This doctoral thesis endeavors to extend probability and statistical models using stochastic differential equations. The described models capture essential features from data that are not explained by classical diffusion models driven by Brownian motion. New results obtained by the author are presented in five articles. These are divided into two parts. The first part involves three articles on statistical inference and simulation of a family of processes related to fractional Brownian motion and Ornstein-Uhlenbeck process, the so-called fractional Ornstein-Uhlenbeck process of the second kind (fOU2). In two of the articles, we show how to simulate fOU2 by means of circulant embedding method and memoryless transformations. In the other one, we construct a least squares consistent estimator of the drift parameter and prove the central limit theorem using techniques from Stochastic Calculus for Gaussian processes and Malliavin Calculus. The second phase of my research consists of two articles about jump market models and arbitrage portfolio strategies for an insider trader. One of the articles describes two arbitrage free markets according to their risk neutral valuation formula and an arbitrage strategy by switching the markets. The key aspect is the difference in volatility between the markets. Statistical evidence of this situation is shown from a sequential data set. In the other one, we analyze the arbitrage strategies of an strong insider in a pure jump Markov chain financial market by means of a likelihood process. This is constructed in an enlarged filtration using Itô calculus and general theory of stochastic processes. / Föreliggande doktorsavhandling strävar efter att utöka sannolikhetsbaserade och statistiska modeller med stokastiska differentialekvationer. De beskrivna modellerna fångar väsentliga egenskaper i data som inte förklaras av klassiska diffusionsmodeller för brownsk rörelse.  Nya resultat, som författaren har härlett, presenteras i fem uppsatser. De är ordnade i två delar. Del 1 innehåller tre uppsatser om statistisk inferens och simulering av en familj av stokastiska processer som är relaterade till fraktionell brownsk rörelse och Ornstein-Uhlenbeckprocessen, så kallade andra ordningens fraktionella Ornstein-Uhlenbeckprocesser (fOU2). I två av uppsatserna visar vi hur vi kan simulera fOU2-processer med hjälp av cyklisk inbäddning och minneslös transformering. I den tredje uppsatsen konstruerar vi en minsta-kvadratestimator som ger konsistent skattning av driftparametern och bevisar centrala gränsvärdessatsen med tekniker från statistisk analys för gaussiska processer och malliavinsk analys.  Del 2 av min forskning består av två uppsatser om marknadsmodeller med plötsliga hopp och portföljstrategier med arbitrage för en insiderhandlare. En av uppsatserna beskriver två arbitragefria marknader med riskneutrala värderingsformeln och en arbitragestrategi som består i växla mellan marknaderna. Den väsentliga komponenten är skillnaden mellan marknadernas volatilitet. Statistisk evidens i den här situationen visas utifrån ett sekventiellt datamaterial. I den andra uppsatsen analyserar vi arbitragestrategier hos en insiderhandlare i en finansiell marknad som förändrar sig enligt en Markovkedja där alla förändringar i tillstånd består av plötsliga hopp. Det gör vi med en likelihoodprocess. Vi konstruerar detta med utökad filtrering med hjälp av Itôanalys och allmän teori för stokastiska processer. / <p>At the time of the doctoral defense, the following papers were unpublished and had a status as follows: Paper 4: Manuscript. Paper 5: Manuscript.</p>

Financial derivatives have been constituting one of the most dynamic fields in the mathematical finance. The main task is represented by the valuation or pricing of these instruments. This theses deals with standard models and their limits, tries to explore advanced methods of continuous martingale measures and on their bases proposes numerical methods applicable to derivatives valuation. Some procedures leading to elimination of certain simplifying assumptions are presented as well.

Thesis (M.Sc. (Applied Mathematics)) -- University of Limpopo, 2019 / Functional Itˆo calculus is based on an extension of the classical Itˆo calculus to functionals depending on the entire past evolution of the underlying paths and not only on its current value. The calculus builds on F¨ollmer’s deterministic proof of the Itˆo formula Föllmer (1981) and a notion of pathwise functional derivative recently proposed by Dupire (2019). There are no smoothness assumptions required on the functionals, however, they are required to possess certain directional derivatives which may be computed pathwise, see Cont and Fournié (2013); Schied and Voloshchenko (2016a); Cont (2012). In this project we revise the functional Itô calculus together with the notion of quadratic variation. We compute the pathwise change of variable formula utilizing the functional Itô calculus and the quadratic variation notion. We study the martingale representation for the case of weak derivatives, we allow the vertical operator, rX, to operate on continuous functionals on the space of square-integrable Ft-martingales with zero initial value. We approximate the hedging strategy, H, for the case of path-dependent functionals, with Lipschitz continuous coefficients. We study some hedging strategies on the class of discounted market models satisfying the quadratic variation and the non-degeneracy properties. In the classical case of the Black-Scholes, Greeks are an important part of risk-management so we compute Greeks of the price given by path-dependent functionals. Lastly we show that they relate to the classical case in the form of examples. / NRF and AIMS-SA

L’objectif principal de cette thèse est d’apporter de nouveaux résultats théoriques concernant la performance d’investissements basés sur des modèles stochastiques. Pour ce faire, nous considérons la stratégie optimale d’investissement dans le cadre d’un modèle d’actif risqué à volatilité constante et dont la tendance est un processus caché d’Ornstein Uhlenbeck. Dans le premier chapitre,nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la faisabilité de la calibration de la tendance. Nous répondons à cette question avec des résultats analytiques et des simulations numériques. Nous clôturons ce chapitre en quantifiant également l’impact d’une erreur de calibration sur l’estimation de la tendance et nous exploitons les résultats pour détecter son signe. Dans le troisième chapitre, nous supposons que l’agent est capable de bien calibrer la tendance et nous étudions l’impact qu’a la non-observabilité de la tendance sur la performance de la stratégie optimale. Pour cela, nous considérons le cas d’une utilité logarithmique et d’une tendance observée ou non. Dans chacun des deux cas, nous explicitons la limite asymptotique de l’espérance et la variance du rendement logarithmique en fonction du ratio signal-sur-bruit et de la vitesse de retour à la moyenne de la tendance. Nous concluons cette étude en montrant que le ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec observations partielles ne peut dépasser 2/(3^1.5)∗100% du ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec informations complètes. Le quatrième chapitre étudie la robustesse de la stratégie optimale avec une erreur de calibration et compare sa performance à une stratégie d’analyse technique. Pour y parvenir, nous caractérisons, de façon analytique,l’espérance asymptotique du rendement logarithmique de chacune de ces deux stratégies. Nous montrons, grâce à nos résultats théoriques et à des simulations numériques, qu’une stratégie d’analyse technique est plus robuste que la stratégie optimale mal calibrée. / The aim of this thesis is to study the robustness of the optimal trading strategy. The setting we consider is that of a stochastic asset price model where the trend follows an unobservable Ornstein-Uhlenbeck process. In the first chapter, the background and the objectives of this study are presented along with the different methods used and the main results obtained. The question addressed in the second chapter is the estimation of the trend of a financial asset, and the impact of misspecification. Motivated by the use of Kalman filtering as a forecasting tool, we study the problem of parameters estimation, and measure the effect of parameters misspecification. Numerical examples illustrate the difficulty of trend forecasting in financial time series. The question addressed in the third chapter is the performance of the optimal strategy,and the impact of partial information. We focus on the optimal strategy with a logarithmic utility function under full or partial information. For both cases, we provide the asymptotic expectation and variance of the logarithmic return as functions of the signal-to-noise ratio and of the trend mean reversion speed. Finally, we compare the asymptotic Sharpe ratios of these strategies in order to quantify the loss of performance due to partial information. The aim of the fourth chapter is to compare the performances of the optimal strategy under parameters mis-specification and of a technical analysis trading strategy. For both strategies, we provide the asymptotic expectation of the logarithmic return as functions of the model parameters. Finally, numerical examples find that an investment strategy using the cross moving averages rule is more robust than the optimal strategy under parameters misspecification.

Dans cette thèse, nous analysons la dynamique de systèmes à événements discrets avec synchronisation et priorités, au moyen de réseaux de Petri et de réseaux de files d'attente.Nous appliquons cela à l'évaluation de performance d'un centre d'appels d'urgence.Notre motivation de départ est pratique. Pendant la durée de ce travail, un nouveau centre d'appels d'urgence a été mis en place pour l'agglomération parisienne, traitant les appels pour la police et les pompiers.La nouvelle organisation traite les appels en deux niveaux.Un premier niveau d'opérateurs répond aux appels, identifie les appels urgents et traite les appels non urgents.Les opérateurs de second niveau sont spécialistes (policiers ou pompiers) et traitent les demandes d'intervention.Quand un appel est identifié au niveau 1 comme très urgent, l'opérateur reste en ligne avec l'appelant jusqu'à ce qu'un opérateur de niveau 2 réponde. De plus, l'appel est prioritaire.Une conséquence de cette procédure est que, lorsqu'aucun opérateur de niveau 2 n'est disponible, les opérateurs de niveau 1 attendent avec ces appels très urgents, et la capacité du niveau 1 diminue.Nous nous intéressons à l'évaluation de performance de divers systèmes correspondant à cette description générale, dans des situations de saturation.Nous proposons trois modèles différents pour traiter ce type de systèmes.Les deux premiers sont des modèles de réseaux de Petri temporisés.Nous enrichissons les classiques réseaux de Petri à choix libres en autorisant des situations de conflit où le routage est résolu par des priorités.La principale difficulté est alors que l'opérateur de la dynamique n'est plus monotone.Dans un premier modèle, nous proposons une dynamique discrète pour cette classe de réseaux de Petri, avec des temps de séjour constants sur les places.Nous prouvons que les variables compteurs d'une exécution du réseau sont les solutions d'un système affine par morceaux, avec retards.Nous étudions les régimes stationnaires de cette dynamique, et caractérisons les régimes affines comme solutoins d'un système affine par morceaux, qui peut être vu comme un système sur le semi-corps de germes tropical (min plus).Les applications numériques montrent cependant que la convergence ne se fait pas toujours vers ces régimes stationnaires affines.Le second modèle est une transformation continue du précédent. Pour la même classe de réseaux de Petri, nous proposons une dynamique sous forme d'équations différentielles discontinues.Nous établissons l'existence et l'unicité de la solution.L'objectif de cette modélisation est d'obtenir un système plus simple dans lequel les pathologies du temps discret disparaissent. Nous montrons que les régimes stationaires sont les mêmes que ceux de la dynamique discrète. Les simulations numériques semblent montrer que la convergence s'obtient effectivement dans ce cas.Nous modélisons aussi le centre d'appels d'urgence comme un réseau de files d'attente, prenant ainsi en compte le caractère aléatoire des différentes variables du centre d'appel.Pour ce système, nous prouvons que la dynamique, après une transformation d'échelle, converge vers une limite fluide, qui correspond au système d'équations différentielles précédent.Cela conforte notre seconde modélisation.Les principaux outils de la preuve de convergence sont le calcul stochastique pour les processus de Poisson, les formulations de Skorokhod généralisées, ou encore des arguments de couplage.Ainsi, nos trois modèles d'un même centre d'appels d'urgence définissent un même comportement asymptotique schématique, décrivant différentes phases de congestion du centre.Dans une seconde partie de cette thèse, nous analysons des simulations poussées, prenant en compte les nombreux détails de notre étude de cas. Les simulations confirment le comportement schématique prédit par nos modèles mathématiques. Nous discutons aussi des interactions complexes provenant de la nature hétérogène du niveau 2. / In this thesis, we analyze the dynamics of discrete event systems with synchronization and priorities, by the means of Petri nets and queueing networks.We apply this to the performance evaluation of an emergency call center.Our original motivation is practical. During the period of this work, a new emergency call center became operative in Paris area, handling emergency calls to police and firemen.The new organization includes a two-level call treatment. A first level of operators answers calls, identifies urgent calls and handles (numerous) non-urgent calls.Second level operators are specialists (policemen or firemen) and handle emergency demands.When a call is identified at level 1 as extremely urgent, the operator stays in line with the call until a level 2 operator answers. The call has priority for level 2 operators.A consequence of this procedure is that, when level 2 operators are busy, level 1 operators wait with extremely urgent calls, and the capacity of level 1 diminishes.We are interested in the performance evaluation of various systems corresponding to this general description, in stressed situations.We propose three different models addressing this kind of systems.The first two are timed Petri net models.We enrich the classical free choice Petri nets by allowing conflict situations in which the routing is solved by priorities.The main difficulty in this situation is that the operator of the dynamics becomes non monotone.In a first model, we consider discrete dynamics for this class of Petri nets, with constant holding times on places.We prove that the counter variables of an execution of the Petri net are solutions of a piecewise linear system with delays.As far as we know, this proof is new, even for the class of free choice nets, which is a subclass of ours.We investigate the stationary regimes of the dynamics, and characterize the affine ones as solutions of a piecewise linear system, which can be seen as a system over a tropical (min-plus) semifield of germs.Numerical experiments show that, however, convergence does not always holds towards these affine stationary regimes.The second model is a ``continuization'' of the previous one. For the same class of Petri nets, we propose dynamics expressed by differential equations, so that the tokens and time events become continue.For this differential system with discontinuous righthandside, we establish the existence and uniqueness of the solution.By using differential equations, we aim at obtaining a simpler model in which discrete time pathologies disappear. We show that the stationary regimes are the same as the stationary regimes of the discrete time dynamics.Numerical experiments tend to show that, in this setting, convergence effectively holds.We also model the emergency call center described above as a queueing system, taking into account the randomness of the different call center variables.For this system, we prove that, under an appropriate scaling, the dynamics converges to a fluid limit which corresponds to the differential equations of our Petri net model.This provides support for the second model.Stochastic calculus for Poisson processes, generalized Skorokhod formulations and coupling arguments are the main tools used to establish this convergence.Hence, our three models of an identical emergency call center yield the same schematic asymptotic behavior, expressed as a piecewise linear system of the parameters, and describing the different congestion phases of the system.In a second part of this thesis, simulations are carried out and analyzed, taking into account the many subtleties of our case study (for example, we construct probability distributions based on real data analysis).The simulations confirm the schematic behavior described by our mathematical models.We also address the complex interactions coming from the heterogeneous nature of level 2.

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Counterparty risk calculations have gained importance after the latest financial crisis. The bankruptcy of Lehman Brothers showed that even large financial institutiones face a risk of default. Hence, it is important to measure the risk of default for all the contracts written between financial institutions. Credit Value Adjustment, CVA, is an industry standard method for such calculations. Nevertheless, the implementation of this method is contract dependent and the necessary computer simulations can be very intensive. Monte Carlo simulations have for a long time been known as a precise but slow technique to evaluate the cash flows for contracts of all kinds. Measuring the exposure of a contract written on structured products might require half a day of calculations if the implementation is written without significant optimization. Several ideas have been presented by researchers and applied in the industry, the idea explored and implemented in this thesis was based on using Artificial Neural Networks in Python. This procedure require a decomposition of the Expected Exposure calculation within the CVA and generating a large data set using a standard Monte Carlo simulation. Three network architectures have been tested and the final performance was compared with using standard techniques for the very same calculation. The performance gain was significant, a portfolio of 100 counterparties with 10 contracts each would take 20 minutes of calculations in total when using the best performing architecture whereas a parallel C++ implementation of the standard method would require 2.6 days.

Le contenu de cette thèse est divisé de la façon suivante. Après un premier chapitre d’introduction, le Chapitre 2 est consacré à introduire aussi simplement que possible certaines des théories qui seront utilisées dans les deux premiers articles. Dans un premier temps, nous discuterons des points importants pour la construction de l’intégrale stochastique par rapport aux semimartingales avec paramètre spatial. Ensuite, nous décrirons les principaux résultats de la théorie de l’évaluation en monde neutre au risque et, finalement, nous donnerons une brève description d’une méthode d’optimisation connue sous le nom de dualité. Les Chapitres 3 et 4 traitent de la modélisation de l’illiquidité et font l’objet de deux articles. Le premier propose un modèle en temps continu pour la structure et le comportement du carnet d’ordres limites. Le comportement du portefeuille d’un investisseur utilisant des ordres de marché est déduit et des conditions permettant d’éliminer les possibilités d’arbitrages sont données. Grâce à la formule d’Itô généralisée il est aussi possible d’écrire la valeur du portefeuille comme une équation différentielle stochastique. Un exemple complet de modèle de marché est présenté de même qu’une méthode de calibrage. Dans le deuxième article, écrit en collaboration avec Bruno Rémillard, nous proposons un modèle similaire mais cette fois-ci en temps discret. La question de tarification des produits dérivés est étudiée et des solutions pour le prix des options européennes de vente et d’achat sont données sous forme explicite. Des conditions spécifiques à ce modèle qui permettent d’éliminer l’arbitrage sont aussi données. Grâce à la méthode duale, nous montrons qu’il est aussi possible d’écrire le prix des options européennes comme un problème d’optimisation d’une espérance sur en ensemble de mesures de probabilité. Le Chapitre 5 contient le troisième article de la thèse et porte sur un sujet différent. Dans cet article, aussi écrit en collaboration avec Bruno Rémillard, nous proposons une méthode de prévision des séries temporelles basée sur les copules multivariées. Afin de mieux comprendre le gain en performance que donne cette méthode, nous étudions à l’aide d’expériences numériques l’effet de la force et la structure de dépendance sur les prévisions. Puisque les copules permettent d’isoler la structure de dépendance et les distributions marginales, nous étudions l’impact de différentes distributions marginales sur la performance des prévisions. Finalement, nous étudions aussi l’effet des erreurs d’estimation sur la performance des prévisions. Dans tous les cas, nous comparons la performance des prévisions en utilisant des prévisions provenant d’une série bivariée et d’une série univariée, ce qui permet d’illustrer l’avantage de cette méthode. Dans un intérêt plus pratique, nous présentons une application complète sur des données financières. / This thesis is structured as follows. After a first chapter of introduction, Chapter 2 exposes as simply as possible different notions that are going to be used in the two first papers. First, we discuss the main steps required to build stochastic integrals for semimartingales with space parameters. Secondly, we describe the main results of risk neutral evaluation theory and, finally, we give a short description of an optimization method known as duality. Chapters 3 and 4 consider the problem of modelling illiquidity, which is covered by two papers. The first one proposes a continuous time model for the structure and the dynamic of the limit order book. The dynamic of a portfolio for an investor using market orders is deduced and conditions to rule out arbitrage are given. With the help of Itô’s generalized formula, it is also possible to write the value of the portfolio as a stochastic differential equation. A complete example of market model along with a calibration method is also given. In the second paper, written in collaboration with Bruno Rémillard, we propose a similar model with discrete time trading. We study the problem of derivatives pricing and give explicit formulas for European option prices. Specific conditions to rule out arbitrage are also provided. Using the dual optimization method, we show that the price of European options can be written as the optimization of an expectation over a set of probability measures. Chapter 5 contained the third paper and studies a different topic. In this paper, also written with Bruno Rémillard, we propose a forecasting method for time series based on multivariate copulas. To provide a better understanding of the proposed method, with the help of numerical experiments, we study the effect of the strength and the structure of the different dependencies on predictions performance. Since copulas allow to isolate the dependence structure and marginal distributions, we study the impact of different marginal distributions on predictions performance. Finally, we also study the effect of estimation errors on the predictions. In all the cases, we compare the performance of predictions by using predictions based on a bivariate series and predictions based on a univariate series, which allows to illustrate the advantage of the proposed method. For practical matters, we provide a complete example of application on financial data.

Cette thèse se consacre à l'étude de certaines passerelles existantes entre les probabilités dîtes classiques et la théorie des systèmes quantiques ouverts. Le but de la première partie de ce manuscrit est d'étudier l'émergence de bruits classiques dans l'équation de Langevin quantique. Cette équation sert à modéliser l'action d'un bain quantique sur un petit système dans l'approximation markovienne. L'analogue en temps discret de cette équation est décrit par le schéma des interactions quantiques répétées étudier par Stéphane Attal et Yan Pautrat. Dans des travaux antérieurs, Attal et ses collaborateurs montrent que les bruits classiques naturels apparaissant dans ce cadre sont les variables aléatoires obtuses, dont ils étudient la structure. Mais sont-ils les seuls bruits classiques pouvant émerger, et quand est-il dans le cas général ? De même, en temps continu, il était plus ou moins admis que les seuls bruits classiques apparaissant dans l'équation de Langevin quantique sont les processus de Poisson et le mouvement brownien. Ma contribution dans ce manuscrit consiste à définir une algèbre de von Neumann pertinente sur l'environnement, dite algèbre du bruit, qui encode la structure du bruit. Elle est commutative si et seulement si le bruit est classique ; dans ce cas on confirme les hypothèses précédentes sur sa nature. Dans le cas général, elle permet de montrer une décomposition de l'environnement entre une partie classique maximale et une partie purement quantique. Dans la deuxième partie, nous nous consacrons à l'étude de processus stochastiques classiques apparaissant au sein du système. La dynamique du système est quantique, mais il existe une observable dont l'évolution est classique. Cela se fait naturellement lorsque le semi-groupe de Markov quantique laisse invariante une sous-algèbre de von Neumann commutative et maximale. Nous développons une méthode pour générer de tels semi-groupes, en nous appuyons sur une définition de Stéphane Attal de certaines dilatations d'opérateurs de Markov classiques. Nous montrons ainsi que les processus de Lévy sur Rn admettent des extensions quantiques. Nous étudions ensuite une classe de processus classiques liés aux marches quantiques ouvertes. De tels processus apparaissent lorsque cette fois l'algèbre invariante est le produit tensoriel de deux algèbres, l'une non-commutative et l'autre commutative. Par conséquent, bien que comportant l'aspect trajectoriel propre au processus classiques, de telles marches aléatoires sont hautement quantiques. Nous présentons dans ce cadre une approche variationnelle du problème de Dirichlet. Finalement, la dernière partie est dédiée à l'étude d'un processus physique appelé décohérence induite par l'environnement. Cette notion est fondamentale, puisqu'elle apporte une explication dynamique à l'absence, dans notre vie de tous les jours, de phénomènes quantiques. Nous montrons qu'une telle décohérence a toujours lieu pour des systèmes ouverts décrits par des algèbres de von Neumann finies. Nous initions ensuite une étude innovante sur la vitesse de décohérence, basée sur des inégalités fonctionnelles non-commutatives, qui permet de mettre en avant le rôle de l'intrication quantique dans la décohérence / This thesis focus on the study of several bridges that exist between classical probabilities and open quantum systems theory. In the first part of the thesis, we consider open quantum systems with classical environment. Thus the environment acts as a classical noise so that the evolution of the system results in a mixing of unitary dynamics. My work consisted in defining a relevant von Neumann algebra on the environment which, in this situation, is commutative. In the general case, we show that this algebra leads to a decomposition of the environment between a classical and a quantum part. In the second part, we forget for a time the environment in order to focus on the emergence of classical stochastic processes inside the system. This situation appears when the quantum Markov semigroup leaves an invariant commutative maximal von Neumann algebra. First, we develop a recipe in order to generate such semigroup, which emphasizes the role of a certain kind of classical dilation. We apply the recipe to prove the existence of a quantum extension for L\'evy processes. Then in the same part of the thesis we study a special kind of classical dynamics that can emerge on a bipartite quantum system, call \emph. Such walks are stochastic but displayed strong quantum behavior. We define a Dirichlet problem associated to these walks and solve it using a variational approch and non-commutative Dirichlet forms. Finally, the last part is dedicated to the study of Environment Induced Decoherence for quantum Markov semigroup on finite von Neumann algebra. We prove that such decoherence always occurs when the semigroup has a faithful invariant state. Then we focus on the fundamental problem of estimating the time of the process. To this end we define adapted non-commutative functional inequalities. The central interest of these definitions is to take into account entanglement effects, which are expected to lower the speed of decoherence

Cette thèse concerne le développement, l'extension et l'application d'une formulation stochastique des équations de la mécanique des fluides introduite par Mémin (2014). La vitesse petite échelle, non-résolue, est modélisée au moyen d'un champ aléatoire décorrélé en temps. Cela modifie l'expression de la dérivée particulaire et donc les équations de la mécanique des fluides. Les modèles qui en découlent sont dénommés modèles sous incertitude de position. La thèse s'articulent autour de l'étude successive de modèles réduits, de versions stochastiques du transport et de l'advection à temps long d'un champ de traceur par une vitesse mal résolue. La POD est une méthode de réduction de dimension, pour EDP, rendue possible par l'utilisation d'observations. L'EDP régissant l'évolution de la vitesse du fluide est remplacée par un nombre fini d'EDOs couplées. Grâce à la modélisation sous incertitude de position et à de nouveaux estimateurs statistiques, nous avons dérivé et simulé des versions réduites, déterministe et aléatoire, de l'équation de Navier-Stokes. Après avoir obtenu des versions aléatoires de plusieurs modèles océaniques, nous avons montré numériquement que ces modèles permettaient de mieux prendre en compte les petites échelles des écoulements, tout en donnant accès à des estimés de bonne qualité des erreurs du modèle. Ils permettent par ailleurs de mieux rendre compte des évènements extrêmes, des bifurcations ainsi que des phénomènes physiques réalistes absents de certains modèles déterministes équivalents. Nous avons expliqué, démontré et quantifié mathématiquement l'apparition de petites échelles de traceur, lors de l'advection par une vitesse mal résolu. Cette quantification permet de fixer proprement des paramètres de la méthode d'advection Lagrangienne, de mieux le comprendre le phénomène de mélange et d'aider au paramétrage des simulations grande échelle en mécanique des fluides. / This thesis develops, analyzes and demonstrates several valuable applications of randomized fluid dynamics models referred to as under location uncertainty. The velocity is decomposed between large-scale components and random time-uncorrelated small-scale components. This assumption leads to a modification of the material derivative and hence of every fluid dynamics models. Through the thesis, the mixing induced by deterministic low-resolution flows is also investigated. We first applied that decomposition to reduced order models (ROM). The fluid velocity is expressed on a finite-dimensional basis and its evolution law is projected onto each of these modes. We derive two types of ROMs of Navier-Stokes equations. A deterministic LES-like model is able to stabilize ROMs and to better analyze the influence of the residual velocity on the resolved component. The random one additionally maintains the variability of stable modes and quantifies the model errors. We derive random versions of several geophysical models. We numerically study the transport under location uncertainty through a simplified one. A single realization of our model better retrieves the small-scale tracer structures than a deterministic simulation. Furthermore, a small ensemble of simulations accurately predicts and describes the extreme events, the bifurcations as well as the amplitude and the position of the ensemble errors. Another of our derived simplified model quantifies the frontolysis and the frontogenesis in the upper ocean. This thesis also studied the mixing of tracers generated by smooth fluid flows, after a finite time. We propose a simple model to describe the stretching as well as the spatial and spectral structures of advected tracers. With a toy flow but also with satellite images, we apply our model to locally and globally describe the mixing, specify the advection time and the filter width of the Lagrangian advection method, as well as the turbulent diffusivity in numerical simulations.