L'etude et la comprehension de phenomenes naturels qu'il<br />semble difficile de predire, tels les<br />tremblements de terre et les raz de maree intriguent depuis quelques<br />temps un certain nombre de physiciens. En effet, il semble que les<br />modeles classiques bases sur des fonctions d'etat continues<br />peuvent difficilement expliquer les phenomenes observes.<br /><br />En 1987, Bak, Tang et Wiesenfeld introduisent un modele base<br /> sur un automate particulier dont l'etude experimentale montre<br /> des caracteristiques proches de celles observees pour des<br /> tremblements de terre. Cet automate est appele automate du tas de sable.<br /><br /> En 1990, Dhar, Ruelle, Sen et<br />Verma etudient les proprietes mathematiques<br />de l'automate du tas de sable. Cet article jette les bases d'une théorie algebrique et combinatoire des<br />etats critiques du systeme en montrant que ceux-ci forment un<br />groupe abelien fini.<br /><br />Cette these porte essentiellement sur l'etude de ce groupe d'un<br />point de vue algorithmique, combinatoire et algebrique. Nous<br />etudions dans un premier temps la complexite de l'operateur de<br />groupe. Puis nous etudions le groupe sur quelques familles de<br />graphes connues avant de montrer que le groupe d'un graphe planaire<br />est isomorphe au groupe de chacun de ses duaux geometriques.<br /><br />Nous montrons comment associer à un groupe abelien fini un<br />idéal de polynomes et dans le cas du groupe du Tas de Sable, nous<br />donnerons une caracterisation de l'operateur de groupe en terme de<br />reduction de polynome.

On s'intéresse à deux classes de chaînes de Markov combinatoires. On commence avec les chaînes de Markov de Jonglage, inspirées du modèle de jonglage introduit par Warrington, pour lesquelles on définit des généralisations multivariées des modèles existants. On en calcule les mesures stationnaires et les facteurs de normalisation que l'on exprime par des formules explicites. On s'intéresse également au cas limite où la hauteur maximale à laquelle le jongleur peut lancer ses balles tend vers l'infini. On propose alors une reformulation de la chaîne de Markov en termes de partitions d'entiers, ce qui permet aussi de définir un modèle où le jongleur manipule une infinité de balles. Les preuves sont obtenues en utilisant une chaîne enrichie sur les partitions d'ensembles. On exhibe également, pour l'un des modèles, une propriété de convergence ultrarapide : la mesure stationnaire y est atteinte en un nombre fini d'étapes. Dans le Chapitre suivant, on s'intéresse à des généralisations multivariées de ces modèles : on considère cette fois un jongleur manipulant des balles de différents poids, et lorsqu'une balle entre en collision avec une balle plus légère, cette dernière est éjectée vers le haut, pouvant à son tour en heurter une autre plus légère, jusqu'à ce qu'une balle atteigne l'emplacement le plus élevé. On donnera ici encore une formule explicite pour les mesures stationnaires et les facteurs de normalisation. Dans le dernier Chapitre, on s'intéresse cette fois au modèle du tas de sable stochastique, pour lequel on démontre une conjecture posée par Selig, selon laquelle la mesure stationnaire ne dépend pas de la loi d'ajout des grains de sable. / We consider two types of combinatoric Markov chains. We start with Juggling Markov chains, inspired from Warrington's model. We define multivariate generalizations of the existing models, for which we give stationary mesures and normalization factors with closed-form expressions. We also investigate the case where the maximum height at which the juggler may send balls tends to infinity. We then reformulate the Markov chain in terms of integer partitions, which allows us to consider the case where the juggler interacts with infinitely many balls. Our proofs are obtained through an enriched Markov chain on set partitions. We also show that one of the models has the ultrafast convergence property : the stationary mesure is reached after a finite number of steps. In the following Chapter, we consider multivariate generalizations of those models : the juggler now juggles with balls of different weights, and when a heavy ball collides with a lighter one, this light ball is bumped to a higher position, where it might collide with a lighter one, until a ball reaches the highest position. We give closed-form expressions for the stationary mesures and the normalization factors. The last Chapter is dedicated to the stochastic sandpile model, for which we give a proof for a conjecture set by Selig : the stationary mesure does not depend on the law governing sand grains additions.

Les forces de contact dans un milieu granulaire se répartissent de façon très inhomogène en un réseau de "chaînes de forces" qui supporte la plus grosse partie des contraintes. Il est primordial de bien comprendre l'influence du désordre des forces à l'échelle du grain sur les propriétés d'équilibre mécanique d'un milieu granulaire à l'échelle macroscopique.<br /><br />La mesure de forces dans un milieu granulaire est délicate à cause d'un couplage fondamental entre les déformations du capteur et la mobilisation des forces de friction entre grains ou entre grains et paroi. Cependant, en définissant proprement le protocole de mesure, nous avons pu améliorer de façon très significative la reproductibilité des résultats en comparaison des mesures que l'on trouve dans la littérature.<br /><br />Nous nous sommes intéressé aux liens qui existent entre la structure de l'empilement granulaire et la répartition des contraintes. Sous l'effet d'un cisaillement ou de vibrations, l'équilibre d'une colonne granulaire dans un silo évolue considérablement ainsi que la structure de l'empilement comme le révèlent des mesures de densité moyenne et locale. Sous le sommet d'un tas de sable formé par écoulement des grains en avalanches, j'ai observé très clairement un minimum ou "trou" de pression, alors que la pression est maximum si les grains sont déposés en couches horizontales. Nous avons aussi mesuré les fluctuations résiduelles de la pression en fonction de la taille des grains ou de la hauteur de remplissage du silo et ai observé que leur dépendance avec la taille des grains montrent une régression statistique anormale en comparaison de celle déduite de la distribution des forces à l'échelle du grain.<br /><br />La plupart des observations sont qualitativement et quantitativement bien reproduites par le modèle OSL dans lequel les contraintes se propagent selon deux directions dont l'une s'identifie à la direction moyenne des chaînes de forces. La notion de propagation anisotrope de forces permet de comprendre la distribution de pression sous un tas ou la forme de la courbe de saturation de la pression dans un silo, y compris les oscillations de la pression en présence d'une surcharge.<br /><br />Nous avons proposé en outre un modèle de durcissement d'arches qui permet d'expliquer l'existence d'un mode d'écoulement fragmentaire après renversement d'un tube rempli de grains et met en évidence le rôle non négligeable de l'élasticité des parois.

Cette thèse est dédiée à l'étude de divers problèmes se situant à la frontière entre combinatoire et théorie des probabilités. Elle se compose de deux parties indépendantes : la première concerne l'étude asymptotique de certaines familles de \cartes" (en un sens non traditionnel), la seconde concerne l'étude d'une extension stochastique naturelle d'un processus dynamique classique sur un graphe appelé modèle du tas de sable. Même si ces deux parties sont a priori indépendantes, elles exploitent la même idée directrice, à savoir les interactions entre les probabilités et la combinatoire, et comment ces domaines sont amenés à se rendreservice mutuellement. Le Chapitre introductif 1 donne un bref aperçu des interactions possibles entre combinatoire et théorie des probabilités, et annonce les principaux résultats de la thèse. Le Chapitres 2 donne une introduction au domaine de la convergence des cartes. Les contributions principales de cette thèse se situent dans les Chapitres 3, 4 (pour les convergences de cartes) et 5 (pour le modèle stochastique du tas de sable). / This Thesis studies various problems located at the boundary between Combinatorics and Probability Theory. It is formed of two independent parts. In the first part, we study the asymptotic properties of some families of \maps" (from a non traditional viewpoint). In thesecond part, we introduce and study a natural stochastic extension of the so-called Sandpile Model, which is a dynamic process on a graph. While these parts are independent, they exploit the same thrust, which is the many interactions between Combinatorics and Discrete Probability, with these two areas being of mutual benefit to each other. Chapter 1 is a general introduction to such interactions, and states the main results of this Thesis. Chapter 2 is an introduction to the convergence of random maps. The main contributions of this Thesis can be found in Chapters 3, 4 (for the convergence of maps) and 5 (for the Stochastic Sandpile model).

Résumé non disponible

Cette thèse s'intéresse dans un premier temps aux automates cellulaires réversibles, et dans un second temps aux tas de sable linéaires. Nous construisons diverses simulations reliant les automates cellulaires aux automates à partitions, en particulier celle des automates cellulaires réversibles par les automates à partitions réversibles, ce qui était une conjecture depuis 1990. Par des constructions successives, nous montrons que le ``Billiard ball model'' de Toffoli et Margolus est capable de simuler tous les automates à partitions réversibles de dimension 2. En rassemblant ces résultats, nous montrons qu'il existe des automates cellulaires réversibles capables de simuler tous les automates cellulaires réversibles de même dimension. Dans un espace linéaire, ``Tas de sable'' et ``Chip firing game'' sont équivalents. Nous portons notre attention sur le cas où les grains tombent un à un. Des motifs délimités par des signaux apparaissent au sein des configurations engendrées. Nous étudions la dynamique du système et démontrons un équivalent asymptotique. Nous étendons nos méthodes et nos résultats à d'autres types de configurations initiales. Dans chaque cas étudié, le temps parallèle est inférieur au temps séquentiel dans un rapport de l'ordre du nombre de piles mises en œuvre.

Le modèle du tas de sable est un modèle de diffusion discret et isotrope introduit par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld comme illustration de la criticalité auto-organisée. Pour tout graphe, souvent supposé fini, Dhar a formalisé de nombreuses propriétés simplifiant son analyse. Cette thèse propose des études de ce modèle sur la grille bidimensionnelle usuelle et certains de ses sous-graphes également infinis que sont les bandes bi-infinies de hauteur finie. Des approximations du comportement de la pile de sable peuvent se rapprocher de certains modèles de bootstrap percolation avec un support de stabilisation rectangulaire. Les lois sur son demi-périmètre peuvent se décrire à l’aide de statistiques sur les permutations. Un sous-produit de ce travail fait apparaître une différence de deux séries génératrices comptant des permutations selon deux statistiques mahoniennes classiques dont est extrait un polynôme à coefficients entiers et surtout positifs. La suite de cette thèse revisite dans le cadre de ces graphes infinis, des structures jusque-là bien définies uniquement dans le cas des graphes finis, notamment la récurrence. Dans le modèle sur une bande de hauteur finie H, l’existence donnée par Járai et Lyons d’automates finis reconnaissant les configurations récurrentes lues colonne par colonne est étendu par une construction explicite d’automates avec un nombre moindre d’états, se rapprochant de la conjecture de Gamlin. Dans une seconde approche, l’étude se concentre sur les configurations sur la grille entière qui sont périodiques dans les deux directions. Le puits, un sommet du graphe garantissant la terminaison de la stabilisation, est placé à l’infini dans une direction de pente rationnelle. Ceci permet à la fois de préserver la bipériodicité et de proposer une forme affaiblie du critère de Dhar caractérisant ainsi par un algorithme effectif les configurations récurrentes. Ces configurations récurrentes bipériodiques sont des candidates naturelles pour être les éléments de sous-groupes finis de l’éventuel groupe du tas de sable sur la grille. Des éléments de construction de cette loi de groupe donnent expérimentalement quelques sous-groupes finis. / The sandpile model is a discrete model for diffusion of grains on a graph introduced by physicists Bak, Tang and Wiesenfeld as an illustration for self-organised criticality. For any finite graph, Dhar identified many of its numerous structures which simplify its analysis. This thesis focus on the usual square lattice and its subgraphs which are strips of height H, both notions of infinite graphs. Approximations on the behaviour of the stabilisation of a large stack of grains at the origin of the square lattice lead to some random distribution of grains, which stabilisation is connected to some models of bootstrap percolation where modified vertices by this stabilisation forms a rectangle. The laws of the half-perimeter of this rectangle are described by statistics on permutations. As a byproduct, the difference between the generating functions over some permutations of two classical mahonian statistics on permutations appears to mainly be a polynomial with coefficients which are integers and especially positive. Then, this thesis visits in the case of the studied infinite graphs some well-defined structures on finite graphs, in particular the recurrence. In the model on an horizontal strip of height H, we extend the existence of finite automata recognizing recurrent configurations read column by column presented by Járai and Lyons to new automata with significantly less states and these numbers are closer to a conjecture due to Gamlin. An implementation leads to explicit automata for heights 3 and 4 while up to now only the case 2 was obtained by hand. In a second approach, we consider the configurations on the twodimensional square lattice which are periodic in two directions. We suggest to place the sink ensuring that the stabilisation ends at infinity in a direction of rational slope which allows to preserve biperiodicity and a weaker form of Dhar criterion for recurrent configurations. Hence we obtain an effective algorithm defining recurrent configurations among the biperiodic and stable configurations. These biperiodic and recurrent configurations are natural candidates for being the elements of finite subgroups of the hypothetical group on configurations of the sandpile model on the square lattice. We discuss some notions allowing the definition of the law of such a group and experimentally provide some finite subgroups.

Cette thèse contient quatre travaux sur le modèle d'Agrégation Limitée par Diffusion Interne (iDLA), qui est un modèle de croissance pour la construction récursive d'ensembles aléatoires. Le premier travail concerne la dimension 1 et étudie le cas où les marches aléatoires formant l'agrégat évoluent dans un milieu aléatoire. L'agrégat normalisé converge alors non pas vers une forme limite déterministe comme dans le cas de marches aléatoires simples mais converge en loi vers un segment contenant l'origine dont les extrémités suivent la loi de l'Arcsinus. Dans le deuxième travail, on considère le cas où l'agrégat est formé par des marches aléatoires simples en dimension d > 1. On donne alors des résultats de convergence et de fluctuations sur la fonction odomètre introduite par Levine et Peres, qui compte en chaque point le nombre de passages des marches ayant formé l'agrégat. Dans le troisième travail, on s'intéresse au cas où l'agrégat est formé par des marches aléatoires multidimensionnelles qui ne sont pas centrées. On montre que sous une normalisation appropriée, l'agrégat converge vers une forme limite qui s'identifie à une vraie boule de chaleur. Nous répondons ainsi à une question ouverte en analyse concernant l'existence d'une telle boule bornée. Le quatrième travail concerne le cas particulier où une borne intérieure est connue pour l'agrégat. On donne alors des conditions suffisantes sur le graphe ainsi que sur la nature de cette borne pour qu'elle implique une borne extérieure. Ce résultat est appliqué au cas de marches évoluant sur un amas de percolation par arêtes surcritique, complétant ainsi un résultat de Shellef. / This thesis contains four works on the Internal Diffusion Limited Aggregation model (iDLA), which is a growth model that recursively builds random sets. The first work is set in dimension 1 and studies the case where the random walks that build the aggregate evolve in a random environment. The normalised aggregate then does not converges towards a deterministic limiting shape as it is the case for simple random walks, but converges in law towards a segment that contains the origin and which extremal points follow the Arcsine law. In the second work, we consider the case where the aggregate is built by simple random walks in dimension d > 1. We give convergence and fluctuation results on the odometer function introduced by Levine and Peres, which counts at each point the number of visits of walkers throughout the construction of the aggregate. In the third work, we examine the case where the aggregate is built using multidimensional drifted random walks. We show that under a suitable normalisation, the aggregate converges towards a limiting shape which is identified as a true heat ball. We thus give an answer to an open question in analysis concerning the existence of such a bounded shape. The last work deals with the special case where an interior bound is known for the aggregate. We give a set of conditions on the graph and on the nature of this interior bound that are sufficient to imply an outer bound. This result is applied to the case of random walks on the supercritical bond percolation cluster, thus completing a result by Shellef.

Ce travail de thèse, de nature théorique, présente quatre axes de recherche portant sur la dynamique d'interfaces molles. (1) Gouttes et films de liquide sur substrats poreux : Nous avons étudié la déformation d'une goutte soumise simultanément à une aspiration de liquide et à un ancrage de sa ligne de contact avec le substrat. Nous nous sommes aussi intéressés au problème de l'entraînement d'un film de liquide sur une surface poreuse tirée hors d'un bain : le film a une hauteur finie, que nous avons calculée, et présente une structure non-triviale à l'approche de la ligne de contact. (2) Réticulation et interdiffusion à l'interface entre deux polymères : La formation de joints entre deux pièces de polymère nécessite une bonne interdiffusion des chaînes, qui peut cependant être considérablement contrariée lorsqu'un agent réticulant est introduit (dans le but de renforcer le matériau final). Nous avons modélisé la compétition qui s'installe, en montrant qu'il existait un paramètre de contrôle simple permettant d'optimiser le système et en donnant des prédictions sur l'énergie d'adhésion attendue dans deux régimes-limites. (3) Ecoulements granulaires : Nous donnons le scénario analytique complet du déroulement d'une avalanche sur un tas de sable, en tenant compte de l'effet d'un profil de vitesse linéaire dans la couche roulante. Parmi les prédictions, nous avons trouvé que l'épaisseur maximale devait varier comme la racine carrée de la taille de l'empilement. (4) Dynamique de films de savon verticaux : Les propositions actuelles concernant le mécanisme du drainage de ces films font appel à des instabilités hydrodynamiques se développant au bord du film ("régénération marginale"). Nous avons cherché à en déterminer précisément l'état précurseur : de manière générique, le profil forme une zone de striction, dont nous avons calculé analytiquement les dimensions typiques ; celle-ci pourrait rassembler les caractéristiques nécessaires à l'émergence des instabilités.

Ce mémoire de thèse est consacrée à l'étude des problèmes d'évolution où la dynamique est régi par l'opérateur de diffusion de sous-gradient. Nous nous intéressons à deux types de problèmes d'évolution. Le premier problème est régi par un opérateur local de type Leray-Lions avec un domaine borné. Dans ce problème, l'opérateur est maximal monotone et ne satisfait pas la condition standard de contrôle de la croissance polynomiale. Des exemples typiques apparaît dans l'étude de fluide non-Neutonian et aussi dans la description de la dynamique du flux de sous-gradient. Pour étudier le problème nous traitons l'équation dans le contexte de l'EDP non linéaire avec le flux singulier. Nous utilisons la théorie de gradient tangentiel pour caractériser l'équation d'état qui donne la relation entre le flux et le gradient de la solution. Dans le problème stationnaire, nous avons l'existence de la solution, nous avons également l'équivalence entre le problème minimisation initial, le problème dual et l'EDP. Dans l'équation de l'évolution, nous proposons l'existence, l'unicité de la solution. Le deuxième problème est régi par un opérateur discret. Nous étudions l'équation d'évolution discrète qui décrivent le processus d'effondrement du tas de sable. Ceci est un exemple typique de phénomènes auto-organisés critiques exposées par une slope critique. Nous considérons l'équation d'évolution discrète où la dynamique est régie par sous-gradient de la fonction d'indicateur de la boule unité. Nous commençons par établir le modèle, nous prouvons existence et l'unicité de la solution. Ensuite, en utilisant arguments de dualité nous étudions le calcul numérique de la solution et nous présentons quelques simulations numériques. / This thesis is devoted to the study of evolution problems where the dynamic is governed by sub-gradient diffusion operator. We are interest in two kind of evolution problems. The first problem is governed by local operator of Leray-Lions type with a bounded domain. In this problem, the operator is maximal monotone and does not satisfied the standard polynomial growth control condition. Typical examples appears in the study of non-Neutonian fluid and also in the description of sub-gradient flows dynamics. To study the problem we handle the equation in the context of nonlinear PDE with singular flux. We use the theory of tangential gradient to characterize the state equation that gives the connection between the flux and the gradient of the solution. In the stationary problem, we have the existence of solution, we also get the equivalence between the initial minimization problem, the dual problem and the PDE. In the evolution one, we provide the existence, uniqueness of solution and the contractions. The second problem is governed by a discrete operator. We study the discrete evolution equation which describe the process of collapsing sandpile. This is a typical example of Self-organized critical phenomena exhibited by a critical slop. We consider the discrete evolution equation where the dynamic is governed by sub-gradient of indicator function of the unit ball. We begin by establish the model, we prove existence and uniqueness of the solution. Then by using dual arguments we study the numerical computation of the solution and we present some numerical simulations.