L'étude présentée se situe dans un contexte de création d'animations par ordinateur à l'aide de modèles dits "générateurs". Nous présentons un nouveau modèle d'objet déformables basé sur l'utilisation d'un système de particules orientées. Nous présentons également une méthode permettant de créer semi-automatiquement ces objets déformable à partir d'une définition volumique de la géometrie des objets. Les systèmes de particules, crées pour pallier les lacunes de la modélisation géométrique classique, ont aujourd'hui un vaste domaine d'application. Le concept de particule orientée a été développé en tant qu'outil pour la modélisation de surfaces tridimensionnelles quelconques. Après avoir proposé une solution originale au problème des oscillations inhérent à la modélisation par système de particules (orientées ou non), nous présentons des nouvelles lois d'interaction anisotrope qui nous permettent de spécifier les propriétés des surfaces modélisées (telles que les courbures) et par la même d'obtenir un modèle d'objet déformable. Une extension de cette technique utilisant une enveloppe définie par des surfaces implicites est aussi présentée. Nous proposons ensuite un algorithme de reconstruction d'objets avec des particules orientées a partir de données tridimensionnelles. L'espace est le lieu d'un champ scalaire, et la surface de l'objet est définie par une valeur remarquable de ce champ. A partir de quelques paramètres-utilisateur spécifiant la densité d'échantillonnage voulue, nous construisons automatiquement un modèle déformable de la surface de l'objet. L'utilisation de particules orientées nous permet aussi de définir un échantillonnage adapté en fonction de la courbure locale directionnelle de l'objet. Les interactions entre les particules sont automatiquement définies, ne laissant à l'utilisateur que quelques paramètres simples à régler pour spécifier le comportement dynamique de l'objet. Finalement, nous présentons les bases d'une approche innovante de modélisation de muscle. Les lois d'interaction entre les particules orientées sont définies et devront être modifiées de façon à copier le comportement du muscle, aussi bien dans ses variations de forme que dans les forces exercées.

Ma thèse porte sur l'étude de la distribution de processus stochastiques avec absorption et leur approximation. Ces processus trouvent des applications dans de nombreux domaines, tels que l'écologie, la finance ou les études de fiabilité. Nous étudions en particulier l'évolution en temps long de la distribution de processus de Markov avec absorption. La distribution limite d'un processus conditionné à ne pas être éteint au moment où on l'observe permet de décrire et d'expliquer des comportements non-triviaux, comme les plateaux de mortalité. Lorsqu'une telle distribution existe, elle est appelée distribution quasi-stationnaire. Dans le premier chapitre, nous rappelons et démontrons en toute généralités des propriétés propres à ces distributions. Dans les chapitres suivants, nous démontrons dans une grande généralité une méthode particulaire d'approximation des distributions de processus de Markov conditionnés à ne pas être absorbés et de leur limite distribution quasi-stationnaire. Des programmes en C++ ont été écrits afin d'implémenter numériquement l'approximation particulaire de distribution quasi-stationnaires de processus provenant de modèles biologiques, tels que les diffusions de Wright-Fisher et les diffusions de Lotka-Volterra. La méthode d'approximation démontrée dans cette thèse associée à des méthodes de couplage nous permet également d'obtenir des nouveaux résultats d'existence et d'unicité de distributions quasi-stationnaires, ainsi que de démontrer des propriétés de mélanges nouvelles pour les diffusions conditionnées à ne pas sortir d'un ouvert borné.

Le sujet de cette thèse est l'étude du rôle du bruit dans les systèmes interagissants, avec en vue des applications dans les systèmes biologiques. Cette étude est basée sur le modèle de Kuramoto, qui est un modèle d'oscillateurs uni-dimensionnels interagissants admettant une transition de phase de synchronisation, ainsi que sur certaines de ses généralisations. Une première partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin, K. Pakdaman et X. Pellegrin) est consacrée au modèle des "Active Rotators", une généralisation du modèle de Kuramoto, dans lequel chaque oscillateur a une dynamique propre, qui est peut être choisie excitable. Nous démontrons de manière rigoureuse que le système global peut avoir une dynamique très différente de celle d'un oscillateur isolé, en réduisant le problème à un problème de phase. On peut en particulier voir l'apparition de phénomènes périodiques. La deuxième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et E. Luçon) est consacrée à l'étude du modèle de Kuramoto bruité, dans la limite du faible désordre. Nous démontrons en particulier, dans le cas où le désordre n'est pas symétrique, l'existence d'une solution périodique et donnons un développement de sa vitesse. La troisième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et L. Bertini) est consacrée au comportement du modèle de Kuramoto en temps long (proportionnel au nombre d'oscillateurs): les oscillateurs conservent un profil synchronisé qui se déplace dans la limite d'une infinité d'oscillateurs suivant un mouvement Brownien. Enfin dans la dernière partie je me suis intéressé à la problématique de réduction de phase dans le cas du problème de sortie de potentiel, pour des modèle proches de la réversibilité.

Dans cette thèse nous nous intéressons principalement aux comportements diffusifs et à la vitesse de convergence vers l'équilibre au sens de la variance de différents modèles de systèmes de particules interagissantes ainsi qu'à un problème de percolation. Nous commençons par introduire informellement le premier sujet. Dans l'étude des systèmes dynamiques, un processus de Markov apériodique et irréductible admettant une mesure invariante converge vers celle-ci en temps long. Dans ce travail, nous nous intéressons ici à la quantification de la vitesse de cette convergence en étudiant la variance du semigroupe associé à la dynamique appliqué à certains ensembles de fonctions. Deux vitesses de convergence sont envisagées ici : la vitesse de de convergence exponentielle impliquée par un trou spectral dans le générateur du processus; une vitesse de convergence polynomiale dite diffusive lorsque le trou spectral est nul.Dans le deuxième chapitre, nous nous étudions le modèle de marche aléatoire en milieu aléatoire et nous prouvons dans ce cadre une vitesse de décroissance de type diffusive.Dans le troisième chapitre, nous étudions le modèle d'exclusion simple à taux dégénérés en dimension 1 appelé ka1f. Nous prouvons des bornes sur le trou spectral en volume fini et une vitesse de décroissance sous-diffusive en volume infini.Dans le quatrième chapitre, nous étudions un modèle à spins non bornés. Nous prouvons une correspondance entre la covariance de l'évolution de deux masses et une marche aléatoire en milieu aléatoire dynamique. Dans le dernier chapitre, nous nous intéressons à un modèle de percolation et à l'étude d'une conjecture étudiant la distance de graphe au sens de la percolation. / In this thesis, we are interested mainly by the diffusive behaviours and the speed of convergence towards equilibrium in the sense of the variance of different models of interacting particles systems and a problem of percolation.We start by introducing unformally the first subject of interest. In the study of dynamic systems, a markov process aperiodic and irreducible having an invariant measure converges towards it in a long time. In this work, we are interested to quantify the speed of this convergence by studying the variance of the semigroup associated to the dynamic applied to some set of functions. Two speeds of convergence are considered: the exponential speed of convergence implied by a spectral gap in the generator of the process; a polynomial tome of convergence called diffusive when the spectral gap is null.In the second chapter, we study the model of random walk in random environment and we prove in this context a diffusive behavior of the speed of convergence.in the third chapter, we study the simple exclusion process with degenerate rates in dimension 1 called ka1F. We prove bounds on the spectral gap in finite volume and a sub-diffusive behavior in infinite volume. In the fourth chapter, we study an unbounded spin model. We prove a relation betweden the covariance of the evolution of two masses and a random walk in a dynamic random environment.In the last chapter, we are interested in the model of percolation and the study of a conjecture studying the distance of graph in the sense of the percolation.

Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties relativement indépendantes.Dans la première partie, nous reprenons le problème de la définition d'une classe de processus markoviens à une infinité de coordonnées (systèmes de particules en interaction). Nous en proposons une construction ne mettant en jeu ni d'analyse fonctionnelle (ou peu), ni de problème de martingale. Ceci est fait en utilisant des outils probabilistes élémentaires, notamment des couplages adéquats. On fait pour cela une certaine hypothèse sur les taux individuels de transition, qui a été déjà exploitée dans la construction de T. M. Liggett (1972) notamment. Notre construction a l'avantage d'expliquer, plus concrètement que dans les autres constructions, le caractère naturel de cette hypothèse.Dans une seconde partie, nous considérons un modèle de croissance cristalline introduit par D. J. Gates et M. Westcott en 1987, où des particules du milieu environnant s'agrègent à la surface d'un cristal à maille carrée. Le modèle est caractérisé par des taux de déposition en chaque site qui prennent une certaine forme. Nos résultats portent principalement sur la question de la récurrence et de la récurrence positive de la surface du cristal en fonction de certains paramètres. Nous montrons notamment l'existence d'une zone de paramètres dans laquelle transience et récurrence positive coexistent, et suspectée de présenter un phénomène critique. / The results of this thesis are organized in three parts that are nearly independent.In the first part, we treat the problem of the defintion of a class of Markov processes with infinitely many coordinates, namely interacting particle systems. We propose a construction involving neither functional analysis, nor martingale problems. This is done using elementary probabilistic tools, such as proper couplings. Our technique requires a certain assumption on the jump rates which is, up to a slight generalization, the one used in T. M. Liggett's construction. Our construction has the advantage to give more intuition on the necessity of this assumption.In the second part, we consider a crystal growth model proposed by D. J. Gates and M. Westcott in 1987, where floating particles are packed on the surface of a square-lattice crystal, with prescribed deposition rates. We treat the question of the recurrence and positive recurrence of the interface, according to the value of certain parameters. We study especially a zone of parameters where transience and positive recurrence coexist. In this zone a critical phenomenon is suspected to occur.The third part deals with the question of the convergence in law for the subcritical contact process (on ZZ) seen from the edge, starting from a half-line of occupied sites. First we give an alternative proof of a recent result by E. D. Andjel, stating that convergence holds in a closely related discrete-time model. In continuous time we establish that the finite contact process seen from the edge has a Yaglom limit.

Nous étudions des méthodes d'approximation particulaire de solutions d'équations aux dérivées partielles décrivant l'état macroscopique de certains systèmes physiques. Elles consistent en l'introduction d'un grand nombre N de particules fictives évoluant selon des équations différentielles couplées, ordinaires ou stochastiques, dans un sens plus simple à résoudre que l'équation macroscopique; l'état de ce système de particules est décrit par une mesure de probabilité, dite mesure empirique. La validité de la méthode est donnée par la convergence, quand N tend vers l'infini, de cette mesure empirique vers la solution macroscopique originale, appelée limite de champ moyen. Nous cherchons principalement à en donner des estimations explicites, quantifiant ainsi la précision de l'approximation.<br /><br />Dans ce cadre nous étudions l'approximation des équations de transport de Vlasov et d'Euler par des systèmes de particules déterministes en interaction. Le problème de la convergence de la méthode se ramène à un problème de stabilité de solutions que nous traitons par des propriétés de type contraction pour des distances (de Wasserstein) liées à la théorie du transport optimal de mesures. Nous établissons aussi une propriété analogue de contraction pour des lois de conservation scalaires. <br /><br />Nous étudions également l'approximation d'équations de diffusion de McKean-Vlasov par des systèmes de particules stochastiques. Nous en donnons l'erreur de manière quantitative à l'aide de techniques de couplage, d'estimations de propagation du chaos et d'inégalités de concentration ou de déviation.<br /><br />De façon plus systématique nous nous intéressons à de telles inégalités de concentration pour des mesures de probabilité et à leurs relations avec des inégalités de transport (liant distances de Wasserstein et entropie) et de Sobolev logarithmiques. En particulier nous établissons de telles inégalités pour certaines classes de lois de variables dépendantes.

Selon les domaines d'applications, différentes façons de modéliser le partage de ressources ont été envisagées. Un des premiers modèles apparus est issu du "Dining Philosophers Problem" de Dijkstra, généralisé par la suite par Chandy et Misra à travers le "Drinking Philosophers Problem". Nous nous intéressons à des versions markoviennes de ces situations, dans lesquelles les durées pour la prise et l'utilisation des ressources sont aléatoires. L'évaluation puis l'optimisation des performances des systèmes de ressources partagées nous conduit à étudier l'équilibre de ces modèles. Cette étude s'inscrit dans le contexte des propriétés de Markov des champs aléatoires sur les graphes dont nous présentons quelques résultats généraux. Nous utilisons également le formalisme des systèmes de particules. Nous introduisons une nouvelle classe de modèles markoviens de ressources partagées pour lesquels nous généralisons des outils classiques. Nous présentons des résultats de réversibilité et envisageons des techniques de comparaison stochastique. Pour des systèmes finis, nous donnons quelques calculs explicites de mesures d'équilibre. Des systèmes qui augmentent en taille et en complexité peuvent être approchés par des systèmes infinis. Pour des systèmes sur des graphes infinis construits à partir d'un arbre, nous mettons en évidence des phénomenes de transition de phase.

Utilisés dans de nombreux domaines scientifiques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abrégés en PCA, de l'anglais "Probabilistic Cellular Automata", constituent, au sein des dynamiques aléatoires à temps discret, une classe de systèmes infinis de particules, c'est à dire de processus stochastiques markoviens à valeurs dans un espace infini S^G où S désigne un ensemble fini et G est un graphe infini. On considère ici toujours le cas où G=Z^d. La particularité de ces dynamiques est l'évolution en parallèle, ou synchrone, de chacune des coordonnées ou composants élémentaires en interaction. Nous nous intéressons dans un premier temps à l'existence et à l'unicité des mesures stationnaires pour les dynamiques PCA non dégénérées i.e. dont le comportement local n'est jamais déterministe, ainsi qu'à la caractérisation de ces états d'équilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les résultats de Dai Pra, Kozlov, Künsch, Lebowitz, Vasilyev et al., nous précisons, pour la classe des dynamiques PCA réversibles, les relations existant entre les mesures stationnaires, les mesures réversibles et les mesures de Gibbs associées à un potentiel dont le lien avec la dynamique est explicité. Pour une famille paramétrée de dynamiques PCA réversibles, nous démontrons l'existence d'un phénomène de transition de phase et explicitons dans ce cas le comportement de différentes mesures de Gibbs sous l'action de ces dynamiques. En particulier, nous exhibons des mesures de Gibbs non-stationnaires. Dans un second temps, nous étudions l'ergodicité, i.e. la convergence vers l'équilibre des dynamiques PCA qui sont de plus attractives. Nous construisons à cet effet un couplage de ces dynamiques préservant l'ordre stochastique. En nous référant aux travaux de Martinelli et Olivieri pour les dynamiques de Glauber, nous établissons qu'en l'absence de transition de phase, dès que l'unique mesure de Gibbs vérifie une condition de faible mélange, il y a ergodicité et convergence à vitesse exponentielle vers cet unique état d'équilibre, améliorant en cela grandement les critères d'ergodicité pour les PCA existant dans la littérature. Enfin, nous illustrons ces résultats par la réalisation de simulations numériques de certaines des dynamiques réversibles précédemment étudiées, et présentons un algorithme parallèle convergeant vers les mesures de Gibbs extrémales du modèle d'Ising.

Cette thèse porte sur une approche probabiliste de l'équation de Landau, aussi appelée équation de Fokker-Planck-Landau. Cette équation aux dérivées partielles a été obtenue comme limite asymptotique d'équations de Boltzmann lorsque les collisions rasantes deviennent prépondérantes dans un gaz. Elle décrit le comportement de la densité de particules ayant la même vitesses au même instant (on considère ici le ca s spatialement homogène). Cette équation a été jusqu'à maintenant étudiées par des méthodes d'analyse, ce travail propose une nouvelle approche. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'existence de solution de l'équation de Landau pour des gaz dit de 'potentiels modérément mous'. L'existence de mesures de probabilité solutions est obtenue par des outils du calcul stochastique. Pour des gaz plus particuliers, il y a en fait unicité de la solution et, grâce au calcul de Malliavin, on en déduit l'existence d'une densité solution de l'équation de Landau. L'approche probabiliste permet d'avoir des conditions initiales assez générales. La seconde partie de la thèse donne une interprétation probabiliste du lien entre les équations de Boltzmann et de Landau. Tout d'abord, les résultats d'existence de solutions au sens probabiliste de l'équation de Boltzmann sont étendus aux 'potentiels modérément mous'. Puis, on montre la convergence de ces solutions vers une solution de l'équation de Landau lorsque les collisions deviennent rasantes dans le gaz. Enfin, dans le cas particulier d'un gaz de Maxwell, la convergence ponctuelle des densités est obtenue en utilisant les techniques du calcul de Malliavin. L'approche probabiliste permet une meilleure compréhension du passage Boltzmann - Landau et permet de le simuler à l'aide d'un système de particules. Quelques simulations sont présentées dans cette thèse.

Cette thèse porte sur la modélisation et l'evaluation d'algorithmes de transfert de charge dans des systèmes parallèles et/ou distribués. Après une synthèse des différentes approches possibles du transfert de charge et des problèmes rencontres pour leurs mises en oeuvre et leurs évaluations quantitatives, nous développons plusieurs modèles basés sur une évolution markovienne de la configuration des charges de l'ensemble des processeurs. Les indices de performance étudiés afin de comparer les valeurs obtenues avec transfert et sans transfert sont la saturation mémoire, le débit du système, la charge de travail et le temps de réponse moyen. Dans les deux premiers modèles seuls deux sites se transfèrent des tâches, mais les temps de communication et de transfert sont modélisés. Des valeurs critiques concernant la pertinence ou non du transfert sont obtenues. Lorsque les temps de communication et de transfert sont négligés devant les temps de calculs, deux modèles sont étudies. Le premier permet d'évaluer un algorithme d'équilibrage de charge pour un nombre quelconque de sites homogènes totalement connectés, de capacité mémoire finie. Cette étude permet de prévoir le comportement de systèmes massivement parallèles et des bornes supérieures de bénéfices que l'on peut attendre d'un réel transfert sont explicitées. Le deuxième prend en compte l'architecture du réseau et l'algorithme induit un transfert dés que la différence de charge entre deux sites voisins excède un. Dans le cas de réseaux infinis dont la topologie est régulière, ce modèle est ergodique et converge à vitesse exponentielle vers son régime stationnaire. Des résultats de simulations sont présentés pour différentes architectures et comparés aux solutions des équations de champ moyen, qui donnent de très bonnes approximations dans la plupart des cas pour les quantités d'intérêt pratique. Enfin, l'incidence sur la valeur des indices de performance est étudiée et interprétée.