Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Clotilzio Moreira dos Santos / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Resumo: O objetivo deste trabalho e demonstrar o Teorema de Kronecker-Weber de uma forma mais elementar, usando o artigo "An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem". O trabalho traz como aplicação uma fórmula para o cálculo do condutor de um corpo de números abeliano / Abstract: The objective of this work is to demonstrate the Kronecker-Weber Theorem in a form more elementary, using article "An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem". Application as the work gives a formula for calculating the conductor of a eld of numbers abelian. / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2012-02-24Bitstream added on 2014-06-13T19:06:35Z : No. of bitstreams: 1 mendonca_acm_me_sjrp.pdf: 653758 bytes, checksum: 032e92ad4ceaecd8b97859ec301bd326 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo deste trabalho e demonstrar o Teorema de Kronecker-Weber de uma forma mais elementar, usando o artigo An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem. O trabalho traz como aplicação uma fórmula para o cálculo do condutor de um corpo de números abeliano / The objective of this work is to demonstrate the Kronecker-Weber Theorem in a form more elementary, using article An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem. Application as the work gives a formula for calculating the conductor of a eld of numbers abelian.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:18Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-02-22Bitstream added on 2014-06-13T20:28:31Z : No. of bitstreams: 1 tenorio_w_me_sjrp.pdf: 1508167 bytes, checksum: 36530f0c3764378ac3058a557c3597e5 (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / O objetivo deste trabalho é apresentar resultados sobre modularidade de reticulados. Mais especificamente, apresentamos as propriedades de um reticulado modular num espaço euclidiano arbitrário e a relação entre as theta séries de reticulados modulares pares e formas modulares. Além disso, apresentamos o estudo de modularidade em reticulados ideais fornecendo condições de existência, construções e caracterização de reticulados ideais modulares para graus especiais em corpos ciclotômicos / The aim of this work is to show results about modularity of lattices. More specifically, we show the properties of a modular lattice in an arbitrary Euclidean space and the relationship between theta series of even modular lattices and modular forms. Moreover, we show the study of modularity in ideal lattices giving existence conditions, constructions and characterization of modular ideal lattices for special levels over cyclotomic fields

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Trajano Pires da Nóbrega Neto / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Resumo: Esta dissertação apresenta o anel de inteiros de corpos quadráticos, de corpos ciclotômicos, de alguns subcorpos ciclotômicos e de corpos de números abelianos com o objetivo de utilizá-los na produção de reticulados algébricos, os quais são aplicados a teoria da Informação e a teoria dos Códigos Corretores de Erros. O texto desenvolve conceitos básicos sobre Álgebra e Teoria Algébrica dos Números, estuda bases integrais de corpos de n umeros sob dois diferentes aspectos, caracteriza o anel de inteiros dos corpos de números referidos anteriormente e apresenta algumas aplicações dessa teoria aos reticulados algébricos. Os teoremas centrais demonstrados nesta dissertação são o Teorema de Hilbert-Speiser e o Teorema de Leopoldt-Lettl. Este fornece o anel de inteiros de qualquer corpo de números abeliano, generalizando aquele. Esta dissertação possui um capítulo dedicado a demonstração do Teorema de Leopoldt-Lettl de maneira detalhada. Além disso, este trabalho faz uma análise sobre a monogênese de alguns anéis de inteiros e apresenta um contraexemplo de anel de inteiros não monogênico. O último capítulo e dedicado aos reticulados e mostra exemplos de reticulados algébricos construídos nos espaços de dimensões 2, 4, 6 e 8 via o homomorfismo de Minkowski em ideais de anéis de inteiros de corpos de números. O trabalho que originou esta dissertação consistiu principalmente na pesquisa e no detalhamento das demonstrações do Teorema de Leopoldt-Lettl e de três teoremas relacionados ao tema da monogênese de anéis de inteiros. Este empenho deu origem a um desenvolvimento mais claro e menos compacto das demonstrações relacionadas a esses assuntos, o qual e apresentado no texto. Enfim, este trabalho reúne e oferece um grande aparato teórico que tem sido útil ao desenvolvimento da teoria dos reticulados algébricos e que cria a expectativa de sua utilização em futuras aplicações / Abstract: This master thesis presents the rings of integers of quadratic elds, cyclotomic elds, some cyclotomic sub elds and abelian number elds aiming use them to produce algebraic lattices, which are applied in the Information Theory and in the Error Correcting Codes Theory. The text develops basic concepts about Algebra and Algebraic Number Theory, studies integral basis of number elds from two di erent perspectives, characterizes the ring of integers of the aforementioned number elds and presents some applications of this theory to algebraic lattices. The main proven theorems in this thesis are Hilbert-Speiser Theorem and Leopoldt-Lettl Theorem. The second provides the ring of integers of any abelian number eld, generalizing the rst. This thesis has a chapter dedicated to make the proof of the Leopoldt-Lettl Theorem in detail. Furthermore, this work analyses the monogenesis of some ring of integers and presents a counterexample of a ring of integers non-monogenic. The last chapter is aimed at lattices and shows examples of algebraic lattices in spaces of dimensions 2, 4, 6 and 8 constructed by ideals of ring of integers of number elds through Minkowski homomorphism. The work that created this thesis consisted mainly in research and detailing of the proofs of Leopoldt- Lettl Theorem and of three theorems linked to the issue of monogenesis of the ring of integers. This e ort created a development lighter and less compact of the proofs related to these subjects, which is presented in the text. Finally, this thesis gathers and provides a great theoretical apparatus that has been useful to development of the theory of algebraic lattices and that creates the expectation of its use in future applications in this area / Mestre

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Banca: Edson Donizete de Carvalho / Banca: Clotilzio Moreira dos Santos / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar resultados sobre modularidade de reticulados. Mais especificamente, apresentamos as propriedades de um reticulado modular num espaço euclidiano arbitrário e a relação entre as theta séries de reticulados modulares pares e formas modulares. Além disso, apresentamos o estudo de modularidade em reticulados ideais fornecendo condições de existência, construções e caracterização de reticulados ideais modulares para graus especiais em corpos ciclotômicos / Abstract: The aim of this work is to show results about modularity of lattices. More specifically, we show the properties of a modular lattice in an arbitrary Euclidean space and the relationship between theta series of even modular lattices and modular forms. Moreover, we show the study of modularity in ideal lattices giving existence conditions, constructions and characterization of modular ideal lattices for special levels over cyclotomic fields / Mestre

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Desde o advento da escrita, o envio de mensagens secretas tem sido uma importante maneira de guardar sigilo de informaÃÃes confidenciais. A arte de elaborar mensagens a partir de cÃdigos secretos surge na figura da criptografia que, com o passar do tempo, estende os seus serviÃos Ãs transaÃÃes comerciais realizadas pela internet. O principal algoritmo utilizado pela internet recebe o nome de RSA. Assim, a criptografia RSA codifica nÃmeros de cartÃes de crÃditos, senhas de bancos, nÃmeros de contas e utiliza para isso elementos de uma importante Ãrea da MatemÃtica: a Teoria dos NÃmeros. / Since the advent of writing, sending secret messages has been an important way to maintain confidentiality of sensitive information. The art of crafting messages from secret codes appears in the figure of encryption that over time extends its services to commercial transactions over the Internet. The main algorithm used by the internet is called RSA. Thus, the RSA Encryption encodes credit card numbers, bank passwords, account numbers and uses for that elements of an important area of mathematics: number theory.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O pi à um nÃmero de natureza singular, pois muitos homens em diversos momentos histÃricos se detiveram a calculÃ-lo e estudÃ-lo. CÃrculos podem ser vistos em quase todos os lugares, e como consequÃncia, o pi tambÃm. Por estar tÃo presente na realidade, muitos foram os matematicos que se dedicaram ao estudo desse nÃmero e de seu valor numÃrico. Este trabalho, fruto de muita pesquisa, mostrarà muitos dos diversos caminhos que os matemÃticos fizeram para encontrarem uma aproximaÃÃo para pi . Trataremos tambÃm neste trabalho as curiosas descobertas envolvendo este nÃmero, os famosos problemas em torno dele, assim como tambÃm os diversos mÃtodos que foram usados para calculÃ-lo. A busca pelo valor numÃrico de pi levou os matemÃticos a suporem sua irracionalidade, que posteriormente fora provada e tambÃm serà feita aqui. Finalizaremos tratando de como podemos calcular de uma maneira diferenciadana sala de aula. / pi is a number of singular nature because several men in different historical moments lingered themselves to calculate and study it. Circles can be seen in almost all places, and as a consequence, so can pi. Due to being so present in the reality, a huge number of mathematicians devoted themselves to the study of this number and its numerical value. This work, result of much research, will show many of the different ways that the mathematicians took to find an approximation for pi. We will also approach in this work the curious founds involving this number, the famous problems around it as well as the diverse methods which were used to calculate it. The search for the numerical value took the mathematicians to assume its irrationality which was proved afterwards and will be done here. We will finish approaching how we can calculate pi in the classroom in a different way.

Orientador: Antonio Aparecido de Andrade / Coorientador: Trajano Pires da Nobrega Neto / Banca: Cleonice Fátima Bracciali / Banca: Reginaldo Palazzo Jr / Banca: Sueli Irene Rodrigues Costa / Banca: Carlile Campos Lavor / Resumo: Este trabalho esta relacionado com a Teoria Algébrica dos Números e aplicações em Reticulados Ideais. Descrevemos os corp os cujo condutor e potência de primo. Quando o primo e dois, descrevemos tamb em o anel de inteiros. Quando o primo e mpar calculamos o discriminante de um modo alternativo ao existente na literatura. Neste caso, e quando o corpo tem como grau o pr oprio primo mpar, descrevemos o anel de inteiros com uma base integral e a forma traço associada, além do mínimo euclidiano. Com isso, obtemos uma família de reticulados ideais de dimensão prima ímpar / Abstract: This work is relate to Algebric Number Theory and applications in Ideal Lattices. We describ e numb er elds with p ower prime conductor. In the case prime two, we showed the ring of integers. For o dd prime, we give a new pro of for formula of discrimanate. In the case that the the degree of the eld is the o dd prime, we describ e the ring of integers, the trace form asso ciated and the Euclidean minimum. With this, we have a family of ideal lattices in odd prime dimension / Doutor

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:27Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2012-08-02Bitstream added on 2014-06-13T18:40:35Z : No. of bitstreams: 1 favaro_er_dr_sjrp.pdf: 449730 bytes, checksum: 66f6b6e8876e035dcd2e6aa8db337bbd (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Este trabalho esta relacionado com a Teoria Algébrica dos Números e aplicações em Reticulados Ideais. Descrevemos os corp os cujo condutor e potência de primo. Quando o primo e dois, descrevemos tamb em o anel de inteiros. Quando o primo e mpar calculamos o discriminante de um modo alternativo ao existente na literatura. Neste caso, e quando o corpo tem como grau o pr oprio primo mpar, descrevemos o anel de inteiros com uma base integral e a forma traço associada, além do mínimo euclidiano. Com isso, obtemos uma família de reticulados ideais de dimensão prima ímpar / This work is relate to Algebric Number Theory and applications in Ideal Lattices. We describ e numb er elds with p ower prime conductor. In the case prime two, we showed the ring of integers. For o dd prime, we give a new pro of for formula of discrimanate. In the case that the the degree of the eld is the o dd prime, we describ e the ring of integers, the trace form asso ciated and the Euclidean minimum. With this, we have a family of ideal lattices in odd prime dimension

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-04-30Bitstream added on 2014-06-13T19:55:22Z : No. of bitstreams: 1 nunes_rso_me_sjrp.pdf: 433378 bytes, checksum: 58b9cb2328012880486c9f1011d4714a (MD5) Bitstreams deleted on 2014-12-19T18:32:50Z: nunes_rso_me_sjrp.pdf,Bitstream added on 2014-12-19T18:33:36Z : No. of bitstreams: 1 000592541.pdf: 548568 bytes, checksum: df983105ba2c1be9b281439d3ea72a48 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Dado um número inteiro positivo d, encontrar um corpo de grau d que tenha, em valor absoluto, o menor discriminante é um problema clássico e poucos resultados se tem até hoje no sentido de se resolver tal desafio. O principal interesse deste trabalho consiste em estudar o problema acima sobre os corpos de números Abelianos, particularmente aqueles de grau primo. Para tanto será preciso dominar algumas técnicas referentes ao cálculo do discriminante de corpos de números, em especial, dos corpos Abelianos. / Given a positive interger d, finding a field of degree d which has, to absolute value, the smallest discriminant it is a classical problem and few results has been got until at present time, to solve this challenge. The main purpose of this paper it is to study the problem above on Abelian numbers fields in special that ones of prime degree. However, it is necessary to know any techniques for calculating the numbers fiel discriminant, specially, to Abelian fields.