the BSs. This dissertation identifies outstanding technical challenges in D2D-enabled cellular networks and addresses them with novel models and fundamental analysis. First, this dissertation develops a baseline hybrid network model consisting of both ad hoc nodes and cellular infrastructure. This model uses Poisson point processes to model the random and unpredictable locations of mobile users. It also captures key features of multicast D2D including multicast receiver heterogeneity and retransmissions while being tractable for analytical purpose. Several important multicast D2D metrics including coverage probability, mean number of covered receivers per multicast session, and multicast throughput are analytically characterized under the proposed model. Second, D2D mode selection which means that a potential D2D pair can switch between direct and cellular modes is incorporated into the hybrid network model. The extended model is applied to study spectrum sharing between cellular and D2D communications. Two spectrum sharing models, overlay and underlay, are investigated under a unified analytical framework. Analytical rate expressions are derived and applied to optimize the design of spectrum sharing. It is found that, from an overall mean-rate perspective, both overlay and underlay bring performance improvements (vs. pure cellular). Third, the single-antenna hybrid network model is extended to multi-antenna transmission to study the interplay between massive MIMO (multi-input multiple-output) and underlaid D2D networking. The spectral efficiency of such multi-antenna hybrid networks is investigated under both perfect and imperfect channel state information (CSI) assumptions. Compared to the case without D2D, there is a loss in cellular spectral efficiency due to D2D underlay. With perfect CSI, the loss can be completely overcome if the number of canceled D2D interfering signals is scaled appropriately. With imperfect CSI, in addition to pilot contamination, a new asymptotic underlay contamination effect arises. Finally, motivated by the fact that transmissions in D2D discovery are usually not or imperfectly synchronized, this dissertation studies the effect of asynchronous multicarrier transmission and proposes a tractable signal-to-interference-plus-noise ratio (SINR) model. The proposed model is used to analytically characterize system-level performance of asynchronous wireless networks. The loss from lack of synchronization is quantified, and several solutions are proposed and compared to mitigate the loss. / text

Dans cette thèse, nous exploitons les outils de la théorie des probabilités et de la géométrie stochastique pour analyser des algorithmes opérant sur les tessellations. Ce travail est divisé entre deux thèmes principaux, le premier traite de la navigation dans une tessellation de Delaunay et dans son dual, le diagramme de Voronoï avec des implications pour les algorithmes de localisation spatiales et de routage dans les réseaux en ligne. Nous proposons deux nouveaux algorithmes de navigation dans la triangulation de Delaunay, que nous appelons Pivot Walk et Cone Walk. Pour Cone Walk, nous fournissons une analyse en moyenne détaillée avec des bornes explicites sur les propriétés de la pire marche possible effectuée par l'algorithme sur une triangulation de Delaunay aléatoire d'une région convexe bornée. C'est un progrès significatif car dans l'algorithme Cone Walk, les probabilités d'utiliser un triangle ou un autre au cours de la marche présentent des dépendances complexes, dépendances inexistantes dans d'autres marches. La deuxième partie de ce travail concerne l'étude des propriétés extrémales de tessellations aléatoires. En particulier, nous dérivons les premiers et derniers statistiques d'ordre pour les boules inscrites dans les cellules d'un arrangement de droites Poissonnien; ce résultat a des implications par exemple pour le hachage respectant la localité. Comme corollaire, nous montrons que les cellules minimisant l'aire sont des triangles. / In this thesis, we leverage the tools of probability theory and stochastic geometry to investigate the behavior of algorithms on geometric tessellations of space. This work is split between two main themes, the first of which is focused on the problem of navigating the Delaunay tessellation and its geometric dual, the Voronoi diagram. We explore the applications of this problem to point location using walking algorithms and the study of online routing in networks. We then propose and investigate two new algorithms which navigate the Delaunay triangulation, which we call Pivot Walk and Cone Walk. For Cone Walk, we provide a detailed average-case analysis, giving explicit bounds on the properties of the worst possible path taken by the algorithm on a random Delaunay triangulation in a bounded convex region. This analysis is a significant departure from similar results that have been obtained, due to the difficulty of dealing with the complex dependence structure of localized navigation algorithms on the Delaunay triangulation. The second part of this work is concerned with the study of extremal properties of random tessellations. In particular, we derive the first and last order-statistics for the inballs of the cells in a Poisson line tessellation. This result has implications for algorithms involving line tessellations, such as locality sensitive hashing. As a corollary, we show that the cells minimizing the area are triangles.

L’objectif principal de cette thèse est l’analyse des performances des réseaux LTE-A (Long Term Evolution- Advanced) au travers de la géométrie stochastique. L’analyse mathématique des réseaux cellulaires est un problème difficile, pour lesquels ils existent déjà un certain nombre de résultats mais qui demande encore des efforts et des contributions sur le long terme. L’utilisation de la géométrie aléatoire et des processus ponctuels de Poisson (PPP) s’est avérée être une approche permettant une modélisation pertinente des réseaux cellulaires et d’une complexité faible (tractable). Dans cette thèse, nous nous intéressons tout particulièrement à des modèles s’appuyant sur ces processus de Poisson : PPP-based abstraction. Nous développons un cadre mathématique qui permet le calcul de quantités reflétant les performances des réseaux LTE-A, tels que la probabilité d’erreur, la probabilité et le taux de couverture, pour plusieurs scénarios couvrant entre autres le sens montant et descendant. Nous considérons également des transmissions multi-antennes, des déploiements hétérogènes, et des systèmes de commande de puissance de la liaison montante. L’ensemble de ces propositions a été validé par un grand nombre de simulations. Le cadre mathématique développé dans cette thèse se veut général, et doit pouvoir s’appliquer à un nombre d’autres scénarios importants. L’intérêt de l’approche proposée est de permettre une évaluation des performances au travers de l’évaluation des formules, et permettent en conséquences d’éviter des simulations qui peuvent prendre énormément de temps en terme de développement ou d’exécution. / The main focus of this thesis is on performance analysis and system optimization of Long Term Evolution - Advanced (LTE-A) cellular networks by using stochastic geometry. Mathematical analysis of cellular networks is a long-lasting difficult problem. Modeling the network elements as points in a Poisson Point Process (PPP) has been proven to be a tractable yet accurate approach to the performance analysis in cellular networks, by leveraging the powerful mathematical tools such as stochastic geometry. In particular, relying on the PPP-based abstraction model, this thesis develops the mathematical frameworks to the computations of important performance measures such as error probability, coverage probability and average rate in several application scenarios in both uplink and downlink of LTE-A cellular networks, for example, multi-antenna transmissions, heterogeneous deployments, uplink power control schemes, etc. The mathematical frameworks developed in this thesis are general enough and the accuracy has been validated against extensive Monte Carlo simulations. Insights on performance trends and system optimization can be done by directly evaluating the formulas to avoid the time-consuming numerical simulations.

Cette thèse porte principalement sur la modélisation, l'évaluation des performances et l'optimisation au niveau système des réseaux cellulaires de nouvelle génération à l'aide de la géométrie stochastique. En plus, la technologie émergente des surfaces intelligentes reconfigurables (RISs) est étudiée pour l'application aux futurs réseaux sans fil. En particulier, reposant sur un modèle d’abstraction basé sur la loi de Poisson pour la distribution spatiale des nœuds et des points d’accès, cette thèse développe un ensemble de nouveaux cadres analytiques pour le calcul d’importantes métriques de performance, telles que la probabilité de couverture et l'efficacité spectrale potentielle, qui peuvent être utilisés pour l'analyse et l'optimisation au niveau système. Plus spécifiquement, une nouvelle méthodologie d'analyse pour l'analyse de réseaux cellulaires tridimensionnels est introduite et utilisée pour l'optimisation du système. Un nouveau problème d’allocation de ressources est formulé et résolu en combinant pour la première fois géométrie stochastique et programmation non linéaire mixte en nombres entiers. L'impact du déploiement de surfaces réfléchissantes intelligentes sur un réseau sans fil est quantifié à l'aide de processus ponctuels, et les avantages potentiels des RISs contre le relais sont étudiés à l'aide de simulations numériques. / The main focus of this thesis is on modeling, performance evaluation and system-level optimization of next-generation cellular networks by using stochastic geometry. In addition, the emerging technology of Reconfigurable Intelligent Surfaces (RISs) is investigated for application to future wireless networks. In particular, relying on a Poisson-based abstraction model for the spatial distribution of nodes and access points, this thesis develops a set of new analytical frameworks for the computation of important performance metrics, such as the coverage probability and potential spectral efficiency, which can be used for system-level analysis and optimization. More specifically, a new analytical methodology for the analysis of three-dimensional cellular networks is introduced and employed for system optimization. A novel resource allocation problem is formulated and solved by jointly combining for the first time stochastic geometry and mixed-integer non-linear programming. The impact of deploying intelligent reflecting surfaces throughout a wireless network is quantified with the aid of line point processes, and the potential benefits of RISs against relaying are investigated with the aid of numerical simulations.

Dans cette thèse, nous avons développé de nouveaux cadres d'analyse pour analyser et optimiser les futurs réseaux cellulaires à l'aide de la géométrie stochastique et des processus ponctuels. Cette thèse fournit quatre contributions techniques principales.Nous analysons d’abord les réseaux émergents capables de communiquer en utilisant la lumière plutôt que les ondes radio. Dans ce contexte, nous proposons un cadre analytique innovant qui nous permet d’estimer la probabilité de couverture et le débit moyen des réseaux distribués dans l’espace, qui sont utilisés pour mieux comprendre l’optimisation du système.Deuxièmement, nous proposons une méthodologie innovante pour modéliser des réseaux cellulaires spatialement corrélés en utilisant des processus ponctuels non homogènes. L'approche proposée est testée par rapport au déploiement pratique de réseaux cellulaires et s'est révélée pratique et précise. Il est appliqué à l'analyse des réseaux de communication à lumière visible et l'impact de la corrélation spatiale est étudié.Troisièmement, nous abordons le problème ouvert de la modélisation de réseaux cellulaires MIMO massifs. Nous étudions les réseaux cellulaires montants et descendants et proposons de nouvelles limites supérieures et inférieures pour l'efficacité spectrale moyenne, ce qui nous permet d'identifier le nombre optimal d'utilisateurs à desservir dans chaque cellule du réseau et l'impact de plusieurs paramètres clés du système.Quatrièmement, nous présentons et analysons les performances d'un nouvel algorithme de planification prenant en compte les interférences pour une application sur la liaison montante des réseaux cellulaires. L’approche proposée consiste à assourdir certains utilisateurs afin de réduire le niveau d’interférence. La performance réalisable et l'équité utilisateur de l'approche proposée sont discutées et quantifiées analytiquement. / In this thesis, we have developed new analytical frameworks for analyzing and optimizing future cellular networks with the aid of stochastic geometry and point processes. This thesis provides four main technical contributions.First, we analyze emerging networks that can communicate by using light instead of radio waves. In this context, we propose an innovative analytical framework that allows us to estimate the coverage probability and the average rate of spatially distributed networks, which are used to gain insight for system optimization.Second, we propose an innovative methodology for modeling spatially correlated cellular networks by using inhomogeneous point processes. The proposed approach is tested against practical deployment of cellular networks and found to be tractable and accurate. It is applied to the analysis of visible light communication networks, and the impact of spatial correlation is studied.Third, we tackle the open problem of modeling Massive MIMO cellular networks. We study uplink and downlink cellular networks and propose new upper and lower bounds for the average spectral efficiency, which allow us to identify the optimal number of user to serve in each cell of the network and the impact of several key system parameters.Fourth, we introduce and analyze the performance of a new interference-aware scheduling algorithm for application to the uplink of cellular networks. The proposed approach is based on muting some users in order to reduce the level of interference. The achievable performance and the user-fairness of the proposed approach are discussed and quantified analytically.

We construct and investigate random geometric structures that are based on a homogeneous Poisson point process. We investigate the random Vietoris-Rips complex constructed as the clique complex of the well known gilbert graph as an infinite random simplicial complex and prove that every realizable finite sub-complex will occur infinitely many times almost sure as isolated complex and also in the case of percolations connected to the unique giant component. Similar results are derived for the Cech complex. We derive limit theorems for the f-vector of the Vietoris-Rips complex on the unit cube centered at the origin and provide a central limit theorem and a Poisson limit theorem based on the model parameters. Finally we investigate random polytopes that are given as convex hulls of a Poisson point process in a smooth convex body. We establish a central limit theorem for certain linear combinations of intrinsic volumes. A multivariate limit theorem involving the sequence of intrinsic volumes and the number of i-dimensional faces is derived. We derive the asymptotic normality of the oracle estimator of minimal variance for estimation of the volume of a convex body.

Face à la croissance exponentielle des réseaux mobiles très haut débit, les opérateurs de téléphonie mobile se sont lancé dans le déploiement des réseaux dits hiérarchiques (HetNet), composés par des sous-réseaux avec des caractéristiques divergentes en termes de type des cellules déployées et des technologies d’accès radio utilisées. Avec ce caractère hétérogène des réseaux cellulaire, l’exploitation de ces derniers devienne de plus en plus compliquée et coûteuse impliquant le déploiement, la configuration et la reconfiguration de stations de base et d’équipements de différentes caractéristiques. Ainsi, l’intégration dans les réseaux HetNet de fonctionnalités d’auto-configuration automatisant et simplifiant l’exploitation des réseaux deviennent une demande forte des opérateurs. Cette thèse a pour objectif l’étude et le développement de solutions de gestion dynamique de l’équilibrage de charges entre les différentes couches composant un même HetNet, pour une expérience utilisateur (QoE) améliorée. Dans ce contexte, une classe des algorithmes d’équilibrage de charges dite ‘équilibrage de charges par adaptation dynamique des paramètres de la procédure de handover’ est étudiée. Pour commencer, nous développons un modèle théorique basé sur des solutions et des outils de la géométrie stochastique et incorporant le caractère hétérogène des réseaux cellulaires. Ensuite nous exploitons ce modèle pour introduire des algorithmes d’adaptation des paramètres de handover basés sur la maximisation de la puissance reçue et du rapport signal/brouillage plus bruit (SINR). Nous exploitons ces résultats pour implémenter et étudier, par simulation à évènements discrets, des algorithmes d’équilibrage de charges dans le contexte des réseaux LTE HetNet auto-organisés basés sur les spécifications 3GPP. Ces travaux soulignent l’importance de l’équilibrage de charges afin de booster les performances des réseaux cellulaires en termes de débit global transmis, perte de paquets de données et utilisation optimisée des ressources radio. / High demands on mobile networks provide a fresh opportunity to migrate towardsmulti-tier deployments, denoted as heterogeneous network (HetNet), involving a mix of cell types and radio access technologies working together seamlessly. In this context, network optimisation functionalities such as load balancing have to be properly engineered so that HetNet benefit are fully exploited. This dissertation aims to develop tractable frameworks to model and analyze load balancing dynamics while incorporating the heterogeneous nature of cellular networks. In this context we investigate and analyze a class of load balancingstrategies, namely adaptive handover based load balancing strategies. These latter were firstly studied under the general heading of stochastic networks using independent and homogeneous Poisson point processes based network model. We propose a baseline model to characterize rate coverage and handover signalling in K-tier HetNet with a general maximum power based cell association and adaptive handover strategies. Tiers differ in terms of deployment density and cells characteristics (i.e. transmit power, bandwidth, and path loss exponent). One of the main outcomes is demonstrating the impact of offloading traffic from macro- to small-tier. This impact was studied in terms of rate coverage and HO signalling. Results show that enhancement in rate coverage is penalized by HO signalling overhead. Then appropriate algorithms of LB based adaptive HO are designed and their performance is evaluated by means of extensive system level simulations. These latter are conducted in 3GPP defined scenarios, including representation of mobility procedures in both connectedstate. Simulation results show that the proposed LB algorithms ensure performance enhancement in terms of network throughput, packet loss ratio, fairness and HO signalling.

Afin de garantir un MANET totalement connecté, nous proposons un outil analytique permettant d´estimer les rayons de couverture requis. Ensuite, nous étudions les communications multi-sauts et nous proposons plusieurs protocoles de routage pour améliorer les délais de communications. Puis, nous nous focalisons sur la contribution du réseau satellite en menant une étude comparative qualifiant les besoins en stations hybrides "HS" ainsi qu’une stratégie d´accès à ces passerelles satellite. Dans un deuxième temps, nous traitons l’ occurrence du dépassement des ressources radio et le dimensionnement de ces dernières de façon à optimiser la bande passante allouée au réseau. Nous dérivons un modèle analytique en utilisant des résultats issus de la géométrie aléatoire, permettant de prévoir la quantité de ressources radio requises par les noeuds actifs sous une certaine qualité de service "QoS" et plusieurs configurations d´antennes MIMO. Nous considérons tout d´abord un système d´accès centralisé où toutes les communications sont effectuées par l’ intermédiaire des noeuds chargés de la gestion des ressources radio. Ensuite, nous traitons le cas d´un système d´accès distribué sous le protocole d´accès Aloha où les nœuds sont autorisés à accéder à la bande passante partagée aléatoirement et uniformément. Les simulations et les résultats numériques permettent d´évaluer les performances en termes de bande passante requise, de capacité globale et de rayons de couverture. / In the first part of this thesis, we tackle the initialization of the network in this hierarchical context. We propose a statistical model enabling a network designer to perceive the requirements in terms of equipments, channel bandwidth, antenna configurations, antenna radiation pattern, achievable data rates for instance. In order to guarantee fully connected MANET, we introduce an analytical tool to estimate the required inter-staff-ships and inter-shipmasters coverage radii. Then we study the multi-hop end-to-end communications and we propose several routing protocols to enhance the delays. Afterwards, we focus on the contribution of the satellite backhaul with a comparative study qualifying the needs in Hybrid Stations “HSs” and a strategy to access to these gateways. In a second part, we emphasis on the radio resource outage occurrence and the dimensioning matter to optimize the allocated bandwidth to the network. We investigate stochastic geometry tools to provide an analytical model enabling to foresee the amount of required radio resources by the active nodes with a certain Quality of Service “QoS” and several Multiple Inputs Multiple Outputs “MIMO” antenna configurations in the maritime context. We consider first the centralized access scheme where all communications are performed via the shipmasters that are in charge of the radio resource management. Then we focus on the distributed access scheme with Aloha Medium Access Control “MAC” protocol where nodes are authorized to access to the shared bandwidth arbitrarily and unilaterally. Simulation and numerical results are provided to evaluate the performances in terms of required bandwidth, aggregate capacity.